Mathématiques «tout-en-un» BCPST 2e année

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Cet ouvrage couvre tout le programme de mathématiques de la deuxième année de la filière BCPST et est entièrment conforme à la réforme 2003/2004. Dans la lignée des tout-en-un Dunod, chaque chapitre propose : un cours très développé avec de nombreux exemples, toutes les démonstrations et des applications directes du cours corrigées ; des énoncés d'exercices et de problèmes, dont les corrigés détaillés sont regroupés en fin d'ouvrage.

Publié le : mercredi 20 août 2008
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EAN13 : 9782100539765
Nombre de pages : 624
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Espaces
vectoriels
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1.Espaces vectoriels, sousespaces vectoriels Nous reprenons et complétons les définitions et propriétés établies dans le livre de première année, le lecteur s’y référera pour les démonstrations que nous ne reprenons pas en détail.
Dans tout ce chapitreKreprésente soit l’ensemble des réelsRsoit celui des com plexesC.
1.1 Espaces vectoriels surK
Définition 1 SoitEun ensemble muni d’une loi de composition interne notée + et d’une loi de composition externe à opérateurs dansKnotée. On dit que (E,+,) est unKespace vectoriels’il vérifie les dix propriétés suivantes 1. (E,+) est un groupe commutatif, c’estàdire que : OiL’opération + est une loi de composition interne. APour tout triplet (x, y, z) d’éléments deE, on a (x+y) +z=x+ (y+z). NIl existe un élément 0EdansE, tel que pour tout élémentxdeE, on a x+ 0E=0E+x=x. SPour tout élémentxdeE, il existe un élémentydeEtel quex+y=y+x=0E; on note cet élémentx. CPour tout couple (x, y) d’éléments deEon ax+y=y+x. 2. La loivérifie les cinq propriétés suivantes : OeL’opérationest une loi de composition externe. AmPour tout couple (l,m) d’éléments deKet pour tout élémentxdeE, l(mx)=(lm)x.
Chapitre1Espaces vectoriels
N
Pour tout élémentxdeE, 1x=x.
DgPour tout couple (l,m) d’éléments deKet (l+m)x=lx+mx.
Dd
pour tout élémentxdeE,
Pour toutlKet tout couple (x, y) d’éléments deE,l(x+y)=lx+ly.
Remarques Les éléments deKsont appelés desscalaireset les éléments deEdesvecteurs. Sauf mention contraire, les lettres majusculesE,F. . . désigneront des espaces vectoriels surK, les lettres minusculesu,v, . . . , oue1,e2. . désigneront , . des vecteurs et les lettres grecquesa,b,. . . ,l,m, . . . des scalaires. Le vecteur nul 0E, élément neutre pour l’addition des vecteurs, est unique et nous avons, pour tout scalairel et tout vecteurx, l’équivalencelx=0E⇐⇒(l=0) ou (x=0E). L’opposé d’un vecteurxest unique et nous avons pour tout scalairelles égalités suivantes (l)x=l(x)=(lx). Tout espace vectoriel contient au moins le vecteur nul et n’est donc pas vide. Exemples 1. L’ensembleK[X] des polynômes muni des lois habituelles est unKespace vectoriel. 2. Pour toute valeur des entiers non nulsnetp, l’ensembleMn,p(K) des matrices muni des lois habituelles est unKespace vectoriel.   n 3. Pour toute valeur de l’entier non nuln, l’ensembleKouM1,n(K) desnuplets de scalaires est unKespace vectoriel. 4. L’ensembleCluimême peut être considéré comme unRespace vectoriel ou unCespace vectoriel. N 5. L’ensembleKdes suites de scalaires muni de l’addition des suites et du produit par un scalaires est unKespace vectoriel. I 6. L’ensembleRdes fonctions réellesfdéfinies sur un intervalleImuni de l’addition des fonctions et du produit par un réel est unRespace vectoriel.
Définition 2 On appelle famille finie de vecteurs toutnuplet denvecteurs oùnest un entier naturel non nul.
Remarques Deux familles de vecteurs sont égales si elles sont constituées des mêmes vecteurs dans le même ordre. On note habituellement une telle famille (e1, e2,. . ., en) ou (ei)iIavecIun sousensemble fini deN. On dira que (ei)iJest une sous famille de la famille (ei)iIsi l’on aJI.
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