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MATHÉMATIQUES TOUT LE COURS EN FICHES l Licence1 CAPES
MATHÉMATIQUES TOUT LE COURS EN FICHES Licence1 CAPES l
Claire David Maître de conférences à l’UPMC (université Pierre-et-Marie-Curie), Paris Sami Mustapha Professeur à l’UPMC (université Pierre-et-Marie-Curie), Paris
Illustration de couverture :©delabo - Fotolia.com
©Dunod, 2014
5 rue Laromiguière, 75005 Paris www.dunod.com
ISBN 978-2-10-059992-9
Table des matières
Avant-propos Comment utiliser cet ouvrage ?
Partie 1 Calculus
Nombres réels Fiche 1 Les ensembles de nombres Fiche 2 Intervalles, voisinages, bornes Limites Fiche 3 Limite d’une fonction en un point Fiche 4 Limite d’une fonction en+ou−∞ Fiche 5 Propriétés des limites – Opérations sur les limites Fiche 6 Notations de Landau Fonctions numériques Fiche 7 Domaine de définition d’une fonction, graphe FocusLa construction de l’ensemble des réels : les coupures de Dedekind Fiche 8 Comment définir une fonction ? Fiche 9 Majorations et minorations Fiche 10 Fonctions monotones Fiche 11 Parité, imparité Fiche 12 Symétries Fiche 13 Fonctions périodiques Fonctions usuelles Fiche 14 Fonctions puissances entières Fiche 15 Fonctions polynômes et fonction valeur absolue FocusJohn Napier et les tables logarithmiques Fiche 16 La fonction logarithme népérien Fiche 17 La fonction exponentielle Fiche 18 Fonctions puissances « non entières » FocusLeibniz et la fonction exponentielle Fiche 19 Fonctions circulaires Fiche 20 Fonctions hyperboliques FocusL’origine de la trigonométrie Continuité Fiche 21 Continuité d’une fonction en un point Fiche 22 Fonctions continues sur un intervalle Dérivabilité Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. Fiche 23 Dérivabilité en un point
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X XII
1 2 6 8 8 12 14 16 18 18 21 22 24 26 28 30 32 33 33 35 38 39 41 43 44 45 47 49 51 51 55 58 58
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Fiche 24 Dérivabilité sur un intervalle Fiche 25 Dérivées successives Fiche 26 Théorème des accroissements finis et théorème de Rolle Fiche 27 Formule de Taylor-Lagrange Fonctions réciproques Fiche 28 Fonctions réciproques Fiche 29 Les fonctions trigonométriques inverses Fiche 30 Les fonctions hyperboliques inverses Développements limités Fiche 31 Développements limités Fiche 32 Formule de Taylor-Young Fiche 33 Développements limités usuels Fiche 34 Opérations algébriques et composition des développements limités Développements asymptotiques Fiche 35 Développements asymptotiques Convexité Fiche 36 Convexité er Équations différentielles linéaires du 1 ordre er Fiche 37 Équations différentielles linéaires du 1 ordre homogènes er Fiche 38 Équations différentielles linéaires du 1 ordre avec second membre Fonctions de plusieurs variables Fiche 39 Topologie Fiche 40 Fonctions de plusieurs variables Fiche 41 Les systèmes de coordonnées usuelles Fiche 42 Limites, continuité et dérivation Exercices Corrigés
Partie 2 Algèbre
Le plan complexe – Les nombres complexes FocusLes nombres complexes Fiche 43 Le corps des nombres complexes Fiche 44 Représentation géométrique des nombres complexes Fiche 45 Inversion des nombres complexes Fiche 46 Propriétés fondamentales des nombres complexes Fiche 47 Complément : les polynômes de Tchebychev ièmes ièmes Fiche 48 Racinesnde l’unité, racinesncomplexes Fiche 49 Factorisation des polynômes dans le corpsC Fiche 50 Fractions rationnelles et décomposition en éléments simples
vi
61 65 67 71 72 72 75 79 81 81 84 89
92 95 95 96 96 100 100
103 111 111 117 119 121 129 133
161 162 164 167 170 172 174 177 180 185
Fiche 51 Transformations du plan : translations, homothéties Fiche 52 Transformations du plan : rotations Fiche 53 Transformations du plan : similitudes FocusTransformations complexes, fractales, et représentations de la nature Matrices Fiche 54 Matrices de taille2×2 Fiche 55 Déterminant de matrices de taille2×2 Fiche 56 Matrices de taille3×3 Fiche 57 Déterminant de matrices de taille3×3 Fiche 58 Matrices de taillem×n Fiche 59 Opérations sur les matrices Fiche 60 Matrices remarquables Fiche 61 Introduction aux déterminants de matrices de taillen×n Fiche 62 Inversion des matrices carrées FocusL’origine des matrices FocusLes matrices et leurs applications Fiche 63 Systèmes linéaires Fiche 64 Vecteurs Fiche 65 Barycentres Fiche 66 Droites, plans Fiche 67 Produit scalaire FocusProduit scalaire, espaces fonctionnels et calcul numérique Fiche 68 Produit vectoriel Fiche 69 Aires et volumes FocusGéométrie euclidienne – ou non ? Encore des matrices ! Transformations linéaires du plan Fiche 70 Bases et transformations linéaires du plan Fiche 71 Changement de base en dimension 2, et déterminant d’une application linéaire Fiche 72 Conjugaison – Matrices semblables de taille2×2 Fiche 73 Opérateurs orthogonaux en dimension 2 Fiche 74 Rotations vectorielles du plan Transformations linéaires de l’espace 3 Fiche 75 Bases de l’espaceR 3 Fiche 76 Transformations linéaires de l’espaceR Fiche 77 Changement de base en dimension 3 Fiche 78 Conjugaison – Matrices semblables de taille3×3 3 Fiche 79 Opérateurs orthogonaux de l’espaceR 3 Fiche 80 Rotations vectorielles de l’espaceR n L’espaceR Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. Fiche 81 Vecteurs en dimensionn,n2
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196 198 200
204 206 206 208 210 213 216 218 220 224 226 230 232 234 238 242 246 249 253 254 256 258 260 260
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Table des matières
Fiche 82 Espace engendré par une famille de vecteurs – Sous-espaces n vectoriels deR n Fiche 83 Transformations linéaires de l’espaceR Fiche 84 Changement de base Fiche 85 Conjugaison – Matrices semblables de taillen×n Fiche 86 Réduction des matrices carrées FocusGroupe spécial orthogonal et cristallographie FocusDiagonalisation – La toupie de Lagrange (et de Michèle Audin) Espaces vectoriels Fiche 87 Les espaces vectoriels Fiche 88 Sous-espaces vectoriels Fiche 89 Somme de sous-espaces vectoriels Fiche 90 Projecteurs, symétries Exercices Corrigés
Suites Fiche 91
Fiche 92 Focus Fiche 93 Fiche 94
Fiche 95 Fiche 96 Fiche 97 Fiche 98 Fiche 99 Fiche 100 Fiche 101 Fiche 102 Focus Intégrales Fiche 103 Fiche 104 Fiche 105 Fiche 106 Fiche 107 Fiche 108
viii
Partie 3 Analyse
Qu’est-ce qu’une suite ? L’espace des suites et opérations sur les suites Les différents types de suites Suites arithmético-géométriques et finance Étude d’une suite Majorants, minorants d’une suite réelle – Croissance et décroissance Techniques d’étude des suites réelles Convergence Convergence des suites monotones Opérations sur les limites de suites Convergence des suites homographiques réelles Suites extraites Suites de Cauchy Comparaison des suites réelles Suites et systèmes dynamiques – L’attracteur de Hénon
Qu’est-ce qu’une intégrale ? Intégrale d’une fonction en escaliers Intégrale d’une fonction continue par morceaux Calcul intégral Primitives de fractions rationnelles Calcul approché d’intégrales
288 291 295 297 299 303 305 306 306 310 312 313 315 323
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FocusIntégrale de Riemann vs intégrale de Lebesgue Exercices Corrigés AnnexesFormulaire de trigonométrie Dérivées usuelles Dérivées des fonctions réciproques usuelles Primitives usuelles Limites usuelles des fonctions puissances Rang d’une matrice Bibliographie Index
Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. ©
434 436 442 470 472 473 474 475 476 477 479
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Table des matières
Avant-propos
Cet ouvrage est destiné aux étudiants du cycle L1 des filières universitaires scienti-fiques, ou des classes préparatoires. Il se base sur nos cours donnés en première année de Licence à l’UPMC (université Pierre et Marie Curie). Face aux demandes croissantes de nos étudiants, qui recherchaient un ouvrage de réfé-rence complet mais abordable, ainsi que des exercices d’application corrigés, nous nous sommes lancés dans la conception de ce livre qui, nous l’espérons, sera un outil utile pour les générations d’étudiants à venir. Cet ouvrage est donc le fruit d’un compromis : dans ce volume condensé, nous avons essayé de donner susamment d’éléments recouvrant l’ensemble des mathématiques de première année. Cet ouvrage correspond aussi à l’arrivée des nouveaux programmes universitaires et des classes préparatoires. Pour mieux assurer la jonction avec les ma-thématiques enseignées au lycée, nous avons opté, pour la première partie d’analyse, relative à l’étude des fonctions, à une présentation de type « Calculus », inspirée de l’esprit des « textbooks » anglo-saxons, qui permet d’aborder plus facilement le reste du programme, plus « classique », sur les suites et le calcul intégral. Pour l’algèbre, la présentation reprend celle de l’ouvrageCalcul Vectoriel(CollectionSciences Sup), en n allant un peu plus loin :R, réduction, espaces vectoriels.
Malgré tout le soin apporté à la rédaction, nous demandons l’indulgence du lecteur pour les éventuelles imperfections qui pourraient subsister ; qu’il n’hésite pas à nous les signaler.
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Claire David Claire.David@upmc.fr
Sami Mustapha sam@math.jussieu.fr