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Premiers pas en topologie algébrique

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Cet ouvrage se veut une introduction à l'homologie. Il fait suite à un premier volume consacré à l’homotopie. Il comporte deux gros chapitres respectivement divisés en sept et cinq sections. Le premier expose les motivations et les idées qui conduisent à l'homologie, la définition de l'homologie singulière d'un espace topologique, les rapports entre homologie et homotopie, le cadre algébrique de l'homologie et le théorème fondamental de l'algèbre homologique, les subdivisions barycentriques la localisation de l'homologie singulière et le théorème de Mayer-Vietoris, la définition de l'homologie relative et ses propriétés et enfin le calcul du premier groupe d'homologie singulière d'un espace topologique connexe par arcs à partir de son groupe de Poincaré. Le second chapitre comporte le calcul de l'homologie singulière réduite des sphères, des sections consacrées aux sujets plus généraux des homologies simpliciale et cellulaire et de l’équivalence entre ces dernières et l’homologie singulière et enfin le calcul de l’homologie de divers espaces topologiques.



Cet ouvrage est destiné aux titulaires d’une maîtrise de mathématiques : étudiants de normale sup, de préparation à l’Agrégation ou de DEA.


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Introduction
Cet ouvrage se veut une introduction à l’homologie. Il fait suite à un pre-mier volume consacré à l’homotopie. On trouvera ce dernier en accès gra-tuit sur http://www.les-mathematiques.net ou sur http://www.ufr-mig.ups-tlse.fr/NTIC/tice/e-m1maths/bigonnet/. Les références à des chapitres numérotés de 1 à 6 renvoient à ce premier volume.
Le présent tome comporte deux gros chapitres, numérotés 7 et 8 et respectivement divisés en sept et cinq sections.
Le chapitre 7 est consacré aux fondements et aux principaux outils de l’homologie. Au fil des sections on y trouvera :
les motivations et les idées qui conduisent à l’homologie,
la définition de l’homologie singulière d’un espace topologique,
les rapports entre homologie et homotopie,
le cadre algébrique de l’homologie et le théorème fondamental de l’algèbre homologique,
les subdivisions barycentriques, la localisation de l’homologie singulière et le théorèmede Mayer-Vietoris,
la définition de l’homologie relative et ses propriétés
d’homologie singulière d’unet enfin le calcul du premier groupe espace topologique connexe par arcs à partir de son groupe de Poincaré.
Le chapitre 8 propose les applications principales des outils fournis au chapitre 7. On y trouve :
le calcul de l’homologie singulière réduite des sphères,
deux sections consacrées aux sujets plus généraux des homologies simpliciale et cellulaire et de l‘équivalence entre ces dernières et l’homologie singulière
et enfin le calcul de l’homologie de divers espaces topologiques.
N’hésitez pas à me contacter pour me faire part de vos suggestions, ques-tions, difficultés ou tout simplement pour me faire profiter des coquilles qui, malgré mes efforts, se seraient glissées dans le texte.
Je serais ravi de vous répondre.
Bruno BIGONNET
mailto:bruno.bigonnet@math.univ-toulouse.fr
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