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Physique MPSI - Exercices

De
592 pages

En complément des Nouveaux Précis, des livres d'exercices offrent les corrigés détaillés et commentés des énoncés « incontournables » de première année, classés par thème et couvrant tout le programme par filière. Pour s'entraîner efficacement et progresser tout au long de l'année, l'analyse rigoureuse de chaque énoncé montre :
- « Ce qu'il faut savoir » : les notions physiques et les outils mathématiques à connaître pour résoudre l'exercice
- « Ce qu'il faut comprendre » : les principales étapes du raisonnement applicables à d'autres énoncés du même type.

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pi atr he C 1
Mécanique 1
101
Exercice 101
1.
2.
Risque de collision au freinage
1.Une voiture roule à une vitesse constante V en ligne droite. Au tempst= 0, le 0 conducteur aperçoit un obstacle, mais il ne commence à freiner (avec une décéléra-–2 tion constante de 7,5 m ∙ s ) qu’au bout d’un tempsε=0,6 s. Calculer la distance parcourue par le véhicule depuis l’instant initial jusqu’à l’arrêt. –1 –1 Application numérique :V=54 km ∙ h , puis V=108 km ∙ h. 0 0 2.Deux voitures se suivent sur une route droite, à une distanced, et roulent à la même vitesse constante V . À l’instantt=0, la première voiture commence à freiner 0 avec une décélérationa, la seconde voiture ne commence à freiner qu’au temps t=ε=0,6 s avec une décélérationb. Quelle condition doit satisfairedpour que la seconde voiture s’arrête en arrière de la première ? –1 –2 –2 Application numérique :V=,108 km ∙ h a=7,5 m ∙ s etb=6 m ∙ s . 0 La condition trouvée est-elle suffisante pour garantir qu’il n’y aura pas collision entre les deux voitures (pour des valeurs différentes de V ,ε,aetb…) ? 0 Pourquoi cette condition est-elle suffisante avec les données numériques fournies ?
Ce qu’il faut savoir
• Mouvement à accélération constante. • Équation horaire.
Ce qu’il faut comprendre
• Il est astucieux de résoudre la première question en tenant compte de la deuxième : on prendra des notations telles qu’il ne soit pas nécessaire de refaire plusieurs fois le même calcul. • Pour la deuxième question, il faut prendre en compte les différentes phases du mou-vement, avec des conditions initiales pertinentes.
3. Solution 1.On peut prendre l’origine des abscisses à la position de la voiture à la datet= 0 : elle parcourt une distancex=V aεvant de freiner – avec une accélération –a 1 0 (aconstante0) à partir de la datet=ε. 1 Pourtt, le mouvement est caractérisé par une vitesse : 1 V=x˙ = a(tt)+V 1 0 1 2 et une positionx= –-a(tt)+V(tt)+x(1) 1 0 1 1 2 compte tenu des conditions initiales ci-dessus.
30Partie 1 – Physique MPSI
V 0 . L’arrêt est obtenu lorsque V = 0, soittt= -----1 a En reportant cette valeur dans l’expression dex(t), on obtient la distance d’arrêt D : 2 V V 10 0   D= –-a-----+V-----+x; 0 1   2a a
 2 V 0 D= -----+Vε 0 2a
Application numérique: –1 –1 V = 54 km ∙ h = 15 m ∙ s , d’où :D = 24 m. 0 –1 –1 V = 108 km ∙ h = 30 m ∙ s , d’où :D = 78 m. 0 2.L’équation horaire de la première voiture est donnée par la relation (1), en faisant t= 0 etx= 0 : 1 1 1 2 x(t)= –-at+Vt; 0 2 V 0   et elle s’arrête à l’abscissex=x-----, soit : 2   a 2 V 0 . x= -----2 2a À la datet= 0, la seconde voiture était à l’abscissed, et à la datet =ε, elle était donc 1 à l’abscissex= –d+Vε. 1 0 La relation (1) donne alors pour la seconde voiture une position (aveacremplacé parb) : 1 2 x′(t)= –-b(tt)+V(tt)+Vεd; 1 0 1 0 2 V 0 ce qui donne une distancexparcourue jusqu’à l’arrêt (à la datet=t+ -----) : 2 1 b 2 V 0 x= -----+Vεd. 2 0 2b La condition demandée correspond àxx(on néglige les dimensions des voitures, 2 2 assimilées à des points matériels…), soit : 2 2 V V 0 0 -----+Vεd-----; 0 2b2a
 2 V 01 1   d-------+Vε 0   2b a
Soit, avec les valeurs données :d33 m. Cette condition n’est pas suffisante : il suffit d’imaginer une situation telle queba, avecdVε. 0
Chapitre 1 – Mécanique 1
31
101
Exercice
102
Exercice
102
La seconde voiture heurte la première avant même le début de son freinage, alors que la condition trouvée peut être vérifiée ! Mais siba, la condition trouvée est effectivement suffisante. En effet, la seconde voi-ture se rapproche alors constamment de la première (la différence des vitessesx˙x˙reste toujours positive ou nulle) : c’est donc lorsqu’elles sont arrêtées que leur distance dest minimale.
Projectile soumis au frottement de l’air
Un projectile M de massemest lancé dans un plan vertical(Ox z)avec une vitesse initiale V faisant un angleθavec l’horizontale Ox. Ce référentiel, lié à la surface de 0 la Terre, sera supposé galiléen, et l’accélérationgde la pesanteur constante. Ce pro-jectile est soumis de plus à une force de frottement due à l’air, force que l’on peut mettre sous la forme F= –kV aveckvitesse instantanée du projectile.0 etV f m 1.Établir les équations du mouvement : on introduira la constante de tempτs= ---. k Montrer que la trajectoire du projectile admet une asymptote verticale, et que sa vitesse tend vers une limite V que l’on précisera. l Exprimer alors les vitesses et position du mobile en fonction det,τ,θ.et V , V 0 l 2.Calculer le tempstnécessaire au projectile pour atteindre le sommet S de sa tra-s jectoire, et donner la position de S. π , Application numérique :θ= -- V=calculer l’altitude de S, et comparer àV : 0 l 2 l’altitude atteinte lorsqu’on néglige le frottement de l’air. 1. Ce qu’il faut savoir
2.
Point de cours • Loi fondamentale de la dynamique. Outil mathématique • Résolution d’équation différentielle du premier ordre avec second membre.
Ce qu’il faut comprendre
1.On appliquera la loi fondamentale de la dynamique au projectile M assimilé à un point matériel. La vitesse limite peut être trouvée directement en cherchant à quelle condition l’accélérationas’annule. On pourra intégrer l’équation différentielle sous sa forme vectorielle et projeter les expressions obtenues pour V et OM .
32Partie 1 – Physique MPSI
2.À cause du freinage dû à l’air, la trajectoire étudiée doit se situer « au-dessous » de la trajectoire parabolique « classique » obtenue en l’absence de frottement.
3. Solution
1.La loi fondamentale de la dynamique appliquée au point M à un instant ma=mgkOn trouve directement queV . a=0V=constante.
Ce qui est réalisé pourmgkV
m ou encore en posantτ= ---k
=0
V l
soit
=τg
V l
mg = -------k
ts’écrit
POINTMÉTHODE dP Enécrivant le principe fondamental sous la forme------=ΣF , on obtient directe-dt ment une équation différentielle en V :
dP dV ------=m-------=mgkV dtdt
Résolvons maintenant l’équation différentielle
dVk -------+ ---V dt m
m =g soit en posantτ= ---: k
V dV Vl -------+ ----= -----. dtτ τ Résolvons l’équation différentielle vectorielle : t -τ V(t)=V+A e . l
Le vecteur A est défini par la condition initiale V
=V àt=0 : A 0
t -τ V(t)=V+(VV)e (1) l0l En intégrant une nouvelle fois par rapport àt, on obtient : t -τ OM(t)=Vt+(VV)(τ)e+B . l0l B est défini par la condition initiale OM=0 àt=0 : B=τ(VV) 0l
d’où
t -τOM(t)=Vt+τ(VV)1e l0l  
(2)
=VV 0l
Chapitre 1 – Mécanique 1
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102
Exercice
t -τx =τV0cosθ1e   OM t - τz= –Vt+τ(V sinθ+V)1e l0l  
– 2
t→ ∞
mg
V 0
d’où en projection sur(u,ua)v, ec x z V= –Vuest un module…) : (V l l z l
θ
kV
2
1
10
On retrouve bien sûr que pour VV l
8
4
x
6
2
0, ce qui correspond à une
z
Exercice
x
102
34
Partie 1 – Physique MPSI
O
V
t -τ V=V cosθe x0 V t -τ V= –V+(V sinθ+V)e z l0l
V 0 t=τ+ln 1 -----sinθ s V l
2.VLe sommet S de la trajectoire est déterminé par = z t s – --τ datet0telle que : = –V+(V sinθ+V)e s l0l
– 6
– 4
soit :
z
2
0
Lorsquet→ ∞ , verticale.
x=τV cosθce qui correspond bien à une asymptote x lim 0
et, en reportant :     1 x s=τV cosθ1– --------------------------0 V 01+ -----sinθ   V l V V     0l z= –τV ln 1+ -----sinθ+τ(V sinθ+V) ⋅1– -----------------------------s l0l     V V sinθ+V l0l V 0   z=τV sinθτV ln 1+ -----sinθ s0l   V l π siθ= --et V=+V , il vient : 0l 2 x=0 s . z=τVτ2V ln =τV(1ln 2) s l l l En l’absence de tout frottement de l’air, le mouvement sur l’axe Ozdevient : ˙˙ z= –g V 0 ˙ z= –g t+V , d’oùt= -----0sg 1 2 z= –-g t+Vt 0 2 2 V 0 . etz=z(t)= -----ss2g Pour comparer les altitudes de S et S, exprimonszen fonction de V etg: s0 2 V V V ml0 0   V=V etτ=---= ----= -----:z=-----(1ln 2)l0s   k g g g d’où : z s ----=2(1ln 2) #0,6. z szz: le résultat est bien cohérent ; en présence de frottement le point matériel s smonte moins haut.
103Deux mouvements sur la même trajectoire
A.Un mobile M décrit une hélice circulaire d’axeOz, son mouvement étant défini en coordonnées cylindriques(r,θ, z)par les équations : θ   r=Rθ=ωt z=H1– -----  2π
Chapitre 1 – Mécanique 1
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103
Exercice