Mécanique générale et applications

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Ce livre s'adresse aux étudiants des universités techniques pour lesquels cette matière est fondamentale. Il a été conçu dans la manière classique en présentant son contenu en évolution du simple vers le complexe, en présentant d'abord la mécanique du point matériel suivie de la mécanique du solide rigide. L'étude utilise le calcul vectoriel pour établir les relations principales et commenter les lois, mais également le calcul analytique, mieux adapté aux applications. Tous les chapitres et les paragraphes importants se finalisent par des exercices liés au contenu respectif et entièrement résolus.
Publié le : jeudi 1 septembre 2005
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EAN13 : 9782296409804
Nombre de pages : 283
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MECANIQUE GENERALE et APPLICATIONS

http://www.librairieharmattan.com harmattan 1@wanadoo.fr

ISBN: 2-7475-9036-4 EAN : 9782747590365

DOINA DRAGULESCU

MECANIQUE GENERALE et APPLICATIONS

L'Harmattan 5-7, rue de l'École-Polytechnique ~75005 Paris FRANCE
L'Hannattan Hongrie

Konyvesbolt Kossuth L. u. 14-16

Espace L'Harmattan Kinshasa Fac..des Sc Sociales, Pol et Adm. , BP243, KIN XI Université de Kinshasa

L'Harmattan Italia Via Degli Artisti, 15 10124 Torino ITALlE

L'Harmattan Burkina Faso 1200 logements villa 96 12B2260 Ouagadougou 12

1053 Budapest

- RDC

OUVRAGES DU MEME AUTEUR

Titre du livre

Auteurs

Maison d'édition

1. 2.

3.

Récueil de problèmes de statistique en soudure Récueil de problèmes de mécanique. Statique et cinématique Problèmes de mécanique. Dynamique Techniques de soudage des matériaux composites métalliques Planification des mouvements des robots industriels Problèmes de mécanique. Statique Dynamique des robots

D. Dragulescu D.Dehelean A.Hegedus D.Dragulescu A.Hegedus D.Dragulescu D.Dragulescu M.Popescu D.Dragulescu M.Toth- Ta~cau F.Moldovan A.Hegedus D.Dragulescu D.Dragulescu

Ed.ODPT -MICM, 1973, Bucure~ti, MT 62, 88 p. Ed.Facla, 1989, Timi~oara, ISBN 973-36-0029-9, 226 p. Ed. Helicon, 1993, Timi~oara, ISBN 973-913348-7, 302 p. Ed.DID.ICM, 1994, Bucure~ti, SID 117, 229 p. Ed. Helicon, 1995, Timi~oara, ISBN 973-9159-85-0, 150 p. Ed. de Vest, 1995, Timi~oara, ISBN 973-360240-X, 133/266 p. Ed. Didactique et Pédagogique, 1997, Bucarest, ISBN 973-305870-X, 270p. Ed. Horizons Universitaires, 1999, Timi~oara, ISBN 9739400-48-5, 171 p. Ed. Horizons Universitaires Timi~oara, 2002, ISBN 9738391-27-X,228p. Ed. Horizons Universitaires, 2003, Timi~oara, ISBN 973638-006-8, 354 p. Ed. Technique, 2003, Bucarest, ISBN 973-31-2133-9, 205 p. Ed. Horizons Universitaires, 2003, Timi~oara, ISBN 973638-019-X, 160 p.

4.

5.

6.

7.

8.

Matériaux composites. Présent et perspectives

D.Dragulescu M.Popescu M.Toth-Ta~cau D.Dragulescu D.Dragulescu M.Toth- Ta~cau D.Dragulescu Dan Iosif M.Toth-Ta~cau Dan Stanciu D.Dragulescu

9.

Planification et génération des mouvements des robots 10. Mécanique

11. Planification des mouvements des robots par la vision artificielle 12. Mandibule humaine. Etudes imaginistes et bioméca~iques

Table de matières

TABLE DE MATIERES Page Il

INTRODUCTION PREMIERE CHAPITRE 1.1. 1.2. PARTIE

- STATIQUE
15 20 20 26

1. STATIQUE DU POINT MATERIEL

Réduction d'un système des forces concourantes Equilibre du point matériel 1.2.1. Equilibre du point sur une surface 1.2.2. Equilibre du point sur une courbe CHAPITRE 2. STATIQUE DU SOLIDE RIGIDE

2.1. 2.2.

2.3. 2.4.

2.5.

Propriétés des forces agissant sur un solide rigide Moment d'uneforce 2.2.1. Moment par rapport à un point 2.2.2. Moment par rapport à un axe Couples de forces Réduction d'un système de forces 2.4.1. Réduction d'une force par rapport à un point 2.4.2. Réduction d'un système de forces quelconques par rapport à un point 2.4.3. Invariants du torseur de réduction 2.4.4. Torseur minimal. Axe central 2.4.5. Cas de réduction d'un système de forces quelconques 2.4.6. Réduction des systèmes particuliers de forces 2.4.6.1. Réduction des systèmes de forces coplanaires 2.4.6.2. Réduction des systèmes de forces parallèles 2.4.6.3. Propriétés du centre des forces parallèles Equilibre des solides rigides 2.5.1. Equilibre du solide rigide libre 2.5.2. Equilibre du solide rigide soumis aux liaisons

31 32 32 34 35 39 39 41 43 45 46 48 48 49 51 55 55 56

7

Table de matières

2.6.

2.5.3. Liaisons particulières du rigide 2.5.3.1. Contact avec une surface fixe (Appui) 2.5.3.2. Articulation 2.5.3.3. Cohésion (Encastrement rigide) 2.5.3.4. Liaison par fil Equilibre des systèmes de solides rigides DEUXIEME PARTIE

58 58 64 70 71 75

- CINEMATIQUE

CHAPITRE 3. CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL
3.1. 3.2. 3.3. 3.4. Notionsfondamentales de la cinématique du point Etude du mouvement du point en coordonnées cartésiennes Etude du mouvement du point en coordonnées intrinsèques Etude du mouvement du point en coordonnées polaires 83 89 91 95

CHAPITRE 4. CINÈMATIQUE DU SOLIDE RIGIDE
4.1. Mouvement général du rigide 4.1.1. Loi de mouvement 4.1.2. Distribution des vitesses 4.1.3. Distribution des accélérations Mouvement de translation 4.2.1. Loi de mouvement 4.2.2. Distribution des vitesses 4.2.3. Distribution des accélérations Mouvement de rotation à l'axe fIXe 4.3.1. Loi de mouvement 4.3.2. Distribution des vitesses 4.3.3. Distribution des accélérations Mouvement plan (plan sur plan) 4.4.1. Loi de mouvement 4.4.2. Distribution des vitesses 4.4.2.1. Expressions de la vitesse 4.4.2.2. Centre instantané de rotation 4.4.2.3. Propriétés des centroïdes 4.4.2.4. Propriétés de la distribution des vitesses 4.4.3. Distribution des accélérations 99 99 102 107 111 111 113 114 116 116 118 121 125 125 127 127 128 131 133 134

4.2.

4.3.

4.4.

8

Table de matières

4.5.

4.6.

4.4.3.1. Expression de l'accélération 4.4.3.2. Pôle des accélérations 4.4.3.3. Propriétés de la distribution des accélérations Mouvement au point fIXe 4.5.1. Etude vectoriel 4.5.2. Etude scalaire (analytique) 4.5.2.1. Loi de mouvement 4.5.2.2. Distribution des vitesses 4.5.2.3. Distribution des accélérations Cinématique du mouvement composé 4.6.1. Mouvement composé du point 4.6.2. Mouvement composé du rigide TROISIEME CHAPITRE PARTIE

134 135 137 140 140 143 143 146 148 150 150 158

-DYNAMIQUE
163 163 165 166 167 168 168 169 172 174 174 178 178 184 192 196 196

5. DYNAMIQUE DU POINT MATERIEL

5.1.

5.2.

5.3.

Notions fondamentales de la dynamique du point 5.1.1. Travail d'une force 5.1.2. Puissance mécanique 5.1.3. Quantité de mouvement et moment cinétique 5.1.4.Énergie cinétique et énergie potentielle Théorèmes généraux de la dynamique du point 5.2.1. Théorème de la quantité de mouvement 5.2.2. Théorème du moment cinétique 5.2.3. Théorème de la variation de l'énergie cinétique Etude de la dynamique du point matériel conformément à la loi de Newton 5.3.1. Généralités sur la dynamique du point matériel libre 5.3.2. Mouvements particuliers du point libre 5.3.2.1. Mouvement du point lourd dans le vide 5.3.2.2. Mouvement du point sous l'action d'une force centrale 5.3.3. Généralités sur la dynamique du point matériel lié 5.3.4. Mouvements particuliers du point lié 5.3.4.1. Pendule simple (mathématique) CHAPITRE 6. DYNAMIQUE DU SOLIDE RIGIDE

6.1.

Grandeurs fondamentales de la dynamique du rigide 6.1.1. Travail d'un système de forces quelconques

201 201

9

Table de matières

6.2.

6.1.2. Quantité de mouvement 6.1.3. Moment cinétique 6.1.4 Energie cinétique Etude dynamique des mouvements particuliers du rigid,e 6.2.1. Dynamique du rigide en mouvement de translation 6.2.2. Dynamique du rigide à l'axe fixe 6.2.3. Dynamique du rigide en mouvement plan 6.2.4. Dynamique du rigide au point fixe

206 209 212 216 216 219 225 229

CHAPITRE 7. NOTIONS DE MECANIQUE
ANAL YTIQUE

7.1. 7.2. 7.3.

Liaisons Déplacements Principes de la Mécanique Analytique 7.3.1. Principe d 'Alembert 7.3.2 Principe du travail virtuel 7.3.3. Equations de Lagrange ANNEXE. DISTRIBUTION DES MASSES

233 234 236 236 243 249

A.l.

A.2.

Centre des masses (de gravité) A.I.I. Centre de gravité d'un système de points matériels A.I.2. Centre de gravité du corps continu A.I.3. Centre de gravité d'un corps de forme complexe Moments d'inertie A.2.I.Définitions A.2.2. Variation des moments d'inertie par rapport aux axes parallèles A.2.3. Variation des moments d'inertie par rapport aux axes concourants A.2.4. Directions principales d'inertie A.2.5. L'ellipsoïde d'inertie

257 257 258 261 269 269 272 274 275 279

10

Introduction

INTRODUCTION

Notions fondamentales Carnot disait que la Mécanique est la science de la communication du mouvement. La fonne mécanique du mouvement signifie le déplacement des corps l'un par rapport à l'autre. Comme une science indépendante la Mécanique se divise habituellement en trois parties: . la statique, qui étudie l'équilibre des forces et des systèmes de corps; . la cinématique, qui étudie les mouvements des corps la dynamique, qui étudie les mouvements des corps sous l'action des systèmes de forces. Ce qui distingue principalement la Mécanique des autres sciences physiques c'est la méthode d'investigation. La Mécanique présente un caractère mathématique, en substituant conventionnellement aux corps naturels des corps fictifs. Les conclusions sont obtenues au moyen de calculs théoriques et sont ensuite vérifiées par des expériences. C'est surtout dans les applications industrielles que doivent être, maniées avec précaution 1es théories générales del a Mécanique. Les question qui se posent présentent une telle complication qu'on est conduit à négliger tout ce qui paraît réellement négligeable. Après avoir obtenu la solution d'un problème ainsi modifié, il est nécessaire de soumettre les fonnules trouvées au contrôle de l'expérience. En se basant sur des hypothèses théoriques générales la Mécanique construit les modèles. Ces modèles sont: a) le point matériel (PM) qui est défini par sa position géométrique (le point géométrique) et sa masse; b) la courbe matérielle qui a une position donnée par sa courbe géométrique correspondante et une masse distribuée; la courbe matérielle rigoureusement flexible s' appelle fil et celle qui est rigide, s'appelle barre; c) la surface matérielle qui est définie par la surface géométrique dont la masse est distribuée; la surface matérielle rigoureusement rigide s'appelle plaque et celle qui est flexible s'appelle membrane; d) le solide rigide (SR) qui est un corps parfaitement indéformable avec une masse distribuée. Il est défini géométriquement par les positions des trois points non colinéaires.

.

indépendamment des causes qui provoquent ce mouvement;

Il

Introduction

La Mécanique utilise es notions fondamentales qui sont: la masse, la force, le temps, l'espace, le repère, les coordonnées d'un point, etc. Dans la suite on considérera ces notions connues. En ce qui concerne le temps, l'expérience montre q ue d ans l'analyse des mouvements des corps se mouvant à une faible vitesse, très inférieure à celle de la lumière (3.108 mis), on peut considérer que le temps ne dépend pas des propriétés des corps et de leur mouvement. On peut admettre, dans ces conditions, que l'écoulement du temps est le même pour des processus et des phénomènes différents, indépendamment de la nature du phénomène et des propriétés des corps participants à ce phénomène. Des études spéciaux montrent que la durée d'un même processus rapporté à différents repères mobiles, l'un par rapport à l'autre, dépend du mouvement relatif de ces systèmes. Par suite, pour des mouvements des corps à des vitesses quelconque il ne peut y avoir un temps unique pour des systèmes de référence différents. Mais, pratiquement cette différence est insignifiante pour des mouvements ayant les vitesses ordinaires suffisamment petites par rapport à celle de la lumière. Axiomes et lois fondamentales Le développement de la mécanique est indissolublement lié à l'histoire de la culture de la société humaine. Les grandes constructions antiques permettent de supposer que les peuples anciens possédaient des notions, déterminées sur les lois fondamentales de l'équilibre. Le philosophe grec Aristote dans sa Physique a résumé les connaissances des anciens en mécanique. Toutefois la loi fondamentale reliant la force au mouvement y fut formulée de façon erronée, ce qui ne fut constaté que dix-neuf siècles plus tard. La loi de l'équilibre du levier et les lois de l'équilibre des corps flottants furent énoncés de façon précise par Archimède. C'est à partir de cette époque que commence le développement de la mécanique comme science dans son sens le plus complet. Les savants du Moyen Age ont acquis de nouvelles connaissances sur l'équilibre des corps et leurs propriétés, mais ils continuèrent à s'en tenir à la fausse conception d'Aristote sur la loi fondamentale du mouvement des corps. C'est seulement au XVII - siècle que Galileo Galilei a correctement formulé la loi fondamentale du mouvement des corps. C'est sur la base de cette loi et I es découvertes d es savants de son époque q ue I saac Newton a établi, quelques décennies p lus tard, les lois fondamentales de la mécanique en les formulant avec une telle netteté et concision qu'elles sont utilisées jusqu'aujourd'hui. On peut réduire à trois les principes fondamentaux formulés par Newton:

12

Introduction

- Première loi ou le Principe de l'inertie: Tout corps persiste dans l'état de repos on d e mouvement uniforme, e n I igne droite dans Iequel il s e trouve, à moins que quelque force n'agisse sur lui et ne le contraigne à changer d'état. - Seconde loi ou le Principe fondamental: Le produit de la masse d'un corps par son accélération est proportionnel à la grandeur de la force agissant sur le corps considéré, les directions et les sens de la force et de l'accélération coïncidant. - Troisième loi ou le Principe d'égalité de l'action à la réaction: À l'action est toujours opposée une réaction égale; autrement dit, les interactions mutuelles de deux corps sont égales entre elles et dirigées dans des sens opposés. A côté de ces lois, Newton avait introduit de nombreux corollaires. Par exemple: le Corollaire du parallélogramme: la somme de deux vecteurs est égale à la diagonale du parallélogramme dont les côté sont les vecteurs sommés. Pour plusieurs vecteurs ce corollaire est développé obtenant la règle du Polygone de vecteurs. Les lois de la Mécanique établies par Newton prennent en considération seulement I es corps libres, comprenant qu'un corps est libre lorsque rien ne s'oppose au déplacement qu'il tend à prendre sous l'action des forces qui lui sont directement appliquées. On dit qu'il est assujetti à certaines liaisons lorsque, quelles que soient les forces appliquées, il ne peut se déplacer que d'une certaine manière. Quand les corps sont en contact l'un à l'autre, on appelle ces corps liés ou soumis à des liaisons. Un axiome généralement admis en Mécanique est l'axiome des liaisons: on est toujours en droit de remplacer une liaison par une force ayant un effet mécanique identique sur le corps, que la liaison elle-même. Cette force s'appelle force de liaison ou réaction. Donc, quand on parle de forces actionnant sur les corps, il faudrait comprendre un ensemble des forces extérieures (ou donnés) et de liaison. En ce qui concerne les réactions, elles se divisent en deux catégories: - intérieures, qui proviennent des actions mutuelles des points ou des corps d'un système; pour un système donné les forces de liaisons intérieures sont, deux à deux, égales et directement opposées et leur ensemble est, par conséquent, équivalent à zéro; - extérieures, provenant des actions de points ou des corps qui ne font pas partie du système. Des é tudes postérieures à celles deN ewton ont permis à donner une forme plus générale aux lois fondamentales de la Mécanique et de perfectionner les méthodes d'analyse des phénomènes mécaniques compliqués. Les résultats remarquables de ces études appartiennent à: L. Euler, D. Bernoulli, J. d'Alembert, J. Lagrange, etc.

13

Introduction

Une nouvelle étape dans le développement de la Mécanique débute avec les travaux fondamentaux de A. Einstein et de ses prédécesseurs. Ces travaux ont permis de procéder à d'importantes généralisations des lois de la mécanique englobant les lois du mouvement des corps à des vitesses inférieures à celle de la lumière. On peut considérer aujourd'hui la Mécanique de Newton comme une partie de la Mécanique d'Einstein. Les lois du mouvement et de l'interaction des particules composant les atomes et les molécules différent en principe des lois de la Mécanique classique. Elles constituent le contenu de la Mécanique quantique (ou ondulatoire). Il faut noter que la Mécanique quantique comme la Mécanique d'Einstein, englobe aussi la Mécanique classique de Newton dans certaines conditions bien déterminées auxquelles obéissent les phénomènes étudiés.

14

Partie I Statique

-

PREMIERE PARTIE STATIQUE CHAPITRE 1. STATIQUE DU POINT MATERIEL
En étudiant les systèmes des forces concourantes ainsi que l'équilibre des points matériels soumis à l'action de telles forces, la statique du point matériel s'occupe de deux types de problèmes: a) la détermination du plus simple système de forces équivalent à un système donné; ce problème se résout par la réduction du système des forces concourantes; b) l'établissement de la condition d'équilibre d'un système de forces concourantes.

1.1. Réduction d'un système des/orees coneourantes

Un système de force agissant sur un point s'appelle système des foree eoneourantes. On peut remplacer le système par une seule force qui est la résultante des forces composantes. La grandeur et la direction de la résultante se déterminent suivant la règle d'addition des vecteurs. Pour un système de deux forces, la résultante:

R=Ft + F2
S'obtient par la règle du parallélogramme (figure 1.1).

(1.1)

o

F2 Fig.l.l Composition de deuxforees eoneourantes
15

Partie I - Statique

Le module de la résultante est:
R

= ~ FJ2 + Fl

+ 2FJF2 cos a

(1.2)

La composition de plusieurs forces s'opère en transportant celles-ci successivement les unes à la suite des autres, de telle façon que l'extrémité de chaque vecteur soit l'origine du suivant. Le vecteur joignant l'origine du premier vecteur à l'extrémité du dernier représente la résultante des forces données. C'est la règle dupolygone desforees (figurel.2).

fi;

Al
..................

R

-

............ ............ ............ ............

......-...

A2

,,

,,

,,

,

',A3
/

~

i
I I I I I I I I ~ An

Fig. 1.2 Composition

d'un système deforees

eoneourantes

Si fi;,

.fi;
+ F2 +

Fn sont les forces du système, la résultante sera:
... + Fn =

R = fi;

L
;=1

n

F;

(1.3)

Deux systèmes de forces concourantes ayant la même résultante, sont équivalents. En particulier, un système de forces concourantes caractérisé par la résultante nulle est en équilibre.
16

Partie I Statique

-

La réduction d'un système quelconque des forces concourantes est résolue par l'application de la relation (1.3). Pour un système en équilibre:

R=O

(1.4)

Si on projette sur un repère cartésien chaque force~ (figure 1.3), on peut écrire:
Fi = Fx/ + Fy;] + FzJ;

(1.5) z

z
Fzi
Fzi

Fz1

Fyi

y
r."Xl

Fxi
_F-K~

~--~---~---r---~ l
" ,
l l

,,

... ... ...

, ...
~,,"

Fyi
... -,!.

~

I,,"

y

------

~

""

"

x
Fig. 1.3 Projection desforces

x
sur un repère cartésien

Conformément au théorème des projections (chaque projection de la résultante est la somme algébrique des projections des composantes), la résultante du système de forces devient: R=FI +F2 +...+Fn = tFXi T+ tFYi J+ tFz1 f ( 1=1 ) ( 1=1 ) ( 1=1 )
(1.6)

17

Partie I - Statique

Donc, les projections de la résultante sont:
n n n

Rx = LF'.ti' Ry = LFyi, Rz = LFz;
i=1 i=1 ;=1

(1.7)

permettant d'exprimer le module et les angles entre la résultante et les axes du repère: R=~R2+R2+R2 y x
Rx
z

(1.8)
Ry

cosa =-

R'

cos f3 =-

R'

cos y =-Rz

R

(1.9)

De la même façon, la condition d'équilibre des forces appliquées à un point qui s'exprime par l'équation vectorielle (1.4), se formule-t-elle ainsi: la somme algébrique des projections de toutes les forces sur chacun des trois axes rectangulaires doit être nulle: Rx Ry

= L F Xl . = 0
i=l
n i=l n

n

= L FYl. = 0
i=l

(1.10)

Rz = L FZl. = 0
Ces équations représentent les conditions d'équilibre d'un système de forces agissant sur un point. Géométriquement, dans le cas d'équilibre des forces concourantes, les vecteurs représentant ces forces forment un polygone fermé.

Exercice E.l.l Pendant le travail au tour d'une pièce (figure E .1.1), s ur le bout duc outeau agissent:

. .
.

une force horizontale Ëi ayant la direction de l'axe de la pièce; une force horizontale P2' perpendiculaire sur l'axe de la pièce;
une force verticale F3.

Déterminer la résultante et les angle entre cette force et les axes du repère.
18

Partie I

- Statique

Valeurs numériques:

Fi = 450N,F2 = 630N;F3 = 1800N.
Solution

Les

expressions

analytiques

des

forces

sont:

Fi

=Fxl T= Fi7,

F2 = Fy2J = F2J et F3 = Fz3k = F3k

.

Il en résultent:

.

les projections de la résultante:

Rx

=i=1Fxi = FxI = FI, Ry = ;=1FYi = FY2 = F2 , Rz = i=1Fzi = Fz3 = F3 , L L L
sonmoduleR=~R/ +R/ +R/ =~Fi2 +Fi +F32et

333

.

x

F2 Fig.E.!.!

.

les angles avec les axes du repère:
Fi

Rx cosa=-=-

R

R

cos{J=-=R

Ry

F2

R

cos r = ----!- = .--l.

R R

F R

En numérique: R = 1960N,

a = 23°, {J = 71°7' , r = 76° 41' .

19

Partie I - Statique

1.2. Equilibre

du point matériel

Un point se trouve en équilibre lorsqu'il demeure en repose sous l'action des forces. Il faut et il suffit pour cela que la résultante de ces forces soit nulle, ce qui conduit aux équations (1.4) ou (1.10). Dans l'étude de la statique d'un point matériel on doit préciser la notion de degré de liberté. Pour indiquer la position d'un point libre dans l'espace 3D ils sont nécessaires et suffisantes les 3 projections du point sur un repère cartésien. Donc, le point libre a 3 degrés de liberté. Si le point est lié, le nombre des degrés de liberté se diminue. Le point lié sur une courbe a 1 degré de liberté et le point lié sur une surface a 2 degrés de liberté. Si le point matériel est libre, dans les équations (1.4) et (1.10) interviennent seulement les forces extérieures (directement appliquées) et la condition vectorielle d'équilibre sera: Rext = 0 (1.11)

Lorsqu'un point est assujetti à demeurer sur une surface on sur une courbe, sa condition d'équilibre se réalise sous l'action des forces extérieures et de liaison qui appariassent conformément à l'axiome des liaisons (chaque liaison peut être supprimée et remplacée par une/plusieurs forces produisant sur le point le même effet mécanique que la liaison elle-même) En considérant Rila résultante du système des forces del iaison, 1a condition d'équilibre s'écrit:
Rext

- + RI = 0 -

(1.12)

c'est-à-dire: pour qu'un point soumis à une liaison soit en équilibre il faut et il suffit que la résultante Rext des forces directement appliquées à ce point soit égale et opposée à la résultante RI des forces de liaison. On dit que le système des forces extérieures et de liaison est en équilibre.

1.2.1. Equilibre du point sur une surface Un point, ou une petite sphère qui représente son modèle, peut se reposer simplement s ur la surface 0 u peut être maintenu entre deux surfaces parallèles dont l'écartement est égal au diamètre de la sphère. Dans le premier cas, le point ne peut traverser la surface, mais rien ne l'empêche de s'en écarter: on dit alors que la liaison est unilatérale. Dans le second cas, le point 20

Partie I Statique

-

ne peut prendre aucun déplacement ayant un composant normal à la surface, soit dans un sens, soit dans l'autre, et la liaison est dite alors bilatérale. On suppose que la liaison est bilatérale et que le point est soumis à l'action d'un système de forces extérieures réduit à une résultante
Rext

(figure 1.4).

il

Fig.l.4 Equilibre du point sur une surface

On construit, dans ce point sur la surface, la direction normale et le plan tangent. La direction normale avec la direction de la résultante Rex, formentun autre plan qui sectionne le plan tangent d'après la droite (L1). On peut
considérer donc, la résultante RexIcomme la somme vectorielle de deux forces:
RexI = Rn + Rt

(1.13)

La force Rn tend à tirer le point pour pénétrer la surface. Cette action est impossible par l'hypothèse: le point doit rester sur la surface. Donc, la surface répond à l'action de la force Rn' par un autre force il , assurant l'équilibre du point:

Rn + il = 0

(1.14)

La force il s'appelle réaction normale. Pour étudier l'effet de la forceRt qui tend à tirer le point au long de la droite (L1), il faut considérer la nature de la surface. Si la surface est parfaitement polie (idéale), elle ne peut pas empêcher le déplacement du point sur la droite (L1). onc, en ce cas, pour l'équilibre il est nécessaire que: D
21

Partie I - Statique

Rt =0

(1.15)

Par suite, la condition d'équilibre (1.14) devient:

R+N=O

(1.16)

Donc, pour qu'un point soumis à l'action d'une force extérieure Rext soit en équilibre sur une surface idéale, il faut et il suffit que la force soit normale à la surface. Une seule force doit être introduite en appliquant l'axiome des liaisons: la réaction normale N . Elle a la direction de la normale principale au plan tangent commun, le sens vers l'extérieur de la surface en cas de la liaison unilatérale, mais indifférent en cas de la liaison bilatérale, ainsi que le module inconnu. Si la surface est rugueuse (réelle), à l'action de la force Rt elle répond par une force de frottement Fr' ayant le module limité supérieurement et dépendant uniquement de la nature des corps en contact et de l'état de leurs surfaces. La condition d'équilibre se présente sous la forme: Rt + Fr = 0 en mentionnant que:
o :::;Fr :::; Fr rnax

(1.17)

(1.18)

L'expression de la force de frottement maximale recherches expérimentales:
Frrnax = Ilo

a été établie par des

.N

(1.19)

où JLo s'appelle coefficient de frottement au glissement en équilibre, ou simplement coefficient de frottement. n est indépendant des forces extérieures, au moins tant que celles-ci ne sont pas assez grandes pour modifier l'état des surfaces en contact. Ilo dépend uniquement de la nature des corps en contact et de l'état de leurs surfaces. En cas de la statique, le coefficient de frottement est considéré constant, mais en mouvement il est variable en fonction de la vitesse. Donc, en considérant l'axiome des liaisons au point soumis à une liaison sur une surface réelle, il en résultent deux forces: une réaction normale 22

Partie I Statique

-

identique à celle qui existe en cas idéal et une force de frottement Fr dont la direction se trouve dans le plan tangent à la surface, le sens contraire à la tendance du mouvement du point et le module, à la limite de l'équilibre, donné par la relation (1.19). Si on considère l'angle ffJentre la nonnale au plan et la direction de la force RI pour toutes les situations satisfaisant la condition (1.18) on observe que: F tgrp = 2N
(1.20)

il

. . I I

Fig.l.5 L'angle de frottement à la limite ile l'équilibre du point sur la surface

A la limite de l'équilibre (figurel.5), cet angle est maximal parce que la force de frottement est maximale:
tgtpo Fr = - max = Po

N

(1.21)

Donc, le coefficient de frottementjlo est égal à la tangente de l'angle pour lequel commence le glissement du point sur la surface.

23

Partie I - Statique

L'angle Ç/Jo'défini par Ç/Jo arctgpo s'appelle =

l'angle
Rext

de frottement.

Le

lieu géométrique des positions de la direction des forces

et RI, à la limite

de l'équilibre, est un cône nommé cône defrottement. Donc, pour qu'un point soumis à l'action d'une force extérieureRext soit en équilibre sur une surface réelle, il faut et il suffit que la force de liaison

RI soit dans l'intérieur du cône defrottement, ou la direction des forces

Rext

et

RI fait avec la normale de la surface un angle égale ou inférieur à l'angle de frottement (rp ~ rpo). L'étude analytique de l'équilibre d'un point sur une surface présume d'écrire l'équation de la surface dans le repère cartésien:

f(x,y,z)

=0

(1.22)

ainsi que l'expression de la résultante Rext , dans un repère:
Rext = RxT + RyJ + Rzk (1.23)

Parce que la réaction normale a la direction de la normale à la surface ayant l'équation (1.22), on peut écrire:

afN=Â.Vj=Â.(-i af- +-j+-k)afax By az

(1.24)

où ILest un paramètre scalaire non nul. En projetant l'équation (1.16) sur le repère considéré, s'obtiennent les équations scalaires d'équilibre d'un point sur une surface idéale: Rx + Â al =0

ax

al R y +IL-=O
By

Rz + Â

a.r

az =

0

(1.25)

En considérant le inconnues du problème: point sur la surface ainsi tel problème. Pour un point condition qJ~ Ç/Jo'utilise s

système (1.25) et l'équation (1.22) on peut calculer les les coordonnées (x ,y ,z) de la position d'équilibre du que le paramètrelL. En général, on peut solutionner un situé en équilibre sous la forme: sur une surface réelle, la

24

Partie I - Statique

cos (jJ ~ cos (jJ0

(1.26)

Parce que l'angle (jJse trouve également entre la direction de la résultante et celle de la réaction normale
cos rp =

RexI

N on peut écrire:
(1.27)

R.N
IRIINI

En appelant à la relation (1.21) on trouve l'expression du cosinus de l'angle de frottement à la limite de l'équilibre:
cos(jJo

= ~ 1+ Jl~
V

1

(1.28)

Par suite, la condition d'équilibre d'un point sur une surface réelle s'écrit:

R aj +R al +R al x8x Yay z8z
~R; +R~ +R;.

> -

1
~l+Jl~

(1.29)

(:r +(:r +(:r

REMARQUE: Un cas particulier de l'équilibre du point sur une surface idéale est celui du point lié par un fil inextensible à un point fixe (figure 1.6).
.......
.... .... ....

"

,

...

M

Fig.l.6 Point lié par un fil

25

Partie 1 - Statique

Cette liaison peut être assimilée. à la liaison du point sur la surface intérieure d'une sphère parfaitement polie, dont le rayon est égal à la longueur du fil. La force de liaison T, s'appelant tension du fil, est similaire à une réaction normale. Elle aura la direction de la normale à la surface sphérique (du fil) et le sens vers l'intérieur de la sphère (le point fixe).

1.2.2. Eauilibre du point sur une courbe On considère un point matériel sur une courbe (C), soumis à l'action
d'un système de forces extérieures ayant la résultante Rex, . On construit dans ce

point sur la courbe le plan normal (Pn) et la tangente unique (t) (figure 1.7). La tangente à la courbe et la droite support de la résultante, forment un autre plan qui sectionne le plan normal, d'après la droite (LI'). La résultante Rex, peut être exprimée par la relation (1.13) et toutes les considérations faites en cadre de la liaison du point sur la surface restent valables, tant dans le cas de la courbe idéale que pour la courbe réelle. Elles sont exprimées par les relations de (1.14) à (1.19).

RI

, (~ '): , ,, ' il

Fr
,

Fig.l.7

Equilibre du point sur une courbe

Le seul problème est crée par le fait que la direction de la normale n'est pas unique, mais elle se trouve quelque part dans le plan normal. Dans ce cas, il n'est pas possible de définir le cône de frottement autour d'une direction qui
26

n'est uniquement déterminée. Par contre, la tangente est unique dans un point de la courbe et pour cela, à la limite de l'équilibre on marque l'angle:
ao

= --f/Jo 2

1l

(1.30)

avec lequel, la condition d'équilibre (1.22) devient a ~ ao ou casa:S; sinf/Jo. Le nouveau cône de frottement aura la génératrice inclinée à l'angle ao par rapport à la tangente (figure 1.8).

Donc, pour qu'un point soumis à l'action d'une force extérieure

RexI

soit en équilibre sur une courbe réelle, il faut et il suffit que la droite support

des forces Rext et Rf soit dans l'extérieur du cône defrottement. On note qu'en cas de l'équilibre du point sur une courbe, l'application de l'axiome des liaisons conduit aux forces de liaison identiques avec ceux de la liaison sur une surface.

,. ,. ",""(t)

,.

Fig.l.8 L'angle de frottement à la limite de l'équilibre du point sur la courbe

C'est-à-dire: . la réaction normale Fr pour la liaison sur une courbe idéale, . la réaction R, = Fr + Fr pour la liaison sur une courbe réelle. 27

Partie I - Statique

L'étude analytique de l'équilibre d'un point sur une courbe présume à écrire l'équation de la courbe dans un repère quelconque:

h(X,Y,Z) = 0 { f2(X,y,Z) = 0

(1.31)

et l'expression (1.23) de la résultante Rext des forces extérieures. Les équations scalaires de l'équilibre du point sur une courbe idéale seront: R :c+Â I 8h+Â 2 8/2=0 ax ax 8h 8/2 R y +Â +Â lay 2ay =0 R+~8h+Âa.r2=0 z '1 2 az az où /Lj;z=/L2 sont des paramètres scalaires non nuls. En considérant l'ensemble du système (1.32) et des équations (1.31) on peut calculer les inconnues du problème: les coordonnées (x, y, z) de la position d'équilibre du point sur la courbe et les paramètres /L]et /L2. Pour un point en équilibre sur une courbe réelle, la condition cos a :::; in rp conduit à l'inégalité: s 0 R x x'+R y y'+R z z' ~R; + R~ + R; . ~(X')2 + (y')2 + (Z')2 < Il ro

(1.32)

(1.33)

~1 + J.l~

où : x " y' et z' sont les projections sur les axes du repère choisi, du vecteur unitaire de la tangente à une courbe donnée par les équations paramétriques :
X = x(u)

= yeu) { z = z(u)
y

(1.34)

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