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Nombres réels
1. Premières propriétés 1.1 Corps ordonné On dit que l'ensembleRdes nombres réels est • uncorpspour dire qu'il est muni de deux opérations+et×, avec toutes les propriétés dont vous avez l'habitude ; • uncorps ordonnépour dire que la relation d'ordreest compatible avec+ et×, c'est-à-dire : aRbRcRab⇒a+cb+c aRbRc0ab⇒acbc
1.2 Règles de calcul   n n n k nk (x+y)=x y(formule du binôme) k k=0   n n! = k k!(nk)! n1 n n nk1k xy=(xy)x y. k=0 1.3 Valeur absolue • La valeur absolue d'un réela, notée|a|, est définie par : |a| =asia0; |a| = −asi
a0 .
PropriétésaRbR |a|0 ;|a| =0⇐⇒a=0 ;|ab| = |a| |b|   |a+b||a| + |b|;|a| − |b||ab|
1.4 Propriété d'Archimède SoitaRetb>0. Alors il existekNtel quebk>a.
2. Intervalles 2.1 Définitions Pourab, le segment [a,b] est défini par : [a,b]= {xR;axb}
On utilise souvent la propriété : c[a,b]⇐⇒
t[0,1]
Nombres réels
c=t a+(1t)b
On définit de même les autres types d'intervalles : ]a,b[, [a,b[, ]a,b], ]a,+∞[, [a,+∞[, ]− ∞,b[, ]− ∞,b], ]− ∞,+∞[=R.
2.2 Propriété caractéristique Une partieAdeRest un intervalle si, et seulement si : aAbA a<c<b⇒cA.
2.3 Voisinage d'un point SoitaR. Une partieVdeRest un voisinage deasi elle contient un intervalle ouvert centré sura.
2.4 Densité deQdansR Tout intervalle ]a,b[ non vide contient au moins un rationnel et un irrationnel. On dit queQet son complémentaireR\Qsont denses dansR.
3. Ordre dansR 3.1 Majoration, minoration Définitions SoitAune partie deR. On dit queaest un majorant deAsixapour toutx deA. Si, en plus,aA, alorsaest le plus grand élément deA, noté maxA. SiAadmet un majorant, on dit queAest majorée. On définit de même : minorant, plus petit élément, partie minorée. Unicité Si une partie non vide deRadmet un plus grand élément, ou un plus petit élément, il est unique. Mais il peut ne pas exister. © Dunod – La photocopie non autorisée estun délit.
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Analyse dans
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Nombres réels
Surveillez votre vocabulaire :unmajorant,leplus grand élément.
Cas particulier des entiers naturels Toute partie non vide deNadmet un plus petit élément. Toute partie non vide majorée deNadmet un plus grand élément.
3.2 Borne supérieure, inférieure Définitions La borne supérieure deAest le plus petit élément (s'il existe) de l'ensemble des majorants deA. La borne inférieure deAest le plus grand élément (s'il existe) de l'ensemble des minorants deA. Caractérisation Mest la borne supérieure deAsi, et seulement si, on a, à la fois : xA xM, c'est-à-dire queMest un majorant ; ε>0xA Mε<x, c'est-à-dire queMεn'est pas un majorant. mest la borne inférieure deAsi, et seulement si, on a, à la fois : xA mx, c'est-à-dire quemest un minorant ; ε>0xA x<m+ε, c'est-à-dire quem+εn'est pas un minorant. Remarque SiAadmet un plus grand élément, alors c'est la borne supérieure deA. SiAadmet un plus petit élément, alors c'est la borne inférieure deA. Théorème d'existence Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) deRadmet une borne supérieure (resp. inférieure).
3.3 Droite numérique achevée Pour ne pas avoir de restriction dans le théorème précédent, on considère un nou-vel ensemble notéRobtenu à partir deRpar l'adjonction de deux éléments notés −∞et+∞. On prolonge àRla relation d'ordre en posant pour toutaR: −∞<a<+∞.
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