Mini Manuel d'analyse

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Les ouvrages de la collection «Mini Manuels» présentent sous une forme concise et attractive (2 couleurs) les notions essentielles. Le cours présente de façon progressive les résultats et démonstrations essentiels. Des conseils méthodologiques mettent en évidence la démarche. En fin de chapitre, des exercices, tous corrigés, permettent de s'entraîner avant l'épreuve.
Cet ouvrage couvre le programme d'enseignement  des mathématiques au niveau L1 (filières mathématiques ou de sciences de la matière).
Publié le : mercredi 12 mai 2010
Lecture(s) : 71
Licence : Tous droits réservés
EAN13 : 9782100554478
Nombre de pages : 240
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Comment utiliser le Mini-Manuel ?
La page d’entrée de chapitre
Elle rappelle les objectifs pédagogiques du chapitre.
Le cours Le cours, concis et structuré, expose les notions importantes du programme.
Les rubriques
Un exemple pour comprendre
Les conseils, les méthodes
Les exercices Ils sont regroupés en fin de chapitre, avec leur solution, pour se tester tout au long de l’année.
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Suites et fonctions
Table des matières
1.1Des théorèmes généraux 1.2Suites itératives 1.3Fonctions et équations trigonométriques 1.4Fonctions trigonométriques réciproques 1.5Fonctions hyperboliques Exercices Solutions
Formules de Taylor
2.1La formule des accroissements finis 2.2Le théorème de l'Hospital 2.3Les formules de Taylor Applications Exercices Solutions
Développement limité
3.1Fonction négligeable devant une autre 3.2Développement limité 3.3Les développements limités usuels 3.4Développement limité en un pointa Exercices Solutions
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Calcul des développements limités
4.1Quelques propriétés de la notationo( ) 4.2Calcul des développements limités 4.3Calcul de limites Exercices Solutions
Étude locale d’une fonction 5.1Signes d’une fonction au voisinage d’un point 5.2Étude locale d’une fonction 5.3Droite asymptote Exercices Solutions
Intégrale et primitive
6.1L'intégrale 6.2Primitives 6.3Règles de calcul et primitives à connaître Exercices Solutions
Calcul d’intégrales
Table des matières
7.1Méthodes générales 7.2Méthode du changement de variable 7.3Intégrale d'une fonction rationnelle ax+b2 7.4Intégrale deet dex+px+q 2 x+px+q p q 7.5Intégrale de(sinx) (cosx),p,qN 7.6Intégrale de fonctions rationnelles en sinus et cosinus ax ax 7.7Intégrale deesinbxetecosbx αx 7.8Intégrale deP(x)ePest un polynôme Exercices Solutions
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Table des matières
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Courbe paramétrée
8.1Notion de courbe paramétrée plane 8.2Vecteur dérivé, tangente 8.3Étude en un point singulier 8.4Asymptotes 8.5Plan d'étude d'une courbe paramétrée plane 8.6Un exemple de courbe paramétrée dans l'espace Exercices Solutions
Équations différentielles
! 9.1Équation différentielley=a(x)y ! 9.2Équationy=a(x)y+b(x) !! ! 9.3Équationy+py+qy= 0 !! ! 9.4Équationy+py+qy=b(x) Exercices Solutions
Exemples d'études de surfaces 10.1Les fonctions de deux variables 10.2Surface d'équationz=f(x,y) 10.3Surface de révolution d'axeOz 10.4Dérivées partielles 10.5Plans tangents à une surface 10.6Extremum Exercices Solutions
Index
IX
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CHA1PITRE
Suites et fonctions
Dans ce chapitre, nous rappelons les propriétés de la limite, des fonctions continues et des fonctions dérivables.
Nous revenons aussi sur les fonctions sinus, cosinus, tangente et nous pré-sentons les fonctions trigonométriques réciproques. Enfin, nous introdui-OsBoJnsEeCtTéItuFdSions les fonctions hyperboliques.
1.1DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX 1.1.1 Limites, fonctions continues
Définition : limite d’une suite Soit(un)une suite de nombres et soit!un nombre réel ou complexe. On dit quela suite(un)a pour limite!, ou queuntend vers!quand ntend vers+∞, si pour toutε>0, on peut trouver un entierNtel qu’on ait l’implication
n!N"⇒un[!ε,!+ε].
Cela se note limun=!. On a l’équivalence : limun=!⇐⇒lim|un!| =0. Une suite estconvergentesi elle a une limite.
Définition : limite d’une fonction, fonction continue SoitDRetf:DR. Soitaun élément deDou une borne de D. On dit quef(x)tend vers le nombre réel!quand x tend vers a, ou quela fonction f a pour limite!en a, si pour toutε>0, on peut trouver un nombreα>0 tel qu’on ait l’implication xDetx[aα,a+α]"⇒f(x)[!ε,!+ε]. Cela se note limf(x)=!. xa
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Chapitre 1Suites et fonctions
On dit quef est continue en asi limf(x)=f(a). xa On dit quef est continuesi pour toutaD,fest continue ena.
Propriétés des limites ) Silimf(x)=!etlimg(x)=!, alors xa xa ) ) limf(x)+g(x)=!+!etlimf(x)g(x)=!!. xa xa ) ) Si de plus!=/0, alorslimf(x)/g(x)=!/!. xa On a les mêmes propriétés pour les limites de suites.
Fonctions continues et limites a)Toute fonction polynôme est continue surR. b)La somme et le produit de deux fonctions continues est continue. 1 Si f est continue en a et si f(a)=/0, alors la fonction x*→est f(x) continue en a. c)Si f et g sont des fonctions continues et si la fonction composée ! " gf:x*→g f(x)est définie, alors gcontinue.f est ! " d)Soit(un)une suite et f une fonction telle que la suite f(un)est définie. Silimun=!et si f est continue en!, alorslimf(un)=f(!).
1.1.2 Propriétés des fonctions continues sur un intervalle Théorème des valeurs intermédiaires.Soit I un intervalle et f:IRune fonction continue. Soit a,bI. Pour tout nombre k compris entre f(a)et f(b), il existe au moins un nombre c compris entre a et b tel que f(c)=k.
Le nombrecest une solution de l’équationf(x)=k. Pour trouver une valeur approchée dec, on peut pratiquer la « méthode du partage en deux » qui permet dailleurs de démontrer le théorème.
Méthode du partage en deux.Pratiquons-la sur un exemple en cher-3 chant une solution de l’équationxx1=0. 3 Soitf:RRla fonction définie parf(x)=xx1. C’est une fonction polynôme, donc elle est continue. On a
f(1)=111=1<0
e
t
3 f(2)=221=5>0
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