Mathématiques «tout-en-un» ECS 2e année - 2e éd.

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Cette deuxième édition a été entièrement revue et remise en page. Tous les exercices sont intégralement corrigés en fin d'ouvrage. Entièrement conforme à la réforme 2003/2004, cet ouvrage contient tout le programme de mathématiques de la deuxième année des filières «S» (scientifiques). Il privilégie une approche pédagogique grâce à une partie «cours» développée (intégrant rappels, encarts, méthodes, exemples, applications) et une partie «exercices» qui propose de nombreux énoncés de niveau progressif, offrant ainsi au lecteur un entraînement complet.

Publié le : mercredi 27 août 2008
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EAN13 : 9782100539758
Nombre de pages : 632
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Compléments d’algèbre linéaire
Tous les espaces vectoriels mentionnés sont de dimension finie.
1
1.Somme directe de sousespaces, sousespaces stables 1.1 Somme directe de deux sousespaces Conformément à ce qu’exige le programme, commençons par quelques rappels de première année. Définition 1 SoientF1,F2. . ,, . Fndes sousespaces vectoriels d’un espaceE. On appelle somme des sousespacesF1,F2, . . . ,Fnl’ensemble des vecteurs de la forme x1+x2+∙ ∙ ∙+xn x1F1,x2F2, . . . ,xnFn. n Cet ensemble se noteF1+F2+∙ ∙ ∙+Fnou encoreFk. k=1
Définition 2 SoientFetGdeux sousespaces vectoriels d’un espace vectorielE. La sommeF+Gest dite directe si pour tout élémentxdeF+G, il existe un et un seul couple (x1, x2)F×G tel quex=x1+x2.
Proposition 1 SoientFetGdeux sousespaces vectoriels d’un espace vectorielE. La sommeF+Gest directesi, et seulement si,FG={0}.
Définition 3 SoientFetGdeux sousespaces vectoriels d’un espace vectorielE.FetGsont dits supplémentaires siE=FG.
Chapitre1Compléments d’algèbre linéaire
Définition 4 SoientF1, F2deux sousespaces supplémentaires d’un espace vectorielE. On appellepro jectionsurF1parallèlement àF2l’applicationpqui à tout vecteurxdeEs’écrivant sous la formex=x1+x2x1F1etx2F2associe le vecteurp(x)=x1.
Exemples 1. Si l’on noteqla projection surF2parallèlement àF1, on vérifie facilement quep+q=IdE etpq=qp=0. Les projectionspetqs’appellent des projections associées. 2. Traçons la figure dans le cas oùF1etF2sont deux droites vectorielles du plan etxun vecteur fixé. F2
2
x2=q(x)
O
Proposition 2 Toute projectionpest linéaire et vérifiepp=p.
Preuve Soitpune projection surF1parallèlement àF2. Montrons quepest linéaire. Soientx, ydeux éléments deEavec
x=x1+x2
et
x1=p(x)
y=y1+y2
x
x1, y1sont deux vecteurs deF1etx2, y2deux vecteurs deF2. Soientl,mdeux scalaires, on a alors
lx+my
= =
l(x1+x2) +m(y1+y2) (lx1+my1) + (lx2+my2).
CommeF1etF2sont des sousespaces,lx1+my1F1etlx2+my2F2. On a donc
c’estàdire quepest linéaire.
p(lx+my)
= =
lx1+my1 lp(x) +mp(y)
F1
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