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Physique MP - Exercices

De
416 pages

En complément des Nouveaux Précis, des livres d'exercices offrent les corrigés détaillés et commentés des énoncés « incontournables » de deuxième année, classés par thème et couvrant tout le programme par filière. Pour s'entraîner efficacement et progresser tout au long de l'année, l'analyse rigoureuse de chaque énoncé montre :
- « Ce qu'il faut savoir » : les notions physiques et les outils mathématiques à connaître pour résoudre l'exercice
- « Ce qu'il faut comprendre » : les principales étapes du raisonnement applicables à d'autres énoncés du même type.

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Avant-propos
esNouveaux Précis Bréalsont conçus pour apporter aux étudiants des classes préparatoires L une aide efficace dans leur travail. Ils ont pour objectif de dégager, à travers des énoncés variés et classiques, les méthodes qui permettent laconstruction progressive et raisonnéede la solution d’un exercice ou d’un problème. C’est pourquoi il est souhaitable de les utiliser tout au long de l’année, parallèlement à l’acquisition des connaissances. Les exercices proposés ont été sélectionnés pour leur représentativité : ils permettent de présenter l’ensemble des méthodes et des raisonnementsqui, une fois assimilés, doivent permettre de résoudre, sans trop de difficultés, des exercices analogues.
Ce volume traitel’ensemble du programme de physique de deuxième année MP. Chaque chapitre propose une série d’exercices structurésdont lasolutionesttrès détaillée, suivis de quelques exercices corrigés de réinvestissement. Chaque exercice de la première catégorie est caractérisé par : unénoncéconstitué de questions progressives ; «Ce qu’il faut savoir» : la liste des connaissances – en physique (« Points de cours ») et parfois en mathématiques (« Outils mathématiques ») – nécessaires pour traiter l’exercice ; «Ce qu’il faut comprendre» : l’analyse qui propose brièvement les chemins à suivre pour répondre efficacement aux questions posées. C’est un moment essentiel dans la recherche de la solution : assez brève, l’analyse doit précéder la mise en œuvre des calculs. Il nous paraît très important que la recherche de la solution passe systématiquement par cette étape. Il n’y a rien de plus stérile que de se lancer dans les calculs sans savoir de façon précise dans quel but ils sont entrepris… la solution proprement dite dans laquelle sont souvent rappelés et développés quelques «Points cours» dont une bonne compréhension est indispensable. Des «Points méthodes» (sur fond grisé) permettent d’affiner la réflexion : il s’agit soit de mises en garde afin d’éviter une erreur fréquente de raisonnement, soit le plus souvent d’explications supplémentaires justifiant le choix d’un théorème ou la pertinence d’un raisonnement. Des «commentaires» conduisent à une discussion des résultats obtenus et à une vérification de leur cohérence (recherche de cas ou de valeurs limites, approches différentes pouvant donner un autre éclairage…). Ces commentaires jouent un rôle comparable à l’analyse, mais cette fois après le développement des calculs : c’est une forme de contrôle des résultats obtenus.
Analyse et discussion, qui sont finalement les deux points les plus importants pour le physicien, sont aussi sans doute les étapes les plus difficiles à mettre en œuvre, mais leur bonne prise en compte facilitera considérablement la construction d’une solution structurée (et exacte…) de chaque exercice.
Nous espérons que cet ouvrage aidera les étudiants dans cette voie, dans la perspective d’une réussite aux concours. Nous accueillerons avec reconnaissance les remarques et les critiques des lecteurs, qui peuvent nous être adressées par courrier électronique à l’adresse suivante : infos@editions-breal.fr.
Les auteurs
Partie 1
Mécanique du solide
et des systèmes
101
1.
Engins mécaniques Partie A Un bulldozer est modélisé par un ensemble de deux «roues» u identiques (de rayonaet dez O O moment d’inertie I par rapport à 1 2 G leurs axes respectifs Ozet Oz) 1 2 d’une chenille de massemO, et x O O = constante 1 2 d’un chassis. La masse totale du système est M. On note G son centre de masse. 1.L’engin se déplace, dans le référentielVlié au sol, à la vitesse uselon l’axe 0x horizontal Ox. Donner l’expression de son énergie cinétique. 2.Il est propulsé par un moteur qui exerce un couple constantΓ sur la roue de cen-m tre O=Γu). Déterminer l’accélérationγ=γu)prise par l’engin dans le 2 m mz x référentielsupposé galiléen (les liaisons d’axes Ozet Ozsont parfaites). 1 2 Partie B On considère deux disques homo-gènes identiques (masse M, rayon g R) reliés par une bielle schémati-O O 1 2 u sée par une tige homogène OOz 1 2 OO1 2 de longueurlet de massem. l θ Les deux disques roulent sans glis-A I I 1 2x ser sur le plan horizontal et les R O OO O=O= --liaisons en1et2sont parfai-1 1O2 2 2 tes. Les contacts en I et I sont 1 2 ponctuels. 1 2 On note J= --moment d’inertie d’un disque par rapport à son axe.MR le 2 ˙ 1.Déterminer une équation différentielle du mouvement enθ (t)etθ(t). Le référentiel d’étude(A,x,y,z)lié au plan horizontal est galiléen. 2.En déduire la période T des petites oscillations du système.
Ce qu’il faut savoir • Composition des vitesses. • Champ des vitesses d’un solide. • Théorème de Kœnig de l’énergie cinétique (système matériel fermé quelconque). • Théorème de la puissance cinétique (ou théorème de l’énergie cinétique). • Roulement sans glissement ; notion de liaison parfaite.
9
101
Exercice
101
2. Exercice
10
Ce qu’il faut comprendre
A.1.Pour le calcul de l’énergie cinétique de la chenille, montrer que, dans le référen-tiel lié à l’engin et se déplaçant à la vitesse V ,tous les points de la chenille ont une 0 vitesse de même module. 2.Les liaisons d’axe (Ozet Oz) sont supposées parfaites, la chenille ne glisse pas par 1 2 rapport aux «roues» et elle adhère complètement au sol. Il sera donc judicieux d’appliquer au système le théorème de la puissance cinétique : seul le couple moteur produit un travail. B. 1.Les liaisons ( Ozet Oz) sont également parfaites et les deux disques roulent 1 2 sans glisser sur le plan horizontal. Les efforts associés ne créent donc aucun travail, et le système pourra être étudié, là encore, par le biais du théorème de la puissance cinétique. ˙ 2.L’étude des petites oscillations suppose queθetθpeuvent être assimilés à des infi-niment petits du premier ordre. On ne conservera donc que les termes du deuxième ordre dans l’équation énergétique établie enB.1.
3. Solution
Partie A 1.Le bulldozer constitue un système déformable dont l’énergie cinétique totale dans est la somme des énergies cinétiques de la chenille, des roues et du chassis : E=E)+E)+E). c c chenille c roues c chassis Appliquons le théorème de Koenig en passant par le référentiel du centre de masseK del’engin. On a : 1212 E=E+-MV=E+-MV c c G c 0   2 2 K K chassis chenille roues et .E=E+E+E c c c c     K K K K chassis Le chassis est fixe dansd’où E)=0. K cK Considérons alors la chenille dans: K
V1
O 1
V3
K G
V4
O 2
V2
x
V′ ≡vitesse dansdes différents K éléments de la chenille.
D’autre part, la chenille étant inextensible, il vient :
V1
=
V2
=
Partie 1 – Mécanique du solide et des systèmes MP
V3
=
V4
=V.
Pour calculer V, il suffit de remarquer que la partie de la chenille en contact avec le sol adhère à ce dernier (absence de glissement de la chenille par rapport au sol), de sorte que V=0 vitesse correspondante dans). 4 Or V=V+V=V+Vu(composition des vitesses) 4 4 e 4 0x d’où 0=V+Vuet V= –Vu. 4 0x4 0x Et finalement V=V . 0 Tous les éléments de la chenille ayant, dans, on a :, une vitesse de même norme V K 0 chenille12 E)=-mV c0 2K
Enfin, intéressons nous aux deux roues. Dans, leurs centres de masses O et O K 1 2 sont fixes :
V(O)=V(O)=VuV(O)=V(O)=0 . 1 2 0x12 K K Chaque roue est, dans, en rotation autour de son axe. K On a donc (absence de glissement de la chenilleω 2 par rapport aux roues) :
V=ωuO P=ωau. 2 2z2 2 2θ 2
De même :
V=ωuO P=ωau. 1 1z11 1 θ 1 V 0 . Or V=V=V , soit :ω=ω= -----1 2 0 1 2 a Dès lors : roues1I2 2 2 E)=2×-Iω=Iω= ----V . K20 c Oz 2 2a   deux roues
u z O 2
V1 P 1
O 1
P 2
ω 1
V2
POINTCOURS • Un solide en rotation autour d’un axe fixeΔd’un référentiel d’étude possède, dans ce référentiel, une énergie cinétique E telle que : c 1 2 E=-Jw cD 2 où J est le moment d’inertie du solide par rapport à cet axe etw=wuest le ΔD vecteur rotation du solide par rapport àΔ.
x
x
11
101
Exercice
101
Exercice
12
L’énergie cinétique de l’engin dansvaut donc : K 2 V 12 01 I2   E=-mV+I----- E=-m+2----V c 0 c 0 22   K2 K2aa2 1 Et danspuisque E=E+-MV(G): c c  2 K 1 2I2   E=-M+m+ ----V (1) c 0   2 2a A. 2.Appliquons, danssupposé galiléen, le théorème de l’énergie cinétique au sys-tème global : dE c ext int --------=+(2)   dtext ext ext On a=(poids)+(solchenille)   ext or(poids)=0 (G garde une altitude constante). ext (solchenille)=maillons en contact avec le sol ayant une vitesse nulle).0 (les ext D’où :=0. D’autre part, les liaisons étant supposées parfaites (liaisons d’axes Ozet Oz) et la che-1 2 nille ne glissant pas par rapport aux roues, il reste : int ==Γ ω. moteur m dE c2I   Et d’après (1) :--------=M+m+ ----Vγ   2 dta 2I   soit : M+m+ ----γV=Γ ω. m 2   a V Et avecω= ---(condition de non glissement de la chenille par rapport aux roues) : a
Γ m γ= --------------------------------------2I   aM+m+ ----2   a Cette accélération est d’autant plus grande que le couple moteurΓest important. m Partie B 1.
POINTMÉTHODE Il y a roulement sans glissement : le mouvement des disques peut être repéré par la seule variableθ (t). La position de la bielle est définie à chaque instant par la posi-tion de O et celle de O¢donc par l’angleθ. 1 1 Le mouvement du système se réduit ainsi à un problème à une dimension (iciθ).
Partie 1 – Mécanique du solide et des systèmes MP