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1 FICHE
I
Rappels d'algèbre
Opérationssur les nombres réels Corps des nombres réels On dit que l’ensembleRdes nombres réels est un corps pour dire qu’il est muni de deux opérations+et×, avec toutes les propriétés dont vous avez l’habitude.
Puissances Définition SoitaRetnN(avecn2). On définit «apuissancen» par : n a=a× ∙ ∙ ∙ ×a    nfacteurs 1 1 0n On pose de plus :a=a,a=1 (poura=/0),a=(poura/=0). n a Propriétés PournZ,pZ,a/=0,b/=0, on a : n p n+npp n n p n n a×a=a a b=(ab) (a)=a   n n n a a a np = =a n p b b a
Formules de calcul aetbétant deux réels quelconques, on a :
Identités remarquables 2 2 2 2 2 2 2 2 (a+b)=a+2ab+b;(ab)=a2ab+b;(ab)(a+b)=ab
Formule du binôme   n n n k nk (a+b)=a b k k=0
  n n! = k!(nk)! k
M a t h é m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t é e n 3 0 f i c h e s
Autre égalité
Racinen-ième
n1 n n nk1k ab=(ab)a b. k=0
Définition SoitnNetxR+. On appelle racinen-ième dexl’unique réel positifatel n quea=x. On écrit : 1 n n a=x=x.
Propriétés 1 La fonctionR+dansR+:x→xest une bijection strictement croissante. n   p p 1 q q PourxR+,pZ,qN, on notex=x
Les règles de calcul sur les exposants rationnels sont alors les mêmes que pour les exposants entiers.
II Inégalités Propriétés des inégalités
Lorsquex>0 ety>0, oux<0 ety<0, on a : 1 1 xy⇐⇒x y
Sixetysont de signes contraires, le résultat n’est plus le même. √ √ 2 2 Pourx0 ety0, on a :xy⇐⇒xy⇐⇒xy. On a toujours :xy⇐⇒x+zy+z. Pourz>0 :xy⇐⇒x zyz; pourz<0 :xy⇐⇒x zyz.
Si on ne connaît pas le signe dez, on ne peut rien dire.
Intervalles
[a,b] est l’ensemble desxtels que :axb. [a,b[ est l’ensemble desxtels que :ax<b. On définit de même ]a,b],]a,b[,[a,+∞[. . . © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
F I C H E 1– R a p p e l s d ’ a l g è b r e
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Pour des réels quelconques, on a : axb⇐⇒ −bxa   ′ ′ ′ ′ axbetayb⇒a+ax+yb+b
Attention à ne pas soustraire membre à membre des inégalités. Sinon, on aurait, par exemple,6x8et1y5 qui entraînerait61xy85, d’où53, ce qui serait curieux !
III Valeur absolue Définition
La valeur absolue d’un réelx, notée|x|, est le réel positif tel que : |x| =xsix0; |x| = −xsix0 Sixetysont deux réels,|xy|représente la distance dexày.
Propriétés |x| = |y| ⇐⇒(x=youx= −y) x|x|   |x y| = |x| |y=| ; (siy=/0) ;|x| − |y||xy||x| + |y|   y|y| Soita>0. On a :|xb|a⇐⇒baxb+a
IV Approximations Partie entière
Étant donné un nombre réelx, il existe un plus grand entier relatif, notéE(x)ou [x] , tel queE(x)x. On l’appelle la partie entière dex. On a donc, par définition :E(x)x<E(x)+1 .
Attention à ne pas confondre avec la suppression de la partie décimale quandx <0; par exempleE(4, 3) =5.
Valeurs décimales approchées
SoitxRetnN. Il existe un entierdunique tel que nn d×10x< (d+1)×10 . n d10est la partie entière de x.
M a t h é m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t é e n 3 0 f i c h e s
1 nn d×10 s’appelle lavaleur décimale approchée de x à10près par défaut, et n (d+1)×10 cellepar excès.
Notation scientifique
Soitxun nombre décimal non nul. Il existe un nombre décimalαet un entierm uniques tels que : m x=α×110 avec |α|<10. Cette écriture est la notation scientifique dex. Siβest l’entier le plus proche deα, m alors l’ordre de grandeur dexestβ×10 .
V Entiers naturels Raisonnement par récurrence
SoitE(n)un énoncé qui dépend d’un entier natureln. SiE(0)est vrai, et si, quel que soitk, l’implicationE(k)⇒E(k+1)est vraie, alors l’énoncéE(n)est vrai pour tout entiern. Ce principe a diverses variantes, par exemple : siE(0)est vrai, et si, quel que soitk0, l’implication   E(0)etE(1)et. . .etE(k)⇒E(k+1) est vraie, alors l’énoncéE(n)est vrai pour tout entiern. Le symbole 87 Une somme commeS=x1+x2+ ∙ ∙ ∙ +x86+x87se note :S=xiet se lit : i=1 somme dei=1 ài=87 desxi. Dans cette écriture, la lettreichoisie pour désigner l’indice n’intervient pas dans le résultat. On dit qu’il s’agit d’une variable muette.
Propriétés
n n n n n     (xi+yi)=xi+yi;(k xi)=k xi i=1i=1i=1i=1i=1
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
F I C H E 1– R d ’ a l g è b r ea p p e l s
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