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Eléments de génie électrique: Connaissances de base et machines statiques

De
276 pages
Cet ouvrage s'adresse à des élèves ingénieurs et des ingénieurs en exercice souhaitant réactualiser leurs connaissances ou mettre en œuvre les nouvelles techniques concernant les variateurs électriques de vitesse. Des rappels essentiels d'électromagnétisme ou de circuits électriques sont effectués. Ils facilitent ainsi une meilleure compréhension du domaine.
1. Qu'est-ce que le génie électrique ? 2. Les équations de Maxwell et le génie électrique 3. Rappels sur les circuits électriques 4. L'alimentation en énergie électrique 5. Les matériaux du génie électrique 6. Circuits magnétiques 7. Transformateurs 8. Introduction à l'électronique de puissance 9. Les composants électroniques de puissance 10. Redresseurs Bibliographie 270 F • 272 pages • 1994 ISBN 2-86601-407-3 • Code 414
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ÉLÉMENTS
DE GÉNIE ÉLECTRIQUE
Connaissances de base
et
machines statiques
Marcel Ivanes
Robert Perret
HERMES Eléments
de génie électrique ÉLÉMENTS
DE GÉNIE ÉLECTRIQUE
Connaissances de base
et
machines statiques
Marcel Ivanes
Robert Perret
HERMES © Hermès, Paris, 1994
Editions Hermès
14, rue Lantiez
75017 Paris
ISBN 2-86601-407-3 Table des matières
Avant-propos 1
Chapitre 1. Qu'est-ce que le génie électrique 3
1.1 Importance des problèmes thermiques 4
1.2 L'électricité se stocke mal 5
Chapitre 2. Les équations de Maxwell et le génie électrique 9
2.1 Rappel des lois élémentaires de l'électrostatique
2.2l des loiss de l'électrocinétique 11
2.3 Interaction d'un champ d'induction B et d'un courant5
2.4 Les équations de Maxwell 18
2.5 Les lois classiques de l'électrotechnique et leur
correspondance avec les lois de Maxwell dans le vide 19
2.6 Lois de comportement des composants passifs 33
2.7 Energies et Forces 39
Chapitre 3. Rappels sur les circuits électriques 45
3.1 Introduction 45
3.2 Sources d'énergie électrique ou éléments actifs5
3.3 Eléments passifs6
3.4 Conventions de signe8
3.5 Réversibilité9
3.6 Energies stockées et dissipées dans les dipôles .passifs 51
3.7 Lois générales des réseaux électriques linéaires 52
3.8 Exemples simples 53
3.9 Réponse à une excitation 60
3.10 Théorèmes généraux des circuits électriques 67
Chapitre 4. L'alimentation en énergie électrique 73
4.1 Introduction 73
4.2 Systèmes monophasés4
4.3s triphasés 82
Chapitre 5. Les matériaux du génie électrique 97
5.1 Le ferromagnétisme8
5.2 Equations de Maxwell en présence de matière aimantée 99
5.3 Les matériaux diélectriques (ou isolants) 110 VI Eléments de génie électrique
Chapitre 6. Circuits magnétiques 117
6.1 Lois fondamentales des circuits magnétiques 118
6.2 Calcul des circuits magnétiques comportant des bobines
d'excitation 120
6.3 Circuits magnétiques comportant des aimants permanents 132
6.4 Pertes dans les circuits magnétiques 134
6.5 Bobines à noyau de fer9
6.6 Etude de quelques circuits magnétiques de machines
électriques tournantes classiques 148
Chapitre 7. Transformateurs 157
7.1 Introduction7
7.2s monophasés à deux enroulements 160
7.3 Transformateurs triphasés à sixs6
7.4 Utilisation pratique - Diagrammes de fonctionnement 171
7.5s spéciaux 190
Chapitre 8. Introduction à l'électronique de puissance 201
8.1 Qu'est-ce quee dee1
8.2 L'électronique de puissance utilise la commutation2
8.3 Structure générale des convertisseurs statiques4
8.4 Types de sources et de charges 204
8.5 Classement des convertisseurs statiques5
Chapitre 9. Les composants électroniques de puissance7
9.1 Fonctionnement en commutation des composants
de l'électronique de puissance7
9.2 Quelques caractéristiques physiques des composants
de puissance 210
9.3 Présentation des principaux composants de l'électronique
de puissance4
Chapitre 10. Redresseurs 223
10.1 Mise en évidence des principales caractéristiques des
redresseurs sur des montages élémentaires monophasés 240
10.2 Etude des redresseurs industriels monophasés 224
10.3 Etude des redresseurs polyphasés 243
10.4 Fonctionnement en onduleur non autonome 252
Bibliographie 259 Avant-propos
Le Génie Electrique, ensemble des techniques liées à l'utilisation énergétique de
l'électricité, prend une part croissante dans l'industrie et la vie courante, de par la
souplesse de son utilisation et des hautes performances atteintes aujourd'hui par les
machines électriques, associées ou non à des convertisseurs électroniques de
puissance.
On peut affirmer aujourd'hui que tout ingénieur ou technicien supérieur sera
confronté un jour à une installation industrielle où le génie électrique jouera un rôle
important.
Pour nombre d'entre eux, directement impliqués dans le fonctionnement ou le
dimensionnement de ces installations, ce sera leur lot quotidien.
Les auteurs, professeurs à l'Ecole Nationale Supérieure d'Ingénieurs Electriciens
(Institut National Polytechnique de Grenoble), ont une longue expérience de
l'enseignement du génie électrique, tant au niveau des formations d'ingénieurs, que
des techniciens supérieurs (Institut Universitaire de Technologie).
Le Génie Electrique au service de l'ingénieur (connaissances de base et machines
statiques), est le fruit de leur expérience d'enseignement, associée à leur expérience de
chercheurs au sein du laboratoire d'Electrotechnique de Grenoble (associé au Centre
National de la Recherche Scientifique).
Cette double expérience et les très nombreux contacts industriels (contrats de
recherche, formation continue, etc.) leur a permis d'identifier les principales
difficultés que peuvent rencontrer les élèves, mais également les praticiens, dans la
mise en oeuvre des dispositifs du Génie Electrique.
Dans cet ouvrage, on trouvera l'ensemble des connaissances de bases indispensa­
bles à la compréhension des principaux phénomènes et évitant ainsi le renvoi à une
bibliographie spécialisée, certes nombreuse, mais conçue dans une optique très
générale. Ces connaissances de base sont assorties d'exemples directement reliés au
Génie Electrique.
On y trouvera également une étude des dispositifs statiques (transformateurs et
premiers éléments d'électronique de puissance) du point de vue de leur fonction­
nement, mais également des modèles les plus simples.
Ces connaissances permettent une bonne compréhension du fonctionnement de ces
ensembles, mais également un premier dimensionnement.
Un second ouvrage sera consacré aux machines électriques tournantes et aux varia-
teurs électroniques de vitesse. Les mêmes principes, compréhension du fonction­
nement et modélisation simple, présideront à sa présentation.
Les auteurs remercient les nombreux collègues du Laboratoire d'Electrotechnique
de Grenoble avec qui ils ont pu avoir des discussions fructueuses. Ils remercient
également Jacqueline Délaye, Yann Letourneux, Francis Mauban, Frédéric Perrin qui
ont assuré la présentation matérielle de l'ouvrage. Chapitre 1
Qu'est-ce que le génie électrique
Les applications de l'électricité (ondes électromagnétiques ou mouvement de
charges électriques) peuvent être divisées en deux catégories.
Dans la première, l'électricité est le support d'un signal. Ces applications vont être
classées sous des vocables tels que l'électronique ou l'informatique et concernent par
exemple la télévision, le son haute fidélité, les ordinateurs, etc.. Dans ce cas, on va
privilégier le rendu d'une information : qualité de l'image d'un téléviseur, son aussi
proche que possible de l'original d'une chaîne haute fidélité, ou exactitude du résultat
du produit de deux nombres par un ordinateur.
Dans la seconde catégorie, l'électricité sera vecteur d'une énergie : l'énergie
électrique. C'est le Génie Electrique. On va souvent y rencontrer des mots tels que :
énergie, puissance, rendement, température, couple, etc.. Lors de l'achat d'un
radiateur électrique, l'acheteur se posera-t-il la question de savoir si la tension
délivrée dans son appartement est bien dépourvue d'harmoniques (forme de signal
tension) ? Il va sûrement privilégier la puissance de l'appareil pour savoir s'il pourra
obtenir la température voulue en hiver !
Ceci ne signifie pas que le concepteur d'un super-ordinateur se désintéresse des
aspects thermiques. En effet, la rapidité de calcul de ces appareils est limitée, entre
autres, par la vitesse de la lumière. Donc les connexions doivent être très courtes et
la machine très compacte. L'évacuation des pertes est donc très importante pour le
bon fonctionnement électrique du super-ordinateur. Néanmoins ce problème est
hiérarchiquement subordonné à l'exactitude des calculs que doit effectuer la machine.
De la même façon, le concepteur d'un moteur à courant alternatif ne peut se
désintéresser de la présence d'harmoniques dans let d'alimentation. Ceux-ci
sont générateurs de pertes, donc d'élévation de la température de fonctionnement, de
vibrations du moteur et du système mécanique qu'il entraîne, par exemple.
Néanmoins, il faudra supporter la présence de ces harmoniques et concevoir le
système pour respecter le service attendu du moteur.
Les acteurs du Génie Electrique vont donc être concernés par la génération, le
transport, la distribution et l'utilisation de l'électricité en tant que vecteur d'énergie.
Le spécialiste du Génie Electrique devient de plus en plus un ensemblier qui doit
prendre en compte l'ensemble des composants d'un système électromécanique, allant
de son alimentation jusqu'au processus. 4 Eléments de génie électrique
Afin d'optimiser la chaîne énergétique, il doit pouvoir en modéliser les éléments et
de plus en plus la simuler sur ordinateur afin de prévoir les détails de son
comportement et les conséquences de certains incidents.
Ceci implique la mise en oeuvre de techniques propres au Génie Electrique, mais
également relevant de secteurs voisins tels l'électronique, la mécanique, la thermique
l'informatique, l'automatique, etc..
Dans le cadre de cet ouvrage, nous rappelons ou établissons les lois fondamentales
nous permettant d'expliquer puis de modéliser le comportement de la plupart des
machines électriques et de l'électronique associée. Nous nous limiterons aux s et utilisations les plus courantes et certains problèmes ne pourront qu'être
évoqués, même s'ils sont des éléments importants à prendre en compte.
Ils ne ressortent pas du cadre de ce livre et le lecteur sera renvoyé aux ouvrages
correspondants. Nous allons en évoquer quelques uns ci-dessous.
1.1 Importance des problèmes thermiques
L'un des phénomènes fondamentaux auquel donne lieu la circulation d'un courant
dans un conducteur est la production de chaleur. C'est l'effet Joule. Si cette chaleur
n'était pas évacuée à l'extérieur de ce conducteur (échauffement adiabatique), il serait
porté à une température croissante, rapidement incompatible avec le bon
fonctionnement de l'appareil électrique correspondant.
En effet, comme nous le verrons plus loin, une machine électrique est constituée
de conducteurs, en général en cuivre, de matériaux ferromagnétiques, généralement du
fer ou ses alliages et des isolants, généralement des matériaux organiques.
Si les deux premiers peuvent fonctionner sans dommages à des températures de
plusieurs centaines de degrés centigrades, il n'en est pas de même des isolants
organiques, dont les caractéristiques se dégradent très rapidement pour des tempé­
ratures supérieures à une centaine de degrés centigrades (il s'agit d'un ordre de
grandeur). Dans toutes les machines, ces matériaux sont fortement imbriqués et donc
leurs températures de fonctionnement sont voisines.
La température det d'une machine sera donc relativement modeste
devant celle d'un moteur à explosion ou d'une turbine à vapeur, par exemple.
Une attention particulière devra donc être apportée à l'évacuation des pertes de toute
machine électrique, ce sera même souvent le principal facteur de dimensionnement
ou la principale limitation à l'utilisation d'une machine électrique.
En outre, plus une machine est puissante, plus elle est difficile à refroidir. En effet
en première approximation et pour des machines utilisant des technologies voisines,
la puissance croît comme le volume (cube de la dimension caractéristique), alors que
les échanges thermiques croissent comme la surface d'échange (carré de la
dimension). Donc plus une machine est puissante et plus l'évacuation de ses pertes
devient cruciale et doit utiliser des moyens perfectionnés (convection forcée,
circulation de fluides dans les conducteurs, etc...).
Le prix d'une machine croissant approximativement comme sa puissance à la
puissance deux tiers, on a donc intérêt, lorsque l'utilisation le justifie, à utiliser des
machines de plus en plus puissantes. Qu'est-ce que le génie électrique 5
C'est l'une des raisons de la course au gigantisme dans les centrales électriques où
l'on est passé d'une puissance unitaire maximale de 600 MW dans les années 60, à
1300 MW dans les années 80.
On conçoit donc qu'outre les problèmes mécaniques (limite élastique, fatigue,...),
les problèmes thermiques deviennent redoutables. Ainsi, plus une machine est
puissante et meilleur devra être son rendement, c'est-à-dire plus faibles ses pertes
relatives.
On passe ainsi d'un rendement de 20 à 30 % pour une petite machine de quelques
watts à plus de 99 % pour une machine utilisée dans une centrale électrique. Le
dimensionnement de la première sera essentiellement guidé par des considérations
économiques (facilité de fabrication, coût des matériaux, ...) et celui de la seconde
par des considérations mécaniques et thermiques. Les considérations économiques
étant bien entendu toujours présentes et permettent de juger ou non acceptable,
économiquement, un niveau de pertes.
En effet, considérons une machine électrique dont les pertes cumulées sur une
année correspondent à un certain nombre de kW-h. En attribuant un prix à des kW-h,
que l'utilisateur de la machine doit bien payer et une durée de vie de N anées pour la
machine, on voit que ceci reviendrait à rembourser un capital pendant N années à
raison d'un remboursement annuel égal aux pertes.
Les pertes représentent donc un capital que l'on peut faire entrer dans le prix d'achat
de la machine et qui est en général loin d'être négligeable.
Nous ne cherchons pas à aller plus loin dans ce type de calcul économique, mais
nous signalons ici son importance.
1.2 L'électricité se stocke mal
L'utilisateur d'une énergie, doit pouvoir rester maître de son utilisation à l'instant
qu'il désire. A cette fin, c'est lui qui déterminera la puissance dont il a besoin à un
instant donné. Cette disponibilité se fait dans l'immense majorité des cas par le
stockage à proximité d'un fluide énergétique. C'est le cas du réservoir de carburant
dans un véhicule à moteur thermique.
Dans le cas d'un utilisateur d'énergie électrique, celle-ci pourrait être stockée
localement sous forme électromagnétique, donc instantanément disponible. Ce
stockage pourrait se faire dans un champ magnétique c'est-à-dire dans une inductance
ou dans un champ électrique, il s'agit alors d'une capacité. Malheureusement en l'état
actuel des technologies de réalisation de ces éléments, les volumes nécessaires et
donc le prix de revient correspondant seraient très nettement prohibitifs. En outre ce
stockage se traduirait par des pertes, équivalent à une fuite dans un réservoir et ne
pourrait conduire qu'à un stockage à très court terme.
Puisqu'un stockage électromagnétique est pratiquement impossible, nous en
déduisons qu'à chaque instant, la puissance produite par les génératrices doit être
égale à la puissance consommée, qui elle, est déterminée par les utilisateurs seuls. 6 Eléments de génie électrique
Si cette égalité n'est pas respectée, il y aurait des variations de tension et de fré­
quence, tendant à la rétablir et qui nuiraient fortement à la qualité attendue par les
clients, qui est que ces deux grandeurs soient aussi constantes que possible.
Le producteur doit donc disposer d'un parc de centrales électriques lui permettant de
faire face à une demande maximale dite pointe journalière, qui a lieu en semaine et
en hiver.
A titre d'information et en ne retenant que des ordres de grandeur pour 1990, en
France :
- La puissance moyenne (sur un an) : 40 GW
- La pointe journalière (17.12.90) : 64 GW
- La puissance maximale disponible (très difficile à définir) : 90 GW.
On voit donc que pour faire face à une pointe 50 % supérieure à la puissance
moyenne se produisant quelques jours d'hiver par an, on dispose d'un parc de 100 %
supérieur à la moyenne pour faire face à divers problèmes tels les pannes, l'entretien
des centrales, bref pour parer à tout aléa. Lorsque l'on imagine le gigantisme des
investissements que cela suppose, on comprend sans peine que les producteurs
d'électricité usent de tous les moyens possibles pour diminuer cette pointe et donc la
faire se rapprocher de la puissance moyenne.
Citons quelques moyens :
- Incitation tarifaire
On va moduler le tarif du kW-h selon le jour et l'heure de son utilisation.
L'utilisateur domestique est incité, paie moins cher, s'il consomme en heuics
creuses ; il fera, par exemple, fonctionner son chauffe-eau la nuit, pour utiliser
cette eau chaude le jour. On stocke tout simplement l'électricité sous forme
d'énergie thermique.
- Stockage sous forme mécanique
On remplit les barrages hydrauliques en été pour les vider plutôt l'hiver. Si on
dispose de deux lacs à des niveaux différents, on remplira le lac supérieur par
pompage dans le lac inférieur en heures creuses (ou jours creux), pour turbiner
ensuite le lac supérieur en heures de pointe. Il s'agit d'équipements appelés stations
de pompage.
A travers ces quelques exemples simples, nous voyons comment les
considérations économiques peuvent devenir capitales dans les problèmes du Génie
Electrique.
Dans cet ouvrage, destiné à la formation ou à la réactualisation des connaissances
des techniciens supérieurs et ingénieurs du Génie Electrique, nous nous limiterons
aux plans scientifiques et techniques du Génie Electrique, mais toutes les autres
connaissances des secteurs connexes seront sous-jacentes, voire exposées si leur
intervention est cruciale.
Dans une première partie (chapitres 2 et 3) nous ferons des rappels sur les
connaissances de base indispensables en électromagnétisme et circuits électriques. Qu'est-ce que le génie électrique 7
Une seconde partie préparera l'étude des machines électriques en abordant les
notions importantes concernant les systèmes monophasés et triphasés (chapitre 4),
puis les matériaux magnétiques et diélectriques (chapitre 5) et enfin les circuits
magnétiques (chapitre 6).
Une troisième partie sera consacrée à l'étude de la plus simple des machines
électriques le transformateur (chapitre 7).
Enfin une dernière partie abordera l'électronique de puissance, en la définissant
(chapitre 8) et en étudiant les composants semi-conducteurs de puissance (chapitre
9). Elle se concluera par l'étude des redresseurs (chapitre 10).
Un deuxième livre, à paraître prochainement, sera consacré à l'étude des machines
tournantes et à leur association à l'électronique de puissance pour en faire des
variateurs de vitesse. Chapitre 2
Les équations de Maxwell
et le Génie Electrique
Les machines électriques utilisent des matériaux magnétiques, des isolants
(diélectriques), des conducteurs et font interagir des champs, des courants...
L'évolution des différentes grandeurs dans ces machines est théoriquement calculable
à partir des équations de Maxwell. Cependant, la complexité des lois de
comportement des matériaux magnétiques, des geometries des machines et des
circuits mis en jeu rend souvent l'utilisation directe de ces équations difficile voire
impossible avec les moyens de calcul et les connaissances actuels. Ce n'est que
depuis quelques années que des logiciels permettent, au prix de quelques hypothèses
simplificatrices d'effectuer des calculs utiles aux concepteurs.
Les équations de Maxwell sont des relations locales entre le champ électrique E,
le champ de déplacement électrique D, le champ d'excitation magnétique H, le champ
d'induction magnétique B et les densités de charge p et de courant J.
Dans ce chapitre, après avoir rappelé les lois élémentaires de l'électricité, nous
montrerons la correspondance entre les équations de Maxwell et les lois intégrales -
souvent découvertes de manière empirique - qui sont couramment utilisées pour la
compréhension du fonctionnement des machines électriques ; nous effectuerons cette
étude dans le cas où les charges et les courants sont situés dans le vide (ou l'air).
Nous terminerons ce chapitre en donnant les lois d'Ohm élémentaires nécessaires à
l'étude des circuits électriques et les formules relatives à l'énergie d'un champ
électromagnétique.
2.1 Rappel des lois élémentaires de l'électrostatique
On commence classiquement un cours d'électricité par l'étude de l'électrostatique.
On introduit la notion de charge électrique ponctuelle q exprimée en coulomb (C).
19(L'électron est un bon exemple de chargee e = 1,6.10" C.) Deux charges
q et q' de même signe situées à la distance r exercent l'une sur l'autre des forces
répulsives. 10 Eléments de génie électrique
Figure 2.1 Forces entre deux charges.

est la permittivité du vide et u le vecteur unitaire colinéaire à r. R
Les charges électriques créent dans l'espace un champ électrique E. Par définition,
la force exercée sur une charge immobile q placée en un point où le champ électrique
est E a pour expression :
F = q E
En électrostatique, le champ électrique dérive d'un potentiel électrique scalaire V :
E = - grad V
A partir de cette relation, on peut exprimer la différence de potentiel entre deux
points A et B et montrer qu'elle est indépendante du chemin suivi pour aller de A à B
(figure 2.2).
V - V = I E . dî A B
J A
Figure 2.2 Champ électrique et différence de potentiel Les équations de Maxwell et le Génie Electrique 11
2.2 Rappel des lois élémentaires de l'électrocinétique
2.2. 1 Loi d'Ohm
Un conducteur électrique (cuivre, aluminium, ...) est un métal qui possède à
température ambiante de nombreux électrons libres dans la bande de conduction. On
appelle n la concentration de cess libres. La charge volumique p des m
électrons libres est donc :
3p = -n e (cm") m
Il faut bien noter qu'un conducteur isolé n'est pas chargé : la densité p des électrons m
libres est compensée par celle des porteurs fixes. La densité de charge totale p est
donc nulle.
On appelle J vecteur densité de courant :
J = p v (A m'O m
où v est la vitesse moyenne des électrons.
Un conducteur immobile non soumis à une différence de potentiel a ses électrons
qui se déplacent par agitation thermique. La vitesse moyenne de déplacement est
alors nulle de même que la densité de courant.
Pour qu'il y ait déplacement moyen des électrons mobiles, il faut exercer une force
sur tous les électrons d'une région du conducteur. Ceci peut se faire par un
champ électrique E (créé par une différence de potentiel constante appliquée aux
bornes du conducteur).
Dans le cas d'un conducteur cylindrique (fig. 2.3) avec un champ suivant l'axe, on
a les forces électriques F = - e E e
Figure 2.3 Conduction dans un métal.
Les électrons vont donc être accélérés en obéissant à la loi fondamentale de la
dynamique
m a = F = - e E e12 Eléments de génie électrique
où m est la masse de l'électron et a l'accélération. L'électron va subir des chocs avec
les autres particules. On appelle T le temps moyen entre deux chocs ; on définit
alors la vitesse moyenne de déplacement des électrons par :
où u, est la mobilité des électrons.
Nous obtenons ainsi la loi d'Ohm locale :
J = p v = p (iE=YE
m m
y est appelé la conductivité du conducteur.
2.2. 2 Intensité du courant électrique
Rappel : Le flux d'un vecteur V à travers une surface orientée S est égal à :
Figure 2.4 Flux d'un vecteur
L'orientation de la surface est faite en choisissant un sens de parcours sur le
—*
contour C limitant la surface. La normale n est orientée par la règle dite du "tire
bouchon" (Figure 2.4).
Dans le cas du conducteur cylindrique de la figure 2.3, on appelle intensité I du
courant électrique à travers la section S, l'expression :
Dans le cas classique en électrotechnique des conducteurs filiformes :
- Les lignes de courant (tangentes à J) sont contenues dans le fil ; le flux de J
à travers la surface latérale du conducteur est donc nul. Les équations de Maxwell et le Génie Electrique 13
- Le courant est le même à travers toutes les sections du conducteur (sauf dans
le cas des lignes très longues)
<t>s(J) = <>s<J)
- Ces deux remarques peuvent se résumer de la façon suivante : le flux de J
sortant d'une surface fermée (les surfaces sont orientées avec les normales
dirigées vers l'extérieur) est nul :
En appliquant la formule de Green on montre qu'avec les hypothèses classiques de
l'électrotechnique :
div J = 0 dans un conducteur.
2.2.3 Résistance d'un conducteur en courant continu
A partir de la loi d'Ohm locale : J = yE il est facile de retrouver la loi d'Ohm
pour un conducteur filiforme en courant continu. En effet pour un fil de section S et
de longueur 1 :
I = J . S = JS = ySE =
D'où :
On retrouve la formule de la résistance R en Ohm (fi) :
On retrouve aussi la convention de signe pour la loi d'Ohm (Figure 2.5).
Figure 2.5 Loi d'Ohm pour une résistance 14 Eléments de génie électrique
Sur la figure 2.5, on rappelle la notation (avec une flèche) de la différence de
pontentiel :
V =_V = VA - V
A B B
Le champ E, donc la densité de courant et par extension le courant sont dirigés de
A vers B. Avec ce choix de sens pour V et I, on a bien :
V = +RI et R>0
2.2.4 Quantité d'électricité
On appelle quantité d'électricité dQ transportée pendant un temps dt, la charge
électrique qui a traversé une section droite du conducteur pendant le temps dt. En
prenant l'exemple du conducteur cylindrique de la figure 2.6, toutes les charges,
situées dans le cylindre de hauteur v dt traversant la surface S pendant le temps dt,
donnent :
dQ = p S v dt = J S dt = I dt m
Figure 2.6 Conducteur filiforme
D'où la relation classique :
2.2.5 Relation entre le vecteur densité de courant et la densité
volumique de charge
Considérons le cas de la figure 2.7 : une surface S enfermant un volume V.
Figure 2.7 Relation densité de courant - densité de charge Les équations de Maxwell et le Génie Electrique 15
La charge libre contenue dans le volume V est :
Le courant sortant de la surface S est :
La quantité d'électricité dQ sortant de S est égale à la diminution de la quantité
d'électricité dans le volume. On a donc :
D'où la relation fondamentale :
Dans le cas des conducteurs évoqués précédemment, Div J = 0 donc = 0 et
p = constante. Le courant dans un conducteur est donc dû au déplacement en bloc m
des électrons mobiles.
2.3 Interaction d'un champ d'induction B et d'un courant
2.3.1 Force de Laplace
L'induction B créée dans l'air par différentes sources est définie à partir de ses
conséquences : la force qui s'exerce sur un conducteur parcouru par un courant et
placé dans ce champ. Cette force est donnée par la loi de Laplace :
- pour un élément de courant linéique I dl : (figure 2.8)
dF = Idl A B
dl, B, dF forme un trièdre direct, règle pratique des trois doigts). B est en tesla.
- pour une charge q en mouvement (vitesse v par rapport à un référentiel lié à B)
F = q v A B
. pour une répartition volumique de densité de courant J
dF = J A B dv 16 Eléments de génie électrique
Figure 2.8 Loi de Laplace
Remarque :
En électrotechnique, on représente souvent B par un vecteur ; B est en réalité
un tenseur (ou vecteur axial) : le sens du vecteur représentant B dépend du
choix du repère.
2.3.2 Loi de Biot et Savart
Un conducteur parcouru par un courant crée une induction magnétique. Pour un
élément linéique i dl le champ créé en un point à la distance r est :
- Le champ est donc perpendiculaire au plan (dl, r).
- Le sens est donné figure 2.9.
7- UQ = 4 7t. 10~ est la perméabilité du vide.
- La loi de Biot et Savart est peu pratique d'emploi, on l'utilise peu en électro­
technique.
Figure 2.9 Loi de Biot et Savart Les équations de Maxwell et le Génie Electrique 17
Le champ créé par une répartition de courant J dans un volume dv est :
—•
Celui créé par une charge q se déplaçant à la vitesse v est :
2.3.3 Combinaison des lois de Laplace et de Biot et Savart
Pour calculer la force exercée par un circuit Cj parcouru par le courant l\ sur un
circuit C2 parcouru par I2, on peut employer les formules de Laplace et de Biot et
Savart. On peut par exemple calculer le champ dB\ créé en M2 par l'élément de
courant l\ dl\ situé en Mi (figure 2.10) :
On peut ensuite calculer la force créée par ce champ sur l'élément I2 dl2- On a :
Figure 2.10 Force entre deux circuits
Cette force élémentaire n'a pas de signification physique : on ne peut pas isoler le
champ créé par un élément de circuit ; la formule donnant cette force ne vérifie pas le
principe de l'action et de la réaction (dFi2 * dF2i) et n'est qu'une des nombreuses re­
présentations mathématiques possibles.