Cette publication ne fait pas partie de la bibliothèque YouScribe
Elle est disponible uniquement à l'achat (la librairie de YouScribe)
Achetez pour : 9,99 € Lire un extrait

Téléchargement

Format(s) : PDF

avec DRM

Partagez cette publication

Vous aimerez aussi

Introduction Techniques de base
1.Ensembles, applications 1.1 Vocabulaire de la théorie des ensembles xE: «xest élément deE», ou «xappartient àE». On ne cherche pas à définir les notions primitives d’élément,d’appartenance, d’ensemble. On peut distinguer deux façons de définir un ensemble : Par extension : on donne la liste des éléments de l’ensemble. On notera en particulier, avecnN: 0, n={0 ;. . .;n} Par compréhension : on donne une propriété caractéristiquePdes élé ments de l’ensemble. L’élémentxappartient à l’ensembleEsi, et seule ment si, il vérifie la propriétéP, ce que l’on noteP(x). Par exemple,a, b étant deux réels : [a, b]={x|xR;axb} Ici la propriétéP(x) est : «xRetaxb». On rencontre des variantes de notation : [a, b]={xR|axb}={xR;axb}. . . Certains ensembles ont des notations réservées : : l’ensemble vide (il ne contient aucun élément). N: l’ensemble des entiers naturels.N={0 ; 1 ; 2 ;. . .}. N: l’ensemble des entiers naturels non nuls. Z: l’ensemble des entiers relatifs. Q: l’ensemble des nombres rationnels.
1
Introduction
R: l’ensemble des nombres réels. + R: l’ensemble des nombres réels positifs ou nuls. +∗ − On définit de mêmeR,R,R. . . A, B, Eétant des ensembles, on définit: Relation d’inclusion. On noteAE(lire «Aest inclus dansE», ou «Aest une partie deE», ou «Aest un sousensemble deE») si et seulement si tout élément deAest élément deE. On note aussiEAEcontientA»). Pour tout ensembleE, on a l’inclusionE. NZQR. Réunion de deux ensembles.On noteAB(lire «AunionB») l’ensemble ainsi défini : AB={x|xAouxB} Intersection de deux ensembles.On noteAB(lire «AinterB») l’ensemble ainsi défini : AB={x|xAetxB} Généralisation : avecIun ensemble d’indices : Ai={xexiste; il iItel quexAi} iI Ai={x; pour toutiI, xAi} iI Complémentaire d’un ensemble dans un ensemble.SoitAE. Le complémentaire deAdansEest l’ensemble des éléments deEqui n’appartiennent pas àA. On le noteE\A, ou, s’il n’y a pas d’ambiguïté sur l’ensembleEde référence,A(lire « A barre »). Produit cartésien de deux ensembles.Le produit cartésienA×Best l’ensembles des couples (a;b) avecaAetbB: A×B={(a;b)|aAetbB} n On définit de même les produits cartésiensA×B×C,. . . , etA: n A={(a1;∙ ∙ ∙;an)|a1A;∙ ∙ ∙;anA} n Aest l’ensemble des suites ànéléments deA, ou ensemble desnlistes d’éléments deA(nN). Ensemble des parties deE. On noteP(E) l’ensemble de toutes les parties deE: P(E)={A;AE}
2