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de Mathématiques pour la physique
de Mathématiques pour la physique
Cours + Exercices corrigés
François Reynaud Professeur de physique à la faculté des sciences de Limoges
Daniel Fredon Maître de conférences en mathématiques appliquées
Michel Bridier Maître de conférences en physique
©Dunod,Paris,20112 ISBN978210058626655158
Comment utiliser le Mini-Manuel ?
La page d’entrée de chapitre
α
α
α
Elle donne le plan du cours, ainsi qu’un rappel des objectifs pédagogiques du chapitre.
Le cours Le cours, concis et structuré, expose les notions importantes du programme.
Les rubriques
Une erreur à éviter
Un peu de méthode
Un exemple pour comprendre
Les points clés à retenir
Les exercices
π π
Ils sont proposés en fin de chapitre, avec leur solution, pour se tester tout au long de l’année.
1
2
Table des matières
Grandeurs et mesures
1.1Grandeurs physiques Définition Étalons Système International d’unités (SI) Préfixes Constantes fondamentales 1.2Analyse dimensionnelle Dimension d’une grandeur physique Équation aux dimensions 1.3Mesure des grandeurs Mesurage Présentation d’un résultat Utilisation d’un grand nombre de mesures Mots clés Exercices Solutions
Les nombres
2.1 2.2 2.3
Nombres réels Généralités Sommes et produits Approximations décimales Nombres complexes Forme algébrique Forme trigonométrique Exponentielle complexe Systèmes linéaires Généralités
1
1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 5 6 6
8
8 8 9 9 10 10 11 12 13 13
VIII
3
4
Systèmes triangulaires Méthode du pivot de Gauss Mots clés Exercices Solutions
Calcul vectoriel
3.1Barycentre de points pondérés Définition Propriétés Applications 3.2Produit scalaire Définition Propriétés Orthogonalité Applications 3.3Produit vectoriel Définitions Propriétés Applications 3.4Produit mixte Définition Propriétés Applications Mots clés Exercices Solutions
Fonctions deRdansR
4.1 4.2 4.3
Généralités Sens de variation Parité, périodicité Limites Définitions Propriétés des limites Fonctions équivalentes Continuité Définitions
Table des matières
13 14 15 15 17
23
23 23 24 24 24 24 26 26 27 27 27 28 28 28 28 28 28 29 29 31
36
36 36 37 37 37 38 39 40 40
Table des matières
5
6
Continuité et opérations Image d’un intervalle par une fonction continue 4.4Dérivabilité Définitions Interprétations Propriétés 4.5Fonctions usuelles Fonctions logarithmes, exponentielles, puissances Fonctions circulaires réciproques Mots clés Exercices Solutions
Compléments sur les fonctions dérivables
5.1Étude globale des fonctions dérivables Extrémum Théorèmes de Rolle et des accroissements finis Inégalité de Taylor-Lagrange 5.2Étude locale des fonctions dérivables Formule de Taylor-Young Développements limités Opérations sur les développements limités Applications des développements limités 5.3Convexité Définitions Fonctions convexes dérivables Mots clés Exercices Solutions Calcul intégral
6.1 6.2
Intégration sur un segment Approche théorique Propriétés Exemples en physique Calcul des primitives Linéarité 78 Intégration par parties Intégration par changement de variable
IX
40 40 41 41 41 42 44 44 46 49 50 51 58
58 58 59 59 60 60 60 62 63 63 63 65 65 65 67 74
74 74 76 77 78
78 79
X
7
8
6.3Intégrales généralisées Définitions Propriétés Situations de référence Fonctions sommables Mots clés Exercices Solutions
Équations différentielles
Table des matières
7.1Définitions générales Équations différentielles Problème de Cauchy 7.2Équations différentielles du premier ordre Exemple Équations à variables séparables (ou séparées) 7.3Équations linéaires du premier ordre Définition Théorème du à la linéarité Résolution de l’équation homogène associée Recherche d’une solution particulière 7.4Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants Définition Théorèmes dus à la linéarité Résolution de l’équation homogène associée Résolution de l’équation complète dans quelques cas Mots clés Exercices Solutions
Suites numériques
8.1Généralités Définition Suite monotone Suite bornée 8.2Limite d’une suite Suite convergente
79 79 80 80 82 82 83 84
90
90 90 91 91 91 92 92 92 92 93 93
93 93 93 94 95 96 96 99
109
109 109 109 110 110 110