Déformations isomonodromiques et variétés de Frobenius

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La théorie des déformations isomonodromiques est une machine à produire des systèmes non linéaires d'équations différentielles ou aux dérivées partielles dans le domaine complexe, à partir d'une équation ou d'un système d'équations linéaires d'une variable complexe. La notion de structure de Frobenius sur une variété en est une belle application.
Publié le : lundi 3 décembre 2012
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EAN13 : 9782759802685
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Extrait de la publicationDéformat ions
isomonodromiques
et variétés de Frobenius
Extrait de la publicationExtrait de la publicationClaude Sabbah
Déformations
isomonodromiques
et variétés de Frobenius
SAVOIRS ACTUELS
EDP Sciences/CNRS EDITIONS
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91944 Les Ulis Cedex A
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ISBN EDP Sciences 2-86883-534- 1 CNRS E?DITIONS 2-271-05969-0 TABLE DES MATIÈRES
Préface xi
Terminologie et notations xv
O. Le langage des fibrés 1
1. Fonctions holomorphes sur un ouvert de C ’I 1
2. Variétés analytiques complexes 3
3. Fibrations vectorielles holomorphes 6
4. Faisceaux localement libres de 8~ -modules 8
5. Cohomologie non abélienne 11
6. de Cech 15
7. Fibrés en droites 16
7.a. L’exponentielle comme morphisme de faisceau 17
7.b. Suite exacte de l’exponentielle et classe de Chern 17
8. Fibrés méromorphes, réseaux 18
9. Exemples de fibrés holornorphes et rnérornorphes 19
9.a. Le fibré cotangent et les faisceaux de formes holomorphes 19
9.b. Formes différentielles méromorphes et logarithmiques 22
10. Variétés affines, analytisation, formes différentielles algébriques 25
10.a. Variétés affines 26
10.b. Analytisation 26
1O.c. Variétés affines non singulières 27
11. Connexions holomorphes sur un fibré vectoriel 28
1 1 .a. Expression locale de la connexion 29
11 .b. Opérations sur les fibrés à connexions 30
11 .c. Image inverse d’un fibré à connexion 31
12. Connexions holomorphes intégrables et champs de Higgs 33
12.a. 33
37 12.b. Champs de Higgs
13. Géométrie du fibré tangent 38
13.a. Quelques points de géométrie différentielle holomorphe 38
39 13.b. Feuilletages holomorphes
13.c. Connexions sans torsion 41
13.d. Champs de Higgs symétriques 43
Extrait de la publicationvi TABLE DES MATIÈRES
14. Connexions méromorphes 47
14.a. Restriction d’une connexion méromorphe 48
14.b. et résidu des connexions à pôles logarithmiques 49
14.c. Connexions d’ordre 1 50
15. Faisceaux localement constants 51
15.a. Faisceaux d’ensembles localement constants 51
15.b. localement constants de C -espaces vectoriels de
rang fini 52
15.c. Rappels sur les représentations linéaires de groupes 53
15.d. Une équivalence de catégories 54
16. Déformations intégrables et déformations isomonodromiques 56
17. Appendice : le langage des catégories 61
I. Fibrés vectoriels holomorphes sur la sphère de Riemann 63
1. Cohomologie de C , C* et P1 63
2. Fibrés en droites sur P1 65
2.a. Le fibré tautologique &$I (-1) 65
2.b. Les fibrés &$I (k) pour k E Z 66
2.c. Fibre en droites associé à un diviseur 67
2.d. Le fibré quotient universel 68
2.e. Extensions de fibrés en droites 68
2.f. Champs de vecteurs et formes différentielles sur P1 70
3. Un théorème de finitude et quelques conséquences 70
4. Structure des fibrés vectoriels sur P1 72
4.a. Le théorème de Birkhoff-Grothendieck 72
4.b. Application aux fibrés méromorphes 76
4.c. Modification du type d’un fibré 76
78 4.d. Fibrés vectoriels algébriques et rationnels
5. Familles de fibrés vectoriels sur P 79
5.a. Premières propriétés 79
5.b. Théorèmes de rigidité 80
II. Correspondance de Riemann-Hilbert sur une surface de Riemann 87
1. Énoncé des problèmes 87
2. Étude locale des singularités régulières 89
2.a. Quelques définitions 89
2.b. Rang 1 90
2.c. Modèles en rang quelconque 91
2.d. Classification des (k, V) -espaces vectoriels à singularité
régulière en O 93
2.e. Réseaux logarithmiques canoniques 98
2.f. Adjonction de paramètres O0 1
Extrait de la publicationTABLE DES MATI~RES vii
3. Applications 102
3.a. Correspondance de Riemann-Hilbert 102
3.b. de Riemann partielle 104
3.c. Algébrisation d’un germe de connexion méromorphe 104
4. Compléments 105
4.a. Reconnaître une singularité régulière 105
4.b. Calculer la monodromie des sections horizontales 107
5. Singularités irrégulières : étude locale 107
5.a. Classification en rang 1 108
5.b. Modèles en rang quelconque 1 09
5.c. Le faisceau JJ 113
5.d. Classification sectorielle 115
6. Correspondance de Riemann-Hilbert dans le cas irrégulier 115
6.a. Le faisceau de Stokes 116
6.b. Classification (énoncé) 117
6.c. Constance locale du faisceau de Stokes 119
6.d. (démonstration) 121
6.12. Compléments sur l’espace de Stokes 123
III. Réseaux 127
Introduction 127
1. Réseaux des (k, V) -espaces vectoriels à singularité régulière 128
1 .a. Classification des réseaux logarithmiques 128
1.b. Comportement vis-à-vis de la dualité 132
1 .c. Polynôme caractéristique d’un réseau à l’origine 135
1.d. Rigidité des réseaux logarithmiques 138
2. Réseaux des (k, V)-espaces vectoriels à singularité irrégulière 141
2.a. Classification des réseaux 141
2.b. Polynôme caractéristique d’un réseau à l’infini 142
2.c. Déforniations 146
2.d. Fibrés de rang 1 à connexion d’ordre 1 146
2.e. Structure formelle 148
2.f. Démonstration du théorème 2.10 150
IV. Le problème de Riemann-Hilbert et le problème de Birkhoff 153
Introduction 153
1. Le problènie de 154
2. Fibrés méromorphes à connexion irréductibles 160
3. Application au problème de Riemann-Hilbert 164
4. Compléments sur l’irréductibilité 167
5. Le problème de Birkhoff 168
5.a. Problèmes de analytique local et algébrique 168
5.b. Le critère de M. Saito 171 ...
vlll ‘TBLE DES MATIÈRES
V. La dualité de Fourier-Laplace 175
Introduction 175
1. Modules sur l’algèbre de Weyl 176
1.a. L’algèbre de Weyl d’une variable 176
1.b. Modules holonomes sur l’algèbre de Weyl 177
1.c. Dualité . 179
1.d. Régularité 182
2. Transformation de Fourier 183
2.a. Transformé de d’un module sur l’algèbre de Weyl 183
2.b. de Fourier et dualité 186
2.c. de Fourier d’un réseau 186
3. Transformation de et microlocalisation 190
3.a. Microlocalisation formelle 190
3.b. Décomposition du transformé de Fourier 193
3.c. Un critère microdifférentiel pour la symétrie du polynôme
caractéristique 195
VI. Déformations intégrables de fibrés à connexion SUT la sphère de
Riemann 197
Introduction 197
1. Le problème de Riemann-Hilbert en famille 198
1.a. Déformations intégrables de solutions au problème de
Riemann-Hilbert 1 O8
1.b. Un exemple : la sixième équation de Painlevé comme
équation d’isomonodromie 203
1 .c. Universalité 205
2. Le problème de Birkhoff en famille 207
2.a. Déformations intégrables de solutions au problème de
Birkhoff 207
2.b. Constructions en présence d’une <( métrique >> 210
2.c. Résumé des Sfi 2.a et 2.b 213
3. Déformation intégrable universelle pour le problème de Birkhoff 215
3.a. Existence d’une déformation universelle locale 216
3.b. et construction d’une déformation universelle
globale 218
3.c. Déformation universelle avec métrique 220
3.d. La base E 221
3.e. La base e 22 1
3.f. Comparaison des bases E et e 221
3.9. Cas où R, est antisymétrique 223
3.h. Relation avec les équations de Schlesinger par transformation
de Fourier 227 TAK1.E DES MAIIÈRES ix
VII. Structures de Saito et structures de Frobenius sur une variété
analytique complexe 229
Introduction 229
1. Structure de Saito sur une variété 230
1.a. Structure de Saito sans métrique 230
1.b. de avec 236
2. Structure de Frobenius sur une variété 240
2.a. Structure de 240
2.b. Le potentiel de la structure de Frobenius et les équations
d’associativité 242
3. Application de périodes infinitésimale 244
3.a. de périodes associée à une section
primitive 244
3.b. Connexion plate et produit sur le fibré TM 245
3.c. Le champ d’Euler 246
3.d. Adjonction d’une variable dans l’application de périodes
infinitésimale 247
3.e. Justification de la terminologie 248
4. Exemples 249
4.a. Structures de Frobenius-Saito semi-simples universelles 249
4.b. de de type Ad 250
4.c. Structures de Frobenius définies par leur potentiel 260
5. Structure de Frobenius-Saito associée 2 une singularité de
fonction 262
5.a. Esquisse générale 262
5.b. Le complexe de de Rham << tordu >> par e--‘[ 265
5.c. Structure de Frobenius-Saito de type Ad, deuxième version 266
Bibliographie 271
Index des notations 283
Index terminologique 285
Extrait de la publicationExtrait de la publicationPRÉFACE
Malgré un titre un peu ésotérique, ce livre traite d’un sujet classique,
à savoir la théorie des équations différentielles linéaires dans le domaine
complexe. Les prototypes en sont les équations (portant sur la variable com-
plexe t et la fonction inconnue u(t)) :
du c1 du 1
- = -u(t) (. E C), - dt = pw dt t
La première a pour solution la fonction << multiforme >> t H t“ et la seconde
1 H exp(-l/t). La fonction <( multiforme >> log a pour solution la fonction
est, quant à elle, solution d’une équation avec second membre :
du 1
-~ -
dt 1 ’
ou, si l’on préfère rester dans le cadre des équations homogènes comme il
est fait dans ce livre, de l’équation d’ordre 2 :
d2u du
l-+-=O.
dt2 dt
Ainsi, Line équation différentielle à coefficients polynomiaux ou fractions
rationnelles en la variable 1 admet en génerai pour solutions des fonctions
transcendantes. D’autres familles sont célèbres elles aussi, les équations hy-
pergéométriques ou les équations de Bessel, pour ne citer qu’elles.
Ceci constaté, la question se pose de savoir s’il est nécessaire de résoudre
explicitement l’équation pour connaître les propriétés de ses solutions. Au-
trement dit, on se pose la question de savoir quelles sont les propriétés des
solutions qui ne dépendent que de manière algébrique (donc en principe
calculable) des coefficients de l’équation, et quelles sont celles qui néces-
sitent un recours à des manipulations transcendantes.
Pousser ce raisonnement jusqu’au bout conduit à développer la théo-
rie des équations différentielles dans le champ complexe à l’aide des ou-
tils de la géométrie algébrique ou analytique (i.~. la théorie des
Extrait de la publicationxii PRÉFACF,
équations algébriques complexes). On est ainsi amené à traiter les systèmes
d’équations linéaires, dépendant de plusieurs variables. La géométrie al-
gébrique nous pousse aussi à considérer les propriétés globales de ces sys-
tèmes, c’est-à-dire à considérer des systèmes définis sur des variétés algébriques
ou analytiques complexes.
Les équations différentielles que nous considérerons dans ce livre pren-
dront le nom de connexions intégrables sur unjbré vectoriel. Notre << Drosophila
melanogaster >> (mouche du vinaigre) sera la droite projective complexe,
communément appelée << sphère de Riemann >> et notée P1 (C) ou P’, qui
sera l’objet d’un certain nombre d’expériences portant sur les connexions :
analyse des singularités et déformations.
La théorie des déformations isomonodromiques est une machine à pro-
duire des systèmes non linéaires d’équations différentielles ou aux dérivées
partielles dans le domaine complexe et ce, à partir d’une équation ou d’un
système d’équations linéaires d’une variable complexe. Elle donne en même
temps un procédé (peu explicite en général) pour les résoudre, ainsi que
des propriétés remarquables des solutions de ces systèmes (la propriété dite
<< de Painlevé >> notamment). Si, au début, seule était considérée la défor-
mation d’équations différentielles linéaires d’une variable complexe à coeffi-
cients polynomiaux, il est apparu plus tard que la déformation des systèmes
linéaires de plusieurs équations pouvait jeter une lumière nouvelle sur la
question, par l’usage d’outils de la géométrie algébrique ou différentielle :
fibrés vectoriels, connexions, etc.
Pendant longtemps (et c’est toujours essentiellement le cas), cette mé-
thode a servi aux théoriciens des systèmes dynamiques et aux physiciens
qui analysent les équations non linéaires produites par des systèmes dyna-
miques intégrables : faire apparaître ces équations comme équations d’iso-
monodromie est en quelque sorte une linéarisation du problème initial.
De ce point de vue, les équations de Painlevé ont joué le rôle de prototype,
depuis l’article de R. Fuchs [FucO~], suivi par ceux de R. Garnier, qui a
montré comment la sixième pouvait s’écrire comme équation d’isomono-
dromie, sortant ainsi du strict cadre de la recherche de nouvelles fonctions
transcendantes.
Une belle application de cette théorie est l’introduction de la notion de
structure de Frobenius sur une variété. Si cette notion était clairement ap-
parue dans les articles de Kyoji Saito sur les déploiements de singularités de
fonctions holomorphes, ce n’est qu’avec Boris Diibrovin, à la suite de mo-
tivations issues de la physique, qu’elle s’est réellement développée, ouvrant
des perspectives sur des sujets apparemment très éloignés (singularités, co-
homologie quantique, symétrie miroir).
Mon ambition de garder à ce texte un niveau et une taille modérés,
tout autant que mon incompétence sur les développements les plus récents,
m’ont conduit à limiter les sujets abordés, renvoyant notamment à l’article
de B. Dubrovin [Dub961 ou au livre de Y. Manin [Man99a].
Extrait de la publication...
PRÉFACE XLll
Le chapitre O, bien qu’un peu long, peut être sauté par tout lecteur ayant
des connaissances de base en géométrie algébrique complexe ; il servira
alors de référence pour les notations employées. I1 regroupe les énoncés
utilisés dans la suite en théorie des faisceaux, fibrés vectoriels, connexions
holomorphes et méromorphes, faisceaux localement constants. Les résul-
tats en sont classiques et existent, dispersés, dans la littérature.
On poiirrait dire la même chose du chapitre I, bien qu’il soit plus diffi-
cile de trouver une référence pour le théorème de rigidité des fibrés triviaux
dans les livres de géométrie algébrique élémentaire. On se restreint ici aux
fibrés sur la sphère de Riemann, ce qui ne nécessite qu’un petit investisse-
ment de géométrie algébrique. On admet essentiellement dans ce chapitre
le théorème de finitude de la cohomologie d’un fibré vectoriel sur une sur-
face de Riemann compacte (et même seulement la sphère de Riemann),
pour lequel il existe de bonnes références.
Avec les chapitres II et III commence l’étude des systèmes linéaires
d’équations différentielles d’une variable complexe et de leurs déforma-
tions. Le type des points singuliers y est analysé. Ici encore, on ne démontre
pas deux théorèmes d’analyse, dans la mesure où les techniques utilisées,
bien qu’abordables, sortent trop du cadre de l’ouvrage.
Un des objets fondamentaux attachés à une équation différentielle ou,
plus généralement, à une connexion intégrable sur un fibré vectoriel, est
le groupe de.~ transjbrmntions de monodromie dans sa représentation naturelle,
reflétant la (< multiformité >> des solutions de cette équation ou connexion.
La correspondance de Riemann-HilbPrt - au moins lorsque les singularités de
l’équation sont régulières - exprime que ce groupe contient toute l’in-
formation de l’équation différentiellc. Ainsi, un des problèmes classiques
de la théorie consiste, étant donnée une équation différentielle, à calculer
son groupe de monodromie. Signalons aussi un autre objet, le groupe dr Gu-
lois dfjkxtiel - non utilisé dans ce livre - qui a l’avantage d’être défini
algébriquement à partir de l’équation.
Ce n’est pas ce problème que nous développons dans ce livre, et on ne
trouvera pas de calcul explicite de tels groupes. Comme indiqué ci-dessus,
nous cherchons plutôt à exprimer les propriétés des solutions de I’éqiia-
tion en terme d’objets algébriques, ici le fibré vectoriel (méromorphe) à
connexion. Dans ce fibré méromorphe existent des réseaux (i.e. des fibrés
holomorphes), qui correspondent aux diffkrentes manières équivalentes
d’écrire le système différentiel.
Trouver la manière la plus simple d’écrire un système différentiel à
équivalence inéromorphe près fait l’objet du problime de Riemann-HilbPrt
(cas des singularités régulières) ou du problème de Birkhoff. I1 s’agit
dans tous les cas d’écrire le système comme une connexion sur le fibré
trivial. Le chapitre Tv expose quelques techniques de résolution du pro-
blème de Riemann-Hilbert ou de Rirkhoff. On trouvera dans les livres de
A. Bolibroiikh [AB941 et [Bo1951 beaucoup d’autres résultats. XiV PREFACE
Le chapitre V introduit la transformation de Fourier (qu’il serait
peut-être plus juste d’appeler de Laplace) pour les systèmes
d’équations différentielles d’une variable. I1 peut permettre de comprendre
le lien entre les équations de Schlesinger et les équations de déformation
du problème de Birkhoff, analysées au chapitre VI. Dans ce dernier est
expliquée en détail la notion de déformation isomonodromique.
Le chapitre VI1 présente axiomatiquement la notion de structure de
Saito (sous la forme introduite par K. Saito) ainsi que la notion de
de Frobenius (sous la forme introduite par B. Dubrovin, reprenant ainsi sa
terminologie). On y montre l’équivalence de ces notions, réunies dès lors
sous le nom de << structure de Frobenius-Saito >>. De nombreux exemples
sont donnés, afin de mettre en évidence différents aspects. II peut servir
d’introduction à la théorie de K. Saito sur la structure de Frobenius-Saito
associée aux déploiements de fonctions à singularités isolées. La démonstra-
tion de beaucoup de résultats de cette théorie fait appel à des techniques de
géométrie algébrique en dimension 3 1, techniques qui sortent du cadre
de cet ouvrage et dont l’exposition demanderait un autre livre (la théorie
de Hodge du système de Gauss-Manin) .
Ce texte, version très développée de l’article [Sab98], est issu de plu-
sieurs cours (parfois accélérés) faits dans le cadre de la formation doctorale
des universités de Paris Vi, Bordeaux I et Strasbourg ainsi que lors d’une
école sur les variétés de Frobenius au CIRM (Luminy). Michèle Audin,
Alexandru Dimca, Claudine Mitschi et Pierre Schapira m’ont ainsi donné
l’occasion d’en exposer certaines parties.
Beaucoup d’idées, de même que leur présentation, viennent en droite
ligne des articles de Bernard Malgrange, ainsi que de nombreuses conversa-
tions que nous avons eues. De nombreux aspects des variétés de Frobenius
me seraient restés obscurs sans de multiples discussions avec Michèle Audin.
J’ai aussi eu le plaisir de longs entretiens avec Andrei Bolibroukh, qui m’a
expliqué ses recherches, notamment sur le problème de Riemann-Hilbert.
Joseph Le Potier a répondu de bonne grâce à mes questions électroniques
sur les fibrés.
Plusieurs personnes m’ont aidé à améliorer le texte, ou m’ont indiqué
quelques erreurs, notamment Gilles Bailly-Maitre, Alexandru Dimca, Claus
Herding, Adelino Paiva, ainsi que les rapporteiirs anonymes.
Je les en remercie.
Ce livre a été écrit notamnieiit dans le cadre du programme INTAS 97-
1644.
Extrait de la publicationTERMINOLOGIE ET NOTATIONS
Certains mots utilisés dans ce livre ont traditionnellement plusieurs sens,
suivant le contexte dans lequel on les emploie. Ainsi :
- la platitude (en géométrie) signifie l’absence de courbure (pour une
métrique, une connexion...), elle est alors synonyme d’intégrabilité ; en al-
gèbre commutative, elle traduit un bon comportement par rapport au pro-
duit tensoriel ;
- la torsion est une notion géométrique (pour une connexion sur le fibré
tangent), mais aussi une notion algébrique (pour un module) ; on s’inté-
resse à la torsion d’une connexion plate, alors qu’un module plat sur un
anneau n’a pas de torsion ...
De manière analogue, l’appellation (< de Frobenius >> peut renvoyer à
diverses propriétés bien distinctes : I’intégrabilité au sens de Frobenius
concerne les systèmes de Pfaff, qui deviennent ainsi des feuilletages, tandis
que la notion de variété de Frobenius (ou structure de Frobenius sur
une variété) fait référence à la structure d’algèbre de sur le
fibré tangent de cette variété ; il n’empêche que la notion d’intégrabilité
intervient dans la construction de telles structures.
On distinguera aussi les mathématiciens L. Fuchs (condition de Fuchs,
équation fiichsienne, etc.) et R. Fuchs (isomonodromie et équations de
Painlevé), de mênie que K. Saito et M. Saito.
J’ai adopté un principe assez simple pour les notations, auquel j’ai essayé
de me tenir.
Les lettres M, N, X sont (en principe) réservées aux variétés, la lettre X
désignant souvent l’espace des paramètres d’une déformation, tandis que
la lettre M désigne plutôt l’espace sur lequel vit l’objet déformé.
Les lettres tF,F,F sont réservées aux faisceaux sur une variété, les
lettres l<,fiG aux fibrés qui leur correspondent, quand il y a lieu, et les E, 3,3 à leur germe en un point. Les << fibrés méromorphes >> sont no-
tés en général par la lettre A&’ (et parfois H), leur germe en un point par
Extrait de la publicationxvi TERMINOLOGIE ET NOTATIONS
34 ou N. Enfin, dans un cadre algébrique, le module des sections globales
d’unfaisceauZ,Y,F’,k‘estnoté IE,IF,G,M.
Dans une famille paramétrée par un espace, la restriction d’un objet A
pour la valeur xo du paramètre est notée A’.
Enfin, le carré blanc sur fond blanc O signifie la fin d’une démonstra-
tion. ou son absence.
Extrait de la publicationCHAPITRE O
LE LANGAGE DES F’IBRÉS
Ce chapitre regroupe les principaux résultats généraux utilisés dans ce
livre. I1 a aussi pour but de préciser les notations employées plus loin. Les
lecteurs pourront s’y reporter si nécessaire.
Nous supposons une certaine familiarité avec le langage de la théorie de
faisceaux.
La notion de fibré vectoriel et de connexion permet d’aborder les pro-
blèmes globaux de la théorie des systèmes différentiels linéaires et de leurs
singularités. Nous considérons ici uniquement le cadre holomorphe ou mé-
romorphe. Nous nous sommes efforcé de donner des énoncés intrinsèques,
indépendants des choix de coordonnées ou de base. Aussi les lecteurs ne
s’étonneront-t-ils pas de ne pas trouver la notion de matrice fondamentale
de solutions, de wronskien, etc. Par contre, nous insistons sur la différence
entre la notion de système différentiel méromorphe (où les changements
de base méromorphes sont permis) et celle de rbseaii d’un tel système (oil
seuls les changements de base holomorphes le sont).
1. Fonctions holomorphes sur un ouvert de C”
On pourra se reporter par exemple à [ GR65, chap. I], [ GH78, chap. O],
[Kod86, chap. 11 (ainsi qu’à [Hor73, chap. 11 011 [LT97, chap. 11) pour les
propriétés élémentaires des fonctions holomorphes.
Soient n un entier 2 1 et (J un ouvert de @”. Les coordonnées sont
notées zl, . . . , z,,, OU z, = x1 + iyl est la décomposition en parties réelle et
imaginaire.
Soit f : u + c une fonction de classe C’ . 011 pose CHAPITRF O. LE LANGAGE DES FIKRLS 2
Une fonction f de classe C' sur U est dite holomorphe si, pour tout z E U et
tout j = 1,. . . , n, les équations de Cauchy-Riemann
sont satisfaites. On désigne par B (U) l'anneau des fonctions holomorphes
sur U et par &I le faisceau des fonctions holomorphes sur U.
1.1. ïhéorème (les fonctions holomorphes sont les fonctions analytiques)
Une fonction f : U + C est holomorphe si et spukwient si plle est analytiqup,
autrpment dit dheloppable en sévie convevgentr de (zl - z: , . . . , zn - zi ) au voisinage
d~ tout point z" E U.
Démonstration. - Analogue à celle pour les fonctions d'une variable. Soit
n
A(zo,r) = I1 D(z3,rj)
j=1
un polydisque ouvert de polyrayon r = (ri,. . . , rn) E (Et;)" centré en
z" E U et contenu dans U. Le résultat découle de la << polyformule de
Cauchy >> qu'on montre par récurrence sur n : pour tout z E A(z", r) on a
Soit z" E U. Le germe du faisceau 61 en z", noté @U,O, s'identifie donc
à l'anneau des sévie.s convergentes à n variables, noté @{zl - zy, . . . , zn - zn}.
1.2. Quelques propriétés
- Toute application holomorphe d'un ouvert de Cn à valeurs dans C?
est une P.
- Toute application bijective entre deux ouverts de @" est
biholomorphe.
- Toute fonction holomorphe non constante sur un ouvert connexe de
@" est une application ouuerie.
- On dispose du théorème des fonctions implicites et du théorème d'in-
version locale pour les applications holomorphes.
- Soient U un ouvert de @", cp : U t @ une fonction holomorphe + O
et 2 c U l'ensemble défini par l'équation y(z1,. . . , z,) = O dans U. Si f
est une fonction holomorphe sur U \ Z qui est bornée au voisinage de tout
point de 2, alors f se prolonge en une fonction holomorphe sur 1J.
Extrait de la publication3 2. VARIÉTÉS ANALYIIQULS COMPIXXES
2. Variétés analytiques complexes
On pourra se reporter à [GH78, chap. O] ou [Kod86, chap. 21 pour plus
de détails ou d'exemples. Soit M un espace topologique. Un recouvrement
ouvert U de M est une famille (ü,)lE~ d'ouverts de M indexée par un en-
semble I dont la réunion est égale à M.
Un espace topologique M est dit paracompact s'il est séparé et si, pour
tout recouvrement ouvert II de M, il existe un recouvrement ouvert de
M qui est localementJini et plusJin que 11, c'est-à-dire que tout compact ne
coupe qu'un nombre fini d'ouverts de 23 et tout ouvert VI de T? est contenu
dans au moins un ouvert U, de LI.
Une vadé analytique complexe M de dimension n est un espace topo-
logique paracompact qui possède un recouvrement ouvert (üz)zt~ et des
cartes 'pz : U, 4 @In, chaque (p2 induisant un homéomorphisme de U, sur
un ouvert O, de @In, telles que, pour tous z,j E I, le changement de carte
soit un biholomorphisme.
Une fonction holomorphe sur une variété analytique complexe est une fonc-
tion de classe C' telle que chaque f O (pi' soit une fonction holomorphe
snr l'ouvert ~i(üi) de Cn.
Tout ouvert de carte Ui admet alors des systèmes de coordonnées
(zi, . . . , z,) provenant de ceux de O,.
Une application entre deux variétés analytiques complexes est dite holo-
morphe si, pour un (ou tout) choix de coordonnées locales holomorphes
de la source et du but, les composantes de l'application sont des fonctions
holomorphes des coordonnées.
Une sou.r-urcm'été analytique complexr N de M est un sous-ensemble loca-
lement fermé dans M pour lequel, au voisinage de tout point de N dans
M, il existe des coordonnées locales z1,. . . , zn telles que N y soit définie
par les équations z1 = . . . = zp = O ; on dit alors que 1> est la codimension
(complexe) de N dans M. Une hypersurface lisse est une sous-variété Jermée de
codimension 1.
Un sous-ensemble analytique complexe fermé de M est iin sous-ensemble
fermé, qui est localement défini comme ensemble des zéros d'une famille de
fonctions analytiques. Nous serons amenés à utiliser le résultat suivant (les
lecteurs pourront consulter [GR65, chap. II et III] pour plus de détails sur
les sous-ensembles analytiques) :
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