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Probabilités et statistiques 1ère année - option scientifique

De
256 pages

La collection de référence des prépas commerciales. Cet ouvrage propose :
- Un cours très complet, clair et précis, illustré de nombreux exemples
- Une méthodologie importante, proposant l'essentiel des savoir-faire et leur mise en oeuvre
- De très nombreux exercices résolus, classés par thème, de difficulté progressive.

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Sommaire
Chapitre 1 Notions de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..  ■ A.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Notions sur les ensembles B.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Calcul de sommes
Chapitre 2 Dénombrement.  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  ■ A.Notions sur les ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .p-listes d’un ensemble C.Parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L’essentiel, mise en œuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Énoncés des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solutions des exercices.  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 3 Espaces probabilisés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  ■ A.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.. Espace probabilisé fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.. Espace probabilisé : cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Probabilités conditionnelles . E.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Indépendance en probabilité . L’essentiel, mise en œuvre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..  . Énoncés des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 4 Variables aléatoires réelles discrètes . . . . . . . . . .  ■ A.. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.. . . . . . . . . . . . . . . . . .Loi et fonction de répartition d’une V.A.R. discrète C.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Moments d’une V.A.R. discrète L’essentiel, mise en œuvre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..  . Énoncés des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Solutions des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 5 Couples de variables aléatoires réelles discrètes.  ■ A.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Généralités . B.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Loi d’un couple de V.A.R. discrètes . C.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .V.A.R. fonction de deux V.A.R. discrètes . L’essentiel, mise en œuvre.  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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18 21 22 24 29 32
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44 46 50 60 63 69 76 81
103
104 106 111 117 123 128
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150 151 156 162
Énoncés des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . Solutions des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .  .
Chapitre 6 Lois discrètes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  ■ A.Lois discrètes finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.. Lois discrètes infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.. Convergence et approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L’essentiel, mise en œuvre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..  . Énoncés des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Solutions des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 7 Statistique descriptive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  ■ A.. Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Description d’une série statistique C.Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.Caractéristiques de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.. Caractéristiques de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
166 170
189
190 194 197 202 206 213
241
242 242 243 245 247
250
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CHAPITRE 1Notions de base
A. Notions sur les ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . .Opérations sur les ensembles : rappels 2.Image et image réciproque d’un ensemble par une application . . . . . . . . . B. Calcul de sommes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Formules à connaître . 2.Somme d’une famille de réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.Sommes doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
8 8 9 10 10 12 14
1.Opérations sur les ensembles : rappels Réunion La réunion des deux ensemblesAetBest notéeABet est définie par : xAB⇔ (xA ouxB)Soiti iIune famille d’ensembles. Leur réunion est notéeiet est définie par : (A)A iI xAiI tel quexA i i iI DoncxAi. iI,xAi iI Intersection L’intersection des deux ensemblesAetBest notéeABet est définie par : xAB⇔ (xAetxB) i iIi L’intersection de la famille(A)est notéeAet est définie par : iI xAiI,xi A i iI i DoncxAiI,xA i iI Règles de calcul (AB)C(AC)(BC) (AB)C(AC)(BC). Plus généralement :   AB(AB) i i iIiI   iIiI AB(AB). i i
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Chapitre 1 : Notions de base
EAest aussi notéAouAs’il n’y a pas d’ambiguïté surE.
AA  donc AAE (A,A)est une partition deE.
Le mot « ou » n’est pas exclusif, c’est-à-dire quexpeut appartenir à la fois àA et Bou à l’une seulement de ces deux parties
A. Notions sur les ensembles
Partition Deux ensemblesAetBsontdisjointslorsqueAB . (A)i Une famillei iIde parties deΩest unepartitiondeΩs A  i . iI 2 (i,j)I,(ijAA=) i j
Complémentaire SoitAune partie d’un ensembleE. Le complémentaire deAdansEest notéEAet est défini par : xA⇔ (xE etxA) E
Ici il n’y a pas d’ambiguïté : A,Bet lesAisont des parties d’un même ensemble E.
yf(A) ⇔ yF xA/y=f(x)
1 xf(B) ⇔xE f(x)B
Règles de calcul AA ABAB ABAB. Plus généralement :   AA i i iIiI ii • .AA iIiI Différence SoitAetBdeux parties deE. On noteABl’ensemble défini par :
Notions sur les ensembles
xAB⇔ (xA etxB) DoncABAB. Produit cartésien Le produit cartésien des deux ensemblesEetFest notéEF. Il est défini par :
EF{(x,y)/xE etyF}.
Plus généralement le produit cartésien denensembles est : n EEEE{ ,E} 1 2n i(x,x, …,x)/i1,nxii. 1 2n i1 n Par définition :EEEEn( facteurs). Les éléments du produit cartésien denensembles sont appelés desn-uples ou desn-uplets. Lorsquen2, on dit plutôt que ce sont des couples et lorsquen3ce sont des tri-, que plets.
2.Image et image réciproque d’un ensemble par une application
Définition 1 Soitfune application deEdansF,Aune partie deEetBune partie deF. On appelleimage deAparfl’ensemble notéf(A)défini par : f(A){yF/xAtel quey=f(x)}1 On appelleimage réciproque deBparfl’ensemble notéf(B)défini par : 1 f(B){xE/f(x)B}
Remarque 1 f() , .f() 
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