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Compléments d’algèbre linéaire
Tous les espaces vectoriels mentionnés sont de dimension finie.
1
1.Somme directe de sousespaces, sousespaces stables 1.1 Somme directe de deux sousespaces Conformément à ce qu’exige le programme, commençons par quelques rappels de première année. Définition 1 SoientF1,F2. . ,, . Fndes sousespaces vectoriels d’un espaceE. On appelle somme des sousespacesF1,F2, . . . ,Fnl’ensemble des vecteurs de la forme x1+x2+∙ ∙ ∙+xn x1F1,x2F2, . . . ,xnFn. n Cet ensemble se noteF1+F2+∙ ∙ ∙+Fnou encoreFk. k=1
Définition 2 SoientFetGdeux sousespaces vectoriels d’un espace vectorielE. La sommeF+Gest dite directe si pour tout élémentxdeF+G, il existe un et un seul couple (x1, x2)F×G tel quex=x1+x2.
Proposition 1 SoientFetGdeux sousespaces vectoriels d’un espace vectorielE. La sommeF+Gest directesi, et seulement si,FG={0}.
Définition 3 SoientFetGdeux sousespaces vectoriels d’un espace vectorielE.FetGsont dits supplémentaires siE=FG.
Chapitre1Compléments d’algèbre linéaire
Définition 4 SoientF1, F2deux sousespaces supplémentaires d’un espace vectorielE. On appellepro jectionsurF1parallèlement àF2l’applicationpqui à tout vecteurxdeEs’écrivant sous la formex=x1+x2x1F1etx2F2associe le vecteurp(x)=x1.
Exemples 1. Si l’on noteqla projection surF2parallèlement àF1, on vérifie facilement quep+q=IdE etpq=qp=0. Les projectionspetqs’appellent des projections associées. 2. Traçons la figure dans le cas oùF1etF2sont deux droites vectorielles du plan etxun vecteur fixé. F2
2
x2=q(x)
O
Proposition 2 Toute projectionpest linéaire et vérifiepp=p.
Preuve Soitpune projection surF1parallèlement àF2. Montrons quepest linéaire. Soientx, ydeux éléments deEavec
x=x1+x2
et
x1=p(x)
y=y1+y2
x
x1, y1sont deux vecteurs deF1etx2, y2deux vecteurs deF2. Soientl,mdeux scalaires, on a alors
lx+my
= =
l(x1+x2) +m(y1+y2) (lx1+my1) + (lx2+my2).
CommeF1etF2sont des sousespaces,lx1+my1F1etlx2+my2F2. On a donc
c’estàdire quepest linéaire.
p(lx+my)
= =
lx1+my1 lp(x) +mp(y)
F1