La pratique moderne des Options et des Futures

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L’achat d’une action est simple et peu rentable. La vente à découvert (short) est difficile à mettre en œuvre en France, de telle sorte que la seule stratégie d’investissement sur le marché des actions se résume à un achat suivi d’une vente de titres en espérant que la tendance aura été haussière.

Avec les Options, les possibilités sont quasi-infinies car vous pouvez acheter des puts quand le marché descend, vous pouvez aussi vous protéger si cette descente n’est pas conforme à votre anticipation, vous pouvez investir simultanément dans la hausse et dans la baisse, gagner si le marché stagne, etc. La stagnation des cours et la haute volatilité qui marquent l’année 2012 et le début du quinquennat socialiste représentent une opportunité extraordinaire de faire fortune sans danger.

Investir dans les options vous permettra de réagir à toutes les situations du marché avec un rendement potentiel à trois chiffres, tout en limitant votre risque.

Une contrainte cependant : accepter un apprentissage.

Ce livre qui couvre toutes les problématiques relatives aux produits dérivés (Options et Futures) a été rédigé dans ce but.

Vous y trouverez des conseils et des recommandations selon la stratégie mise en place, toutes les explications techniques sur les paramètres sur Options, la représentation graphique des Options sous forme de ballons pour mieux visualiser et apprécier vos choix, les graphes les plus sophistiqués en matière de stratégies complexes et des anecdotes afin de mieux apprécier les différentes ambiances.

L’efficacité est le maître mot de cet ouvrage afin d’amplifier vos profits d’investisseur tout en réduisant systématiquement le niveau de risque pris.


Patrice Vizzavona, ancien professeur de gestion financière à la faculté de Paris II, concepteur de logiciels boursiers, auteur des livres Gestion Financière, Évaluation des entreprises et Marchés financiers (950 pages – lauréat du prix Turgot en 2000), apporte ici le fruit de ses études et de son expérience en tant qu’investisseur sur les marchés d’Options et de Futures.

Publié le : vendredi 1 mars 2013
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EAN13 : 9782297005388
Nombre de pages : 320
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Chapitre 1 Analyse théorique des options Il est indispensable de comprendre comment est calculée lavaleur d’une option. La première méthode a été proposée parBlack & Scholes; la seconde parCox &Ross. Afin de mieux approfondir ces calculs, rappelons préalablement les notions statistiques d’écart type et de volatilité.
Écart type et volatilité La méthode de Black & Scholes est fondée sur la notion de volatilité.La volatilité d'une valeur est la mesure de son élasticité, c'estàdire son aptitude à monter où à descendre plus ou moins vite autour d’une moyenne. La propension des cours à fluctuer exerce une influence directe sur les bons, les warrants et les options. Si nous suivons un raisonnement économique journalier, la volatilité va pouvoir s'exprimer par rapport à la rentabilité, par exemple : t0le cours est de 100le 1/1/n t1le cours est de 101le 2/1/n t 2le 3/1/n le cours est de 103 3le cours est de 104le 4/1/n t On peut alors écrire que : 101100 1 r= = = 1 % 1 100 100 103101 2 r2=≈ ≈2 %101 100 104103 r =1%3 103 Ces calculs préalables étant effectués, les rentabilités sont alors classées et l'on détermine la fréquence des rentabilités ; dans notre exemple 2 fois 1 % et 1 fois 2 %. Ensuite, nous pouvons dessiner un graphe à partir de cette distribution. Nous admettrons (cela est prouvé) que les rentabilités se répartissent selon une loi de Gauss.A la fréquence la plus élevée correspond la moyenne. En assimilant cette distribution empirique à une loi normale centrée réduite, nous pourrons calculer la volatilité égale à l'écart type :
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Selon la loi normale (0,σ), entre σet +σ70 %  entre  2σet + 2σ95 % Si un warrant a une rentabilité moyenne annuelle de 15 % avec une volatilité de 12 %, on estimera que le cours du warrant sera compris entre : 115  12 et 115 + 12 soit 1030127 avec 70 % de chance.W < 115  24 et 115 + 24 soit 910avec 95 % de chance.W < 139 En bourse, on utilise des mesures annuelles. Ainsi le passage d'une rentabilité journalière à une rentabilité annuelle implique la multiplication par le coefficient250(on estime à 250, le nombre de jours de bourse) ou de52(car il y a 52 semaines). Exercice d'application : Le bon au 1/1/n vaut 1000. L'analyse des fréquences donne une rentabilité journalière de 1 % avec un écart type de 0,3 %. 1) Quelle est la probabilité d'avoir un rendement supérieur à 10 % par an ? 2) Quelle est la volatilité annuelle du bon ? On admettra qu'il y a 250 jours de Bourse. Solution Si on admet que le taux journalier suit une loi normale de moyenne x = 1 % et d'écart typeσ = 0,3 %, on peut étendre ces chiffres à l'année à l’aide des calculs suivants : x= 1%×1%250 = ×15,81 = 15,81 %A σ A= 0,3×250 = 0,3×15,81 = 4,743 %
La loi normale de la rentabilité annuelle s'écrit donc : En l'assimilant à une loi normale centrée réduiteπ(t), xxx15,81 nous écrirons quet= =σ4,743 x15,81= 4,743t +
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(15,81 % ; 4,743 %).
P (x10)≈ π(4,743 t#15,8110)5,81 ≈ π(4,743 t≥ −5,81) =π( t≥ −) =π(t≥ −1,225)4,743 ≈ π(t≥ −1,225)
La symétrie du graphique ci-dessus montre queπ(t- 1,225) est égale àπ(t)1,225. Grâce à cette dernière présentation, nous pouvons lire la table intégrale deπ(t). Il vientπ(t)= 0,8944.1,225 pour t Nous avons donc 89,44 % de chance de dépasser une rentabilité de 10 %. Si telle est notre limite, nous devons prendre le risque et acquérir le bon. Attention: il s'agit là d'un véritable risque parce que l'effet de levier joue dans le bon et le mauvais sens, de telle sorte qu'il est possible de perdre 80 % de sa fortune en très peu de temps. Le gain peut être très élevé, la perte aussi !
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1  CALCUL STATISTIQUE DE LA VALEUR D’UNE OPTION
Deux procédés sont traditionnellement utilisés :  la formule deBlack & Scholes; la méthode binomiale définie par la formule deCox & Ross. Nous étudierons ensuite le théorème de la parité Put/Call
La formule de Black & Scholes Peu d’ouvrages français expliquent clairement la formule deBlack & Scholestelle sorte de qu’il est difficile de comprendre comment est calculée une option. La formulation deBlack & Scholesest ellemême dissuasive par son ésotérisme et les auteurs nous noient dans des démonstrations mathématiques complexes. Nous allons voir ensemble comment ce calcul peut être expliqué assez simplement et démontrer la juste valeur d’une option. Black & Scholesleur raisonnement sur le principe d’une loi logonormale. Ceci est fondent fort simple mais encore fautil savoir ce qu’est une loi logonormale, ce qu’est une loi normale et pourquoi la première plutôt que la seconde. Une loi normale est une loi statistique qui est définie par sa moyenne et son écart type. Si le cours d’une action suit une loi normale, de moyenne 150 avec un écart type de 20, on écrira
que ce cours suit une loi normale : (150,20). 150 représente la moyenne des cours sur une période fixée et 20 son écart type.
Le cours varie en général entre 150 et 170 audessus, et entre 150 et 130 en dessous et en moyenne l’écart est de 20. On l’appelle écart type et on le désigne par (sigma minuscule). σ
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Cette loi est représentéepar la fameuse courbe en forme de cloche :
La zone hachurée, limitée par + et  l’écarttypeσ= 20, représente une surface égale à 68,3 % de la surface incluse entre la courbe et l’axe des x. On dira que le cours a 68,3 % de chance d’être compris entre 130 et 170 si l’on se fonde sur l’historique de sa courbe. Si on écarte les bornes à2 et + 2(110  190), la surface (et donc la probabilité) passe à − σ σ 95,4 %. Le raisonnement illustré par le graphique précédent est un raisonnement absolu qui implique que la valeur des cours, ou des éléments composant la série, ne sont pas liés entre eux. Cela serait vrai si l’on retenait, par exemple, un échantillon sur la taille d’une population d’individus (tailles prélevées par exemple sur un échantillon de 1000 personnes) ; on écrirait que la taille moyenne des hommes est de 1,75 m avec un écart type de 15 cm. On en déduirait une loi statistique de forme normale. Mais une grande différence apparaîtrait : la taille de l’individu n° 325 sur les 1000 individus sélectionnés est indépendante de celle de l’individu n° 326 ; la taille du n° 325 ne conditionne pas celle du n° 326 et inversement. Si l’on revient à l’analyse du cours d’une action, toutes les valeurs vont être liées entre elles (contrairement à l’exemple des tailles) puisque précisément le dénominateur commun de ces chiffres est la valeur de l’action et de l’entreprise qu’elle représente renforcée par la valeur de l’indice sur actions du pays (S&P500, NIKKEI, DAX, CAC40, etc.). Ces derniers vont fluctuer selon les nouvelles économiques. Si cellesci sont mauvaises, les indices entraineront dans leur chute la plus grande partie des entreprises qui les composent. Pour les cours, la relativité existe !Si le cours d’une action est aujourd’hui de 120 euros, il passera peutêtre demain à 122 ou se réduira à 119, mais il n’y aura jamais de série telle que sur 5 séances, les cours s’échelonnent comme suit : 120, 146, 101, 160, 80. Un tel chaos ne peut être trouvé sur les cours car les valeurs sont liées et de ce fait la seule façon de les suivre est de les estimer relativement. C’est là que la loi logonormale va faire son apparition. Désormais nous allons raisonner sur des variations exprimées en pourcentage. La valeur d’une action est de 100, puis elle passe à 110 : C Cours d' arrivée 110 A l’augmentation est de 10 % puisque= 1,10= = C Cours de départ 100 D Si cette action, qui vaut 110, baisse de 10 %, sa nouvelle valeur estelle de 100 ou de 99 ? C X A Si on écrit0,9= = on obtient X = 0,9×110 = 99 C 110 D Ainsi + 10 % nous élève de 100 à 110 et – 10 % nous réduit de 110 à 99.
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Conclusion: la loi normale ne s’applique pas car elle est symétrique par rapport à la moyenne. Pour les cours, la symétrie ne s’applique pas car + 10 % et – 10 % se traduisent par + 10 et  11.Le principe de multiplication doit donc se substituer à celui d’addition. La seule façon de passer de l’un à l’autre est d’utiliser une fonction logonormale car, lorsqu’on additionne les logarithmes de deux nombres, on obtient le logarithme de la multiplication de ces nombres. Ainsi : ln a + ln b1ln(a×b!De même : 110  ln = 0,0953 = 9,53%100 99 ln =  0,1054 =  10,54% 110 110 99 ln×= 0,0101 =  1, 01% 100 100 Le taux de rentabilité x est obtenu en écrivant : C CC A A D x = lnet non pasx1C C D A Le taux s’exprime de façon relative et non plus absolue. Désignons par Stle cours à un instant t ; nous pouvons exprimer : S t + 1 x = lnS t Si nous connaissons St,nous pouvons écrire que : x t + 1 = S×eS t Illustrons ces principes par un exemple chiffré ; le taux de rentabilité est de 10 % et St= 100, il vient : + 0,10 S = 100×110,52e = t + 1
 0,10 S t + 2110,52 = ×100 = Se = tSi le cours s’est apprécié de 10 % et ensuite s’est déprécié de 10 %, nous revenons au point de départ, soit 100. Selon ces principes, calculons la série obtenue audessus et en dessous du cours de départ 100. Audessus il vient avec x = + 10 % 1 2 3 4 5 6 7 8 100  110,52  122,14  134,99  149,18  164,87  182,21  201,38 En dessous : 49,66  54,88  60,65  67,03  74, 08  81,87  90,48  100  8 7 6 5 4 3 2 1 Nous remarquons qu’à 10 %, le cours double après 8 ans et se divise par 2 si la baisse de 10 % est continue pendant 8 ans (201,38 et 49,66). Représentons ces chiffres sur une ligne. La dissymétrie est alors frappante :
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En conclusion, les cours ne sont pas distribués selon une loi normale, mais selon une loi logonormale, telle que : ⎛ ⎞ S t ln⎜ ⎟(est distribué selon μt,σt)So Autrement exprimé, la rentabilité x suit une loi normale influencée par le temps (t) tandis que cette même rentabilité se calcule à partir des cours qui, eux, suivent une loi logonormale. On ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ S t μ en déduit la moyenne du taux de rentabilitéxtelle que :Eln⎜ ⎟ 1t1x⎢ ⎝S⎠ ⎥ 0S0est le cours à l’instant 0 Stest le cours à l’instant t
(x,σ)est la loi normale μtest le taux de rentabilité annuel (10% dans l’exemple précédent) σtest l’écart type de la rentabilité. On peut écrire que :
ln Stdistribué selon est ln S + 0
μ σ ( t , t ), formule dans laquelle ln S0le point de est
départ, donc fixe,(μt ,σt )étant la distribution de ln St. Mais nous ne sommes pas intéressés par ln St, mais par la distribution de St. C’est ainsi que nous passons d’une loi normale à une loi logonormale dont la représentation graphique se calque parfaitement bien sur la représentation linéaire des cours montrée par le graphique précédent. Mathématiquement, les cours seront distribués selon la formule : S t distribué selonS 0
Nous allons maintenant simplifier l’approche mathématique. La partie gauche du texte sera exprimée en mathématiques, pour les amateurs et spécialistes et la partie droite sera la traduction de ces formules complexes en français. Au cours des lignes qui suivent, j’invite les lecteurs à se concentrer davantage sur les explications écrites en italiques que sur la formulation mathématique.Nous entendons écrire un livre d’économie et non pas un livre de mathématiques déguisé en livre d’économie.
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On démontre que le cours relatifLa loi logonormale n’est pas attendu est obtenu en écrivant que :symétrique. 2 σt Si nous avions une loi normale, tout (μ)t + ⎛ ⎞ S t 2E⎜ ⎟S (moyenne de S ) = e = t tserait simple car sa moyenne serait S0 exactement dans son milieu. Mais Cette équation vient du fait que si x quel est le milieu pour une loi non est une variable aléatoire : symétrique comme une loi ln(E(x)! = E[ln(x)]0,5 VAR + [ln(x)]logonormale ? Le milieu est obtenu Rappelons que nous avons retenu : dès lors  = 10% et anμ σ= 1 = 20% et t qu’en traçant la verticale à l’axe des En appliquant ces chiffres on x, la surface entre la courbe, l’axe obtient : des x et la verticale est identique à ⎛ ⎞ S tgauche et à droite. E⎜ ⎟ = S = 112,75t S0 0,10 + 0,04/ 2 car e = 1,1275
Selon le graphique ci dessus la frontière définie par 112,75 fait que la surface S1strictement égale à est la surface S2.
μ σ À ce stade rappelons que le taux d’intérêt suit une loi normale( , )que les cours et S t suivent une loi logonormale ln telle quesuit. S 0 Remarquons que le prix moyen est plus fort que le prix de départ qui était 100. Cela est logique car la relativité pousse la variation en dessous à se réduire de 100 à 49,61 sur 8 ans soit presque 50, alors qu’audessus, nous obtenons 201,38, soit le double. La dissymétrie évidente fait pencher la balance au dessus de 100 et fixe la moyenne de la surface de la loi 0,10 + 0,04/ 2 logonormale à 112,75 (car e = 1,1275). Ceci étant établi,combien vaut une option selon la logique appliquée parBlack &Scholes ?Prenons l’exemple d’un call que nous désignerons par Ct; nous allons déterminer sa valeur en fonction de l’espérance mathématique qu’il a de terminer in the money. Globalement, deux possibilités nous sont offertes par l’avenir :  la première, le call ne finit pas in the money ; en d’autres termes, à l’échéance le prix d’exercice est supérieur à la valeur de l’action et le call vaut zéro ;  la seconde, le call finit in the money et dans ce cas combien vautil ? Le problème est donc purement statistique, sachant que la première possibilité, qui consiste à ne pas terminer dans la monnaie n’a pas été remplie.
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Premier problème: Quelle est la probabilité pour que le call termine in the money ? ⎛ ⎞S t Nous savons que ln⎜ ⎟suit une loi normale SCette probabilité est 0 identique à celle qui permet de dire à μ σ ( t , t )l’échéance St>X (Xle est ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ S t donc que :Eln⎜ ⎟  = t (est le taux deprix d’exercice). μ μ ⎢ ⎝S⎠ ⎥ 0Représentons par un rentabilité annuel).graphe cette situation : 2 ⎛ ⎞ σ μ Ettr  t = etσest l’écart type de la ⎜ ⎟ 2rentabilité. On veut déterminer la probabilité pour que leSelon le graphe cidessus sousjacent Stdépasse le prix d’exercice Xnous devons calculer la (sinon le call vaut zéro).probabilité pour que X soit On écrira que :inférieur à Xt; cela revient à ⎛ ⎞déterminerP(SX!qui est S X St t t P(S X! = Pln lnavec x =ln〉 〉 t S SSégal à la surface hachurée 0 0 0 Sx. Or une surface se calcule ⎛ ⎞ S X t 11  Plnlnen déterminant la fonction S S0 0 intégrale de la fonction ; et Si nous passons par une loi normale centrée la fonction intégrale d’une courbe logarithmique, fut réduite : (0,1) elle normale ou non, est Nous pouvons écrire que pour T,π(T)étant égale à la surface bornée cette loi,entre cette courbe et l’axe x  xdes x.T =ce qui se traduit en l’occurrence σMais un aspect téconomique ne doit pas S ln μt Sêtre oublié. Il s’agit du 0 parT =on en déduit : σttemps et donc du taux d’intérêt sans risque S t ln = T t + tσ μ déclenché par le laps de S 0 temps qui court entre ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ S X X t etPln lns’écritPTσt +μt0lnl’achat de l’option, tandis S S⎠ ⎝S0 0 0 que le sousjacent vaut S0et Stest la valeur du qui Xsousjacent à l’échéance. ln μtS ⎜ ⎟Ce temps t et ce taux 0 soitP T0, ⎜ ⎟ d’intérêt sans risque r vont σt ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ réduire directement la valeur de l’option afin de comparer objectivement une variable aléatoire à une variable non aléatoire qui croît au cours du temps grâce au taux d’intérêt sans risque r.
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Tous ces calculs nouspermettent d’aboutir à la première conclusion 2 ⎛ ⎛ ⎞ ⎞de Black & Scholes : Xσ ⎜ ⎟ ln  r  t ⎜ ⎟Connaissant le taux 2 S0⎝ ⎠ soitP Td’intérêt sans risque et les 0⎜ σtécarts que le taux de ⎜ ⎟ rentabilité peut prendre à ⎝ ⎠ 2partir de ce taux d’intérêt ⎛ ⎞ σ ⎜ ⎟ carμt =tr  ⎜ ⎟sans risque, le sousjacent 2 ⎝ ⎠ a 34 % de chance, partant d’une valeur de 100 au moment de l’achat du call Le résultat est obtenu en appliquant le chiffre de dépasser 120, c’està suivant : dire de positionner le call =σ= 1 (un an)2; t S0= 0,= 0,12; 120; r 100; X = dans la monnaie à l’échéance. Dans ce cas et 100 0,04 ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ dans ce cas seul, le call va ln 0,12 11202⎠ ⎟ avoir une valeur plus (S12!T= 1  P Pt 0⎜ ⎟ 0,2 1grande que zéro. ⎜ ⎟ ⎝ ⎠or1 π(T) =π(T)⎛ ⎞ 1000,04ln +0,12 11202⎠ ⎟ 1=P T π(0,4116) = 0,34⎜ ⎟ 0,2 1 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Deuxième problème: À quel niveau fixer la valeur de l’option ? Nous pouvons désormais diviser la courbe logonormale en deux parties.
Désormais, seule la zone Z2nous intéresse (puisque en Z1l’option vaut zéro étant out of the money à l’échéance). Que doiton chercher ? Tout simplement la valeur moyenne que peut prendre le sousjacent dès lors qu’il est admis que le sousjacent vaut automatiquement plus de 120. Le sousjacent peut statistiquement prendre toutes les valeurs comprises entre 120 et l’infini. En pratique cela est faux mais ce raisonnement n’a pas besoin d’être modifié pour cela car les market makers limiteront les valeurs d’exercice au dessus et en dessous du cours spot. Quelle valeur prendre pour le futur sousjacent ? La valeur la plus probable est la valeur moyenne du sousjacent dans cette zone noire Z2.
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