Statistique des essais accélérés (Collection méthodes stochastiques appliquées)

Nikulin Mikhail, Léo Gerville-Réache, Vincent Couallier

Description

Statistique des essais accélérés constitue le premier ouvrage francophone exposant les principales idées et techniques utilisées en statistique des essais accélérés, en mettant l'accent sur les développements les plus récents de l'inférence statistique pour les modèles de vie accélérée et de dégradation. Les méthodes développées dans ce livre permettent de porter un regard nouveau sur le traitement statistique des durées de vie en environnement dynamique dans le domaine de la fiabilité, de l'épidémiologie, de l'économétrie, ou encore de la démographie. Cet ouvrage est destiné aux étudiants, doctorants, ingénieurs et chercheurs qui souhaitent développer leurs connaissances en modélisation statistique des durées de vie.
ÉLÉMENTS DE STATISTIQUE MATHÉMATIQUE. 1. Lois de probabilité. Lois discrètes. Approximations. Approximations normales et de Poisson. Lois continues. Liaisons entre les lois. 2. Modèle statistique. Loi empirique. Échantillon. Modèle statistique. Loi empirique d'un échantillon simple. Statistiques d'ordre. Vecteur des rangs. Tests de Kolmogorov et Smirnov pour un échantillon. Moments de la loi empirique. Méthodes des moments. Quantiles empiriques. Densité empirique : histogramme. Estimateur de type noyau. Test de Chauvenet pour des observations aberrantes. 3. Éléments de la théorie de l'estimation. Estimateur ponctuel. Fonction de risque. Estimateur à risque minimal. Estimateurs du maximum de vraisemblance. Estimation par intervalle de confiance. Méthode de Bolshev de construction des limites de confiance. Intervalles asymptotiques de confiance. Estimation de Kaplan-Meier de la fonction de survie. MODÈLES DE VIE ACCÉLÉRÉE. 4. Stress, essais accélérés et modèle AFT. Types de stress. Principaux plans d'expérience. Modèle AFT. 5. Estimation du modèle AFT. Estimation paramétrique. Estimation semi-paramétrique et non-paramétrique. Cas d'un processus de production instable. 6. Généralisations et tests. Notion de G-ressource. Généralisations du modèle AFT. Validation et test. 7. Étude du modèle GLPH. Modèles AFT et PH pour des stress constants et en escalier. Le modèle GPLH. Estimation. Simulations. MODÈLES DE DÉGRADATION. 8. Modèles de défaillance par usure. Cas des trajectoires simples inversibles. Les modèles de régression comme processus de dégradation. Les processus ponctuels marqués comme processus de dégradation. Les processus gamma et gaussiens. 9. Modèles de défaillance traumatique. Intensité et survie conditionnelles de la défaillance traumatique. Méthodes d'estimation pour une défaillance traumatique. Modèle à risques compétitifs pour des courbes croissantes de dégradation. Modèle de dégradation avec renouvellement et risque compétitif. 10. Modèles de dégradation accélérée. Le modèle AFT pour les processus de dégradation. Bibliographie. Index.

Sujets

• Mathématiques

Informations

• Publié par: Hermès - Editions Lavoisier
• Date de parution: 27 février 2007
• Nombre de lectures: 92
• EAN13: 9782746242586
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 2 Mo

Extrait

Statistique des essais accélérés





















A Valia, Nathalie, Muriel.














© LAVOISIER, 2007
LAVOISIER
11, rue Lavoisier
75008 Paris

www.hermes-science.com
www.lavoisier.fr

ISBN 978-2-7462-1534-4


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Printed and bound in England by Antony Rowe Ltd, Chippenham, February 2007.






Statistique


des essais accélérés








Mikhail Nikulin

Léo Gerville-Réache
Vincent Couallier













COLLECTION MÉTHODES STOCHASTIQUES APPLIQUÉES
dirigée par Nikolaos LIMNIOS et Jacques JANSSEN





Tabledesmatières
Préface......................................... 11
PREMIÈRE PARTIE.ELÉMENTS DE STATISTIQUE MATHÉMATIQUE ... 15
Chapitre1.Loisdeprobabilité .......................... 17
1.1. Loisdiscrètes.Approximations....................... 17
1.1.1. ExpériencesdeBernoulli....................... 19
1.1.2. LoigéométriqueG(p) ........................ 20
1.1.3. LoibinomialenégativeNB(r,p)................... 20
1.1.4. LoidePascal Pa(r,p)......................... 21
1.1.5. LoidePoisson............................. 22
1.2. Approximationsnormaleset dePoisson.................. 23
1.2.1. LoimultinomialeM (n,p)...................... 25k
1.2.2. LoihypergéométriqueH(N,M,n).................. 25
1.3. Loiscontinues.Liaisonsentreles lois ................... 28
1.3.1. Risquedepanneoutauxdedéfaillance............... 29
1.3.2. LoiuniformeU[a,b] ......................... 33
1.3.3. TransformationdeSmirnov ..................... 34
1.3.4. ModèledePareto ........................... 34
21.3.5. LoinormaleN(µ, σ )......................... 34
1.3.6. LoiexponentielleE( θ)........................ 37
1.3.7. ModèlesdeGompertzet deMakeham ............... 38
21.3.8. Loidechi-deux χ .......................... 39f
1.3.9. StatistiquedePearson ........................ 40
21.3.10.Loidechi-deuxnon-centrale χ ( λ)................. 40n
1.3.10.1.Test duchi-deuxdePearson .................. 41
1.3.10.2.Table2×2pourle contrôledequalité ............ 43
1.3.11.Loigamma Γ(1,f) .......................... 45
1.3.12.Loi Γ( θ, ν) .......................... 46
56 Statistiquedes essais accélérés
1.3.13.LoibetaBe(a,b) ........................... 49
1.3.14.LoideFisherF(m,n).Loide Student................ 49
1.3.15.LoideThompson ........................... 51
1.3.16.Mélangededeuxrépartitionsexponentielles............ 53
1.3.17.LoilognormaleLN(µ, σ)....................... 54
1.3.18.LoiloglogistiqueLL( θ, ν) ...................... 54
1.3.19.LoigaussienneinverseIG( λ,µ) ................... 55
1.3.20.LoideWeibullW( θ, ν)........................ 55
1.3.21.LoidesextrêmesdeGumbel..................... 57
1.3.22.LoideWeibull généraliséeGW( θ, ν, γ)............... 58
1.3.23.LoinormalemultidimensionelleN (a, Σ) ............. 59m
1.3.24.Modèleprobabilistedel’erreurde mesure ............. 61
Chapitre2.Modèlestatistique.Loiempirique ................. 65
2.1. Échantillon .................................. 66
2.2. Modèlestatistique .............................. 67
2.2.1. Modèlesparamétriques ....................... 68
2.2.1.1. Classe deLehmannetle modèledeCox ........... 68
2.2.1.2. Modèlesimpledevie accélérée(AFT) ............ 69
2.2.1.3. Modélisationavecpriseencomptedestress......... 70
2.2.2. Modèlesnon-paramétriques ..................... 74
2.2.3.semi-paramétriques..................... 75
2.2.4. Lesproblèmesprincipauxdelastatistique mathématique .... 76
2.3. Loiempiriqued’unéchantillonsimple .................. 76
2.3.1. Fonctionderépartitionempirique.................. 76
2.4. Statistiquesd’ordre.Vecteurdes rangs................... 78
2.4.1. Lespropriétésdela fonctionde répartitionempirique....... 80
2.4.1.1. StatistiquedeKolmogorov ................... 81
2.5. Tests deKolmogorovetSmirnovpourunéchantillon.......... 82
2.5.1. TransformationdeSmirnovpourunerépartitionarbitraire.... 85
2.5.1.1. Applicationsstatistiques .................... 86
2.5.1.2. Test deBolshevpouruneloi exponentielle .......... 86
2.6. Momentsdela loiempirique.Méthodesdesmoments.......... 87
2.7. Quantilesempiriques ............................ 94
2.8. Densitéempirique: histogramme ..................... 94
2.8.1. Loidiscrète:diagrammeenbâtons ................. 94
2.8.2. Loicontinue: ..................... 95
2.9. Estimateurdetypenoyau .......................... 96
2.10.Test deChauvenetpourdesobservationsaberrantes........... 99
Chapitre3.Élémentsdelathéoriedel’estimation ............... 101
3.1. Estimateurponctuel ............................. 101
3.2. Fonctionderisque.Estimateurà risqueminimal ............. 102Tabledes matières 7
3.2.1. Cas d’unparamètrescalaire . .................... 102
3.2.2. Cas d’unparamètremultidimensionnel............... 104
3.2.3. Estimateurs sans biais, asymptotiquement sans biais et de
varianceminimale ................................ 104
3.2.4. Estimateurconsistant......................... 107
....3.2.5.asymptotiquementefficace ............... 108
3.2.6. Réductiondedonnées.Statistiques exhaustives .......... 109
3.2.7. CritèredefactorisationdeNeyman-Fisher ............. 112
3.2.8. ThéorèmedeRao-Blackwell-Kolmogorov............. 113
3.2.9. Constructiondel’estimateuràrisqueminimal........... 114
3.2.10.InformationdeFisher.InégalitédeCramer-Rao-Fréchet ..... 115
3.3. Estimateursdumaximumdevraisemblance ............... 121
3.3.1. CensuredutypeI: tempsà censurefixé .............. 127
3.3.2.detypeII: jusqu’àlar-ièmepanne............ 128
3.3.3. CensuredetypeIII: censurealéatoire ............... 131
3.3.4. Propriétés asymptotiquesdes estimateurs du maximumde
vraisemblance.................................... 133
3.3.5. Testduchi-deuxpourla normalité ................. 134
3.4. Estimationparintervalledeconfiance................... 136
3.4.1. Régions,intervalles,limites deconfiance.............. 137
3.5. Méthodede Bolshevde constructiondeslimites deconfiance ..... 138
3.5.1. Exemples................................ 139
3.5.1.1. LoidePoisson .......................... 139
3.5.1.2. Loibinomiale .......................... 141
3.5.1.3. Loigéométrique ......................... 142
3.5.1.4. Loibinomialenégative ..................... 143
3.5.1.5. Loiexponentielle ........................ 143
3.5.1.6. Loicontinueavecunparamètrescalaire............ 145
3.5.1.7. Loinormale ........................... 147
3.6. Intervallesasymptotiquesdeconfiance .................. 149
3.7. EstimationdeKaplan-Meierdela fonctiondesurvie .......... 155
3.7.1. EstimateurdeNelson-Aalen..................... 156
3.7.2.deKaplan-Meier..................... 157
DEUXIÈME PARTIE.MODÈLES DE VIE ACCÉLÉRÉE ............. 161
Chapitre4.Stress,essaisaccélérésetmodèleAFT .............. 165
4.1. Typesdestress................................ 166
4.1.1. Stress enescalieret stress constants ................. 166
4.1.2. Stress cycliques ............................ 167
4.1.3. Stress aléatoires ............................ 168
4.2. Principauxplansd’expérience....................... 168
4.2.1. Essais sousstress usuel ........................ 1688 Statistiquedes essais accélérés
4.2.2. Essais sousstress constantsenk phases............... 169
4.2.3. Essais sousstress enescaliercroissant................ 169
4.2.4. avecendommagementpréalableendeuxphases ...... 169
4.3. ModèleAFT................................. 169
4.3.1. Définition ............................... 170
4.3.2. Paramétrisationder.......................... 170
4.3.2.1. Paramétrisationsclassiques................... 171
4.3.2.2. Combinaisonlinéaire...................... 172
4.3.2.3. Cas multidimensionel...................... 172
Chapitre5.EstimationdumodèleAFT ..................... 175
5.1. Estimationparamétrique .......................... 175
5.1.1. Estimationsurunplanàstress constantsenk phases ....... 176
5.1.1.1. Vraisemblance ......................... 176
5.1.1.2. Estimationet propriétésasymptotiques............ 177
5.1.1.3. Exemplesclassiques....................... 179
5.1.1.4. Cas dela loiexponentielle................... 180
5.1.2. Estimationsurunplanavecendommagementpréalableendeux
phases.................................. 182
5.1.2.1. Vraisemblance ......................... 184
5.1.2.2. Estimationsetpropriétésasymptotiques ........... 185
5.2. Estimationsemi-paramétriqueet non-paramétrique........... 188
5.2.1. Estimationsemi-paramétriquesurle planàstress constantsenk
phases.................................. 188
5.2.1.1. Vraisemblance ......................... 189
5.2.1.2. Méthodedesmoments ..................... 189
5.2.2. Estimation non-paramétriquesur le plan avec endommagement
préalableendeuxphases....................... 191
5.2.2.1. Vraisemblance ......................... 192
5.2.2.2. Méthodedesmoments ..................... 192
5.3. Cas d’unprocessusdeproductioninstable ................ 195
5.3.1. Hypothèsed’hérédité ......................... 195
5.3.2. Estimation ............................... 196
Chapitre6.Généralisationsettests ........................ 199
6.1. NotiondeG-ressource............................ 199
6.2.dumodèleAFT ...................... 200
6.2.1. ModèledeSedyakinetmodèleGS (Genera