ANALYSE INFINITESIMALE

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Basé sur les raisonnements infinitésimaux des mathématiciens du 17eme siècle, cet ouvrage se propose de redécouvrir le calcul différentiel suivant une approche très intuitive mais rendue rigoureuse par la théorie de l'analyse non standard publiée pour la première fois en 1961 par A. Robinson. On y découvrira notamment deux outils essentiels de l'analyse infinitésimale : le microscope et le télescope qui permettent d'analyser des courbes d'un point de vue local ou asymptotique respectivement.
Publié le : vendredi 1 juin 2012
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EAN13 : 9782296495906
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????????>???????nn{??>`?V????]???n???n??????????`i?????n?{??????????`?>`>??>?????6?`?V????]??>}i?i??`i???i??i??Avant-propos
Le concept de nombre a toujours jou´eunroleˆ majeur dans toutes les ci-
vilisations. En fonction de ses besoins, et aussi de son savoir, l’homme a fait
appel successivement aux naturels, puis aux entiers, aux rationnels et aux
r´eels, et mˆeme `a certains encore plus sophistiqu´es comme les complexes, les
quaternions...
En particulier, les nombres ont de tout temps tenu une place importante
dans l’´elaboration de th´eories math´ematiques ; c’est notamment le cas pour
l’analyse math´ematique qui va plus sp´ecialement retenir notre attention dans
cet ouvrage.
Cette discipline fondamentale des math´ematiques est n´ee v´eritablement au
`emeXVII si`ecle, principalement des travaux de Newton et Leibniz. Bien qu’elle
se situe essentiellement dans le cadre des nombres r´eels, dont la construction
`emeformelle n’a toutefois ´et´edonn´ee qu’au XIX si`ecle, elle a exploit´ed`es ses
d´ ebuts le concept, encore un peu flou a` cette ´epoque, de nombre infiniment
petit. Au cours des si`ecles suivants, les math´ematiciens ont progressivement
abandonn´e l’id´ee d’infiniment petit, pour aboutiral` apr´esentation classique,
due initialement ad` egrands math´ematiciens tels que Cauchy, Weierstrass,
Euler, Lagrange... , et qui est encore `a l’honneur de nos jours.
Le rejet des infiniment petits par les math´ematiciens du d´ebut du si`ecle
`emepr´ec´edent paraissait d´efinitif. Toutefois, dans la seconde moiti´edu XX
si`ecle, l’am´ericain Robinson a r´ehabilit´eles id´ees, anciennes et efficaces, de
Newton et Leibniz: il a en effet construit, de fa¸ con intuitive, l’ensemble des
nombres hyperr´eels qui ´etend celui des r´eels tout en contenant notamment
des infiniment petits ; il a ´egalement montr´e que l’analyse math´ematique pou-
vait se d´evelopper avantageusement dans le contexte de ces nouveaux nom-
bres. Cette approche de l’analyse, qualifi´ee de fa¸con probablement regrettable
de “non standard”, n’a gu`ere connu jusqu’ap` r´esent le succ`es qu’elle m´erite
vraisemblablement, notamment en raison de la pr´esentation assez abstraite et
technique des hyperr´eels par Robinson. Toutefois, ces derni`eres d´ecennies, di-
´verses recherches ont ´et´emen´ees, principalement aux Etats-Unis et en France,
pour donner une approche p´edagogique de l’analyse non standard qui soit ac-
cessible `adesquasi-d´ebutants en analyse. C’est dans cette optique que s’inscrit
le pr´esent travail.
Cet ouvrage est structur´ede lamani`ere suivante. Il se compose, en plus
d’un pr´eambule, de six chapitres principaux. Chacune de ces parties est subdi-
vis´ee en sections et sous-sections au sein desquelles la th´eorie proprement dite
est tout d’abord expos´ee assez simplement, puis illustr´ee par une s´election de
quelques exercices (avec des ´el´ements de r´eponses) dont la r´esolution pourra
aider a` une meilleure compr´ehension de la mati`ere. Elle est encore compl´et´ee
par des sections additionnelles qui peuvent ˆetre omises en premi`ere approche,
mais devraient conduire a` une meilleure assimilation de la mati`ere. Nous avons
ainsi tenu ap` r´esenter quelques “lectures compl´ementaires”. Celles-ci sont de
aanalyse... versie 2.indd 5nalyse... versie 2.indd 5 118-09-2008 13:40:128-09-2008 13:40:126 AVANT-PROPOS
plusieurs types : certaines proposent des mod`eles math´ematiques se rapportant
soit ad` es probl`emes internes aux math´ematiques (surtout dans les premiers
chapitres) comme des situations faisant intervenir le concept d’infini, soit a`
des applications concr`etes dans d’autres disciplines et surtout en ´economie
ou en gestion ; les lectures compl´ementaires comprennent encore des citations,
provenant souvent de grands savants du pass´e, qui nous paraissent pouvoir se
r´ev´eler enrichissantes pour le lecteur ; enfin, ces textes ´etablissent quelquefois
des liens entre notre perception de la mati`ere enseign´ee et des pr´esentations
plus classiques. Nous proposons encore quelques “approfondissements” qui
donnent une vision moins intuitive mais plus technique de ce qui a ´et´eex-
pos´edanslecorpsmˆeme du texte.
L’objet principal de ce livre est donc l’analyse math´ematique, c’est-` a-dire
1l’´etude des fonctions num´eriques et de leurs repr´esentations graphiques : il
s’agit essentiellement d’´etudier une courbe plane d’un point de vue soit “local”,
c’est-` a-dire au voisinage imm´ediat d’un de ses points, soit “asymptotique”, a`
`savoir pour des points situ´es fort loin dans le plan. A cet effet, nous recourons
syst´ematiquement `a deux “instruments” bien connus, a` savoir des microscopes
et des t´elescopes (virtuels), les premiers permettant de “grossir” une figure tr`es
petite, tandis que les seconds “rapprochent” des objets tr`es ´eloign´es.
Nous effectuons cette ´etude en deux phases successives.
2Nous nous int´eressons en premier lieu aux courbes alg´ebriques planes ,et
3en particulier aux graphes de fonctions rationnelles . Laraisondecechoix
est double: d’une part, l’utilisation de microscopes et de t´elescopes dans ce
contexte s’av`ere particuli`erement ais´ee puisqu’elle ne r´eclame que des manipu-
lations alg´ebriques ´el´ementaires, et, d’autre part, les concepts fondamentaux
du calcul diff´erentiel s’introduisent tout naturellement et at` r`es peu de frais.
Dans une deuxi`eme ´etape, nous nous plac¸ons dans un cadre plus g´en´eral
et nous int´eressons aux fonctions construites `a l’aide de fonctions ´el´ementaires
telles que les racines, les fonctions trigonom´etriques et leurs r´eciproques, les
4fonctions exponentielles ou logarithmiques .Leuranalyseaumoyendemicro-
scopes ou de t´elescopes ne se r´ealise pas aussi simplement que pour des courbes
alg´ebriques : dans ce cas, nous avons besoin d’outils th´eoriques plus sophis-
tiqu´es, comme la continuit´e, la d´erivabilit´eetladiff´erentiabilit´e. Ces concepts
seront introduits puis ´etudi´es assez syst´ematiquement essentiellement pour des
5fonctions a` une variable . Cette secondepartieser´ev`ele assez classique ; les
1 En les restreignant toutefois principalement aux fonctions d´ependant d’une seule va-
riable r´eelle.
2 Elles sont d´efinies par une ´equation dont le premier membre est un polynˆ ome `adeux
variables et le second membre est une constante
3 Il s’agit d’un polynˆ ome `a une variable ou, plus g´en´eralement, d’un quotient de deux
polynˆomes `a une variable.
4 Ces fonctions ´el´ementaires sont trait´ees dans l’enseignement secondaire et ne seront plus
introduites ici.
5 Nous aborderons tout de mˆeme superficiellement le cas de fonctions `a plusieurs variables.
aanalyse... versie 2.indd 6nalyse... versie 2.indd 6 118-09-2008 13:40:138-09-2008 13:40:13AVANT-PROPOS 7
r´esultats sont expos´es plus syst´ematiquement que lors de la phase initiale, et
selon des normes traditionnelles des ´ecrits en math´ematiques : introduction
d’un concept avant sa d´efinition avec exemples (et parfois contre-exemples),
principales propri´et´es avec leur ´enonc´e et une preuve sobre (termin´ee par le
symbole ), puis, a` l’occasion, des applications le plus souvent issues de l’univers
´economique.
Enfin, un dernier chapitre donne un apercu¸ du calcul int´egral, en reliant
notamment les concepts de primitivation et de d´erivation.
Cet ouvrage est le fruit de recherches pour construire un enseignement
de l’analyse math´ematique particuli`erement adapt´e pour des apprenants en-
tamant des ´etudes universitaires en ´economie ou en gestion. Bien entendu,
il s’adresse ´egalement `atoutlecteur poss´edant en pr´e-requis des bases sur
6l’alg`ebre des nombres r´eels et sur les fonctions num´eriques r´eelles et qui
serait d´esireux de lire une approche contemporaine des id´ees, efficaces mais
parfois d´epourvues d’une rigueur r´eclam´ee aujourd’hui d’un cours universitaire
en math´ematique, qui avaient permis a` Leibniz, Newton et leurs successeurs
de construire les principaux r´esultats de l’analyse. Ajoutons encore que nos
raisonnements se rapprochent fortement de ceux r´ealis´es par des praticiens,
tels qu’ing´enieurs ou ´economistes, lorsqu’ils construisent des mod`eles discrets
puis passent naturellement a` leurs homologues continus.
Nous tenons a` remercier toutes les personnes qui nous ont aid´es lors de la
construction de ce cours. Nous pensons en permier lieu a` plusieurs cohortes
d’´etudiants qui ont “exp´eriment´e” notre enseignement et nous ont permis,
par leurs r´eflexions et commentaires, et parfois mˆeme leurs incompr´ehensions,
`a sensiblement amender les premi`eres versions h´esitantes de ce cours. Nous
tenons aussi a` remercier toutes les personnes qui nous ont second´es dans notre
enseignement et nous ont apport´e de nombreuses suggestions pour am´eliorer
les premi`eres versions de notre texte, notamment Mesdames et Messieurs
M. Haesbroeck, B. Jadin, P. Paquay, A. Sprimont, M. Rigo et J. Rossi. Enfin,
nous exprimons toute notre gratitude envers A. Coolen et D. Justens avec qui
nous avons eu des discussions fructueuses et qui ont bien voulu relire de facon¸
critique une partie importante de notre travail.
6 Ces mati`eres sont dispens´ees classiquement dans l’enseignement secondaire.
aanalyse... versie 2.indd 7nalyse... versie 2.indd 7 118-09-2008 13:40:148-09-2008 13:40:14aanalyse... versie 2.indd 8nalyse... versie 2.indd 8 118-09-2008 13:40:158-09-2008 13:40:15Pr´eambule: approche
historique
Il nous a sembl´eint´eressant de dresser, au d´ebut de ce livre, un his-
torique relatif au d´eveloppement de l’analyse math´ematique. Nous n’avons pas
cherch´e`apr´esenter une ´etude exhaustive sur le sujet, mais avons d´elib´er´ement
s´electionn´e certains faits qui nous paraissent d´eterminants pour comprendre
l’av`enement de l’analyse non standardal` afindusi`ecle dernier. Selon le point
de vue que nous adoptons, cette histoire peut ˆetre d´ecompos´ee en trois ´etapes
7conform´ement `a la dialectique h´eg´elienne :la th`ese selon laquelle des infi-
niment petits existent, l’antith`ese qui nie cette existence, et la synth`ese qui
r´ehabilite d´efinitivement ce concept.
Ce pr´eambule se termine par une section additionnelle, dont la lecture
n’est toutefois pas indispensable pour comprendre les chapitres ult´erieurs :
nous avons tenu, en guise de lecture compl´ementaire, `apr´esenter les deux
types d’infini, le potentiel et l’actuel, qui se sont toujours cotoy´es, voire op-
pos´es. D’autre part, ce pr´eliminaire est compl´et´e, en annexe, par une descrip-
tion succincte des trois fac¸ons dont l’analyse non standard est g´en´eralement
introduite dans la litt´erature.
Dans le corps de ce livre, nous avons cherch´e`apr´esenter cette mˆeme th´eorie
d’une mani`ere originale, davantage intuitive et accessible pour des d´ebutants
en analyse, mais n´eanmoins rigoureuse.
Pr´eliminaires d`es l’Antiquit´e
Un concept essentiel de l’analyse ´etant la notion de limite, ainsi que les
notions connexes d’infini, de d´eriv´ee... , il est naturel de faire remonter les
´d´ ebuts de l’analyse `a l’Antiquit´e. En effet, le philosophe grec Z´enon d’El´ee (en-
viron 490-430 A.C.N.) envisageait d´ej`aleprobl`eme de l’infini, notamment en
´enoncan¸ t quelques paradoxes, dont la c´el`ebre course du li`evre Achille avec une
7 Hegel Friedrich (1770-1831) est un philosophe allemand `a qui on doit notamment la
th´eoriedela dialectique : il s’agit d’une m´ethode rationnelle selon laquelle la r´ealit´eest
analys´ee en mettant en ´evidence ses contradictions puis en cherchant `ad´epasser celles-ci.
aanalyse... versie 2.indd 9nalyse... versie 2.indd 9 118-09-2008 13:40:158-09-2008 13:40:15´10 PREAMBULE: APPROCHE HISTORIQUE
8 `tortue . A la suite de Z´enon, plusieurs savants de l’Antiquit´eont´egalement
r´efl´echi sur l’infini. Citons notamment Aristote (345-322 A.C.N.) pour qui
la continuit´e´ etait une notion physique per¸cue par les sens; Eudoxe (408-355
A.C.N.) qui fonda la m´ethode d’exhaustion permettant de calculer l’aire d’une
r´egion plane par des approximations de plus en plus pr´ecises ; Euclide (330-275
9´A.C.N.), qui, dans les c´el`ebres El´ements , indiquait par exemple que la limi-
te vers laquelle tend l’aire d’un polygone r´egulier convexe inscrit a` un cercle,
lorsque le nombre de cotˆ ´es augmente autant qu’on le souhaite suivant une loi
quelconque, est parfaitement d´efinie et vaut l’aire de ce cercle.
Il fallut toutefois attendre pr`es de vingt si`ecles pour que l’infini se laisse
apprivoiser grˆace au d´eveloppement du calcul diff´erentiel et int´egral, encore
appel´e calcul infinit´esimal ou calculus par les anglo-saxons.
`emeLes fondements au XVII si`ecle
En pr´elude a` la naissance de l’analyse math´ematique moderne mentionnons
`emeles travaux de quatre savants de la premi`ere moiti´e du XVII si`ecle.
• L’Italien Francesco Bonaventura Cavalieri (1598-1647) calcula des aires
et des volumes en ´elaborant une m´ethode astucieuse qui pr´efigurait une
th´eorie de l’int´egration. Par exemple, il divisait un polygone en une
infinit´e de segments obtenus comme intersection de la figure avec des
droites parall`eles, puis il calculait l’aire du polygone par r´ef´erence avec
une autre surface connue; par ce raisonnement, il pouvait ainsi montrer
que l’aire d’un parall´elogramme est ´egale `a celle d’un rectangle, pour
autant que les “indivisibles”, c’est-` a-dire les segments de droite corres-
pondants constituant les deux figures, soient de mˆeme longueur (voir
Figure 1).
Cette notion d’indivisible ´etait pourtant encore assez confuse `al’´epoque.
• Le Francais¸ Pierre de Fermat (1601-1665) est c´el`ebre par la conjecture
qu’il formula dans la marge d’un ouvrage et selon laquelle il pr´etendait
avoir d´emontr´eun grand th´eor`eme affirmant que, si n est un entier
n n nsup´erieur ou ´egal `a3,l’´equation x + y = z n’admet aucune solution
{x,y,z} avec x, y et z entiers naturels non nuls ; de nombreux math´ema-
ticiens essay`erent de d´emontrer ce r´esultat... ce qui ne fut r´ealis´equ’en
1994 par l’Anglais Andrew Wiles.
Fermat mit ´egalement un point une m´ethode originale pour trouver le
maximum ou le minimum d’un polynomˆ e. Par exemple, pour partager
8 La tortue poss`ede au d´epart une avance et ne sera jamais rattrap´ee par Achille, pensait
Z´ enon, puisque le li`evre doit toujours commencer par r´esorber son retard et que, pendant ce
temps, la tortue prend une nouvelle avance sur son poursuivant.
9 Ouvrages qui rassemblaient toutes les connaissances g´eom´etriques de l’´epoque.
aanalyse... versie 2.indd 10nalyse... versie 2.indd 10 118-09-2008 13:40:168-09-2008 13:40:16`eme `LES FONDEMENTS AU XVII SIECLE 11
Figure 1 : Comparaison d’aires graceˆ au concept d’“indivisibles”
un segment de droite AC `a l’aide d’un point E,desorte que AE× EC
soit maximum, il ´ecrivait :
Posons, AC = b;soit a un des segments, l’autre sera b− a,et
le produit dont on doit trouver le maximum :
2ba− a .
Soit maintenant a + e le premier segment de b, le second sera
b− a− e, et le produit des segments:
2 2ba− a + be− 2ae− e ;
il doit ˆetre ad´egal´eaupr´ec´edent:
2ba− a ;
supprimant les termes communs :
2be∼ 2ae + e ;
divisant tous les termes:
b∼ 2a + e,
supprimez e:
b=2a.
Pour r´esoudre le probl`eme il faut donc prendre la moiti´edeb.Il
est impossible de donner une m´ethode plus g´en´erale.(Fermat,
1637)
aanalyse... versie 2.indd 11nalyse... versie 2.indd 11 118-09-2008 13:40:178-09-2008 13:40:17´12 PREAMBULE: APPROCHE HISTORIQUE
10Ce raisonnement consistait donc a` introduire une ad´egalit´e ,puis a`
supprimer un terme tr`es petit pour fournir cette fois une ´egalit´e ; cette
m´ ethode a ´et´ecritiqu´ee `al’´epoque pour son manque de rigueur, mais
pr´efigurait d´eja` le raisonnement infinit´esimal qui sera d´evelopp´eult´erieu-
rement.
• Blaise Pascal (1623-1662) fut un math´ematicien g´enial et tr`es f´econd.
`A la fin de sa vie, il travailla en analyse infinit´esimale. Dans son court
ouvrage L’esprit de la g´eom´etrie, il aborda diverses notions qui furent
reprises ult´erieurement, et notamment en analyse non standard. Il y
distinguait un indivisible: ce qui n’a pas de partie,de l’´etendue qui a
diverses parties s´epar´ees. Ces deux notions diff`erent non seulement par
le nom, mais aussi par le genre puisqu’un indivisible multipli´eautant de
fois qu’on voudra est si ´eloign´e de pouvoir surpasser une ´etendue.De
plus, il d´egageait la propri´et´equeposs`ede toute chose de pr´esenter deux
infinit´es: l’une de grandeur et l’autre de petitesse;en effet,
quelque grand que soit un nombre, on peut en concevoir un plus
grand, et encore un qui surpasse le dernier ; et ainsi a` l’infini,
sans jamais arriver a` un qui ne puisse plus ˆetre augment´e.
Et au contraire, quelque petit que soit un nombre, comme la
centi`eme ou la dix milli`eme partie, on peut encore en concevoir
un moindre, et toujours a` l’infini, sans arriver au z´ero ou au
n´ eant.
De plus, il s’effor¸ca de convaincre de ses propos ceux qui
ne peuvent comprendre que les parties si petites, qu’elles nous
sont imperceptibles, puissent ˆetre autant divis´ees que le firma-
ment: il n’y a pas de meilleur rem`ede que de les leur faire
regarder avec des lunettes qui grossissent cette pointe d´elicate
jusqu’` a une prodigieuse masse (Pascal, 1654).
Cette id´ee de “loupe grossissante” fut reprise bien plus tard en analyse
non standard, comme nous le verrons ult´erieurement.
• Un autre pr´ecurseur du Calculus fut l’Anglais Isaac Barrow (1630-1677).
Il donna une approche g´eom´etrique de la d´eriv´ee en introduisant la no-
tion de triangle diff´erentiel:ils’agit,pourunpoint M sur une courbeC,
du triangle MAB construit en utilisant la tangente al` acourbeaupoint
M (voir Figure 2).
10 Bien que Fermat n’ait pas pr´ecis´e le sens exact qu’il accordait au mot ad´egalit´e,la
pr´esence du pr´efixe latin ad, signifiant “vers”, permet d’imaginer que le symbole ∼,qui se
lit est ad´egal `a, remplace une phrase du type devient toujours plus proche de ou encore va
vers l’´egalit´eavec
aanalyse... versie 2.indd 12nalyse... versie 2.indd 12 118-09-2008 13:40:178-09-2008 13:40:17`eme `LES FONDEMENTS AU XVII SIECLE 13
C
M
B A
D C
Figure 2: Triangle diff´erentiel
Si D d´ esigne l’intersection de cette tangente avec l’axe des abscisses, la
longueur CD est appel´ee la sous-tangente en M al` acourbeC et grˆace `a
AM CMla similitude des triangles, on a = :ilsuffitdeposer AM = dy,
BA DC
dy yBA = dx, CM = y et DC = t,pouravoir l’´egalit´e = .dx t
De plus, il entrevoyait d´ej`a les liens entre le calcul diff´erentiel et le calcul
int´egral en reliant l’aire sous une courbe alg´ebrique al` a primitive de la
fonction. Ses travaux furent toutefois ´eclips´es par ceux de son c´el`ebre
disciple Isaac Newton (1642-1727).
C’est `a ce dernier, conjointement avec l’allemand Gottfried Leibniz (1646-
1716), que la paternit´e intellectuelle du calcul infinit´esimal peut ˆetre v´eri-
tablement attribu´ee. Ces deux savants ont toutefois ´et´e influenc´es par leurs
pr´ed´ecesseurs.
Newton fut un des plus grands scientifiques de tous les temps, rendu
c´el`ebre principalement par ses travaux de physique, notamment en optique
mais surtout en th´eorie de la gravitation. En ce qui concerne l’analyse math´e-
matique, il travailla sur les fonctions et sur les courbes. Il en avait une approche
m´ ecanique et g´eom´etrique, mais non analytique : il consid´erait notamment
toute grandeur variable comme engendr´ee par un mouvement ou flux continu ;
il appelait fluxion l’accroissement relatif momentan´e de la grandeur, c’est-` a-
dire la vitesse du mouvement engendr´e par le flux en question. Il d´esignait par
x˙,¨ x... une fluxion respectivement du premier ordre, du deuxi`eme ordre...
Ces notations sont encore quelquefois utilis´ees en m´ecanique.
Leibniz, sur les conseils du hollandais Christian Huygens (1629-1695),
fr´equenta des math´ematiciens anglais ; il est possible qu’il ait alors pris con-
naissance des travaux de Newton ; toujours est-il que ce dernier le soupcon¸ na
plus tard d’avoir lu son manuscrit sur la d´ecouverte du calcul diff´erentiel, et
l’accusa mˆeme de l’avoir plagi´e.
En fait, il semble que ces deux savants aient tous deux r´esolu les mˆemes
probl`emes ind´ependamment l’un de l’autre, par des voies diff´erentes. D’un
aanalyse... versie 2.indd 13nalyse... versie 2.indd 13 118-09-2008 13:40:188-09-2008 13:40:18´14 PREAMBULE: APPROCHE HISTORIQUE
cˆot´e, Newton consid´erait des variations infinit´esimales de quantit´es fluentes x
et y dans un intervalle de temps infiniment petit, mais le caract`ere infinit´esimal
de ces variations “s’´evanouissait” dans le calcul de leur rapport. Par contre,
Leibniz n’envisageait pas seulement des accroissements relatifs : il s’int´eressait
´egalement `a des accroissements absolus. C’est ainsi qu’il introduisit la notion
d’infiniment petit,c’est-`a-dire une quantit´equi s’´evanouit pour ˆetre
plus petite que toute quantit´e donn´ee, puisqu’il est en notre pou-
voir de diminuer l’incomparablement petit, que l’on peut toujours
supposer aussi petit que l’on veut (Leibniz, 1702).
Dans ses r´eflexions philosophiques, il reliait un infiniment petit, encore appel´e
un infinit´esimal,`aune monade qui, pour lui, repr´esentait une substance sim-
ple, in´etendue, indivisible, active, qui constitue l’´el´ement dernier des choses.
Leibniz introduisit encore plusieurs symboles importants en analyse : le d,
abr´eviation de diff´erence, pour une diff´erentielle, la notation dy/dx pour une
d´ eriv´ee, ainsi que le signe ,quiestlapremi`ere lettre du mot somme, pour une
int´egrale. Il ´etudia ´egalement des syst`emes d’´equations diff´erentielles lin´eaires.
D´ eveloppement pragmatique du calcul
`emeinfinit´esimal au XVIII si`ecle
`emeDurant le XVIII si`ecle, les travaux de Newton et Leibniz furent pro-
long´es par de nombreux savants qui ont beaucoup contribu´eaud´eveloppement
de l’analyse classique. Leurs r´esultats sont encore enseign´es de nos jours dans
tout cours ´el´ementaire d’analyse math´ematique. Ainsi en est-il des travaux de:
• Michel Rolle (1652-1719) qui ´enonca¸ un c´el`ebre lemme `alabasedetous
les th´eor`emes profonds du calcul diff´erentiel.
• Guillaume Francois¸ Antoine De L’Hospital (1661-1704) a` qui l’on doit
une r`egle bien connue pour lever des ind´eterminations. Il fut fort in-
fluent pour faire connaˆıtre, en France, le calcul infinit´esimal, notam-
ment en publiant L’analyse des infiniment petits pour l’intelligence des
lignes courbes en 1696 : c’est le premier trait´e didactique sur le calcul
diff´erentiel. Il ´enonca¸ ´egalement le th´eor`eme g´en´eral de d´erivation d’une
fonction compos´ee, sans se restreindre aux fonctions ´el´ementaires.
• Les fr`eres Bernoulli, Jacques (1664-1705) et Jean (1667-1748), tous deux
professeurs `a l’universit´edeBˆale, qui contribu`erent `a diffuser en Europe
les id´ees de Leibniz. Le qualificatif int´egral est du`ˆ a Jacques qui l’a form´e
`a partir du mot latin integer, qui signifie “entier” ou “qui forme un tout”,
parce qu’il avait observ´equ’une somme d’infiniment petits peut fournir
le tout.
aanalyse... versie 2.indd 14nalyse... versie 2.indd 14 118-09-2008 13:40:198-09-2008 13:40:19`eme´ `CALCUL INFINITESIMAL AU XVIII SIECLE 15
• Brook Taylor (1685-1731) et Colin Mac Laurin (1698-1746) qui obtin-
rent des formules classiques pour approcher certaines fonctions par des
polynomˆ es.
• Leonhard Euler (1707-1783) qui fut un des plus grands mathem´ aticiens
de tous les temps. En 1734, il introduisit la notation moderne f(x)pour
d´ esigner la valeur d’une fonction f en un point x et, par abus de notation,
la fonction elle-mˆeme. Il ´ecrivit entre autres une Introduction `al’analyse
des infiniment petits en 1755, les Institutions du calcul diff´erentiel en
1755, et les Institutions du calcul int´egral de 1768 a` 1770. Il chercha `a
d´ ebarrasser le calcul de son support g´eom´etrique et travailla avec des
fonctions.
• Jean Le Rond D’Alembert (1717-1783) qui est surtout connu pour son
fameux th´eor`eme fondamental de l’alg`ebre. Dans sa c´el`ebre Encyclop´edie,
il est notamment indiqu´eque la limite est une op´eration fondamentale
des math´ematiques.
• Joseph Louis Lagrange (1736-1813) a` qui l’on doit notamment la th´eorie,
tr`es exploit´ee en micro´economie, des multiplicateurs portant son nom
dans la recherche des extrema li´es par des ´egalit´es de contrainte. Il fut
l’un des principaux artisans du passage au domaine num´erique, notam-
ment en d´eveloppant la pratique des majorations et minorations. Il in-
troduisit ´egalement le mot d´ eriv´ee:pourlui,ils’agissait d’unefonction
qui provient d’une fonction primitive et qui, d`es lors, d´ erive de cette
derni`ere.
Les travaux remarquables de ces scientifiques, et de quelques autres moins
connus, ont fourni l’essentiel des r´esultats de base en analyse math´ematique et
satisfaisaient pratiquement tous les besoins courants de nombreux praticiens.
Il faut toutefois signaler que les ´enonc´es de cette ´epoque ´etaient prouv´es de
mani`ere peu rigoureuse, notamment en reposant sur des d´efinitions impr´ecises
et sur le concept d’infiniment petit dont l’existence et le statut semblaient
encore “flous”. Les math´ematiciens de l’´epoque s’interrogeaient sur l’existence
des infiniment petits. Ainsi, D’Alembert, dans l’Encyclop´edie, rejetait l’id´ee
que des quantit´es peuvent “s’´evanouir”, car il estimait dans son Essai sur les
´el´ements de philosophie ou sur les principes des connaissances qu’
une quantit´e est quelque chose ou rien. Si elle est quelque chose,
elle ne s’est pas annul´ee; si elle n’est rien, elle s’est annul´ee. La
supposition qu’il y ait un ´etat interm´ediaire entre les deux est
11chim`ere (Jean Le Rond D’Alembert, 1759).
11 D’un point de vue math´ematique, on peut ´evidemment affirmer qu’un nombre r´eel est
soit nul, soit non nul et qu’il est impossible de trouver un nombre r´eel positif qui soit plus
petit que tout autre nombre r´eel positif.
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