Géométrie et cognition

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Entre fondements des mathématiques, théorie de la connaissance et cognition, une interrogation nouvelle traverse le dossier qui forme ce numéro issu d’une série de conférences-débats tenues à l’École normale supérieure au cours des dernières années. Il s’agit d’examiner à nouveaux frais l’importance de l’espace dans la construction humaine des concepts mathématiques. En effet, depuis les années 1930, le thème de la théorie de la démonstration a dominé la philosophie des mathématiques.

Un tournant linguistique fut pris qui a focalisé les questionnements sur l’analyse du texte formel des démonstrations. Le raisonnement logique de Boole et de Frege a été réifié et soumis à une mathématique des suites finies de signes et de leurs transformations effectives. Les noms de Hilbert, Gödel ou Turing ont dès lors tracé le périmètre d’une nouvelle discipline mathématique à l’origine de l’informatique.

Or aujourd'hui, les succès et les limites des analyses et des applications issues de cette hypothèse linguistique nous poussent à aller, par-delà ces outils, vers une méthode épistémologique et scientifique qui intégrerait aussi les formes non linguistiques de la connaissance et du rapport de l’homme au monde.

C’est le retour de la question géométrique. L’ensemble du dossier suggère qu’il est temps de renouer avec les idées esquissées par Riemann, Poincaré, Weyl et Enriques, et de se ressaisir d’une réflexion scientifique sur l’épistémologie des mathématiques et leur origine cognitive. Ce volume a été conçu comme une première tentative dans cette direction.

Publié le : jeudi 1 janvier 2004
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EAN13 : 9782728838141
Nombre de pages : 360
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PRÉSENTATION
GÉOMÉTRIE ET COGNITION ENTRE FONDEMENTS DES MATHÉMATIQUES, THÉORIE DE LA CONNAISSANCE ET COGNITION Giuseppe LONGO
En 1999, en étroite collaboration avec Jean Petitot et Bernard Teissier, l’auteur de cette présentation a mis en place une série de conférences-débats 1 sur le thème « Géométrie et cognition ». Nos différentes préoccupations, faisant respectivement référence aux sciences cognitives, à la géométrie des systèmes dynamiques et à la géométrisation en informatique, ont trouvé un « espace conceptuel et de travail commun » grâce à cette initiative. Le manifeste qui accompagnait ce cycle de conférences, écrit en collaboration avec Petitot et Teissier, et transformé en projet d’atelier, a été ensuite généreusement financé par l’« Action cognitique » du ministère de la Recherche (dirigée par Catherine Fuchs), pour la période 2000-2002. Ce volume est une des trois publications qui ont recueilli certaines des 2 contributions aux séminaires et aux colloques organisés dans cet atelier . Le texte qui suit est une introduction générale, reprise de la première partie du manifeste originel, aux thèmes de l’Atelier les plus en rapport avec les articles de ce volume.
L’ORIGINE D’UN DÉBAT
Un grand débat est à l’origine de l’analyse des fondements des mathémati-ques, au tournant du siècle. Un moment central en fut l’opposition radicale entre les visions de Bernhard Riemann et de Henri Poincaré, d’un côté, et celles de Gottlob Frege et de David Hilbert de l’autre. Riemann et Poincaré insistent sur le rôle de l’espace et sur la « constitution des concepts mathématiques » par l’homme, en tant qu’être vivant dans le monde. Frege propose des règles logiques universelles et indépendantes de l’homme, dont l’objectivité absolue constitue le fondement ultime des mathématiques, des règles à exprimer dans
1. Voir le « Cycle de conférences de démarrage », février-avril 1999, sur le site http://www.di.ens.fr/users/longo/geocogni.html. 2. Voirinfran. 14 et 15.
e Revue de synthèse: 5 série, année 2003, p. 1-10.
2
e REVUE DE SYNTHÈSE : 5 SÉRIE, ANNÉE 2003
une « langue formulaire de la pensée ». Selon Hilbert, ces règles et ces axiomes, codés dans des suites finies de signes, devront satisfaire à la seule cohérence formelle pour « fonder » les mathématiques ou leurs différentes branches. e Au cours duXXsiècle, Federigo Enriques et Hermann Weyl enrichiront les réflexions de Riemann et de Poincaré en y ajoutant l’appréciation de l’histoire, par cette analyse des « conceptualisations progressives » en mathématiques que l’on trouve dans leurs nombreux écrits philosophiques. Hilbert, au contraire, développera la logique mathématique de Frege et ira bien plus loin que lui : en cherchant la « certitude » dans la manipulation finitaire de langages formels cohérents, il posera les bases de la théorie de la Démonstration, en tant qu’ana-lyse formelle et linguistique des mathématiques, telle qu’elle se développera surtout après les années 1930. En fait, le « tournant linguistique » marque le siècle bien au-delà des projets de Frege : le raisonnement logique de Boole et de Frege est réifié dans une mathématique des suites finies de signes et leurs transformations effectives, la métamathématique de Hilbert, à l’intérieur de laquelle on pourra poser des problèmes mathématiques, des conjectures (la complétude, la décidabilité, la cohérence… d’un système d’axiomes et de règles), démontrer des résultats précis. La force conceptuelle, la rigueur et la précision mathématiques du programme de Hilbert feront oublier les remarques informelles, quoique profondes, de Riemann, Poincaré et des autres géomètres (dont aussi Helmholtz et Mach) : la logique mathématique se posera comme nouvelle discipline mathématique de grand relief et, en permettant de développer la notion de représentation ou codage finitaire (Kurt Gödel) et de calcul effectif (Jacques Herbrand, Kurt Gödel, Alan Turing, Alonso Church…), elle sera à l’origine de l’informatique. C’est ainsi que l’objectivité absolue des calculs logiques s’est en définitive trouvée objectivée dans des machines « formellement et parfaitement logiques ». Ces machines ne cessent, depuis cinquante ans, de changer notre vie, par leur extraordinaire efficacité dans tout ce qui est codable par des suites finies de signes et leurs transformations effectives. Les conséquences philo-sophiques impliquées par ce tournant fondateur et les machines qu’il a engendrées ont été énormes dans le domaine de la théorie de la connaissance et de l’esprit et, par conséquent, dans celui des sciences cognitives. Ce sont justement les succès et les limites des analyses et des applications basées sur « le traitement finitaire de suites finies de signes » qui nous pous-sent à aller, au-delà de ces outils, vers une méthode épistémologique et scien-tifique qui intègre aussi les autres formes de la connaissance et du rapport de l’homme au monde. Il est temps de revenir aux idées esquissées par Riemann, Poincaré, Weyl et Enriques, pour reprendre une réflexion scientifique, en fait mathématique, sur l’épistémologie des mathématiques et leur origine cognitive. Ce volume est une première tentative dans cette direction, développée dans le cadre d’une série d’exposés présentés à l’atelier « Géométrie et cognition ».
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