L'École normale de l'an III. Vol. 1, Leçons de mathématiques

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Il survient parfois un moment de l'histoire où les scientifiques, tous domaines confondus, s'imposent dans un même mouvement de faire le pointées connaissances acquises et de tracer les routes à suivre. C'est à un tel moment que nous convient les leçons de l'Êcole normale de l'an Ill, professées au premier semestre de 1795, retranscrites par le soin de sténographes et aussitôt publiées. Dernière tentative —désespérée —d'offrir à un seul cerveau une connaissance encyclopédique ordonnancée par là raison analytique. Pour réaliser une entreprise aussi ambitieuse, on fit appel aux plus grands : de Volney l'historien à Berthollet le chimiste, de La Harpe le critique littéraire à Bernardin de Saint-Pierre "le professeur de morale"... C'est dans le cadre bucolique d'un jardin à la Rousseau, à l'amphithéâtre du Museum mais à deux pas du faubourg Saint-Marcel encore bruissant de fièvre révolutionnaire, que les maitres à penser du XVIIIe viennent donner leur enseignement et débattre avec leurs élèves. Les journées de Prairial mettront un point —provisoirement — final à l'expérience si riche de l'Êcole normale. Dans ce premier volume sont réunis et commentés les textes de trois mathématiciens remarquables : Laplace, Lagrange et Monge. Données devant un public nombreux, plus d'un millier d'auditeurs, ces leçons destinées "à éclaircir les théones les plus obscures" ont marqué de leur empreinte l'enseignement des mathématiques durant tout le XIXe siècle.


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EAN13 : 9782821829749
Nombre de pages : 640
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L'École normale de l'an III. Vol. 1, Leçons de mathématiques

Laplace - Lagrange - Monge

Jean Dhombres (dir.)
  • Éditeur : Éditions Rue d’Ulm, Dunod
  • Année d'édition : 1992
  • Date de mise en ligne : 20 décembre 2012
  • Collection : Histoire de l’ENS
  • ISBN électronique : 9782821829749

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Référence électronique :

DHOMBRES, Jean (dir.). L'École normale de l'an III. Vol. 1, Leçons de mathématiques : Laplace - Lagrange - Monge. Nouvelle édition [en ligne]. Paris : Éditions Rue d’Ulm, 1992 (généré le 17 décembre 2013). Disponible sur Internet : <http://books.openedition.org/editionsulm/442>. ISBN : 9782821829749.

Édition imprimée :
  • ISBN : 9782100002887
  • Nombre de pages : 640

© Éditions Rue d’Ulm, 1992

Conditions d’utilisation :
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Il survient parfois un moment de l'histoire où les scientifiques, tous domaines confondus, s'imposent dans un même mouvement de faire le pointées connaissances acquises et de tracer les routes à suivre. C'est à un tel moment que nous convient les leçons de l'Êcole normale de l'an Ill, professées au premier semestre de 1795, retranscrites par le soin de sténographes et aussitôt publiées. Dernière tentative —désespérée —d'offrir à un seul cerveau une connaissance encyclopédique ordonnancée par là raison analytique. Pour réaliser une entreprise aussi ambitieuse, on fit appel aux plus grands : de Volney l'historien à Berthollet le chimiste, de La Harpe le critique littéraire à Bernardin de Saint-Pierre "le professeur de morale"... C'est dans le cadre bucolique d'un jardin à la Rousseau, à l'amphithéâtre du Museum mais à deux pas du faubourg Saint-Marcel encore bruissant de fièvre révolutionnaire, que les maitres à penser du XVIIIe viennent donner leur enseignement et débattre avec leurs élèves. Les journées de Prairial mettront un point —provisoirement — final à l'expérience si riche de l'Êcole normale.

Dans ce premier volume sont réunis et commentés les textes de trois mathématiciens remarquables : Laplace, Lagrange et Monge. Données devant un public nombreux, plus d'un millier d'auditeurs, ces leçons destinées "à éclaircir les théones les plus obscures" ont marqué de leur empreinte l'enseignement des mathématiques durant tout le XIXe siècle.

Jean Dhombres

Directeur du Laboratoire d’histoire des sciences et des techniques du CNRS, directeur d’études à l’École des hautes études en sciences sociales, Jean Dhombres est professeur de mathématiques à l’Université de Nantes. Il a publié de nombreux articles ou livres aussi bien en mathématiques qu’en histoire des sciences dont, en collaboration avec Nicole Dhombres, Naissance d’un pouvoir : Sciences et savants en France (Payot, 1989) et en collaboration avec Janos Aczel, Functional equations in several variables (Cambridge University Press, 1989). Il a également participé à l’élaboration de Mathématiques au fil des âges (Dunod/Gauthier-Villars, 1987).

      1. Laplace en 1795 : une rentrée sur la scène parisienne et une entrée sur la scène politique
      2. Les dix leçons de Laplace : un ensemble analytique court, mais dense
      3. Les leçons de Laplace : voie « révolutionnaire » ou synthèse des connaissances mathématiques de tout le xviiie siècle ?
      4. L’invention en mathématiques : rivalité avec Lagrange, rivalité avec Monge
      5. Le savant au service de la Nation : le système métrique des poids et mesures expliqué et défendu par Laplace
      6. Le savant au service du Savoir : l’exposition du système du monde, Invention et philosophie scientifique de Laplace
      7. Les mathématiques au service de l’investigation scientifique : les probabilités entendues comme une autre induction des lois de la nature
      8. Les mathématiques naissent du besoin
      9. Conclusion
    1. Programme

      1er pluviôse / 20 janvier

    2. Première leçon

      1er pluviôse / 20 janvier

    3. Deuxième leçon

      9 pluviôse / 28 janvier

    4. Troisième leçon

      21 pluviôse / 9 février

    5. Débat

      26 pluviôse / 14 février

    6. Quatrième leçon

      1er ventôse / 19 février

    7. Cinquième leçon

      11 ventôse / 1er mars

    8. Sixième leçon

      21 ventôse / 11 mars

    1. Septième leçon

      11 germinal / 31 mars

    2. Huitième leçon

      21 germinal /10 avril

    3. Neuvième leçon

      11 floréal / 30 avril

    4. Dixième leçon

      21 floréal / 10 mai

  1. Leçons de Lagrange

    1. La méthode critique du « mathématicien-philosophe »

      Amy Dahan Dalmédico
    2. Débat

      11 pluviôse / 30 janvier

    3. Première leçon

      16 pluviôse / 4 février

    4. Deuxième leçon

      6 ventôse / 24 février

    5. Troisième leçon

      1er germinal / 21 mars

    6. Quatrième leçon

      6 germinal / 26 mars

    1. Cinquième leçon

      22 germinal / 11 avril

  1. Leçons de Monge

    1. L’invention d’une langue des figures

      Bruno Belhoste et René Taton
      1. Le professeur, le savant, le révolutionnaire
      2. Les leçons à l’École normale
      3. La géométrie descriptive à l’École polytechnique
    2. Programme

      1er pluviôse / 20 janvier

    3. Première leçon

      1er pluviôse / 20 janvier

      1. [I.]
    4. Deuxième leçon

      9 pluviôse / 28 janvier

    5. Premier débat

      11 pluviôse / 30 janvier

    6. Deuxième débat

      16 pluviôse / 4 février

    7. Troisième leçon

      21 pluviôse / 9 février

    8. Troisième débat

      26 pluviôse / 14 février

    9. Quatrième leçon

      14 ventôse / 19 février

      1. [II.]
    1. Cinquième leçon

      11 ventôse / 1er mars

    2. Sixième leçon

      21 ventôse /11 mars

      1. [III.]
    3. Septième leçon

      1er germinal / 21 mars

      1. [IV.]Application de la méthode de construire les intersections des surfaces courbes à la solution de diverses questions
    4. Huitième leçon

      11 germinal / 31 mars

      1. [V.]
    5. Neuvième leçon

      21 germinal / 10 avril

    6. Dixième leçon

      1er floréal / 20 avril (?)

      1. De la description graphique des ombres
    7. Onzième leçon

      11 floréal /30 avril (?)

      1. De la détermination des teintes dans la représentation des objets, et de la perspective aérienne
    8. Douzième leçon

      21 floréal / 10 mai (?)

      1. Théorie de la perspective

Introduction générale

Jean Dhombres

1Le 6 février 1808, au nom de la classe des sciences mathématiques de l’Institut et devant l’Empereur en son Conseil d’État, l’astronome Jean Baptiste Delambre déclarait solennellement que « les leçons de l’École normale avaient donné à nos géomètres l’occasion d’éclaircir les théories les plus obscures ». De façon significative, le tout jeune xixe siècle scientifique prenait conscience que l’horizon mathématique était éclairci, que des progrès pouvaient prendre place en faisant fond sur un héritage dûment répertorié, que les Lumières du siècle précédent ne s’étaient pas dispersées, mais concentrées. Pourrait-on aujourd’hui tenir un tel langage en évoquant des cours enseignés à de futurs instituteurs ou professeurs de lycée ? Même si l’on concède sa part à la rhétorique volontiers emphatique des fonctionnaires napoléoniens, où l’épithète révolutionnaire est le plus souvent gommée, c’est à l’impression de nouveauté que nous sommes le plus sensibles lorsque nous nous attachons à ces cahiers jaunis et mal reliés des cours des professeurs de l’École normale de l’an III.

2Cette école naquit de la volonté d’appliquer à l’éducation des futurs instituteurs la « méthode révolutionnaire », adoptée par le Comité de salut public en pluviôse an II (février 1794) afin de former des techniciens sachant raffiner du salpêtre, fondre et forer les canons, et capables de répandre à leur tour ces méthodes : « Le nouveau régime a tout accéléré », commentait Barère devant la Convention. Le 1er juillet 1794, il précisait : « Ce mode révolutionnaire de cours publics est devenu pour le Comité un type d’instruction qui lui servira utilement pour toutes les branches des connaissances utiles à la République : et vous ne tarderez pas à en sentir le besoin au milieu d’une ligue vandale ou wisigothe qui veut encore proclamer l’ignorance, proscrire les hommes instruits, bannir le génie et paralyser la pensée ». Si l’École des armes fut un succès, pouvait-on de la même façon, et en quelques mois seulement, apprendre le maniement des idées et des méthodes à des hommes recrutés selon un principe géographique égalitaire ?

3Telle était d’abord l’ambition des écoles normales. En septembre 1794, on pensait surtout à la rédaction, par des savants reconnus, de manuels élémentaires, toutes disciplines confondues ; ces savants pourraient alors les expliquer aux futurs enseignants. Fin octobre, en passant pratiquement au singulier — l’École normale —, le projet s’amplifia considérablement. Lakanal et Garat engagèrent la Convention dans une décision dont les députés ne maîtrisaient plus la signification : « Vous avez voulu créer à l’avance, pour le vaste plan d’instruction publique qui est aujourd’hui dans vos desseins et dans vos résolutions, un très grand nombre d’instituteurs capables d’être les exécuteurs d’un plan qui a pour but la régénération de l’entendement humain dans une République de vingt-cinq millions d’hommes que la démocratie rend tous égaux. Dans ces écoles, ce n’est donc pas les sciences qu’on enseignera, mais l’art de les enseigner ; au sortir de ces écoles, les disciples ne devront pas être seulement des hommes instruits, mais des hommes capables d’instruire ». L’École était créée le 9 brumaire an III (30 octobre 1794), et 1 400 élèves étaient attendus. Double rupture : quant au niveau requis d’une part, désormais le plus haut et qui ne visait plus seulement un apprentissage des bases élémentaires ; quant à la durée ensuite, puisqu’une université nouvelle était là en gestation et non une école destinée à vivre quelques mois. En outre, une unité de méthode, l’analyse, devait couvrir toutes les branches des connaissances humaines, abordées dans toute leur étendue.

4Lorsque l’on envisage les mathématiques enseignées en cet hiver et ce printemps 1795, c’est la dialectique entre l’originalité et la tradition qui marque l’observateur malgré deux siècles écoulés. Cela d’autant plus fortement que de nos jours le problème posé par cette opposition a été considérablement amplifié. En effet, par notre lecture à rebours, nous découvrons dans l’École normale toutes les contradictions, mais aussi toutes les connivences, et donc toutes les ambiguïtés, entre ce que nous appelons pompeusement la recherche et ce qui, à notre époque, nous paraît relever de l’enseignement. Nulle arbitraire rhétorique dans cette impression, puisque la « méthode révolutionnaire » qui organisait l’École normale, au-delà de son souci de rapidité, d’accélération même, signifiait surtout l’adéquation entre les acquis récents de la science et la formation générale. En ce sens, les pages mathématiques de l’École normale sont bien éloignées de l’esprit de l’Encyclopédie de d’Alembert et Diderot, elles marquent même une rupture.

5Aux descriptions que les historiens fournissent de l’École normale, qui les a toujours fascinés pour la différence objective entre la courte durée assignée et les buts poursuivis, s’ajoutent donc les questions des pédagogues comme celles des didacticiens des mathématiques, attentifs à une expérience « live » (pour autant que l’on puisse risquer l’expression). Enfin, se superposent les interrogations de ceux que les mathématiques « modernes » ont intrigués, et qui cherchent à comprendre le présent par le biais d’autres changements aussi importants intervenus dans le passé. Car les choses n’ont rien d’irréversible. Si les cours de l’École normale proposent des orientations nouvelles, certaines ne seront pas suivies au xixe siècle, tandis que d’autres domineront les manuels dont on connaît la tendance au conservatisme. Le rôle de ces cours de l’an III est d’autant plus important que, très bientôt, les mathématiques deviennent une discipline obligatoire dans les lycées, alors qu’elle n’était qu’optionnelle dans les classes de philosophie des collèges d’ancien régime.

6Pages qui parlent, d’autant plus attachantes et exceptionnelles que ce sont trois très grands mathématiciens, Lagrange, Laplace et Monge, qui les ont écrites. Ou plutôt les ont prononcées, puisque des sténographes prenaient en note ce que les professeurs devaient improviser, par respect pour les élèves devant lesquels il ne fallait pas débiter les leçons à l’amphithéâtre du Museum d’histoire naturelle. L’affirmation doit cependant être nuancée : les trois ex-académiciens des sciences (dont l’un entrera à l’Académie française) relurent bel et bien leur copie, non sans ahaner devant les contraintes de l’imprimeur qui mesurait les heures plutôt que les jours. Ils aménagèrent donc leur style et profitèrent du texte écrit pour ajouter, sans le signaler, bien des développements, en puisant volontiers dans des mémoires savants écrits par eux quelques années plus tôt pour l’Académie. A preuve l’accroissement du volume des leçons au fur et à mesure que passaient les décades. Quelques années plus tard, l’occasion de rééditions étant donnée, ils eurent tout loisir de modifier ces pages mais n’ajoutèrent que des broutilles. Les cours de l’École normale constituent bien un document particulièrement vivant, un ensemble exceptionnel pour l’histoire de l’enseignement.

7Le contexte révolutionnaire de l’an III, la constitution de groupes au sein des élèves, leur origine aussi bien géographique que sociale, les objectifs assignés à l’École normale, leur transformation et les réalisations pratiques des cours de janvier à mai 1795, le sentiment même d’un échec qui dépasse les raisons invoquées d’ordre budgétaire et se juge surtout par comparaison avec l’École centrale des travaux publics, future École polytechnique, dont le déroulement est contemporain et où Lagrange et Monge professaient, tout cela fait l’objet d’un volume particulier qui se veut un bilan global et un questionnement général, et nous n’y reviendrons pas ici. Le moindre intérêt n’étant pas la pluridisciplinarité affichée de l’École, puisque l’on y passe des mathématiques à l’histoire, de la chimie à l’histoire naturelle, de l’art de l’entendement à celui de la parole, sans oublier la morale. Nous sommes d’autant plus sensibles à cet aspect en cette fin du xxe siècle que les mathématiques sont trop souvent considérées en tant que telles, matrices de techniques qui ne portent aucune forme culturelle. Pratiquement chaque jour (excepté le cinquième et le dernier de chaque décade) dans l’amphithéâtre du Museum d’histoire naturelle, de pluviôse à floréal et de onze heures du matin à deux heures de l’après-midi, s’exposait l’organisation du Savoir telle qu’on la concevait à la fin du xviiie siècle. C’était aussi la dernière tentative — desespérée ? — d’offrir à un seul cerveau une connaissance encyclopédique ordonnancée par la raison analytique.

8Les parties éclairant le tout, par un jeu de miroir, les mathématiques participent à l’École normale de cette organisation générale tout en présentant une autonomie qui deviendra de plus en plus la leur, puisqu’aucune application n’est véritablement proposée, en dehors de la géographie et de cette fenêtre étonnante des probabilités. Mathématiques pures, sans toutefois qu’on puisse souligner l’expression puisque la béance est obstruée par la métaphore linguistique. La mathématique est la langue universelle des sciences, qui doit ce privilège à sa pure analyticité. Langue qui s’investit en physique, non comme une application (dirait-on que la poésie anglaise est une application de sa linguistique ?), mais pour permettre la constitution de la mécanique céleste, ou en technologie pour instaurer la théorie des machines, ou en politique pour dresser les statistiques d’un État. Science majoritaire déjà ou presque, puisque 16 % des pages des cours de l’École normale lui sont consacrées, devancée seulement de 2 % par cet impénitent bavard de Sicard qui justifie au moins le titre de son cours : art de la parole ! La physique ne fait que 13 % comme l’histoire naturelle, mais la chimie les talonne avec 10 %. La philosophie n’ose dire son nom — art de l’entendement — et n’obtient que 3 %. De cette comptabilité presque indécente, retenons que les sciences représentent un peu plus de la moitié des 3 205 pages imprimées des leçons et débats effectifs de 1795. Retenons aussi que le jargon des mathématiques ne diffuse pas : les cours de physique et de chimie gardent leur langue propre !

9Mathématique unique, pourtant divisée en trois cours, deux portant ce nom et le troisième celui de géométrie, comme si l’espace était une catégorie plus particulière, plus spécialisée de l’entendement, un langage à part directement pratique dont témoignent les évocations par Monge d’investissements possibles. Ces cours se situent pourtant avant la révolution que constitue au xixe siècle le surgissement des géométries non-euclidiennes, qui parut donner un statut expérimental, ou du moins contingent à la géométrie classique. La géométrie euclidienne passe au second rang, remplacée par les méthodes projectives dont Monge se fait un propagandiste de talent, et qu’il associe précisément aux méthodes analytiques dont elles sont l’illustration en même temps que les guides éventuels. Si l’analytique est maître à l’École normale, il y a bien démarquage incertain entre ce que nous convenons d’appeler aujourd’hui l’algèbre et ce qui deviendra l’analyse : c’est l’analyse algébrique. S’agit-il bien de l’analyse au sens que les disciples de Condillac, comme Garat, donnaient à cette expression ?

10En volume de pages écrites, Laplace totalisa 204 pages dans l’édition originale, soit 8,6 % du volume global, tandis que Monge arrivait à 190 pages (soit 8 %) et Lagrange à 77 pages (soit 3 %). Somme toute, les mathématiciens occupaient par l’écrit un cinquième du terrain dans cette École destinée à fournir les instituteurs et les professeurs de la République. Une part des plus notoires. Mathématique riche, mais exposée de façon condensée. C’est ce qui ressort de la comparaison avec les manuels plus ou moins contemporains. Bien sûr, les circonstances de l’École normale, contrainte de clore les cours le 15 mai 1795 alors qu’ils avaient débuté le 20 janvier, peuvent expliquer de façon contingente la relative sveltesse des textes fournis. Mais on peut aussi penser que les auteurs entendirent montrer, par la brièveté même de leurs interventions, qu’il était possible d’avancer assez loin sans avoir à se munir d’un bagage considérable.

11Car ces leçons ont un contenu mathématique riche. La contribution de Monge est sans doute celle qui est la mieux connue, puisqu’il y donne la première exposition de la géométrie descriptive, une expression alors toute jeune. Il est particulièrement intéressant de constater que cette géométrie, dont on a décrié l’enseignement pour sa longue survie dans les classes préparatoires aux grandes écoles jusqu’en 1950, n’est pas seulement une technique entre les mains de Monge ; elle permet par exemple de passer de l’espace au plan, elle engage aussi bien la géométrie différentielle, et s’articule sur la géométrie analytique. Si, grâce à un adjectif substantivé, le laplacien, le nom de Laplace reste encore familier aux spécialistes de mathématiques et de physique, le grand public ne retient pourtant du scientifique que l’hypothèse cosmogonique de formation des planètes autour du Soleil et l’affirmation philosophique du déterminisme matériel. Dans les leçons à l’École normale de l’an III, comme pour donner d’avance raison à la postérité, on ne trouve aucune mention du laplacien puisque les équations aux dérivées partielles ne furent pas expliquées aux élèves, mais l’hypothèse cosmogonique est dûment présentée, et elle fait ainsi sa première apparition. On y découvre une énonciation claire de ce qu’était le déterminisme analytique laplacien, et surtout l’exposé de la méthode et du but des probabilités. On y trouve aussi une démonstration originale, et presque entièrement algébrique, du théorème fondamental de l’algèbre, et partant un exposé de toute la théorie des équations. Quant à la contribution de Lagrange, de l’arithmétique à l’algèbre en passant par l’utilisation des courbes en analyse, elle a pour elle l’originalité d’un point de vue critique, puisant aux sources historiques. Voilà un mathématicien qui expose sa conception du développement des idées : une occasion rare.

12Contrairement à l’enseignement quotidien de 1795, les cours ont été regroupés pour les besoins de la présente édition et les leçons de chaque professeur forment désormais un tout ; il faudra donc consulter le calendrier fourni pour retrouver l’air du temps et le rythme du déroulement effectif, pour percevoir aussi les échanges intellectuels, quelquefois acides, souvent profonds, entre Monge, Laplace ou Lagrange. Et s’aider du volume général sur cette École révolutionnaire. Mais une simple reproduction des cours, même en rassemblant toutes les mathématiques, ne pouvait pas répondre aux attentes diverses des lecteurs, celle de l’érudit qui cherche un renseignement précis, ou celle de l’élève curieux d’une classe de Terminale qui bute sur un mot. Le parti pris de notes, d’introductions longues et d’annexes plus techniques fut donc adopté, ce qui structure le volume des leçons de mathématiques. Trois blocs se suivent, chacun consacré à l’un des cours (introduction, leçons et débats correspondants, notes), suivis des annexes qui ne portent pas toutes spécifiquement sur l’un des cours, mais au contraire sur des notions mathématiques qui permettent les comparaisons. Dans ces annexes, un langage plus contemporain est quelquefois adopté, tant il est vrai qu’un objet mathématique doit aussi être décrit dans son devenir historique. Quelques précisions historiques forment la trame des annexes. A titre d’exemple, nous donnons le projet d’écoles secondaires pour artisans et ouvriers, qui fut préparé par Monge en septembre 1793. Ce document « révolutionnaire » est en effet le premier où apparaît l’expression « géométrie descriptive », même s’il est possible que celle-ci ait déjà été utilisée lors des cours d’hydrographie donnés par Monge au Louvre, de 1780 à 1784.

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