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Daniel Fredon
M thématiques Mathématiques Résuméducours enfiches PCSIPTSIPCPSIPT
PCSI SI PSI
Le programme des deux années en 80 fiches Tous les théorèmes, définitions et formules
Table des matières
Avant-propos Partie 1 Première période 1 Fonctions usuelles 2 Nombres complexes 3 Équations différentielles 4 Géométrie Partie 2 Analyse 5 Nombres réels, Suites 6 Fonctioncsontinues 7 Dérivation, développements limités 8 Intégration 9 Courbes paramétrées
Partie 3 Algèbre 10 Algèbre générale 11 Arithmétique 12 Algèbre linéaire 13 Algèbre linéaire en dimension finie 14 Matrices 15 Polynômes 16 Espaces euclidiens Index © Dunod La photocopie non autorisée est un délit
IV
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239 251 261 277 301 339 361 393
Avant-propos
Cet ouvrage s’adresse aux élèves de première année de classes préparatoires scien-tifiques. Il leur propose de mettre en pratique les notions abordées en cours de mathématiques par le biais d’exercices. Chacun est assorti d’une correction détaillée, dans laquelle l’accent est mis sur la méthode qui mène à la solution.
Le livre est divisé en seize chapitres, consacrés chacun à une partie du programme. Au sein d’un même chapitre, les exercices, classés par ordre croissant de difficulté, ont été choisis de façon à passer en revue les notions à connaître, mais aussi à pré-senter les techniques susceptibles d’être utilisées.
En ce qui concerne les corrections, nous avons choisi de séparer clairement la réflexion préliminaire, comprenant analyse du problème et tâtonnements, de la rédaction finale, rigoureuse et précise. Cette dernière étape est signalée, dans le texte, par la présence d’un liseré gris sur la gauche et d’un . Insistons sur le fait que nous ne prétendons nullement présenter l’unique cheminement permettant d’aboutir à la solution d’un exercice donné, ni la seule rédaction acceptable. Dans les deux cas, bien des possibilités existent ! Par ailleurs, lorsque nous avons souhaité mettre en lumière un point important nous
l’avons rédigé sur un fond grisé et indiqué par un
piège dont il faut se méfier est signalée par un
.
. De même, la présence d’un
Pour finir, signalons que cet ouvrage est conçu pour les étudiants des trois filières MPSI, PCSI et PTSI. Certains exercices, cependant, ne sont accessibles qu’aux élèves de MPSI. D’autres font appel à des connaissances qui dépassent le pro-gramme de PTSI (mais pourront être traités par ceux qui suivent l’option mathé-matique en vue d’entrer en PSI). De tels exercices sont rares et nous signalons ces subtilités dans leur titre.
Pour bien utiliser cet ouvrage :
Cet encadré vous indique un point important
Cet encadré met en avant un piège à éviter
Le stylo-plume vous signale l’étape de la rédaction finale.
Partie 1 Première période
Plan 1. Fonctions usuelles 1.1 : Raisonnement par analyse-synthèse 1.2 : Étude de fonction 1.3 : Fonctions circulaires réciproques 1.4 : Arctangente 1.5 : Fonctions hyperboliques réciproques 1.6 : Calcul de limite par encadrement 1.7 : Études de fonctions et suites adjacentes 2. Nombres complexes 2.1 : Sommes de cosinus 2.2 :cos(2π/5) 2.3 : Racines septièmes 2.4 : Linéarisation, formule de Moivre 2.5 : Argument et Arctangente 2.6 : Systèmes non linéaires 2.7 : Méthode de Cardan 3. Équations différentielles Équations différentielles linéaires du premier ordre 3.1 : Équation du premier ordre et variation de la constante 3.2 : Équation fonctionnelle de l’exponentielle Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants 3.3 : Équation du second ordre : second membre exponentiel 3.4 : Équation du second ordre : second membre trigonométrique 3.5 : Équation du second ordre : racine double 4. Géométrie 4.1 : Géométrie du triangle 4.2 : Formule de Héron 4.3 : Droite d’Euler 4.4 : Cercle d’Euler 4.5 : Tétraèdre régulier 4.6 : Plans dans l’espace 4.7 : Perpendiculaire commune
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Fonctions usuelles
Exercice 1.1 : Raisonnement par analyse-synthèse √ √ 1.Déterminer les réelsxtels quex(x3)=3x5 . x (x)x x 2.Déterminer les réels strictement positifsxtels quex=(x).
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Il s’agit de questions ouvertes : on demande de trouver les solutions d’un problème sans les donner. Une stratégie consiste à raisonner par analyse-synthèse. C’est un raisonnement en deux étapes : • Première étape (analyse du problème) : on considère une solutionxde l’équation et on essaie, à partir des relations données dans l’énoncé, d’en déduire la forme dex. • Deuxième étape (synthèse) : l’étape précédente à montré que les solutions sont d’une certaine forme ; il ne reste plus qu’à vérifier, parmi ces solutions poten-tielles, lesquelles sont bien les solutions du problème.
La nécessité de cette deuxième étape apparaîtra clairement dans la résolution de la première question.
1.:Analyse du problème nous allons élever au carré pour nous ramener à une équation du second degré. √ √ Soitxun réel tel quex(x3)=3x5. Alors, en élevant au carré : 2 x(x3)=3x5, soitx6x+5=0. D’après le cours de Terminale les réelsxvérifiant cette relation sont1et5. Nous avons donc démontré :
sixest solution de l’équationalorsx=1oux=5.
Nous n’avons pas démontré que les solutions sont 1 et 5, mais uniquement qu’elles ne peuvent valoir autre chose. Il reste à vérifier si elle conviennent effec-tivement : c’est l’objet de l’étape de synthèse.
Synthèse :on remplace successivementxpar 5 puis 1 dans l’équation initiale, les calculs étant sans difficulté. © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Partie 1• Première période
Il est facile de vérifier que5est bien solution. En revanche, pourx=1, l’équation n’a pas de sens : elle fait intervenir des racines carrées de nombres négatifs. Ainsi,1n’est pas solution. √ √ Conclusion :5est l’unique réelxtel quex(x3)=3x5.
Pourquoi l’étape d’analyse a-t-elle produit une « fausse solution » (dite également solution parasite) ? Nous avons élevé deux expressions au carré. Or cette opéra-2 2 tion n’est pas réversible : s’il est vrai quea=bentraînea=b, la réciproque est fausse en général. En élevant au carré, nous avons en fait résolu l’équation x(x3)=3xse trouve avoir plus de solutions que l’équation de5 qui l’énoncé.
2.Analyse du problème :nous allons prendre les logarithmes afin de simplifier les puissances. x (x)x x Soitxun réel strictement positif tel quex=(x). Alors, en prenant le x x2 logarithme :xln(x)=xln(x)=xln(x).
x2 On ne peut en déduirex=xen simplifiant par ln(x): en effet, ln(x)pourrait être nul. Il faut donc ajouter une hypothèse pour poursuivre les calculs :x/=1.
x2 Supposonsx=/1. On a alorsln(x)=/0, doncx=x. En considérant à nouveau les logarithmes il vient :xln(x)=2 ln(x). Comme on a supposé icix=/1, on peut encore simplifier parln(x), d’où x=2. Autrement dit, nous venons de démontrer : sixest un réel strictement posi-x (x)x x tif distinct de1vérifiantx=(x), alorsx=2. Ainsi, il y a ou plus deux solutions éventuelles au problème :1et2.
Synthèse :calculs sans astuce, attention cependant à la place des parenthèses. 2 (2)4 Il est clair que1convient bien. De même,2=2=16et 2 2 2 (2)=4=16, donc2convient également. Conclusion :il existe deux réels strictement positifsxtels que x (x)x x x=(x): ce sont1et2.
Si l’on oublie l’étape de synthèse dans la première question, on aboutit à un résul-tat faux : il y a une solution parasite. D’autre part, si l’on ne fait pas attention lors de la simplification par ln(x)dans la deuxième question, on n’obtient que la solutionx=2. Autrement dit, le manque de rigueur dans le raisonnement mathématique peut abou-tir à trouver de « fausses solutions » ou au contraire à en oublier de vraies !
Chapitre 1• Fonctions usuelles
Pour éviter cela, il faut : • prendre garde, dans le type de raisonnement présenté ici, à ne pas oublier l’étape de synthèse ; • s’assurer que tous les calculs sont licites (ne pas diviser par zéro, ne pas prendre la racine carrée ou le logarithme d’un nombre négatif...) et, au besoin, distinguer des cas comme dans la deuxième question.
Exercice 1.2 : Étude de fonction ln(x) 1.Étudier et tracer la fonctionfdéfinie parf(x)=. x b a 2.En déduire les couples(a,b)d’entiers tels que 2a<beta=b. π e 3.Quel est le plus grand :eouπ?
1.La démarche pour étudier une fonction est toujours la même : • déterminer le domaine de définition et de dérivabilité ; • calculer la dérivée ; • étudier les limites de la fonction aux bornes de son (ou ses) intervalle(s) de défi-nition ; • calculer les valeurs de la fonction aux points où la dérivée s’annule ; • résumer tout ceci dans le tableau de variations.
La fonctionfest définie et dérivable surRet, pour toutx>0: + 1ln(x) f(x)=. 2 x On a de plus, d’après les limites comparées vues en Terminale : f(1)=0 1 f(e)=e limf(x)= −∞ x0 limf(x)=0 x→+∞
On en déduit le tableau de variations def:
x f(x)
0
f(x) −∞ © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
+
e 0 1 e
+∞
0
5
6
Partie 1• Première période
puis sa représentation graphique :
1
1 e
0 0
– 1
1
2
3 e
4
5
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9
10
2.il s’agit donc de faire» : en déduire L’énoncé de la question commence par « apparaître la fonctionf, ce qui suggère d’introduire un logarithme. Raisonnons par analyse-synthèse.
Si un couple(a,b)convient on a alors, en prenant les logarithmes : bln(a)=aln(b). Commeaetbne sont pas nuls on en déduit ln(a)ln(b) =,i.e. f(a)=f(b). a b Or, d’après le tableau de variations,fne peut prendre qu’au plus deux fois une même valeur et, si c’est le cas, elle la prend une fois sur]1,e[et l’autre fois sur]e,+∞[. Il est donc nécessaire que1<a<e<b. On sait quee=2,7à0,1près ; ainsi,aétant entier, il ne peut valoir que2. ln(2) Il reste à trouver un entierb>e(doncb3) tel quef(b)=. Des 2 essais successifs montrent queb=4convient. D’autre part,fétant strictement décroissante sur]e,+∞[, elle ne peut prendre plusieurs fois la même valeur :4est donc le seul entierbtel que ln(2) f(b)=etb>e. 2 La seule solution possible au problème est donc(a,b)=(2,4).
Chapitre 1• Fonctions usuelles
Enfin, nous allons vérifier que ce couple convient bien. Le premier exercice montre quune telle vérification nest pas superflue ! 4 2 Réciproquement, on a bien2=4(=16): le problème possède donc une unique solution,(a,b)=(2,4).
3.De manière analogue nous allons introduire un logarithme. Pour comparer deux réels strictements positifs il suffit de comparer leurs loga rithmes car la fonction ln est strictement croissante surR. + πe Autrement dit, il sagit de comparer ln(e)=πet ln(π)=eln(π): cest làque la 1 ln(e) fonctionfintervient en faisant apparaître les quotients= =f(e)et e e ln(π) =f(π). π On sait quee<πdonc, commefest strictement décroissante sur[e,+∞[, f(e) >f(π). Autrement dit :
1 ln(π) > . eπ En multipliant pareetπ, qui sont strictement positifs, il vient :
π>eln(π).
En appliquant la fonction exponentielle, qui est strictement croissante, on obtient enfin : π e e>π.
Dans cette dernière question,πne joue aucun rôle : on aurait pu le remplacer par nimporte quel réelx>e.
Exercice 1.3 : Fonctions circulaires réciproques π 1.Montrer que, pour toutx[1,1], Arcsin(x)+Arccos(x)=. 2 2.SoitxR,u=sin(Arctan(x))etv=cos(Arctan(x)). Déterminer le signe de u 2 2 vpuis,àletaide de u+v, déterminer des expressions deuetven fonction v dexsans utiliser de fonctions trigonométriques.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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