Modélisation par éléments finis - 3e éd.

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Le calcul de structures par éléments finis est une discipline relativement récente qui mêle étroitement les mathématiques, la mécanique et l'analyse numérique, d'où sa complexité apparente. La nouvelle édition de cet ouvrage, entièrement refondu, répond justement aux difficultés que l'élève ingénieur et l'utilisateur de logiciels de CAO découvrent lors de l'utilisation de la méthode des éléments finis. Elle comporte quatre parties. La première est un rappel des notions de mécanique et de théorie des éléments finis. La deuxième partie est une présentation actualisée des différents types d'éléments finis avec pour chacun leurs avantages et leurs inconvénients. La troisième partie présente les pièges à éviter dans les modélisations (éléments incompatibles, matériaux composites...). La quatrième partie est une étude des problèmes de dynamique linéaire : analyse modale et réponses transitoires et harmoniques. Des exemples, des exercices corrigés ainsi que des applications renforcent la dimension concrète de l'ouvrage et des problèmes types avec leurs solutions sont présentés en fin d'ouvrage.

Publié le : mercredi 1 octobre 2008
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Licence : Tous droits réservés
EAN13 : 9782100539833
Nombre de pages : 328
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Chapitre1
Rappels de mécanique
1.1. VECTEUR DES CONTRAINTES
On ne s’intéresse qu’auxmilieux continusqui sont des domaines de l’espace à trois dimensions. Ce sont des corps purement fictifs où la matière est uniformément distribuée dans le volume, de sorte que tout élément infinitésimal a les mêmes propriétés que le corps lui même. On suppose de plus qu’au voisinage d’un point quelconque du milieu, ces propriétés sont des fonctions continues et différentiables par rapport à toutes les variables définissant le point (coordonnées, temps...). Ces milieux continus ne subissent que des transformations continues. En particulier, deux points initialement voisins le restent à tout instant, tout en ayant des déplacements quelconques (finis ou infinitésimaux). Lesforces de surfaceréparties sur la surface (ou portion sont 2 de surface) extérieure du corps, elles ont la dimension d’une pression en N/m dans le système international. Ce sont par exemple des efforts de contact entre deux solides mais aussi les efforts exercés par un fluide sur la structure (vent, neige, charge hydrostatique dans une cuve …). En Résistance Des Matériaux, si la surfacedS sur laquelle s’exerce l’effort est suffisamment petite devant la surface S de l’enveloppe du corps, on admet que la force est ponctuelle. En Mécanique des Milieux Continus, ce modèle mathématique n’est pas utilisable. 3 Les efforts volumiques sont des actions à distance exprimées en N/m , réparties dans le volume de la structure. Il n’y a pas d’agent extérieur qui transmet ces efforts, comme dans le cas précédent. Les forces d’inertie, les forces centrifuges, les forces thermiques ou les forces électromagnétiques en sont des exemples. A l’intérieur de toute structure mécanique, il existe des actions mécaniques s’exerçant entre les différentes parties qui le constituent, appelées « forces intérieures » par abus de langage. Pour déterminer ce qui se produit dans la structure sous l’action des forces extérieures, on est amené à imaginer des
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coupures virtuelles au sein de la structure considérée, et à prendre en compte les actions mutuelles de ces deux parties au travers de la section effectuée. On isole la partie I, la section est définie par un point de passage M, et la normale à la section, dirigée vers l’extérieur de la partie I considérée. On appellefacetteun élément infinitésimal de surfacedS appartenant au plan de coupe. SoientF et I Fles deux systèmes partiels de forces extérieures respectivement appliqués aux II parties I et II. Pour qu’en isolant la partie I, elle garde la position d’équilibre, il faut y appliquer les efforts extérieursFet les actions de la partie II sur la partie 1 r I dans la section (Figure 1.1).Fest la force qui représente l’action exercée en M par la partie II sur la partie I. r t 2 r t 1 r F it 1 r r nFM in
r F
r F it 2
Figure 1.1 : Efforts en M dans la section orientée r On appellevecteur contrainte en M suivant la normalen le vecteur défini par : r r rF T(M,n)=lim dS0 dS Bien que la notion de contrainte soit très largement utilisée en mécanique, c’est une notion purement mathématique. Une contrainte ne se mesure pas. On a accès, sur la surface externe des solides, à des déformations par l’intermédiaire desjauges de déformations, que les francophones appellentjauges de contraintes.Une contrainte est homogène à une pression, c’estàdire à une force par unité de surface. Elle s’exprime dans le système SI en Pascal 2 6 2 (1 Pa = 1 N/m ) mais on utilise souvent le MégaPascal (1 MPa = 10 N/m = 1 2 N/mm ). Le vecteur contrainte peut être projeté sur la normale et selon deux directions qui lui sont orthogonales et sont contenues dans le plan de la facette,
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ou dans tout autre système d’axes. Les composantes du vecteur contrainte dans le repère attaché à la section en M sont :
FFF nt1t2 , ,dS dS dS Ces rapports ont une limite finie lorsquedStend vers 0. Par abus de langage, on parle de contrainte au point M. En fait, il s’agit des trois composantes duvecteur contrainte au point M, dans le plan de coupe dont la normale est r orientée selonn. F n limest unecontrainte normalec’est la composante du vecteur car dS dS0 contrainte au point M orthogonale au plan de coupe. On la note généralement σ. C’est une traction si elle est dirigée dans le sens de la normale sortante, nn auquel cas elle a une valeur positive. C’est une compression si elle est dirigée dans le sens de la normale rentrante, auquel cas, elle a une valeur négative. FF t1 t2 limetlimles sont contraintes tangentielles oucontraintes de dS dS dS0dS0 cisaillementet elles sont notées respectivementσetσouτetτnt1nt2nt1nt2 r r r r rr r T(M,n)=σn+τt=σn+τt+τtnt1 1nt2 2
Dans la notationσij ou plus fréquemmentτij, le premier indice indique que la normale au point considéré est portée par l’axe dont le vecteur directeur esti. Le second indice indique quelle est la composante du vecteur contrainte qui est considérée. On a défini le vecteur contrainte et ses composantes pour la partie I dans la section orientée passant par le point M. Par application du principe d’action/réaction, le vecteur contrainte représentant l’action en M de la partie I sur la partie II est l’opposé de celui représentant l’action de la partie II sur la partie I. Mais la normale sortante pour la partie II est l’opposée de la normale sortante pour la partie I, de sorte que les composantes du vecteur contrainte en M sont les mêmes que l’on considère l’équilibre de l’une ou l’autre des deux parties. La contrainte en un point de la section caractérise intrinsèquement ce qui s’y passe et ne dépend pas du fait que l’on examine l’action de II sur I ou de I sur II.
1.2. MATRICE DES CONTRAINTES Puisqu’il existe une infinité de plans passant par un point donné, on y définit une infinité de vecteurs contraintes qui forment lefaisceau des contraintesen M, l’extrémité du vecteur contrainte en M décrivant dans l’espace une surface. La contrainte normale et les contraintes tangentielles changent avec
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l’orientation de la normale sortante. La connaissance au point M d’une matrice 3x3 appeléematrice des contraintesest néanmoins suffisante pour déterminer l’état de contrainteen ce point pour une orientation quelconque de la facette. Prenons trois axes de référence absolus, par exemple les axesOx,OyetOz. On suppose connus les vecteurs contraintes en M suivant les directions de ces trois axes. Soit un tétraèdre infinitésimal d’origine M dont trois arêtes sont parallèles aux axes (Figure 1.2). Ce tétraèdre étant en équilibre, la somme des efforts qui y sont appliqués est nulle. rr r rr r rrr T(M,x)ds+T(M,y)ds+T(M,z)ds+T(M,n)ds=01 2 3
A1 x
A3
z
Figure 1.2 : Equilibre du tétraèdre
r n
A 2
y
On projette cette équation vectorielle sur les trois axes de coordonnées, on obtient :
σn+τn+τn⎫ ⎡σ xx x yx y zx z xx r r⎪ ⎪ T(M,n)=τn+σn+τn=τ yy y xy x zy zxy ⎪ ⎪ τn+τn+σnτ xz x yz y zz z xz ⎩ ⎭
τ yx σ yy τ yz
τnzx x ⎥⎪ ⎪r τ=[σ] n nzyy⎪ ⎪ σn zzz
La matrice [σ] est la matrice des contraintes au point M. Si on connaît les vecteurs contraintes sur trois facettes deux à deux perpendiculaires, on peut calculer le vecteur contrainte sur une facette d’orientation quelconque. Cette matrice est définie par neuf termes qui sont les trois composantes des trois vecteurs contraintes dans un repère orthonormé direct arbitraire de référence. La relation cidessus donne les composantes du vecteur contrainte dans le repère Oxyz. Les composantes normales et tangentielles sont les composantes du vecteur contrainte dans le repère lié à la facette (Figure 1.3). La matrice des contraintes est représentative d’un tenseur du second ordre appelétenseur des contraintes.
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