Maths en pratique

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L'ouvrage présente les méthodes de raisonnement et d'analyse mathématiques, les outils de calcul ainsi que de nombreux exemples de modélisation dans différents domaines (physique, biologie et économie). Les thèmes traités (algèbre et analyse) sont communément abordés en L1, L2 et L3 et IUT. Le cours donne la priorité à l'efficacité opératoire et les applications, sous la forme d'exercices résolus intégrés dans le cours, abordent des problèmes concrets. Des exercices d'entraînement sont par ailleurs proposés en fin de chapitre. Les corrigés sont disponibles sur le site web dunod.com.

Publié le : lundi 27 février 2006
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EAN13 : 9782100528349
Nombre de pages : 600
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Chapitre
10
Utilisation de la dérivée et de l'intégrale
1. Étude des variations d'une fonction La dérivéef(a)d’une fonctionfen un pointaest le taux de proportionnalité entre les infiniments petitsf(x)f(a)etxa, quandxtend versa: la dérivée enane fait intervenir que les valeursf(x)pourxvoisin dea. Nous allons voir que sifa une dérivée en tout point d’un intervalleI, les nombres f(b)f(a) f(x), quels quedonnent un contrôle sur tous les taux d’accroissement ba soientaetbdansI. Théorème des accroissements finis.Soitfune fonction dérivableyf(b)f(a) f(c) = sur un intervalleI. Pour tous nombresaetbdansI, il existe un nombre ba cstrictement compris entreaetbtel quef(b)f(a) = (ba)f(c). f(b)f(a) Démonstration.Posonsk=etϕ(x) =k(xa) +f(a). ba a c bx Les fonctionsfetϕsont continues, donc aussi leur différenceu(x) = La tangente enc f(x)ϕ(x). D’après les propriétés des fonctions continues sur un seg-est parallèle à la corde ment, il y a un nombrecentreaetbu(x)atteint son maximum (page283). On sait qu’en ce pointc, la tangente au graphe deuest horizontale, donc ′ ′ ′ ′ ′ u(c) =f(c)ϕ(c) = 0. Puisqueϕ(x) =k, il vientf(c) =k.
Une première conséquence du théorème, c’est qu’au moyen de la dérivée, on peut caractériser les fonctions constantes, les fonctions croissantes et les fonctions décrois-santes. Caractérisation des fonctions constantes.Sif(x) = 0pour toutxI, alorsfest constante. Caractérisation des fonctions monotones ′ ′ ®Sif(x)0pour toutxI, alorsfest croissante surI. Sif(x)>0sauf peut-être pour un nombre fini de valeurs dex, alorsfest strictement croissante surI. ®De même, sif(x)0pour toutxI,fest décroissante surI.
Chapitre10– UTILISATION DE LA DÉRIVÉE ET DE L’INTÉGRALE –297
Application aux primitives Soitfune fonction continue sur un intervalleIet soitx0I. ( x ®SiFest une primitive def, alorsF(x)F(x0) =f(t)dt. (x0 x ®Toute primitive defs’écritF(x) =f(t)dt+c, oùcest une constante. x0 ( x On sait que la fonctionU(x) =f(t)dtest une primitive deftelle queU(x0) = 0. Si x 0 ′ ′ ′ ′ Fest une autre primitive def, alorsU=f=F,UF= 0, donc la fonctionUF est constante. Comme cette fonction prend enx0la valeurU(x0)F(x0) =F(x0), on en déduitU(x) =F(x)F(x0)pour toutxI.
( Notation.On notera simplementf(t)dtune primitive def. On écrit alors par ( exemplesinx= cost dt: c’est une égalité de fonctions à constante près. Les primitives suivantes s’obtiennent par dérivation, en vérifiant simplement que dans chaque cas, la dérivée du second membre est égale à la fonction sous le signe intégrale.
Primitives usuelles ( α1α+1 t dt=x ,siα=1 α+ 1 ( at1ax e dt=e a ( 1 cos(at)dt= sin(ax) a ( dt = tanx 2 cost ( dt1x = Arc tan 2 2 a+at a (   dt2 2 = lnx+a+x 2 2 a+t ( dt 2 2= lnx+xa 2 2 ta
(
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dt1 = ln|ax+b| at+b a lnt dt=xlnxx
1 sin(at)dt=cos(ax) a dt1 =2 sinttanx dt1a+x = ln 2 2  at2a ax dt x = Arc sin 2 2a at
L'inégalité des accroissements finis Soitfune fonction dérivable sur un intervalleI. Appliquons le théorème des ac-croissements finis entre des nombresxetydeIet prenons les valeurs absolues : on     obtientf(x)f(y) =|xy|f(z), oùzest un certain nombre compris entrexety.
Proposition.Supposons qu’on a la majoration|f(t)|Mpour touttI. Alors pour   tous nombresxetydansI, on af(x)f(y)M|xy|.
Cette majoration très importante s’appellel’inégalité des accroissements finis. Si l’on connaît un majorant de la fonctiont→ |f(t)|sur un segment, l’inégalité
298– ÉTUDE DES VARIATIONS D’UNE FONCTION
des accroissements finis permet de calculer un encadrement pour les valeurs de la fonctionfsur ce segment.
Exemple.Le dispositif ci-dessous montre un disque mobile autour d’un axe horizontal enO. Le pointT, à la verticale deO, est relié à un ressortRpar un filAT. Au pointBsitué à l’horizontale deO, on laisse pendre une massem. La roue tourne   ′ ′ alors d’un angleθ, le ressort s’allonge deAA=xet le fil s’enroule le long de l’arcT T. x A A T A T θT rR R B C O O d Bθ
m
m
Notonsrle rayon de la roue etdla distanceOB. À l’équilibre, le point d’attache −−−−−−−→ ′ ′ du poids est enBet le vecteurOBfait l’angleθavec l’horizontale. −→ Le poidsPappliqué enBa pour valeurmget le ressort exerce enTune force −→ de rappelFhorizontale d’intensitékx, oùkest le coefficient de dureté du ressort. À l’équilibre, les moments dePetFont la même valeur numérique : −→ ®le moment deFestF×OT=kx×r −→ ′ ′ ®le moment dePestP×OC=P×OBcosθ=mg×dcosθ.   La distancexest égale à la longueur de l’arcT T, doncx=. La condition 2 d’équilibre s’écritkxr=kr θ=mgdcosθ, c’est-à-dire mgd (1)θ= cosθ 2 kr Puisqu’il existe évidemment une position d’équilibre, l’équation(1)a une solution mgd θe. On peut le démontrer en introduisant la fonction continueu(θcos) = θθ. 2 kr 2 La valeuru(0) =mgd/krest positive etu(π/2) =π/2<0: d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation(1)a au moins une solution entre0etπ/2. La fonctionθ→cosθétant strictement décroissante sur[0, π/2],uest strictement décroissante entre0etπ/2, donc la solutionθeest unique. mgd PosonsK=etf(θ) =Kcosθ. Puisquef(θe) =θe, la solutionθeest un point fixe 2 kr ′ ′   de la fonctionf. On af(θ) =Ksinθ,f(θ)Ket l’inégalité des accroissements finis pour la fonctionfentreθetθes’écrit :   (2)f(θ)f(θe)K|θθe|
Chapitre10– UTILISATION DE LA DÉRIVÉE ET DE L’INTÉGRALE –299
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