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Probabilités et statistique aujourd'hui

De
298 pages
Comprendre pour faire, puis faire pour comprendre : ceci résume cet ouvrage de probabilités et statistique. L'auteur prend le temps de développer les aspects historiques et culturels des probabilités : hasard et modèles, risques, principe de précaution, espérance et jeux, médecine, biologie... Elle aborde ensuite les notions classiques, du dénombrement aux tests d'hypothèses. Suivent des exercices tous corrigés en détail, avec parfois plusieurs solutions.
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Probabilités

et statistique

aujourd'hui

<9L'Harmattan, 2009 5-7, rue de l'Ecole polytechnique, 75005 Paris http://www.librairieharmattan.com diffusi 0n.harma ttan@wanadoo.fr harmattanl@wanadoo.fr
ISBN: 978-2-296-07472-9 EAN:9782296074729

Martine Quinio Benamo

Probabilités

et statistique

aujourd'hui

Nouvelle édition 2009

L'Harmattan

Sciences

et Société

fondée par Alain Fuchs et Dominique Desjeux et dirigée par Bruno Péquignot

Déjà parus Sezin TOPÇU, Cécile CUNY, Kathia SERRANO-VELARDE (dir), Savoirs en débat. Perspectives franco-allemandes, 2008. Jean-David PONCI, La biologie du vieillissement, sur la science et sur la société, 2008. une fenêtre

Michel W AUTELET, Vivement 2050 ! Comment nous vivrons (peut-être) demain, 2007. Claude 2007. DURAND, Les biotechnologies au feu de l'éthique,

Bruno PINEL, Vieillir,2007. Régis MACHE, La personne dans les sociétés techniciennes, 2007.
Alain GUILLON, Une mathématique de la personne, 2005. en France, Tome II: Marie-Thérèse COUSIN, L'anesthésie-réanimation des origines à 1965. Tome I: Anesthésie. Réanimation. Les nouveaux professionnels, 2005.

Fernand CRIQUI, Les clefs du nouveau millénaire, 2004. Karine ALEDO REMILLET, Malades, médecins et épilepsies, une approche anthropologique, 2004. Claude DURAND biotechnologies,2003. (sous la dir.), Regards sur les

Pierre-Yves MORVAN, Dieu est-il un gaucher qui joue aux dés ?, 2002. Jacques ARSAC, y a-t-il une vérité hors de la science? Un scientifique s'aventure en philosophie, 2002. Jean-Georges HENROTTE, Entre Dieu et Hasard: un

scientifique en quête de l'Esprit, 2001.

Table des matières
A vant- prop os
IX

I

Pourquoi

faire

des probabilités?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 3 3 5 5 7 9 9 11 13 13 15 17 17 18 19 20 22 25 25 26 26 27 28 29

1 HASARD ET MODELES 1.1 Par hasard? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Réalité, modèle, réalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Qu'est-ce qu'une expérience aléatoire? . . 1.2.2 Qu'est-ce qu'une loi de probabilité? . . . . . . .

2 PREVOIR OU PREDIRE? 2.1 Laplace................................ 2.2 La météo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 HISTORIQUE DES PROBABILITES 3.1 Probabilité . . . . . . 3.2 Dominer le hasard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DECISION, RISQUES, ESPERANCE 4.1 Expert, profane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Risque, environnement et probabilité. . . . . . . . . . . 4.2.1 Définir le risque. . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Evaluer le risque. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Gérer les risques, principe de précaution. . . . .

4

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

5 FINANCES ET PROBABILITES 5.1 Introduction.............................. 5.2 Vocabulaire.............................. 5.3 Histoire des options, de la bourse. . . . 5.3.1 La bourse et les marchés financiers. 5.3.2 Des pionniers de la bourse à aujourd'hui... 5.4 Joies et limites des "maths <1>" ...................
III

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV

TABLE DES MATIÈRES JEUX ET STRATEGIES
6.1 6.2 6.3 Martingale............................... Espérance de vie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Stratégie et équilibres.

31 32 33 34 35 35 37 39 41 44 45 46 47 50

7 STATISTIQUE
7.1 7.2 Le Une vocabulaire. belle

DESCRIPTIVE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Florence Nightingale. . . . . . . . . .

histoire:

8 LES LOIS DES GRANDS

NOMBRES.

..

8.1 Historique de la courbe en cloche. ................. 8.2 Les sondages. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Les intervalles de confiance. . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 En quoi consiste un sondage? . . . . . . . . . . . . 8.2.3 Quelles sont les causes des erreurs dans les sondages? . . 8.2.4 Petit historique des sondages. .. . . . . . . . . . . . . . . .

9

53 LES TESTS STATISTIQUES 9.1 Principe des tests. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 9.2 Statistique et économie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 59 . . . 59 . . . . . . . 66 . . . 66 . . . . . . . 68 . . . . . . . 71 73 . . . . . . . 73 . . . . . . . 75 . . . 75 . . . 78

10 HASARD ET SCIENCES DU VIVANT 10.1 Médecine. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Biologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.1 Des gènes tirés au sort. . . . . . . 10.2.2 Les papillons de Kettlewell. . . . 10.2.3 Test du khi-deux. . . et petits pois.

. . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

11 SCIENCES PHYSIQUES ET PROBABILITES 11.1 Hasard et déterminisme; Poincaré. . . . . . 11.2 La mécanique statistique. . . . . . . . . . . . 11.3 La mécanique quantique. . . . . . . . . . . . 11.4 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

II

Des probabilités:

comment

faire?
. . . . . . . . . . . . . . . linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79 81 81 85 85 86 . . . . . 89 91 . 92 . 93 .

12 STATISTIQUE DESCRIPTIVE 12.1 Séries statistiques simples. . . . . . . . . . . . 12.2 Séries statistiques doubles. . . . . . . . . . . . 12.2.1 Nuage de points. . . . . . . . . . . . . 12.2.2 Méthode des moindres carrés, ajustement 12.2.3 Règles de calcul et propriétés. . . . . . 12.3 Résumé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Fiche de travail: énergie. . . . . . . . . . . . 12.5 Fiche de travail: hommes-femmes, inégalités? .

TABLE DES MATIÈRES 13 BASES DES PROBABILITES 13.1 On compte... 13.1.1 Premier cas: ordre et répétition. . 13.1.2 Deuxième cas: ordre sans répétition; 13.1.3 Troisième cas: ni ordre ni répétition; 13.2 PROBABILITES. . . . . . . . . . . . . 13.2.1 Le vocabulaire de base. . . . . . . . 13.2.2 Formule de Laplace. . . . . . . . . 13.2.3 Que signifie tirer au hasard? 13.3 Exercices de base. . . . . . . . . . . . . . . 13.4 Solutions des exercices de base. . . 14

v 95 95 95 96 98 101 101 103 106 108 109

. . . . . . . . arrangements combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . ..

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

INDEPENDANCE 14.1 La formule de Bayes. . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.1 Formule des probabilités totales. . . . . . 14.1.2 Indépendance. . . . . . . . . . . . 14.2 Fiche de travail indépendance. . . . . . . . . . 14.3 Solutions des exercices indépendance. . . . . . . 14.4 Un test de dépistage et un test pour les medecins!

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

113 . . . . 115 117 . . . . 117 . . . . 119 . . . . 121 . . . . 124 127 127 129 132 133 133 133 135 135 137 137 138 139 140 142 143 145

15 VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES 15.1 Exemple: le schéma de Bernoulli. . . . . . . . . . . . . 15.2 Les principes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3 Paramètres d'une variable aléatoire discrète. . . . . . . 15.4 Couples, somme, produit. . . . . . . . . . . . . 15.4.1 Couple de variables aléatoires. . . . . . . . . . . 15.4.2 Somme, produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4.3 Règles de calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5 Indépendance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.6 Les lois classiques discrètes. . . . . . . . . . . . . . . . 15.6.1 Loi de Bernoulli, fonction indicatrice. . . . . . . 15.6.2 Loi binomiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.6.3 Loi géométrique: temps d'attente d'un succès... 15.6.4 Loi hypergéométrique : des tirages sans remise. 15.6.5 La loi de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.6.6 Approximation d'une loi binomiale par une loi de 15.7 Loi faible des grands nombres. . . . . . . . . . . . . . . 15.7.1 Inégalité de Bienaymé-Tchebytchev. 15.8 Fiche de travail variables discrètes. . . . 15.9 Solutions des exercices variables discrètes. 15.10Fiche de jeux. . . . . . . . . . . . . . . . 15.10.1 Des jeux, encore! . . . . . . . . . . 15.11Solutions des exercices fiche de jeux. . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Poisson . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

145 . . . . . 147 . . . . . 148 . . . . . 150 . 151 . 153

VI

TABLE DES MATIÈRES

16 LES VARIABLES CONTINUES 159 16.1 Paramètres d'une variable aléatoire continue. . . . . . . . . . . . 160 16.2 Exemples de lois classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 16.2.1 Autres lois classiques: ne passez-pas sans les voir! . . . . 162 17 LA 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 LOI DE GAUSS Convergence d'une binomiale vers la loi de Gauss: . Exemple d'échantillonnage. . . . . . . . . . . . . . . Courbe de Gauss. . . . . . . . . . . . . Test rapide de lecture des tables. . . . . . . . . . . Théorèmes essentiels. . . . . . . . . . . . Convergence vers la loi normale. . . . . . . . 17.6.1 Vitesse de convergence et approximation. 17.6.2 Correction de continuité. . . . . . . . . . . . 17.6.3 Graphiquement: tendance de la binomiale normale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.6.4 Autres lois utilisant la loi normale. . . . . . 17.7 Fraude dans le tram... . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.8 Prix du billet d'avion? . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.9 Fiche de travail loi normale et convergence. . 17.10So1utions des exercices loi normale. . . . . . . . . . 165 165 165 166 169 170 172 173 174 176 177 180 180 183 185 187 187 188 189 191 191 192 192 197 199 199 202 204 207 208 209 210 213 215 217 217 219 231

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vers la loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18 ESTIMATION 18.1 Principes de l'estimation. . . . . . . . . . . . . . . . 18.2 Approche probabiliste: les bases. . . . . . . . . . . 18.2.1 Estimateurs . . . . . . 18.3 Intervalle de confiance. . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3.1 Principe. . . . . . . . . . . . 18.3.2 Mise en oeuvre. . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3.3 Chercher des intervalles de confiance . 18.3.4 Propriétés des intervalles de confiance 18.3.5 Utilisation des lois classiques. . . . . . . . . 18.3.6 Estimation par le maximum de vraisemblance. 18.4 Fiche de travail estimation . . . . . . . . . . 18.5 Solutions des exercices estimation. . . . . . 19 LES TESTS STATISTIQUES 19.1 Comparaison de moyennes. . . . . . . . . 19.2 Comparaison de fréquences. . . . 19.3 Moyenne d'un caractère quantitatif. . . . 19.4 Fréquence d'un caractère qualitatif. . 19.5 Test de Student: cas de petits échantillons. 19.6 Fiche de travail statistique et économie. . 19.6.1 Un test de Student industriel. . . 19.7 Le test du khi-deux. . . . . . . . . . . . . 19.8 Quel type de test? . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Avant-propos

vu

19.8.1 Test d'indépendance de deux variables aléatoires quantitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.9 Fiche de travailles tests. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.10Solutions des exercices sur les tests. . . . . . . . . . . . . . . . 19.10.1 Fiche de travail: article scientifique. . . . . . . . . . . 19.1O.2Pour conclure: la chasse aux papillons... (test statistique)

. . . .

231 233 234 239 241

III

Annexes:

compléments
aérienne aux chaînes de Markov

243
245 249

20 La surréservation 21 Introduction

22 Dossier énergie 22.1 Documents fournis

255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

265 23 Hommes, femmes: inégalités? 23.1 Documents fournis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 24 Tables statistiques 24.1 Table de Gauss. 24.2 Table du khi-deux.
25 Probabilités en un coup

273 . . . . . . 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
d'oeil 277

A vant- propos

IX

A vant- propos
« On n'enseigne Jean Jaurès pas ce que l'on sait, on enseigne ce que l'on est. »

Connaissez-vous cette histoire: Un patient, inquiet avant une opération

délicate,

consulte

son chirurgien.

- D'après vous, docteur, quelles sont les chances de m'en tirer? - 99 chances sur 100; - Et vous-même, combien avez-vous réussi d'opérations de ce genre?

- 99...
Que reste-il de nos lectures? Des émotions, des enthousiasmes, des souvenirs de difficultés rencontrées, des efforts pour comprendre parfois, du plaisir souvent et, en ce qui me concerne, des notes gardées précieusement afin de constituer une trace écrite que j'ai envie, à mon tour, de partager. Je me souviens de ce colloque où le physicien Jean-Marc Lévy Leblond, qui oeuvre avec talent pour la diffusion de la science auprès du plus grand nombre, disait: « Pour moi, enseigner, c'est comprendre; nous maîtrisons bien mieux des notions que nous cherchons à transmettre; c'est le meilleur test de notre propre compréhension ». Il en est de même pour les étudiants: faire un exposé, s'exprimer devant les autres, est un exercice actif et efficace, c'est pourquoi il m'arrive souvent de dire à un étudiant en échec devant un travail: passez au tableau, parlez, et vous comprendrez! Il sera beaucoup question dans ce qui va suivre, du hasard et des sciences qui cherchent à le dominer, les probabilités et la statistique. La matière de ce livre est le résultat d'une succession de hasards et coïncidences; on entre dans une librairie, une bibliothèque (peut-être comme vous en ce moment), et on tire d'une étagère celui-ci ou celui-là, on assiste à une conférence dont on a vu l'intitulé par hasard dans le journal. . . et voilà! C'est ainsi que je voudrais vous faire partager mon enthousiasme, au gré des lectures qui m'ont inspirée. Disons tout d'abord ce que ce livre n'est pas: vous ne trouverez pas ici seulement un cours de statistique, avec formules et exercices corrigés. Mais il y en aura! Vous ne trouverez pas non plus un livre de « vulgarisation» comme on dit, sans aucune notion mathématique: L'originalité de ce travail par rapport aux autres ouvrages de probabilité, est la place faite, dans la première partie - un tiers de l'ouvrage total - à l'aspect culture générale autour des probabilités et statistique,. je l'ai souhaitée indépendante de la partie cours d'une part pour permettre à un public élargi d'y accéder,

d'autre part parce qu'intercaler chapitre cours

/

chapitre culture aurait été ar-

t~ficiel. En fait, j'espère vous mettre en appétit en quelque sorte, vous donner l'envie d'en savoir plus sur un domaine un peu mal aimé, il faut le dire!

x

A vant- propos

Issues des jeux de hasard, mais théorie mathématique aujourd'hui reconnue, les probabilités interviennent dans tant de domaines qu'il est possible, pour en parler, de faire autre chose que des mathématiques. On peut aujourd'hui utiliser dans certains supermarchés des" scannettes" qui permettent de passer en caisse directement; parfois, un contrôle est demandé mais ce système est basé sur l'honnêteté du client qui paye ce qu'il a lui même scanné. Les directions de ces supermarchés se basent sur des calculs statistiques sophistiqués: dans quelle mesure l'éconnomie de caissières contrebalance les pertes dues aux clients peu honnêtes? Comment calculer la fréquence des contrôles afin que le système soit rentable mais ne décourage pas les clients? Quel est la coût social d'une telle mesure? Un chroniqueur radio déplore, à juste titre, que la masse d'informations que l'on nous inflige quotidiennement, n'est que succession de données chiffrées: nombre de morts ici ou là, indices boursiers de toutes sortes, tarifs de consultation des médecins, sondages jetés n'importe comment, promesses électorales chiffrées. . . Tout est chiffre? Non! La preuve, même un ouvrage de mathématiques peut avoir comme ambition d'élargir la culture tout court! Partant de situations concrètes en médecine, biologie, économie, mathématiques financières, environnement, météo, jeux, transports et surréservation, fraude et transport, mon objectif est de dégager les mathématiques élémentaires de la prévision, du moins, quelques thèmes choisis; et comme, apprendre c'est faire, je vous proposerai des tests, en petit nombre, illustrant ces notions de bases: Lecture et commentaires de documents statistiques (source: INSEE, magazines scientifiques, grands quotidiens, Dossiers et Documents du Monde...). Probabilités élémentaires, combinatoire. Variables aléatoires et lois classiques, (en particulier la loi normale), espérance, intervalle de confiance, estimation, tests d'hypothèses, introduction aux chaînes de Markov en annexe. Le cours est introduit - motiver - montrer tidien ; par un exposé qui vise plusieurs objectifs: dans le quo-

l'introduction de la partie technique; l'étendue des champs d'applications

des probabilités

- permettre aux enseignants et futurs enseignants, sont mis aux probabilités, d'enrichir leur cours;

qui, bon gré, mal gré, se

- donner aux étudiants l'envie de lire pour en savoir davantage; - rendre plus digeste la suite. . . Dans ce vaste domaine des probabilités et statistiques, je vous propose, par rapport à d'autres ouvrages, relativement peu d'exercices: il ne me paraît pas indispensable d'en faire des tonnes pour comprendre; par contre, il est absolument nécessaire, comme dans tout apprentissage, de les faire tous: une lecture ne suffit pas, même si la solution est détaillée; de plus, comme les thèmes ne sont pas égaux en difficulté, certains seront traités avec plus d'exemples et d'exercices. J'espère vous convaincre ici que les outils mathématiques utilisés en probabilité

Avant-propos

xi

et statistique sont, à condition d'en connaître les limites d'application, une voie, parmi d'autres, vers une meilleure citoyenneté! J'espère surtout vous faire partager ma passion pour ce domaine des mathématiques et vous donner envie de lire et de faire. . . Terminons cet avant-propos par cette citation de Poincaré (Henri) : « Le mathématicien pur qui oublierait l'existence du monde extérieur serait semblable à un peintre qui saurait harmonieusement combiner les couleurs et les formes, mais à qui les modèles feraient défaut: sa puissance créatrice serait bientôt tarie. »

Merci, merci...
Pour leur aide précieuse et décisive, merci Françoise et Michel, Dominique, Cyril; merci Jean-Etienne. Pour son travail de correction, pour ses conseils de spécialiste, merci Christophe; merci à tous ceux qui ont fait un travail de relecture. Pour leur patience et pour leur présence, merci Valentine, Cécile et Marc. Merci Lucien, qui, bon pédagogue, m'a transmis l'envie de transmettre...Evidemment, merci maman; merci Gilles pour ses encouragements et pour le coup de pouce final, et merci à mon artiste peintre préférée.

Première partie

Pourquoi faire des probabilités?

Chapitre

1

HASARD

ET MODELES
l'arabe: az-zahr, qui signifie dé. dans cet univers hasardeux dont diable est-ce la poésie qui s'en traduction française Gallimard)

Hasard: jeu de dés au moyen âge; vient de « Et pourquoi diable y a-t-il certaines choses la beauté criante nous appelle. Et pourquoi empare. » (Graham Swift, « Ever after )),

1.1

Par hasard?

Une des difficultés que nous rencontrons lorsque nous entrons dans le domaine des probabilités et statistique vient de la complexité du langage, du jargon employé; paradoxalement, le vocabulaire utilise des mots usuels (hasard, aléatoire, échantillon.) et des expressions courantes (tirer au hasard etc) ; alors d'où vient cette étrange impression, pour certains, ce dégoût, dès que l'on se lance dans l'apprentissage de ces maths pas comme les autres? Il me semble utile de commencer une revue de quelques mots clés. Bien sûr, vous trouverez dans le chapitre Bases des probabilités, les définitions mathématiques. Parlons de « hasard» : ce mot a-t-il le même sens quand un monsieur reçoit une tuile sur la tête, combinaison remarquable selon Cournot (surtout pour le monsieur !), quand une mutation se produit dans une espèce vivante, quand une découverte scientifique aboutit à de l'imprévu, quand on rencontre sur un sentier de montagne un copain perdu de vue depuis dix ans? Antoine Augustin Cournot (1801-1877) synthétise les différentes acceptions du mot en remarquant que le caractère fortuit de certains événements découle de ce que leurs causes antécédentes étaient indépendantes, alors que leurs effets brusquement se mêlent: « Un événement fortuit est issu du mélange de deux lignées héréditaires distinctes. » (le passage du type et la chute de la tuile); un tel événement est donc le résultat d'une série de causes indépendantes; on parle de hasard ou de malchance à propos de certaines maladies ou certains accidents quand la disproportion entre des événements et leurs conséquences soulignent le caractère injuste de ceux-ci, d'autant plus que la victime est plus faible. Le hasard est alors 3

4

CHAPITRE

1. HASARD

ET MODELES

la violation de la justice et de l'égalité. Il désigne aussi l'effet non prévu d'une action, le décalage entre le but poursuivi et le résultat obtenu: on pourrait évoquer une quantité de découvertes où le hasard intervient; par exemple, on raconte que Kandinski, généralement présenté comme le premier peintre abstrait, vit un jour un de ses tableaux figuratifs tourné par hasard à l'envers tel un arrangement de lignes, de formes, de couleurs et que de là, vint son inspiration pour proposer un nouveau style, la peinture abstraite. En mathématiques, une fois un cadre défini, le calcul des probabilités permet d'évaluer les chances de réalisation d'un événement: par exemple, au loto, toutes les grilles de 6 numéros sont, avant tirage, équiprobables; ainsi, la séquence 1,2,3,4,5,6 a la même probabilité que n'importe quelle autre, même si celle-ci est sortie la semaine dernière! Je suis sûre que certains d'entre vous sont sceptiques, et pourtant l'univers des grilles possibles est, chaque semaine, l'ensemble des combinaisons de 6 numéros parmi 49 : la machine qui mélange les boules n'a pas de mémoire. Ce qui est exact, c'est que les gains ne sont pas équivalents d'une grille à l'autre: les gens aiment bien miser sur les dates de naissance de leurs proches ou de leur percepteur, le numéro 13 est joué davantage et ainsi, les grilles 9, 13,7, 18,42,45 et 49,48,47,46,45,44 sont équiprobables mais la seconde rapportera davantage en cas de sortie parce que moins jouée; là, nous faisons des statistiques. La notion d'indépendance liée à l'absence de mémoire, est aussi claire que pour deux lancers de dés consécutifs! Un auditeur de France Inter se demande pourquoi la grille gagnante du loto comporte souvent 2 nombres consécutifs? On y répondra dans la partie cours. Réfléchissons un moment sur un point qui me paraît crucial: Lorsqu'on lance un dé ou une pièce, ce sont, théoriquement, les lois de la mécanique qui déterminent, une fois tous les paramètres connus, le numéro sorti ou le côté pile ou face; l'ennui, c'est qu'une toute petite variation de mouvement de poignet, une infime déviation aura des conséquences considérables sur le résultat: alors, on dira que c'est le hasard; soit. Mais si l'on répète 1000 fois l'opération, on connaît la probabilité, 95%, pour que le nombre total de pile au cours des 1000 épreuves soit compris entre 468 et 532. Cet intervalle, qui dépend du nombre total de lancers de la pièce et du seuil de confiance posé, (ici, à 95%) peut se déterminer mathématiquement: vous ferez le calcul vous-même, les outils seront fournis et une réponse détaillée est proposée dans le chapitre Estimation, qui suit le chapitre Loi normale. Ainsi, la répétition élimine en quelque sorte le hasard et redonne une espèce de déterminisme à des événements liés au hasard! Mais il faut se contenter d'une fourchette et d'une probabilité certes aussi grande que l'on veut, il suffit d'augmenter le nombre d'épreuves. On n'aura jamais la certitude, ce qui est difficile à accepter; notre éducation, nos habitudes nous poussent vers ce qui est certain, tout au moins, vers ce qui a du sens; or, ce qui est fortuit est non nécessaire. Certains domaines, religieux, scientifiques, refusent le hasard: la psychana-

1.2. RÉALITÉ,

MODÈLE, RÉALITÉ

5

lyse nie le hasard; tout ce que l'on dit, même par erreur, a une signification, une nécessité. Le destin, au sens tragique, grec classique par exemple, dans lequel il n'y a pas de place pour le hasard puisque tout est écrit, est tout aussi dur à admettre. Quoi que fasse Oedipe, son destin est tracé: il tuera son père et couchera avec sa mère...

1.2

Réalité,

modèle,

réalité

Un modèle, pourquoi faire? Au premier sens du mot, un modèle est ce que l'on reproduit par imitation; c'est le modèle du peintre, mais c'est aussi le modèle au sens de ce que l'on voudrait imiter: un bon élève, par exemple. Donnons ici la définition proposée par Michel Henry (IREM) : « Un modèle est une interprétation abstraite, simplzfiée et idéalisée d'un objet du monde réel, ou d'un système de relations ou d'un processus évolutif issus d'une description de la réalité. » On parle par exemple de modèles climatiques, de modèles financiers, posés par certains, contestés par d'autres: qu'est-ce que cela signifie? Qu'y a t-il de commun entre les processus réels suivants: - une usine fabrique, en grand nombre, des pièces calibrées dont la dimension ne peut être parfaite, ce qui nécessite un contrôle pour écarter les pièces dont les dimensions sortent des marges autorisées; la proportion de telles pièces défectueuses est un nombre p, inconnu, qu'il faut estimer afin d'évaluer, à l'avenir, la qualité de fabrication. Comment estimer p, puis, combien peut-on attendre de pièces défectueuses dans un lot tiré au hasard? - afin de tester un médicament sur des souris, des tests sont effectués; une proportion p de souris ne survit pas à la suite de l'injection de ce médicament. Comment estimer p, et, combien peut-on attendre d'échecs dans un échantillon donné? Ces deux processus réels peuvent être fictivement décrits par une urne contenant des boules blanches, en proportion p inconnue, et des boules noires en proportion 1- P : Dans le premier cas, les boules blanches représentent les pièces défectueuses; chaque tirage au hasard, avec remise, de n boules dans l'urne fournira une proportion f de boules blanches qui tend, quand n tend vers l'infini, vers p; une fois p estimé par une valeur issue de l'expérience, il est possible de donner un encadrement de f, pour tout échantillon futur, et donc, de faire des prévisions. Pour aller plus loin, il faut bien définir les notions de base:

1.2.1

Qu'est-ce

qu'une

expérience

aléatoire?

Contrairement à une expérience déterministe dont l'issue est prévisible dès que l'on connaît les conditions initiales et les lois qui régissent le système dynamique observé, une expérience aléatoire, au sens usuel, est une expérience dans laquelle le hasard intervient, et dont on ne peut évaluer le résultat; par exemple

6

CHAPITRE

1. HASARD

ET MODELES

une très grande sensibilité aux conditions initiales rend imprévisible le côté pile ou face. On parle souvent en probabilité de répétition d'une épreuve dans les mêmes conditions; on ne peut pas comprendre cela sans, d'abord, éclaircir des points essentiels; distinguons plusieurs niveaux: (1) - La réalité, l'expérience réelle. (2) - L'expérience abstraite, idéalisation de la réalité. (3) - Le choix d'un modèle mathématique: axiomatique, lois de probabilité, hypothèses de modèle. (4) - Retour à la réalité: validation du modèle, décision, prévision. C'est assez simple, explications: Si vous me dites: « On lance un dé bien équilibré, 100 fois, on répète donc 100 fois une expérience dans des conditions identiques », je vous réponds: à quel niveau vous placez-vous pour affirmer cela? Au niveau (1), c'est impossible: par définition, chaque expérience est unique. Et puis, comment savez-vous que le dé est bien équilibré? Au niveau (2), je comprends: vous me parlez d'une expérience idéale, abstraite où, en effet, la perfection du dé existe et où il est possible de répéter 100 fois, mille fois une expérience dans les mêmes conditions, c'est à dire: - en respectant à chaque fois le même protocole, processus à suivre; - en connaissant les issues possibles, ce qui signifie: je sais ce qui m'intéresse dans cette expérience, j'en connais les résultats possibles. Alors, et alors seulement, je comprends que l'expérimentateur n'est pas doué de pouvoirs surhumains, mais utilise un niveau d'abstraction pour réaliser une expérience idéale. C'est ainsi que le mathématicien Bernoulli concevait la fameuse urne, qui, comme le dé, sert de support à un concept imaginé. Allons plus loin pour définir à présent cette notion de modèle d'expérience aléatoire. Outre ce qui vient d'être posé en premier, une expérience aléatoire abstraite doit être décrite avec des hypothèses claires: il nous faut définir le type de modèle de tirages, avec remise, ou sans remise, simultanés ou non etc. Ensuite, il faut exploiter les données contenues dans le protocole et cela amène à poser des hypothèses dans le modèle, l'équiprobabilité par exemple. Cela conduit à appeler à la rescousse des lois de probabilité supposées régir la répartition des résultats possibles, ces lois dépendant elles-mêmes de paramètres (moyenne, variance), qu'il faudra estimer. Oui, mais pour cela, il nous faut descendre d'un niveau, et retourner sur le terrain de la réalité concrète: seule l'observation de la réalité, d'échantillons, permet, sans autre hypothèse a priori, d'estimer des paramètres! Une fois ces paramètres estimés, avec marge d'erreur donc incertitude, on a un modèle. Bon, c'est fait, on a collé un modèle mathématique sur l'expérience: niveau (2) de l'expérience idéale et (3), cadre mathématique: On gardera ce modèle comme on a gardé le modèle de la mécanique Newton, c'est à dire tant que ce modèle n'est pas contredit. Contredit par quoi? Mais par la réalité, bien sûr! de

1.2. RÉALITÉ,

MODÈLE, RÉALITÉ

7

Et c'est reparti au niveau (1) pour la validation du modèle, ce modèle là, pas un autre qui aurait pu convenir aussi. Sans une bonne compréhension de ces allers-retours entre réalité et modèle, sans la maîtrise du niveau auquel on se situe, on ne peut pas faire des probabilités. On ne peut calculer des probabilités qu'à l'intérieur d'un modèle, qui n'est pas la réalité:

1.2.2

Qu'est-ce

qu'une

loi de probabilité?

On dira que l'on a modélisé une expérience aléatoire si on lui a associé une loi de probabilité. Prenons par exemple un grand classique: on lance un dé afin de tester celui-ci, et on note la fréquence du 6; Niveau (1) : on lance le dé, chaque épreuve est unique, on note la fréquence du 6, 15 sur 120, mettons; Niveau (2) : expérience idéale; on lance dans les mêmes conditions le dé 120 fois; la loi des grands nombres affirme que, dans ces conditions, la fréquence du 1 6 se rapproche de la valeur limite idéale, - si le dé est équilibré, et ce d'autant 6 mieux que le nombre de lancers est grand. 1 Alors on voit que la valeur - est la valeur limite obtenue au niveau (2), 6 différente de la valeur limite que l'on obtiendrait au niveau (1), réalité concrète, parce que l'on doit différencier réalité et modèle: L'expérience fournit des fréquences empiriques, le modèle fournit une valeur théorique invariante, la loi de probabilité. La probabilité de l'événement « obtenir le 6 » est la valeur limite vers laquelle la fréquence du 6 tend, quand le nombre de lancers tend vers l'infini, au niveau (2) de l'idéalisation. Concrètement, on utilise cette idée pour tester un dé : comment savoir si celui-ci est bien équilibré? Le statisticien fait un test d'hypothèse: Si le dé est équilibré, alors la fréquence du 6, sur 120 lancers se situe dans une fourchette que le modèle mathématique permet d'évaluer, avec un degré de confiance donné; on détaillera en temps voulu. (chapitre Test d'hypothèse). Puis, il confronte ce modèle à la réalité, c'est à dire à la fréquence réelle observée: - Celle-ci est dans la fourchette permise: il accepte l'hypothèse du dé équilibré; - Celle-ci n'est pas dans la fourchette permise: il rejette cette hypothèse. On verra que, quelle que soit la décision prise, celle-ci comporte une dose d'incertitude! L'observation de la réalité et des calculs permet de valider ou non un modèle; c'est dans ce modèle que les calculs ont été menés; cela ne signifie pas que ce modèle soit le seul, ni que ce soit un bon modèle: c'est UN modèle.

Chapitre

2

PREVOIR

OU PREDIRE?

« Savoir pour prévoir afin de pourvoir.» (Auguste Comte) « Or le travail mental de prévision est une des bases essentielles dans la civilisation. Prévoir est à la fois l'origine et le moyen de toutes les entreprises, grandes ou petites. C'est aussi le fondement présumé de toute la politique. » (Paul Valéry) Prévoir: « voir à l'avance, juger qu'une chose sera. » Prédire: « annoncer comme devant être ou se produire un événement qui n'a pas forte probabilité. » (Le Robert) « Qu'est ce qu'une bonne expérience? c'est celle qui nous fait connaître autre chose qu'un fait isolé, c'est celle qui nous permet de prévoir, c'est à dire celle qui nous permet de généraliser. » Henri Poincaré, La Science et l'Hypothèse. Ainsi, les notions de prévision et de prédiction diffèrent par le degré de probabilité. Au X l Xe, l'absolue confiance dans la science est telle que les lois de la nature semblent déterminées, et que seules les limites de nos connaissances nous empêchent de les cerner. Ceci dit, de vives polémiques opposent les déterministes et les probabilistes. Un homme illustre à lui seul ce débat: c'est Pierre-Simon de Laplace (17491827).

2.1

Laplace

Laplace est l'auteur d'un traité intitulé Théorie Analytique des Probabilités (1814), ouvrage au titre paradoxal si on en extrait certains passages: « Nous devons envisager l'état présent de l'univers comme l'effet de son état antérieur et la cause de celui qui va suivre. » Selon lui, les lois de la nature sont absolument déterministes, ce qui signifie que, d'après les lois de la mécanique classique de Galilée, Képler et surtout, Newton, l'état d'un système est entièrement défini par la connaissance de son état initial. Par exemple, pour les planètes du système solaire, selon Newton, une fois données leurs positions et vitesses respectives à un instant t, il est 9

10

CHAPITRE

2. PREVOIR

OU PREDIRE?

possible de connaître aussi bien leur futur le plus lointain que de se souvenir de leur passé le plus reculé. Laplace est l'héritier de cette conception; selon lui, la Nature ne se trompe jamais, elle ne joue pas, elle fixe une succession nécessaire d'événements, le but de la science étant de la comprendre. . . L'avenir des sciences n'a pas vraiment donné tort à Laplace puisque l'on peut prévoir avec une grande précision une éclipse de lune, la trajectoire des planètes. . . à moyen terme; mais les prévisions de l'ordre de millions d'années sont absolument impossibles. Ces faits sont connus depuis les travaux de Poincaré et « les mathématiques du chaos» ; ainsi, le futur, en ce qui concerne certains systèmes physiques, est en grande partie imprévisible non seulement par les limites de notre compréhension, mais surtout par leur complexité propre. « Je désire que cette introduction puisse mériter l'attention des philosophes.» Laplace est cependant conscient des limites des connaissances en général, mais accorde son absolue confiance aux progrès scientifiques, et à l'analyse, domaine nouveau des mathématiques, dont la naissance, avec Newton et Leibniz, avait constitué, au siècle précédent, un tournant majeur dans l'histoire des SCIences. Rappelons-nous que bien des phénomènes autrefois étaient attribués à des croyances, à la colère divine: par exemple, les passages des comètes semaient la terreur. .. Autre exemple, les éclipses. Phénomène autrefois attribué au surnaturel, il est maintenant du ressort de la rationalité; on sait calculer les dates des éclipses de lune pour les trois millénaires à venir, ça laisse un bout de temps; c'est grâce à sa connaissance de l'éclipse du soleil que Tintin n'est pas brûlé. . . En littérature, pensez à la tragédie de Shakespeare, Macbeth, dans laquelle le destin du héros est directement lié à des prédictions de sorcières: ce qui détermine l'action est la réalisation effective de la première prédiction, et cela est interprété par Macbeth, ou plus exactement, par son épouse, comme le signe que les autres se réaliseront aussi et que, donc, Macbeth sera roi. . . Mais revenons à Laplace: celui-ci, quoique déterministe à première vue, présente dans son ouvrage Théorie Analytique des Probabilités, un travail de probabiliste à un large public. Citons le professeur Bernard Bru : « Selon Laplace, le calcul des probabilités ne joue aucun rôle dans l'intelligibilité des événements de la Nature, si ce n'est celui, modeste en somme, de maîtriser les erreurs de mesure: autrement dit, le calcul des probabilités sert à corriger les faiblesses de nos instruments et de nos sens, en l'attente de progrès ultérieurs.» Dans son traité, Laplace énonce les deux théorèmes fondamentaux de la théorie des probabilité; le premier est le théorème de Jacques Bernoulli (16541705) que De Moivre et Laplace ont précisé depuis: Il affirme qu'au cours d'une longue série de parties de pile ou face, la fré1 quence des faces s'approche, en un sens à donner, d'une valeur fixe, à savoir 2 si la pièce n'est pas truquée; Laplace commente le théorème de Bernoulli (loi faible des grands nombres) :

2.2. LA MÉTÉO

11

«Il suit de ce théorème que, dans une série d'événements indéfiniment prolongée, l'action des causes régulières et constantes doit l'emporter à la longue sur celles des causes irrégulières. C'est ce qui rend les gains de loterie aussi certains que les produits de l'agriculture.» Le second théorème est la loi des grands nombres, concept créé par Poisson (1781 - 1840), disciple de Laplace. « Dans une série d'événements in#finiment prolongée, l'action des causes régulières et constantes l'emporte sur celle des causes irrégulières ». D'où l'appellation de loi normale, d'abord appelée «loi des erreurs» qui sera à l'origine des mathématiques sociales, de bien des études démographiques, de fluctuations biologiques, économiques, des sondages, estimations. .. Ainsi, le hasard seul détermine le coté pile ou face, mais la répétition gomme les effets de celui-ci, puisque, sur un grand nombre d'épreuves, nous pouvons en quelque sorte, le domestiquer: par exemple, nous ne savons pas à quel moment est déterminé le sexe d'un enfant à naître, mais nous sommes sûrs que la proportion de filles et de garçons, sur un grand nombre, tend vers l'égalité. Ceci dit, faire admettre à un papa de 5 filles (heureux homme) qu'il y a environ une chance sur deux pour que son futur bébé soit encore une fille n'est pas toujours facile: celui-ci a en tête la probabilité d'avoir 6 filles qui est, d'après le modèle d'équirépartition, de 1 sur 64. .. avant d'avoir de bébé, mais pas après la naissance des 5 premiers! Nous retrouvons là un thème fondamental et récurrent en statistique.

2.2

La météo

La météo concerne des prévisions à court terme; pour des prévisions de l'ordre de la saison, de mois, d'années, on parlera plutôt de climatologie et cela dépasse notre propos. Pour déterminer avec une certaine probabilité le temps qu'il fera dans une heure ou dans quelques jours ici ou là, les ingénieurs résolvent des problèmes issus de la mécanique des fluides. Ces systèmes très complexes sont non linéaires: cela signifie, en gros, qu'une petite, voire infime perturbation d'un fluide peut entraîner des répercussions considérables, autrement dit, l'effet n'est pas proportionnel à la cause. Comme on ne peut prévoir le lieu ni l'instant précis où va naître une perturbation, et que sa durée moyenne de vie est d'environ dix jours, on ne pourra jamais, disent les spécialistes, prévoir le temps au-delà de cet ordre de grandeur de la semaine. On ne peut qu'évaluer la probabilité de naissance d'une perturbation; d'ailleurs, aux Etats Unis, les prévisions sont données en termes probabilistes: demain, pluie avec probabilité de 70%. . .En France, on trouve maintenant dans certains journaux la météo avec un indice de confiance. Une autre difficulté vient compliquer davantage les choses: même si les prévisions sont de nature locale - pluie à Rolland Garros dans une heure - la météo, elle, est une science planétaire. En effet, pour déterminer les équations qu'il faut ensuite résoudre, on utilise un réseau de maillage, c'est à dire de points de mesure, un peu partout sur le globe. Or ce réseau est peu développé dans les

12

CHAPITRE

2. PREVOIR

OU PREDIRE?

pays du Tiers Monde et pas du tout sur les océans, ce qui rend très difficiles les prévisions dans l'hémisphère austral par exemple. Aujourd'hui, des supercalculateurs permettent depuis 2008 de rendre les calculs réalisables avec un résau de maillage cent fois plus puissant qu'auparavant: les mailles sont des carrés de 2.5 km de côté, au lieu de 25 km. (Sciences et Avenir, Janvier 2008) Prévisions ou prédictions, le rôle de la science est-il de prévoir ou de comprendre? La citation d'Auguste Comte est saisissante dans son économie de mots! Les prévisions sont-elles toujours scientifiques? Non; la science est-elle toujours prévisionnelle? Non plus. H semblerait cependant que l'on ait là une différence fondamentale entre l'homme et l'animal: Prévoir est-il le propre de l'homme?

Chapitre

3

DES PROBABILITES
HISTORIQUE
ceux qui savent compter et ceux qui "Il y a trois sortes de mathématiciens: ne savent pas compter" Retour sur les origines historiques d'un concept sur lequel se sont penchés, à des titres divers, Pascal, Huygens, Galilée, Bernoulli, Condorcet, Laplace, Gauss, Poincaré, Einstein, Borel, Boltzmann... L'idée de probabilité apparaît bien avant toute évaluation chiffrée, comme un thème important de la philosophie. Au deuxième siècle avant notre ère, se forme en Grèce une école philosophique basée sur les notions de probabilité; Aristote fonde la logique et formule des règles de raisonnement; pour cela, il définit des relations: raisonner, c'est mettre en relation des termes, des idées, des propositions; c'est le « tout homme est mortel ». Puis, il classe en plusieurs catégories les modalités qui qualifient ces relations. En fait, il en distingue six: Le possible, le contingent (qui caractérise ce qui peut être réalisé au moins une fois, sans nécessité), le nécessaire, le non contingent, le non nécessaire, l'impossible. Il classe les faits expérimentaux dans la catégorie des événements qui arrivent le plus souvent, mais il n'attribue pas de valeur chiffrée à ces catégories.

3.1

Probabilité

Le mot probabilité est introduit au Moyen Âge en jurisprudence et vient du latin probare, qui signifie «prouver» ; le mot est utilisé dès le milieu du XV l r pour désigner le degré de crédibilité d'une opinion; cependant, les grands savants qui feront usage des probabilités n'emploient pas ce mot, lui préférant chance faux ami en anglais - puisque il désigne le hasard. Le mot probabilité au sens actuel est, semble-t-il, introduit pour la première fois en 1662 dans la Logique de Port Royal, en tant qu'art de penser: 13

14

CHAPITRE

3. HISTORIQUE

DES PROBABILITES

« Ces règles qui servent à juger de faits passés peuvent facilement s'appliquer aux faits à venir. » Ceci dit, le calcul des probabilités trouve véritablement son origine dans la pratique des jeux de hasard. Certes, on trouve plusieurs écrits où le concept de probabilité est quantifié par un nombre: Cardan (1525), qui propose des solutions à des jeux de dé, et Galilée, qui s'intéresse aux erreurs de mesure physique. Au XV l le siècle, le commerce maritime s'intensifie: de là vient la pratique des assurances et l'évaluation des risques qui en découlent. Mais l'Eglise condamne ce qui consiste à chiffrer des risques sur des personnes, c'est peutêtre ce qui explique pourquoi la statistique prend naissance dans les pays anglosaxons, mais nous y reviendrons. La plupart des historiens des sciences s'accordent pour dater la véritable naissance des probabilités, au sens moderne, en 1654; à partir de problèmes d'argent dans les jeux de hasard, s'établit une correspondance entre Pascal et Fermat, un philosophe et un homme du monde, tous deux mathématiciens, sur le problème des partis: Comment répartir, de façon équitable ou les mises d'un tournoi interrompu? entre les participants, la récompense

Petite parenthèse: comment expliquer ce délai très long entre les premières expériences aléatoires (jeux de dé par exemple, pratiqués en Egypte ancienne) et les fondements du calcul des probabilités? Une explication sans doute: l'activité scientifique, entre autres, est mise entre parenthèses pendant le Moyen Âge, en Europe du moins; il a fallu que les ouvrages grecs soient traduits pour qu'on les découvre; d'autre part, l'Eglise catholique interdit alors la pratique des jeux de hasard, et par conséquent, tout ce qui contrarie la volonté divine qui seule, dispose du hasard, est prohibé; toujours est-il que c'est Pascal qui s'intéresse aux jeux d'un point de vue pari, espérance, au sens juridique, un peu comme s'il devait répartir les biens d'un défunt aux héritiers de la manière la plus juste possible: au fond, cette préoccupation n'est pas si éloignée de l'idée d'origine probabilité dans le domaine juridique - mais une science basée sur des calculs liés aux jeux d'argent a fait longtemps mauvais genre, en exagérant un peu! En tout cas, Pascal donne une solution à ce problème, par une récurrence sur le nombre de joueurs, solution critiquée par son contemporain Roberval et il s'ensuit un échange de lettres publiées en 1679 où apparaissent les concepts de probabilité et d'espérance mathématique. Le premier traité de probabilité est publié à cette époque par Huygens, qui, après avoir étudié les tables de mortalité établies par un anglais, John Graunt, en 1662, effectue des calculs d'espérance de vie; il y voit déjà la distinction entre fréquence et probabilité, même si les paris se font sur des notions de fréquence, en particulier, le pari sur la durée de vie, justement; c'est la naissance de ce que l'on appelle l'arithmétique politique, développée plus tard par Condorcet. Leibniz s'intéresse aux probabilités dans le domaine juridique également. Il est intéressant de noter que la statistique et les probabilités ont débuté pratiquement à la même époque, en suivant des voies qui se rejoignent sou-

3.2. DOMINER LE HASARD

15

vent et se nourrissent mutuellement. C'est Pierre Rémond de Montmort, dans son Essai d'Analyse sur les Jeux de Hasard, en 1708, qui donne les premiers développements du calcul combinatoire.

3.2

Dominer

le hasard

Jacques Bernoulli, à partir des jeux de hasard, met en place dans son ouvrage Ars Conjectandi, (publication posthume en 1713), les bases des probabilités en distinguant les notions de fréquence et de probabilité; il propose une démonstration basée sur la combinatoire, du théorème qu'il appelle Théorème d'or et qui est la loi faible des grands nombres; il donne la formule que vous connaissez sur le calcul de la probabilité du nombre de succès dans la répétition d'épreuves indépendantes: par exemple, on lance dix fois une pièce, quelle est la probabilité d'obtenir exactement 8 fois pile? ou bien, il y a 10 feux tricolores sur le chemin menant au ciné, indépendants les uns des autres, quelle est la probabilité d'avoir exactement 8 feux verts? (et de ne pas louper le début du film...) Abraham de Moivre (1667 - 1754), protestant réfugié en Angleterre après la révocation de l'Edit de Nantes, dans Doctrine of Chances, traité de référence de l'époque, introduit les notions d'indépendance, de probabilité conditionnelle (ainsi que Bayes, dans les années 1750) et donne une première démonstration du théorème central limite, avant celle, plus rigoureuse, mais encore incomplète, de Laplace. En 1785, Condorcet voit dans les probabilités le triomphe du cartésianisme: « L'expérience du passé est un principe de probabilité pour l'avenir. » Il s'enthousiasme pour cette science naissante, qui sera selon lui, l'outil de base de la mathématique sociale qui promet bonheur et justice: avec les probabilités, on garantira enfin la probité des hommes, la bonne tenue des élections et des délibérations; le système des assurances sera perfectionné, bref, la sagesse est à notre portée! Condorcet fait déjà la distinction entre les deux directions dans lesquelles les idées probabilistes, encore aujourd'hui, se développent; lorsqu'il applique les calculs de probabilité aux décisions de jurys, il distingue; - Une probabilité de type « croyance », « le motif de croire », posé a priori, subjectif, c'est le point de vue bayésien, qui se résume simplement ainsi: Vous avez un certain degré de confiance envers une hypothèse, peu importe par quel moyen, (expérimental, culturel), alors, la probabilité a priori est ce qui mesure votre degré de croyance; vous êtes prêts à parier la réalisation d'un événement à 3 contre 1 revient à dire que vous estimez sa probabilité à 0.75, soit, 3 chances sur 4; à la suite d'une expérience ou d'un apport d'information, votre estimation peut être modifiée: la probabilité a posteriori peut être inférieure ou supérieure à la probabilité a priori. Le théorème de Bayès affirme que la probabilité a posteriori est proportionnelle au produit de la probabilité a priori par la vraisemblance de l 'hypothèse. - L'autre probabilité est une probabilité de type « fréquentiste », c'est à dire évaluée par la répétition d'une suite de tirages: c'est le point de départ de la