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Mini manuel de Mathématiques pour les sciences de la vie et de l'environnement

De
192 pages
Les ouvrages de la collection «Mini Manuels» présentent sous une forme concise et attractive (2 couleurs) les notions essentielles. Le cours est illustré par des encarts faisant le lien avec la vie quotidienne ou apportant quelques compléments techniques ou historiques. En fin de chapitre, un rappel des points clef, des exercices, QCM ou des QROC, tous corrigés, permettent de tester ses connaissances et de s'entraîner avant l'épreuve.
Cet ouvrage couvre le programme d'enseignement des mathématiques en Licences 1 et 2 de sciences de la Vie et en PCEM1, sous la forme d'un cours concis suivi d'exercices et d'annales du concours PCEM corrigés.
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1
1.1 1.2 1.3 PLAN 1.4 1.5
Fonctions d’une variable réelle
Fonctions usuelles
Limites et dérivées
Modéliser un phénomène biologique par une fonction
Étude de quelques situations biologiques
Courbes paramétrées du plan
Décrire un phénomène par une fonction (observation en continu). Revoir les fonctions les plus utilisées en biologie. Savoir calculer, utiliser et interpréter une dérivée. Étudier divers éléments d’une courbe (tangentes, extrémums, branches OBJEinCfiTnIiFesS). Savoir construire une courbe paramétrée.
1.1
FONCTIONS USUELLES
1.1.1 Introduction La biologie ne s’intéresse pas seulement aux descriptions et classifi cations des différents organismes ; mais aussi aux dépendances entre les différentes propriétés de ces organismes. Ces dépendances peuvent être qualitatives (couleur, sexe, état solide, liquide ou gazeux) ou quantitatives. À la base des dépendances quantitatives, se trouvent les fonctions. De façon générale, une fonction est la donnée de deux ensemblesA etB(non vides) et d’une relationf, qui à tout élémentxdeA, associe un et un seul élément, notéf(x), deB. Les éléments deAsont appelés des objets, antécédents ou variables et ceux deB, des images ou valeurs def.
4
Chapitre 1Fonctions d’une variable réelle
Notations :f :ABlorsque ou, A etBsont sousentendus, xf(x). Dans la première partie, nous nous intéresserons exclusivement aux fonctions réelles de variable réelle, c’estàdire à celles dont la variablexet l’imagef(x) sont des nombres réels. Nous en rappellons ici les plus importantes.
1.1.2 Fonctions polynomiales Elles sont définies surRpar une expression de la forme : 2p  aveca0. f(x)=a+a x+a x+"+a xp 0 1 2p a,a,,asont des nombres fixés. 0 1p Le nombre entierpest appelé degré de la fonction polynomialef. Les représentations graphiques des fonctions polynomiales de degré 2 sont des paraboles.
1.1.3 Valeur absolue Il s’agit de la fonction qui à tout réelxle nombre, noté associe x, défini par :
x=x
si
x0
et
x= −x
si
x0.
Ainsi, par exemple, la fonctionx6xla valeur :1 prend
x1=x1
1.1.4
si
x1
et
x1= −(x1)= −x+1
Fonctions rationnelles
si
x1.
f(x) Elles sont de la formex-où les fonctionsfetgsont polyno g(x) miales. Le domaine de définition d’une telle fonction est l’ensemble desxtels queg(x)0 . Par exemple, les fonctions rationnelles définies par :
2x1 2 x+1
,
2 x+2 2 x3x+21
,
2x1 2 x2x+1
sont définies respectivement surR,\5{1,2} et\5{1}.
1.1Fonctions usuelles
1.1.5
Fonctions exponentielles et logarithmiques
Fonction logarithme népérien
5
La fonction logarithme népérien est notée ln. Elle est définie sur ]0; +∞[ par : ln1=0;1 { x>0 (lnx)′ = x Cette fonction est strictement croissante et lim lnx= −∞ ; limllnx= +∞. ++ x0x→ +∞L’unique solution de l’équation lnx= 1 est notée e ( e2,718 ). En outre, la fonction logarithme népérien vérifie les propriétés suivantes : a>0b>0r_ar ln (ab)=lna+lnb;ln=lnalnb;ln (a)=rlna. ( ) b
Figure 1.1
Fonction logarithme népérien.
Fonction exponentielle
Figure 1.2
Fonction exponentielle.
C’est la fonction réciproque de la fonction ln. Elle est notée exp, ou x xe. Elle est définie surR, à valeurs dans ]0,+∞[ et vérifie les
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