Mathématiques pour les sciences de la vie et de la santé

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30 fiches de 4 à 8 pages couvrant l'ensemble des notions d'analyse, d'algèbre et de géométrie utiles à un étudiant en L1/L2 de Sciences de la Vie, en PCEM1 ou en PH1. Chaque fiche comprend un rappel de cours suivi d'une ou plusieurs applications dans le domaine biomédical dont la résolution détaillée est appuyée par des conseils méthodologiques.

Publié le : mercredi 11 juin 2008
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EAN13 : 9782100539314
Nombre de pages : 160
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1 FICHE
I
Rappels d'algèbre
Opérationssur les nombres réels Corps des nombres réels On dit que l’ensembleRdes nombres réels est un corps pour dire qu’il est muni de deux opérations+et×, avec toutes les propriétés dont vous avez l’habitude.
Puissances Définition SoitaRetnN(avecn2). On définit «apuissancen» par : n a=a× ∙ ∙ ∙ ×a    nfacteurs 1 1 0n On pose de plus :a=a,a=1 (poura=/0),a=(poura/=0). n a Propriétés PournZ,pZ,a/=0,b/=0, on a : n p n+npp n n p n n a×a=a a b=(ab) (a)=a   n n n a a a np = =a n p b b a
Formules de calcul aetbétant deux réels quelconques, on a :
Identités remarquables 2 2 2 2 2 2 2 2 (a+b)=a+2ab+b;(ab)=a2ab+b;(ab)(a+b)=ab
Formule du binôme   n n n k nk (a+b)=a b k k=0
  n n! = k!(nk)! k
M a t h é m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t é e n 3 0 f i c h e s
Autre égalité
Racinen-ième
n1 n n nk1k ab=(ab)a b. k=0
Définition SoitnNetxR+. On appelle racinen-ième dexl’unique réel positifatel n quea=x. On écrit : 1 n n a=x=x.
Propriétés 1 La fonctionR+dansR+:x→xest une bijection strictement croissante. n   p p 1 q q PourxR+,pZ,qN, on notex=x
Les règles de calcul sur les exposants rationnels sont alors les mêmes que pour les exposants entiers.
II Inégalités Propriétés des inégalités
Lorsquex>0 ety>0, oux<0 ety<0, on a : 1 1 xy⇐⇒x y
Sixetysont de signes contraires, le résultat n’est plus le même. √ √ 2 2 Pourx0 ety0, on a :xy⇐⇒xy⇐⇒xy. On a toujours :xy⇐⇒x+zy+z. Pourz>0 :xy⇐⇒x zyz; pourz<0 :xy⇐⇒x zyz.
Si on ne connaît pas le signe dez, on ne peut rien dire.
Intervalles
[a,b] est l’ensemble desxtels que :axb. [a,b[ est l’ensemble desxtels que :ax<b. On définit de même ]a,b],]a,b[,[a,+∞[. . . © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
F I C H E 1– R a p p e l s d ’ a l g è b r e
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Pour des réels quelconques, on a : axb⇐⇒ −bxa   ′ ′ ′ ′ axbetayb⇒a+ax+yb+b
Attention à ne pas soustraire membre à membre des inégalités. Sinon, on aurait, par exemple,6x8et1y5 qui entraînerait61xy85, d’où53, ce qui serait curieux !
III Valeur absolue Définition
La valeur absolue d’un réelx, notée|x|, est le réel positif tel que : |x| =xsix0; |x| = −xsix0 Sixetysont deux réels,|xy|représente la distance dexày.
Propriétés |x| = |y| ⇐⇒(x=youx= −y) x|x|   |x y| = |x| |y=| ; (siy=/0) ;|x| − |y||xy||x| + |y|   y|y| Soita>0. On a :|xb|a⇐⇒baxb+a
IV Approximations Partie entière
Étant donné un nombre réelx, il existe un plus grand entier relatif, notéE(x)ou [x] , tel queE(x)x. On l’appelle la partie entière dex. On a donc, par définition :E(x)x<E(x)+1 .
Attention à ne pas confondre avec la suppression de la partie décimale quandx <0; par exempleE(4, 3) =5.
Valeurs décimales approchées
SoitxRetnN. Il existe un entierdunique tel que nn d×10x< (d+1)×10 . n d10est la partie entière de x.
M a t h é m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t é e n 3 0 f i c h e s
1 nn d×10 s’appelle lavaleur décimale approchée de x à10près par défaut, et n (d+1)×10 cellepar excès.
Notation scientifique
Soitxun nombre décimal non nul. Il existe un nombre décimalαet un entierm uniques tels que : m x=α×110 avec |α|<10. Cette écriture est la notation scientifique dex. Siβest l’entier le plus proche deα, m alors l’ordre de grandeur dexestβ×10 .
V Entiers naturels Raisonnement par récurrence
SoitE(n)un énoncé qui dépend d’un entier natureln. SiE(0)est vrai, et si, quel que soitk, l’implicationE(k)⇒E(k+1)est vraie, alors l’énoncéE(n)est vrai pour tout entiern. Ce principe a diverses variantes, par exemple : siE(0)est vrai, et si, quel que soitk0, l’implication   E(0)etE(1)et. . .etE(k)⇒E(k+1) est vraie, alors l’énoncéE(n)est vrai pour tout entiern. Le symbole 87 Une somme commeS=x1+x2+ ∙ ∙ ∙ +x86+x87se note :S=xiet se lit : i=1 somme dei=1 ài=87 desxi. Dans cette écriture, la lettreichoisie pour désigner l’indice n’intervient pas dans le résultat. On dit qu’il s’agit d’une variable muette.
Propriétés
n n n n n     (xi+yi)=xi+yi;(k xi)=k xi i=1i=1i=1i=1i=1
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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