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Topologie - 5e ed.

De
336 pages

Ce livre présente les notions et définitions de base de la topologie. Dans cette 5e édition, les concepts sont introduits de façon plus progressive pour s'adapter aux besoins des étudiants, des exercices corrigés ont été renouvelés et des conseils méthodologiques d'aide à la résolution des exercices ont été ajoutés.

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Topologie
Hervé Queffélec
Topologie
Cours et exercices corrigés
e 5 édition
Illustration de couverture : seamless background © Kirsten Hinte – fotolia.com
©Dunod, Paris, 2012, 2016 11 rue Paul Bert, 92240 Malakowww.dunod.com ISBN 978-2-10-075417-5
À ma famille, très aectueusement
TABLE
Avant-propos
Notations
DES
Chapitre 1. Le corps des réels I Définition axiomatique deR II Le théorème de la borne supérieure Exercices Corrigés
MATIÈRES
Chapitre 2. Espaces topologiques ; espaces métriques I Définitions générales ; notations II Sous-espace topologique ; topologie induite III Notion de limite ; continuité IV Espaces métriques V Produit d’ espaces topologiques Exercices Corrigés
Chapitre 3. Espaces compacts I Définition et premières propriétés II Fonctions continues sur un espace compact III Produit d’ espaces compacts IV Espaces métriques compacts Exercices Corrigés
Chapitre 4. Espaces connexes I Définition et premières propriétés II Théorèmes de stabilité III Espaces métriques connexes IV Composantes connexes V Applications de la connexité ; homotopie Exercices Corrigés
Chapitre 5. Espaces métriques complets I Définition ; premières propriétés II Théorème du point fixe de Picard III Théorème de Baire Exercices Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. Corrigés ©
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XII
1 1 4 11 15
21 22 27 29 37 46 53 61
77 77 82 87 91 101 109
120 120 122 126 128 134 152 161
179 179 184 191 202 209
VII
Topologie
Chapitre 6. Espaces localement truc I Définition générale ; premiers exemples II Espaces localement compacts III Espaces localement connexes Exercices Corrigés
Chapitre 7. Dimension et fractalité I Dimension de boîte (ou dimension métrique) II Dimension de Hausdorff III Dimension topologique Exercices Corrigés Problème
Références bibliographiques
Index
VIII
223 223 224 231 244 247
253 254 269 287 297 300 307
312
313
AVANT-PROPOS
La plupart des traités de topologie générale suit l’une des deux voies suivantes : La première s’attache aux ranements les plus extrêmes de la théorie (axiomes de séparationT1,. . .,T4, critères de métrisabilité de Nagata-Smirnov, etc.). La seconde (cf. [C] ou [De] par exemple) passe relativement vite sur les notions fondamentales pour arriver à leur application à la théorie des fonctions (théorèmes d’Ascoli et Stone-Weierstrass par exemple) ou à celle des espaces normés (théorème de F. Riesz par exemple) ; ces applications sont aussi excellemment développées dans les ouvrages classiques [D], [S] ou dans l’ouvrage plus récent [HL]. Nous avons donc choisi une troisième voie, en ne traitantqueles notions fonda-mentales de la topologie générale (et il y en a peu : limites, continuité, compacité, connexité, complétude) dans le cadre d’espaces le plus souventséparés, voiremé-triquesmais en creusant sur des exemples l’étude de ces notions, ce qui peut mener assez loin, même si on demeure résolument (comme c’est le cas dans cet ouvrage) aux niveaux L3 et Master ; ainsi le théorème du point fixe de Picard et le théorème de Baire débouchent sur les notions de dimension topologique et de dimension de Hausdor, d’objet fractal, etc., sans parler des applications plus classiques à l’Ana-lyse. Nous traitons donc de façon approfondie des notions en nombre restreint, mais qui se retrouvent ensuite partout dans le cursus d’un étudiant en mathématiques (cal-cul diérentiel et intégral, analyse fonctionnelle ou complexe, topologie algébrique ou diérentielle, etc.) et nous renvoyons (cf. bibliographie) à d’autres ouvrages pour les grands résultats sur les espaces de fonctions. Le livre est divisé en sept chapitres (à l’intérieur desquels nous nous permettons parfois le renvoi à un chapitre ultérieur). Le chapitre I donne une construction deRet de ses principales propriétés. Le chapitre II comprend les principales définitions et l’étude des espaces métriques. Le chapitre III traite la compacité, le chapitre IV la connexité, le chapitre V la complé-tude, le chapitre VI la compacité et la connexité locales et leurs applications ; Le cha-pitre VII enfin introduit diérentes notions de dimensions, fractionnaires ou non, et la notion d’objet fractal. Nous nous sommes eorcé de donner beaucoup d’exemples si-gnificatifs et d’applications à l’Analyse (principe du maximum, théorème de Runge, etc.). De nombreux exercices corrigés viennent clore chacun des chapitres, mais nous n’avons pas (bien au contraire !) cherché à écrire des corrigés types et nous ne sau-rions trop encourager le lecteur à réfléchir longtemps sur un énoncé avant d’aller lire la solution. Il s’agit, la plupart du temps, de véritables exercices (pas de cours déguisé Dunod. Toutereproduction non autorisée est un délit. en ex cices) même i certaines notions (groupe topologique, fonction semi-continue,
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Topologie
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courbes et courbes de Jordan auto-similaires) y sont proposées ; les exercices plus dif-ficiles, ou utilisant des notions un peu transversales, sont signalés par une astérisque. Deux principes nous ont guidés pour cette troisième édition : 1) Mettre davantage en évidence les liens étroits de la topologie générale avec d’autres branches des mathématiques, comme : – Théorie de la mesure (théorème de Steinhaus au chapitre 1). – Géométrie (distance géodésique au chapitre 2). – Analyse complexe (métrique pseudo-hyperbolique au chapitre 2, théorème de d’Alembert -Gauss selon Körner au chapitre 6). – Analyse fonctionnelle (lemme de Zabrejko au chapitre 5). 2) Renforcer le plus possible la cohérence de l’ouvrage : – En complément à l’exercice 16 du chapitre 6, le caractère inépuisable des compacts connexes est établi au chapitre 7. 2 – La construction explicite d’une partie de R connexe et localement connexe, mais non localement connexe par arcs, est donnée au chapitre 6. – Une preuve fonctionnelle de la connexité de l’ensemble A du chapitre 4 (exer-cice 32) est donnée, qui utilise les caractérisations séquentielles de la continuité. – L’égalité des composantes par chaînes et connexes pour un métrique compact est prouvée au chapitre 4.
Nous pensons que ce livre peut être utile à un étudiant en L3 connaissant bien le programme de L1/L2, mais aussi à des étudiants plus avancés : CAPES, M1, agréga-tion interne ou externe, et qu’il peut être utilisé à diérents niveaux. Pour cela, nous avons défini, dans la partie préliminaire « Notations », toutes les notions et symboles utilisés dans le texte ; nous conseillons donc au lecteur de s’y référer souvent, ainsi qu’aux ouvrages cités dans la bibliographie. Nous avons beaucoup appris sur la topologie générale de A. Ancona et M. Rogalski, qu’ils en soient remerciés ici. Enfin, nous adressons tous nos remerciements à Mme A. Bardot pour la compétence, la célérité et la gentillesse avec lesquelles elle a assuré la frappe de ce livre ainsi qu’à MM. C. Suquet, C. Sacré et B. Morel pour leur précieuse aide dans la réalisation des figures. Ces rééditions successives ont bénéficié des remarques très pertinentes de quelques collègues, au premier rang desquels Bruno Calado, que nous remercions chaleureu-sement. Nous avons ainsi clarifié et complété des points de cours (homotopie au cha-pitre 4, applications en Analyse fonctionnelle du lemme de Zabrejko au chapitre 5, définition et propriétés de l’indice au chapitre 6, ce qui rend plus accessible la preuve du dicile théorème de Jordan-Schönfliess).