En poche - Mathématiques financières 2014-2015

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Toutes les formules de mathématiques financières expliquées et illustrées de nombreux exemples :

• intérêts simples et composés,

• escompte,

• emprunts indivis et obligataires,

• valeur des actions,

• rentes,

• projets d’investissement.
Publié le : lundi 1 septembre 2014
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EAN13 : 9782297044622
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RAPPELS MATHÉMATIQUES
Équ atio n e t in é qu atio n Déînitions 4Uneé q u a t i o nest une égalité dans laquelle îgure une ou plu-sieurs inconnues. Lorsque l’égalité est vériîée, la ou les inconnues prennent diFérentes valeurs appelées solutions. Résoudre une équation revient à trouver toutes les solutions. L’ordre des termes n’a aucune importance (si a = b alors b = a). 4Unei n é q u a t i o nest une inégalité dans laquelle îgure une ou plusieurs inconnues. Elle peut prendre la forme a ≤ b ou a ≥ b.
Les diFérents types d’équations et d’inéquations
n : ax = bgré u variable de de n e à u Équ atio n b Si a ≠ 0 alors x = . Il existe une solution et une seule. a Ce type d’équation se retrouve dans les problèmes relatifs à l’éva-luation d’un capital à une date quelconque, dans le cas de l’équiva-lence de deux capitaux… c = 0+ bx + gré de variable de de : ax² u x Équ atio n n e à u Pour résoudre cette équation, il faut dans un premier temps calcu-ler le discriminantΔ= b² – 4 ac. SiΔ> 0 alors l’équation a deux solutions :
– b –!Δ– b +!Δ x = et x = 1 2 2a 2a
b SiΔa une seule solution.= l’équation = x = 0 alors x 1 2 2a SiΔ< 0 il n’existe pas de solutions réelles à l’équation. Équ atio n à de u x variable s : ax + by = c Il s’agit de l’équation d’une droite, sauf si a = b = 0. c a a Si b ≠ 0 alors y = 3avec lecoeIcient directeur b bb c (ou pente) de la droite et l’ordonnée à l’origine. b u x à de :variable s de de Sys tè m e é qu atio n s u x ax + by = c h  gx + hy = t L’accolade signiîe que les deux équations doivent être satisfaites en même temps. Pour ce faire, il existe deux méthodes : 4la méthode par substitutionqui permet de remplacer une variable dans une équation par sa valeur tirée de l’autre équation. Par exemple : 2x + 4y = 8 hx + y = 3
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L’équation 2 peut s’écrire sous la forme y = 3 – x ; dans ce cas, en remplaçant y dans l’équation 1, celle-ci est transformée en une équation à une inconnue : 2x + 4 (3 – x) = 8 d’où x = 2 et doncy = 3 – 2 = 1 ; 4la méthode par éliminationqui consiste à rem (Gauss) -placer une équation par une autre, en multipliant celle-ci par un nombre non nul de telle sorte que le coeïcient d’au moins une variable soit le même dans l’autre équation du système. Toujours avec le même exemple, l’équation 2 peut être multipliée par 2 ou par 4. Ensuite, à l’aide des combinaisons linéaires il sera possible de calculer x ou y, puis d’en déduire l’inconnue manquante. Dans le cas présent, multiplions l’équation 2 par 2 : 2x + 4y = 8 h2x + 2 y = 6 Puis eFectuons la soustraction entre les deux équations, alors 2y = 2d’où y = 1 et x = 2. Ce type de résolution est utile, par exemple, pour résoudre les pro-blèmes relatifs à l’équivalence de deux eFets de commerce. Précisons qu’en contrôle de gestion, il est possible d’utiliser lam é-thode graphiqueconsiste à rechercher l’existence d’un point qui d’intersection entre les deux droites. Inéquation à deux variables : ax + by ≤ c Ce type de système se retrouve en contrôle de gestion. Pour une ré-solution par le calcul, il faut introduire des variables d’écart aîn de transformer une inéquation en équation (méthode du simplexe). La solution graphique nécessite la représentation de la droiteax + by = c, puis la détermination du demi-plan qui satisfait à l’inéquation.
Fo n ctio n s : y = f( x) La fonction aïne : y = ax + b Cette fonction est une droite de pente a, croissante si a > 0 etdécroissante si a < 0.
La fonction logarithme népérien (ln) 1 Il s’agit de la primitive de y = pour x > 0 qui s’annule pour x x = 1. Elle est notée y = ln(x). Cette fonction est souvent utilisée en mathématiques înancières aîn de déterminer les durées.Ses propriétés sont les suivantes : ln(a) = ln(b)a = b ln(ab) = ln(a) + ln(b) a ln = ln(a) – ln(b) ( ) b n ln(x) = n ln(x)
Rappels mathématiques
Parfois, il peut être fait référence au logarithme à base a (avec a > 0) ln(x) de x : log (x) = a ln(a) Le logarithme népérien est le logarithme à base e (exponentielle).
La fonction exponentielle : y = e x x Il s’agit de la fonction telle que x = ln(y), on note y = e . Ses propriétés sont les suivantes : a+b a b e = e e a b ab (e ) = e a ln(e ) = a ln(b) e = b
x La fonction puissance : y = a xln(a) Cette fonction est déînie par y = e pour tout a > 0.
Dé rivé e s
Soit f(x) déînie sur ]a ;b[, on appelle nombre dérivé de f en x la 0 f(x) – f(x ) 0 quantité lim xx si elle existe ; notée f’(x ). 0 0 x – x 0 Si la dérivée est positive, alors la fonction est croissante ; si elle est négative, la fonction est décroissante. Voici quelques dérivées : Fonctions Dérivées r r–1 x r x rr–1 u (x) u (x) u’(x) 1– u’(x) 2 u(x)u (x) u(x) u’(x) v(x) – u(x) v’(x) 2 v(x) v (x) A (constante) 0 x1 1 ln(x) x u(x) v(x) u’(x) v(x) + u(x) v’(x) x x e e u’(x) ln (u(x)) u(x)
Si entre a et b la dérivée s’annule en x en changeant de signe, alors 0 la fonction admet un extremum en x0appelée. tan gen t
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Expo s an ts e t fractio n s Voici un tableau récapitulatif des principales propriétés :
1 -n a = n a
n m n+m a a = a
n n n (ab) = a b
n m nm (a ) = a
n a n-m = a m a
1 n n n! Si a = b alors a =b= b a c ac 3 = b d bd a c = alors ad = bc b d a c ad + cb + = b d bd
In te rpo latio n lin é aire Soit f la fonction déînie sur [a ; b] et c un nombre réel dans cet intervalle. L’interpolation linéaire permet de trouver l’image de c par f quand celle-ci ne peut pas être calculée. Cette méthode consiste à rempla-cer f(c) par g(c) ou g est la fonction aïne telle que : g(a) = f(a) g(b) = f(b) La méthode remplace la courbe représentative de f sur [a ; b] par la droite (AB) et de ce fait :
f(b) – f(a) f(c) = f(a) + (c – a) b – a
Exem pleun v élo pour 1 20 v estir dan s n e décide d’in : Un e person 0 € . Le v en deur lui propose un crédit : - 10 m en sualités de 129,43 € chacun e ; re - 1 m en sualité, un m ois après l’achat. Quel est le taux m en suel équiv alen t correspon dan t à ce crédit ? -10 -10 1 20 0 1 – (1 + i) 1 – (1 + i) 1 20 0 = 129,433 d’où = = 9,27142 129,43 i i En l’absen ce de solv eur, il con v ien t de procéder à un e in terpolation lin éaire :
i −10 1 − (1+ i) i
a = 1 %
9,4713
c = i %
9,27142
b = 1,5 %
9,222 − 9,4713 9,27142 = 9,4713 + (i – 0 ,0 1) d’où i = 1,40 % 0,015 − 0,01
Rappels mathématiques
9,222
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L ESSUITES
Les suites sont utilisées principalement lors des calculs de place-ments înanciers.
Su ite s arith m é tiqu e s Une suite en progression arithmétique est une suite numérique, dont chaque terme s’obtient ena jo u t a n tau précédent un terme réel constant appelé laraison, notée r. L’ordre des termes est im-portant, c’est pourquoi un rang lui est donné. + r + r + r
a a a a a 1 23 n-1 n a + r a + r 1 2 a 1a+ 2r 1+ (n – 1)r a+ r = a + (n – 1)r= a nn-11 ième avec a le n terme, a le premier terme et n le nombre de terme. n1 Si r > 0, alors la suite est croissante. Si r < 0, alors la suite est décroissante. Si r = 0, alors la suite est constante. La somme S d’une suite arithmétique est :
er valeur du 1 terme + valeur du dernierterme S=3nombre de termes 2 a + a 1n = 3n 2
Les suites arithmétiques trouvent leur application lors d’un retrait ou d’un ajout d’une même valeur à chaque période, lors du calcul des intérêts simples.
Exem pleain ten an ce trat de m s.sur 10 an : M on sieur Trésor sign e un con La v aleur in itiale est de 1 0 0 00de 10 en ter de l’augm v isagé . Il est en par an. Combien aura-t-il décaissé à la In du contrat ? a = 1 0 0 0 ; a = a + 10 0 = 1 10 0 . N ous som m es en présen ce d’un e suite 1 2 1 arithm étique de raison r = 10 0 Pour connaître le montant total versé à la In du contrat il convient de calculer a = a + 9 r = 1 0 0 0 + 93= 1 90 010 0 10 1 1 0 0 0 + 1 90 0 S =3014 50 10 = montant versé à la In du contrat. 2 Su ite s gé o m é triqu e s Une suite en progression géométrique est une suite numérique dont chaque terme s’obtienten m ultiplian tterme précédent le
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par un nombre réel constant non nul appelé laraison, notée q. L’ordre des termes est important, c’est pourquoi un rang lui est donné. q q 3q3 3
a 1
a a 23 a q a q 1 2 2 a q 1 n-1 = a = a q ann-13q13
a n-1
a n a q n-1 n-1 a q 1
ième avec a le n terme, a le premier terme et n le nombre de terme. n1 Si q > 1, alors la suite est croissante. Si q < 1, alors la suite est décroissante. Si q = 1, alors la suite est constante. La somme S d’une suite géométrique est : er q3termevaleur du dernier terme – valeur du 1 S= q – 1 n q – 1 = a avec q ≠ 1 3 1 q – 1 Ces suites trouvent leur application lorsqu’il est envisagé une aug-mentation constante chaque année (par exemple les salaires aug-mentent de 1 % chaque année, le calcul des intérêts composés).
Exem ple: M on sieur Trésor signe un contrat de m ainten ance sur 10 an s. La v aleur initiale est de 1 0 0 0.ter de 8 % par an isagé de l’augm en . Il est env Combien aura-t-il décaissé à la In du contrat ? a = 1 0 0 0 ; a = a31,0 8 = 1 0 8 ce d’un e suitesom m es en présen 0 . N ous 1 2 1 géom étrique de raison q = 1,0 8 . 10 1,0 8− 1 S = 1 0 0 03 = 6,5614 48 montant versé à la In du contrat.  1,08 − 1
Parfois la suite peut être arithmétique et géométrique. Dans ce cas : nb b u= a u (= a +b et u u ) n + 1nn 0– + 1 – a 1 – a
Exem ple0pte 60  : Trésor place sur un com M onsieur  tous ois.les m Chaque m ois, il utilise 20 % de ce qu’il possède sur ce com pte. Quel m on tan t peut-il y av oir au m axim um sur ce com pte ? À la In du premier mois, M= 60 0 0– 60 320 % = 480 ; In du deuxième 1 m ois M = (48 0 + 60 0 )3= 8 640 ,8 2 M = (M + 60 0 )30 ,8 0 = 0 d à un e suite48 0 . Ceci correspon ,8 0 M + 1 2 2 arithm étique et géom étrique. 48 0 48 0 n -1 n -1 M = 0 ,8 48 0 – + = 0 ,83(-1 920 ) + 1 920 (0 ,81 – )0 ,81 – n n -1 Quand n tend vers l’inIni alors 0,8= 0 alors M on tan t= 1 920 € m n m axim um du com pte.
Les suites
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