//img.uscri.be/pth/ed0acfae75e0ba2a4430474bb63fdd241191f3fd
Cette publication ne fait pas partie de la bibliothèque YouScribe
Elle est disponible uniquement à l'achat (la librairie de YouScribe)
Achetez pour : 12,99 € Lire un extrait

Téléchargement

Format(s) : PDF

avec DRM

Mini manuel de mécanique des solides

De
240 pages
Les ouvrages de la collection «Mini Manuels» abordent sous une forme concise et attractive (2 couleurs + nombreuses figures) les notions essentielles d'une discipline. Le cours est illustré par des encarts faisant le lien avec des applications concrètes. Des exercices corrigés en fin de chapitre permettent à l'étudiant de tester ses connaissances et de se préparer aux examens. Cet ouvrage présente l'ensemble des notions abordées en Mécanique des solides durant la première et la deuxième années de Licence : vitesse, rotation, dérivée vectorielle, champ et composition des vitesses et des accélérations, cinématiques 2 D et graphique, centre instantané de rotation, vitesse de glissement.
Voir plus Voir moins
CHA1PITRE
Cinématique du solide indéformable
1.1 Définitions 1.2 Trièdres, bases, repères 1.3 Calcul des vecteurs vitesse et accélération 1.4 Vitesse et accélération des points d’un solide PLAN 1.5 Composition des mouvements 1.6 Mouvement plan sur plan
Mettre en place les outils de dérivation vectorielle. Définir la cinématique d’un solide indéformable. Utiliser la cinématique graphique. OBJECTIFS
1.1DÉFINITIONS Espace L’espace dans lequel nous allons travailler est celui qui nous entoure, modélisé grâce à la géométrie par un espace affine réel euclidien de dimension trois. Il sera notéE. Dans cet espace se trouvent des points qui peuvent constituer des droites ou des plans. Repérer des déplacements est possible mais conduit à la notion de vecteur qui appartient à un espace vectoriel notéEde dimension trois lui aussi. Le point A qui se sera déplacé pour se trouver en un point B deEconduit donc au vecteur déplacement notéU=AB.
2
Chapitre 1Cinématique du solide indéformable
Remarque: dans ce document, les vecteurs sont notés en italique gras suivant la norme internationale, par exemplexd’alléger, afin −→ l’écriture sachant que l’on trouve aussi comme notationxouxdans les ouvrages. Il n’y aura aucune confusion possible car nous ne manipule-rons dans cet ouvrage que des scalairesx, des vecteursxou des torseurs constitués de vecteurs. Les solides seront identifiés par Sioù i désigne le numéro du solide. Les repères seront notés R ou Riavec i le numéro du repère. Enfin, les points seront notés A, B, etc. en lettre normale droite. La notation des torseurs sera explicitée à chaque fois que cela sera nécessaire.
L’espaceEn’a aucune raison d’être orienté. Il l’est par commodité et c’est la règle du « petit bonhomme d’Ampère » ou du « tire-bouchon » qui peut fournir une solution. Une distance entre deux points deEexiste et est notée dist(A, B) ce qui conduit à définir dansEun produit scalaire UUet une norme donnée parUU. La notion d’espace est délicate. En effet, un tel objet (un petit dra-peau – perçu comme un point – en haut d’un mât de bateau) se trouve à un instant donné à la fois au sommet du mât et àxcentaines de mètres de la côte. On peut donc considérer qu’au même point de l’espaceEse superposent trois points : le drapeau, le sommet du mat et le point de l’espace physique. Comme cette situation change pour des instants variablestettnous pouvons écrire que l’espaceEest associé (ou instan-tané) àtoutet il est notéEt. Cela devrait nous conduire à distinguer dans une expression du typela vitesse du pointMest parallèle àOM, le point M dont on suit le mouvement et le point M de l’espace à l’instant tconsidéré qui permet de repérer la direction de la vitesse. Nous aban-donnerons évidemment l’idée de le préciser par souci de simplification.
Notion de référentiel d’espace
Cette notion est tout à fait intuitive. Prenons un solide – la Terre par exemple – et supposons que l’espace est tout entier entraîné avec ce solide particulier. Nous associons donc un espace affine réel de dimen-sion trois. La différence entre cet espace et les précédentsEtest que celui-ci est durable mais relatif au solide considéré, alors queEtest intrinsèque mais associé à l’instantt. Nous dirons queEfourni un réfé-rentiel (ou repère) d’espace noté R. Le lecteur intéressé peut se reporter au livre de P. Rougée [1].
1.2Trièdres, bases, repères
3
1.2 TRIÈDRES, BASES, REPÈRES Nous appellerons trièdre l’ensemble noté T = (O,x,y,z) défini par trois axes concourants en O de vecteurs unitairesx,yetznon coplanaires. Ce trièdre, supposé fixe (au sens où sa forme ne change pas), constitue un solide indéformable immatériel qui constitue un repère d’espace. Le plus souvent repère d’espace R et trièdre T sont associés (ou se définissent mutuellement). Il ne faut pas pour autant les confondre (ce qui revient à s’imposer de définir un vecteur par ses seules composantes dans T asso-cié à R). On verra que ce n’est que très rarement la meilleure solution. On notera donc dans tout ce document, repère R, le référentiel d’espace constitué du point O et des axes Ox, Oyet Ozassociés à la base consti-tuée des trois vecteurs unitaires de base(x,y,z). On notera R (O,x,y,z) ce repère. Lorsque ce repère sera associé à un solide particulier Si, le repère sera noté Riet s’entendra comme constitué de Ri=(Oi,xi,yi,zi) sauf cas particulier qui sera indiqué.
Repérage d’un point
On repère la position d’un point M dansEpar ses coordonnées (fi-gure 1.3). En fait, c’est le choix du repère d’espace(O,x,y,z)qui per-met de définir ses coordonnées. Comme il y a une infinité de choix pos-sibles, il y a également une infinité de coordonnées pour un même point M à une position donnée. Si on choisit(O,x,y,z)orthonormé direct, alors les coordonnées de M s’obtiennent par projection orthogonale de OMsur les vecteurs de la base. Dans cette équation,xydésigne le pro-duit scalaire des deux vecteurs.
xM=OMx
O
xM x
yM=OMy
z zM O M
yM
zM=OMz.
y
Figure 1-3Vecteur position pour un repérage cartésien.