Méthodes et Exercices de Mathématiques MPSI

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Cet ouvrage d'exercices de mathématiques MPSI de Jean-Marie Monier répond à une forte attente des étudiants de prépas sur l'apprentissage des méthodes et l'entraînement par des exercices. Dans chaque chapitre : le détail des méthodes à retenir, chacune renvoyant aux exercices correspondants ; de nombreux énoncés d'exercices classés par niveau de difficulté, allant de l'application directe du cours à l'approfondissement des connaissances ; une rubrique "Du mal à démarrer ?" donnant au lecteur des indications pour la résolution de chaque énoncé s'il se trouve bloqué ; les corrigés détaillés de tous les exercices. Cet ouvrage sera ainsi utile aux étudiants de MPSI tout au long de l'année, de l'apprentissage du cours à la révision d'un examen.

Publié le : mercredi 20 août 2008
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EAN13 : 9782100539734
Nombre de pages : 424
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Les nombres réels
Plan
CHAPITRE
Pour résoudre une équation ou une inéquation à une inconnue dans les réels
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. ©
1
Les méthodes à retenir
Points essentiels du cours pour la résolution des exercices Résolution des équations et inéquations du premier et du second degré dansR Raisonnement par récurrence Définition de la fonction partie entière Notions de borne supérieure et borne inférieure dansRet le théorème : toute partie non vide et majorée deRadmet une borne supérieure dansR.
Thèmes abordés dans les exercices Équations, inéquations, systèmes d’équations Racine carrée, racinesn-èmes Manipulation du symbole de sommation d’un nombre fini de termes et du symbole de produit d’un nombre fini de facteurs Utilisation de la fonction partie entière.
Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés
On sait résoudre les équations et les inéquations du premier degré ou du second degré (voir cours). Toujours tenir compte des particularités de l’équation ou de l’in-équation proposée : à ce niveau, s’il y a une question, c’est qu’il y a une réponse exprimable. d’inconnue (ou un changement deEffectuer un changement variable) pouvant ramener l’équation ou l’inéquation à une autre plus simple. On prendra souvent comme nouvelle inconnue un grou-pement intervenant plusieurs fois dans l’équation ou l’inéquation. Exercices 1.3, 1.8, 1.9 Reconnaître un développement remarquable, par exemple celui du binôme de Newton. E xercice 1.1 1
1 3 5 6
2
Chapitre 1• Les nombres réels
Pour résoudre un système d’équations symétrique (ou presque symétrique) à deux inconnuesx,y
Pour établir une inégalité portant sur plusieurs réels
Pour établir une propriété faisant intervenir une entiernquelconque
Pour résoudre une question portant sur une ou des parties entières
Montrer que l’équation se ramène àf(x)=0,fest strictement monotone, ce qui établira que l’équation admet au plus une solution. Exercice 1.4 S’il y a des radicaux, essayer de les chasser par élévation(s) au carré, ou faire intervenir la notion de quantité conjuguée. ercice 1 Ex .2.
Essayer de faire intervenir la somme et le produit dexety, en notant S=x+yetP=x y,et en considérantSetPcomme les nouvelles inconnues. Exercice 1.5. Voir aussi chapitre 17.
pouvant ramener l’inégalitéEffectuer un changement de variable voulue à une autre plus simple. Exercice 1.10 Tenir compte éventuellement des rôles symétriques des réels qui interviennent. Exercice 1.6b)
Faire tout passer dans un membre, puis faire apparaître une somme de nombres tous positifs ou nuls (souvent des carrés de réels), pour conclure à une positivité. Ex ercices 1.6, 1.11 Appliquer convenablement l’inégalité de Cauchy-Schwarz ou l’iné-galité de Minkowski. Exercice 1.12. Voir aussi chapitre 6.
Essayer de faire une récurrence surn. Pour y arriver, il faut que la pro-priété à l’ordren+simplement en faisant intervenir la1 s’exprime propriété à l’ordren. Exercice 1.13.
Utiliser essentiellement la définition de la partie entière réelx: E(x)Zet E(x)x<E(x)+1, ou encore : E(x)Zetx1<E(x)x.
E(x)d’un
Exercices 1.7, 1.15.
Exemple de résolution d’une équation polynomiale à une inconnue dansR 1 3 2 Résoudre l’équation d’inconnuexR:x+x+x= −. 3 Exemple de résolution d’une équation avec racines carrées dansR Résoudre l’équation d’inconnuexR: √ √ √ √ 6x+3x=x+5+43x.
Exemple de résolution d’une équation avec racinesn-èmes dansR √ √ 3 4 Résoudre l’équation d’inconnuexR: 4x+5x=9.
1.5
1.4
1.6
1.7
1.8
Exemple de résolution d’une équation polynomiale à une inconnue dansR Résoudre l’équation d’inconnuexR:(x7)(x5)(x+4)(x+6)=608.
Exemple de résolution d’une inéquation à une inconnue dansR √ √ 4 3 Résoudre l’équation d’inconnuexR: 2x+3xx.
Exemple de résolution d’un système d’équations algébriques dans les réels 2 x+x y+y=3 2 Résoudre le système d’équations d’inconnue(x,y)R:(S) 2 y+yx+x= −1. Des inégalités sur des réels 2 a3ab 2 a)Montrer :(a,b)(R) ,. + a+b4 2 2 2 a b c a+b+c 3 b)En déduire :(a,b,c)(R+)+. ,+ a+b b+c c+a2 Une partie entière calculable √ √ 2 Montrer :nN,E((n+n+1))=4n+1.
1.3
1.2
1.1
3
Raisonner par l’absurde : supposerαQet déduire une contradic-tion. Exercices 1.17, 1.18, 1.19.
Exemple de résolution d’une équation avec racinesn-èmes dansR Résoudre l’équation d’inconnuexR: √ √ 4 (19x)(x2)+19x+x2=7.
Pour montrer qu’un nombre réelα est irrationnel
Énoncés des exercices
Énoncés des exercices
1.10 Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. ©
1.9
Exemple de résolution d’une équation avec racine carrée dansR 2 2 Résoudre l’équation d’inconnuexR: 3x3x4xx+3=6.
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