Mathématiques Résumé du cours en fiches PCSI-PTSI, PC-PSI-PT

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Cet ouvrage propose des résumés complets du cours de Mathématiques de première année PCSI-PTSI et deuxième année PC-PSI-PT sous forme de fiches. Chaque fiche traite d'un thème du programme en donnant : 

  • toutes les définitions, lois et formules à connaître ;
  • des conseils, des rappels de méthodes, des erreurs à éviter.

Synthétique et illustré, il constituera un outil de révision précieux pour les étudiants qui veulent revoir rapidement et efficacement l’essentiel des notions à connaître.

Dans cette deuxième édition, le contenu est entièrement revu, corrigé et structuré sous forme de fiches.

Publié le : mercredi 25 août 2010
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EAN13 : 9782100555918
Nombre de pages : 288
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e 2 année
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1.
Espaces vectoriels normés
Toute cette fiche est hors du programme de
Normes et distances
PT
1.1 Normes Définition SoitEun espace vectoriel surK=RouC. Une norme surEest une applica-tionNdeEdansRqui vérifie : (1)xE N(x)0 etN(x)=0⇒x=0 ;
(2)λK
(3)xE
Le couple(E,N) N(x)= x.
xE
yE
N(λx)= |λ|N(x);
N(x+y)N(x)+N(y).
est appelé espace vectoriel normé. On écrit souvent
Exemples n a)E=K; pourx=(x1,. . . ,xn)E, on définit : N1(x)= |x1| + ∙ ∙ ∙ + |xn| 2 2 N2(x)= |x1| + ∙ ∙ ∙ + |xn| N(x)=sup{|x1|,. . . ,|xn|}
b)E=C([a,b],K)étant l'espace vectoriel des fonctions continues sur [a,b] et à valeurs dansK, pourfEon pose :   b b 2 N1(f)= |f(t)|dt;N2(f)= |f(t)|dt. a a
N1est la norme de la convergence en moyenne,N2la norme de la convergence en moyenne quadratique. c)E=B(A,F)étant l'espace vectoriel des fonctions bornées définies sur un ensembleAet à valeurs dans un espace vectoriel normé F, on pose : N(f)=supf(t)tA
 désigne la norme dansF.
Espaces vectoriels normés
Nest la norme de la convergence uniforme. d)Eétant muni d'un produit scalaire,N(x)=(x|x)définit une norme appelée norme euclidienne siK=Ret hermitienne siK=C. Les normesN2des exem-plesa)etb)sont des normes euclidiennes ou hermitiennes. e)Si(E1,N1),. . . ,(Ep,Np)sont des espaces vectoriels normés, on définit une norme sur le produit cartésienE1× ∙ ∙ ∙ ×Epen posant : N(u1,. . . ,up)=supNi(ui). 1ip 1.2 Distance associée à une norme • La distance entre deux élémentsxetydeEest : d(x,y)= yx.
Propriétés xEyE d(x,y)0 xEyE d(x,y)=0⇐⇒x=y xEyE d(x,y)=d(y,x) xEyEzE d(x,z)d(x,y)+d(y,z) • La distance entre deux partiesAetBnon vides deEest : d(A,B)=inf{d(x,y);xA,yB}.
• Le diamètre d'une partie non videAest : diamA=sup{d(x,y);xA,yA}.
Si diamAest fini,Aest dite bornée. Une applicationfdéfinie sur un ensembleDet à valeurs dansEest dite bornée sif(D)est une partie bornée deE.
1.3 Boules La boule ouverte de centreaet de rayonr>0 est : B(a,r)= {xE;xa<r}.
La boule fermée de centreaet de rayonr>0 est : B(a,r)= {xE;xar}.
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n R
Analyse dans
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Espaces vectoriels normés
2.
Suites d'éléments
2.1 Convergence La définition est analogue au cas des suites dansR. La suite(un)est convergente verslsi : ε>0n0Nnn0unlε.
Une suite qui n'est pas convergente est divergente.
Beaucoup de théorèmes sur les suites numériques se généralisent : unicité de la limite, opérations algébriques, théorème de Bolzano-Weierstrass…
Ne généralisez pas les notions qui utilisent la relationcomme : limites infinies, suites monotones, théorème d'encadrement.
2.2 Normes équivalentes SoitNetNdeux normes surE. On dit qu'elles sont équivalentes si toute suite qui converge verslpour une norme, converge aussi verslpour l'autre norme. Pour ceci, il faut, et il suffit, qu'il existeα>0 etβ>0 tels que : ′ ′ xEαN(x)N(x)βN(x).
Pour montrer queNetNsont équivalentes, montrez que les fonc-N N tions et sont bornées surE\ {0}. N N Pour montrer qu'elles ne sont pas équivalentes, montrez que l'un de ces quotients n'est pas borné.
2.3 Cas d'un espace vectoriel de dimension finie Dans un espace vectoriel de dimension finie, deux normes quelconques sont tou-jours équivalentes.
3.
Topologie d'un espace vectoriel normé(E,N)
3.1 Voisinages d'un point Une partieVest un voisinage deaEs'il existe une boule ouverte centrée ena et incluse dansV.
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