Méthode des éléments finis

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La méthode des éléments finis permet de calculer numériquement le comportement d'objets complexes. C’est un outil de simulation et de modélisation largement répandu dans l’industrie mécanique. Cet ouvrage a pour but de familiariser les ingénieurs et techniciens à cette méthode en abordant sa problématique par la pratique. 16 exemples traitant les aspects théoriques et pratiques de manière graduelle sont ainsi proposés. Ceux-ci sont accompagnés de rappels sur les théories des poutres, des plaques ou des coques permettant de mieux appréhender les fondements de la méthode. Les fichiers numériques des exemples sont disponibles en ligne.
Publié le : mercredi 24 mars 2010
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EAN13 : 9782100550654
Nombre de pages : 336
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4PRINCIPES DE LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS EN STATIQUE
4.1 Approximation nodale – fonctions de forme
Partant d’hypothèses de petits déplacements et petites déformations, la mécanique du solide a permis d’établir deux types de conditions régissant l’équilibre d’un corps : les équations d’équilibre des forces et la compatibilité des déplacements. Dans le cas des forces, le champ de contraintes, dit statiquement admissible, doit satisfaire aux relations (3.5) et (3.6) alors que le champ de déplacements, dit ciné-matiquement admissible doit permettre la compatibilité avec les déformations, c’est-à-dire vériIer (3.11). En d’autres termes, le champ de déplacement doit être dérivable au moins une fois. L’intégration de ces équations n’étant pas aisée, une des méthodes les plus utilisées pour les résoudre est la méthode dite deséléments inIs qui revient à remplacer le système continu par un système discret. Le solide est alors divisé en un certain nombre de sous-domaines appeléséléments, dont l’assemblage permet la recons-titution de la géométrie initiale. Chacun des éléments est relié à ces voisins par des nœudsdont les degrés de liberté (DDL) constituent les inconnues du problème.
Éléments
Nœuds
Figure 4.1– (a) Solide (Poutre enI) ; (b) Modèle éléments Inis.
Considérant un champ de déplacement cinématiquement admissible sur l’élément, © Dunod – La plhaotomcopéitehnoondauetorcisoéenesstisutnedélliet.plus souvent à approximer celui-ci au moyen d’une fonction
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A
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4 • Principes de la méthode des éléments înis en statique
4.1 Approximation nodale – fonctions de forme
polynomiale formée d’un nombre Ini de paramètres et à l’exprimer en fonction des déplacements nodaux (les déplacements associés aux degrés de liberté). On aura donc :
n X(x,y,z)=N(x,y,z)X i i i=1 =N x,y,zX+N x,y,zX+.....+N x,y,zX 1( )1 2( )2n( )n
(4.1)
où les : Xles inconnues en déplacement associées aux degrés de liberté désignent I considérés, Nx,y,zdésignent les fonctions de forme de l’élément permettant d’obtenir i  les déplacements de celui-ci en n’importe quel point de sa géométrie et ce tou-jours à partir des déplacements nodaux. À titre d’exemple, prenons un élément « barre » travaillant uniquement en traction ou en compression. Le matériau utilisé étant supposé linéaire, la déformation est de fait constante sur la hauteur de sa section. La fonction de déplacementu(x)est alors forcément linéaire. On a donc : du ε= =Cteu(x)=a+ax (4.2) xx0 1 dx Par ailleurs, on sait qu’en :
x=0u0=u ( )1 x=Lu L=u ( )2
d’où x xx u(x)=(1)u+ ⋅u=11 2L LL soit sous une autre forme (Igure 4.2) :
N1
1 u1
u(x)
L
xu1⎬ ⎨ u L2 ⎩ ⎭
N2
x 2 u 2
Figure 4.2– Fonctions de forme d’un élément barre.
La méthode de résolution s’inspire généralement de celle de Rayleigh – Ritz qui consiste via une minimisation de l’énergie potentielle, en une recherche des termes d’une fonction approximant le champ inconnu et satisfaisant aux conditions aux limites. On déInit l’énergie potentielleEétant la diFérence entre l’énergie de comme déformationWet le travailTdes forces de volume et de surface :
T T T v s E=WT={ε}{σ}dV{u}{f}dV{u}{f}dS(4.5) ∫ ∫ V V S  W T
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Le problème revient alors à rechercher un champ de déplacement minimisantEde manière à caractériser son équilibre. L’étude d’un barreau en traction permet de décrire simplement la démarche suivie.
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4.2 Résolution
Principes de la méthode des éléments înis en statique
2 x x u(x)=(1)u+ ⋅u=Nu+Nu=Nu=Nq (4.3) 1 2 1 1 2 2i i[ ]{e} L L i=1 En regroupant toutes les fonctions de forme de l’élément au sein de la matrice nodaux dans le vecteurq, le [N]et les déplacements{e}champ de déplacement s’exprime alors : uN { }=[ ]{qe} (4.4) avec{u}correspondant au vecteur des fonctions de déplacement applicables sur l’élément :u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z),b(x,y,z), etc. Le degré du polynôme x retenu pour l’élément est donc intimement lié aux nombres de nœuds et de degrés de liberté par nœud. Par exemple, un élément unidimensionnel à trois nœuds aura une fonction d’approximation parabolique. Généralement, les fonctions d’interpolation retenues sont linéaires, quadratiques et plus rarement cubiques ce qui ne se révèle pas toujours conforme aux théories visées telles que celles des poutres, des plaques ou des coques. En eFet, les ligne et surface élastique découlant de ces théories sont plutôt du troisième voire du quatrième degré. Une solution revient à discrétiser le modèle de telle manière à reconstituer le champ réel de déplacement à partir de fonctions de degré inférieur. La qualité et l’eîcacité d’une telle reconstitution dépendront donc d’une part du type d’élément choisi, en d’autres termes de ses capacités, et d’autre part de la den-sité du maillage. Dans le cas des éléments courants et toujours dans une hypothèse de linéarité, ce choix aura pour conséquence de ne pas garantir la continuité du champ de contrainte d’où la recherche d’une discrétisation adaptée permettant sa bonne reconstitution. De ce fait, la taille des éléments utilisés sera généralement petite.
4.2 Résolution
A
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