La matière en désordre

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La plupart des matériaux qui nous entourent présentent un désordre et des hétérogénéités de tailles très variables. La Science et le Génie de ces systèmes font l’objet de cet ouvrage qui s’adresse à un large public.
Une simple moyenne ne suffit souvent pas, le plus souvent, pour rendre compte des effets du désordre, qui nécessite des approches théoriques examinées brièvement dans la première partie.
Nous décrivons par la suite diverses classes de matériaux désordonnés en commençant par l’étude géométrique et mécanique des milieux granulaires qui servent de modèle de référence des effets du désordre, et qui interviennent, de plus, dans de nombreux systèmes rencontrés dans la nature et des domaines d’applications.
L’étude des milieux poreux et des suspensions prend en compte l’existence de phases fluides entre les grains dans une approche mixte mécanique et hydrodynamique.
Le désordre conduit à des propriétés d’évolution temporelle lente (vieillissement). Nous examinons les caractéristiques physicochimiques de plusieurs classes de matériaux désordonnés qui présentent ces caractéristiques : les mousses, les matériaux colloïdaux (la « matière molle »), et les verres dont le statut intermédiaire entre solide et liquide n’est pas totalement compris.
Des annexes précisent des notions fondamentales de base communes à ces systèmes.
Étienne Guyon, est chercheur au laboratoire Physique et Mécanique des Milieux Hétérogènes (PMMH) de l’ESPCI. Ses recherches concernent le désordre de la matière et la mécanique des fluides et des solides. Il est actif dans la médiation de la Science.
Jean-Pierre Hulin, est chercheur au laboratoire Fluides, Automatique et Systèmes thermiques (FAST) à Orsay. Ses recherches portent sur les écoulements et le transport en milieux poreux et fracturés, les écoulements granulaires, les instabilités hydrodynamiques et le mélange.
Daniel Bideau, est actuellement professeur émérite à l’université de Rennes 1 et physicien à l’Institut de Physique de Rennes. Il travaille sur les propriétés physiques des milieux granulaires et plus généralement sur les systèmes désordonnés.
Publié le : vendredi 1 août 2014
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EAN13 : 9782759816446
Nombre de pages : 256
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ÉTIENNE GUYON, JEAN-PIERRE HULIN
LA MATIÈRE EN DÉSORDRE
ET DANIEL BIDEAU
PHYSIQUE
PHYSIQUE PHYSIQUES A V O I R S ACTUELS
LA MATIÈRE EN DÉSORDRE
La plupart des matériaux qui nous entourent présentent un désordre et des hétérogénéités de tailles très variables.
La Science et le Génie de ces systèmes font l’objet de cet ouvrage qui s’adresse à un large public.
Une simple moyenne ne suffit souvent pas, le plus souvent, pour rendre compte des effets du désordre, qui nécessite
des approches théoriques examinées brièvement dans la première partie.
Nous décrivons par la suite diverses classes de matériaux désordonnés en commençant par l’étude géométrique et
mécanique des milieux granulaires qui servent de modèle de référence des effets du désordre, et qui interviennent,
de plus, dans de nombreux systèmes rencontrés dans la nature et des domaines d’applications.
L’étude des milieux poreux et des suspensions prend en compte l’existence de phases fluides entre les grains dans
une approche mixte mécanique et hydrodynamique. LA MATIÈRE Le désordre conduit à des propriétés d’évolution temporelle lente (vieillissement). Nous examinons les caractéristiques
physicochimiques de plusieurs classes de matériaux désordonnés qui présentent ces caractéristiques : les mousses,
les matériaux colloïdaux (la « matière molle »), et les verres dont le statut intermédiaire entre solide et liquide
n’est pas totalement compris. EN DÉSORDRE
Des annexes précisent des notions fondamentales de base communes à ces systèmes.
Étienne Guyon, est chercheur au laboratoire Physique et Mécanique des Milieux Hétérogènes (PMMH) de l’ESPCI.
Ses recherches concernent le désordre de la matière et la mécanique des fluides et des solides. Il est actif dans la
médiation de la Science.
Jean-Pierre Hulin, est chercheur au laboratoire Fluides, Automatique et Systèmes thermiques (FAST) à Orsay. Ses
recherches portent sur les écoulements et le transport en milieux poreux et fracturés, les écoulements granulaires, les
instabilités hydrodynamiques et le mélange.
Daniel Bideau, est actuellement professeur émérite à l’université de Rennes 1 et physicien à l’Institut de Physique de
Rennes. Il travaille sur les propriétés physiques des milieux granulaires et plus généralement sur les systèmes désordonnés.
Avec les contributions de Laurence Bergougnoux, Isabelle Cantat, Michel Cloitre, Renaud Delaunay, Jean Yves Delenne,
Yoël Forterre, Elisabeth Guazzelli, Alex Hansen, Walter Kob, Jérome Lambert, Véronique Lazarus, Olivier Pouliquen,
Fahrang Radjai et Dominique Salin.
Série Physique et collection dirigée par Michèle LEDUC
SAVOIRS ACTUELS
CNRS ÉDITIONS
www.cnrseditions.fr www.edpsciences.org
ÉTIENNE GUYON,
Création graphique : Béatrice Couëdel JEAN-PIERRE HULIN
ET DANIEL BIDEAUCes ouvrages, écrits par des chercheurs, reflètent des
enseignements dispensés dans le cadre de la formation à la
recherche. Ils s’adressent donc aux étudiants avancés, aux
chercheurs désireux de perfectionner leurs connaissances ainsi 37 €
qu’à tout lecteur passionné par la science contemporaine.ISBN EDP Sciences 978-2-7598-1069-7
ISBN CNRS ÉDITIONS 978-2-271-08243-5 CNRS ÉDITIONS
La matière en désordre-v4.indd 1 18/06/14 11:41Étienne Guyon, Jean-Pierre Hulin
et Daniel Bideau
La matière en désordre
SAVOIRS ACTUELS
EDP Sciences/CNRS ÉditionsNous tenons à remercier chaleureusement les contributeurs de ce livre.
Leurs parcours scientifiques rappelés en fin d’ouvrage (cf. page 229)
témoignent de la diversité des recherches autour de la Matière en
désordre :
Laurence Bergougnoux, Isabelle Cantat, Michel Cloitre, Renaud
Delannay, Jean-Yves Delenne, Yoël Forterre, Élisabeth Guazzelli,
Alex Hansen, Walter Kob, Jérôme Lambert, Véronique Lazarus,
Roger Maynard, Olivier Pouliquen, Fahrang Radjai et Dominique
Salin.
Étienne, Jean-Pierre et Daniel
Illustration de couverture : Détail d’une image 3D en fausses couleurs d’une
de mousse liquide après analyse en tomographie X à l’ESRF (source : Jérôme
Lambert).
Imprimé en France.
c 2014, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf,
91944 Les Ulis Cedex A
et
CNRS Éditions, 15, rue Malebranche, 75005 Paris.
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de copie, 3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35.
ISBN EDP Sciences 978-2-7598-1069-7
ISBN CNRS Éditions 978-2-271-08243-5Table des matières
Introduction générale 1
Partie 1 : La théorie 5
1 Endommagement, rupture 9
1.1 Unpeud’histoire ......................... 10
1.2 Lamécaniquedelarupturefragile ............... 12
1.2.1 Contextegénéral..................... 12
1.2.2 Concentration de contraintes en pointe de fissure . . . 13
1.2.3 Seuil de propagation................... 16
1.2.4 Trajets de . . . .............. 18
1.2.5 Conclusion ........................ 20
1.3 Importancedudésordrematérieldanslarupture ....... 21
1.3.1 Multifissuration 21
1.3.2 Interaction d’une macrofissure avec des défauts
microscopiques...................... 23
1.3.3 Endommagement .................... 26
1.4 Conclusion ............................ 27
2 La percolation 29
2.1 Introduction 29
2.2 Les chemins dans un paysage : puis-je me rendre continûment
de A à B? ............................. 30
2.3 Lessitesoccupés ......................... 31
2.4 Statistique d’amas . . ...................... 33
2.5 Structuresfractales........................ 35
2.6 Propriétés de transport : conductivité électrique et rigidité
mécanique 37
2.6.1 Exposants critiques de conductivité électrique .... 37
2.6.2 Comparaison avec l’approche classique de champ
moyen........................... 38
2.6.3 Percolationmécanique ................. 39
2.7 Transitionsol-geldanslessolutionsdepolymères ....... 40
2.8 Retour aux circuits électriques : la conductance de conducteurs
trèsdésordonnés ......................... 42ii La matière en désordre
2.9 Percolationd’invasion ...................... 43
2.10 Percolationsousgradient .................... 43
2.11 Conclusion ............................ 45
3 Ondes et désordre 47
3.1 Introduction 47
3.2 Mouvement brownien d’un paquet d’onde : libre parcours
moyen l .............................. 48
∗3.3 Tavelures : longueur de cohérence l .............. 48
3.4 Désordreetmoyenned’ensemble ................ 50
3.5 Champmoyenetintensitémoyenne............... 51
3.6 Lecônederétrodiffusion..................... 52
3.7 Spectroscopiepardiffusiondesondes 53
3.8 Localisationdesondesparledésordre ............. 55
3.9 Imagerie en milieu désordonné . . . .............. 57
3.9.1 Miroir à retournement temporel ............ 58
3.9.2 Imagerie passive ou la cohérence au milieu du
brouhaha ......................... 58
3.9.3 Manipulation de front d’onde en milieu
désordonné ........................ 61
3.10 Conclusion:viveledésordre! .................. 62
Partie 2 : Les matériaux granulaires 65
4 Les empilements granulaires 67
4.1 Introduction............................ 67
4.2 Lesempilements ......................... 68
4.2.1 Empilementordonné,désordonné,aléatoire ...... 69
4.2.2 Comment caractériser expérimentalement les
empilements? ...................... 73
4.3 Lescontactsetleurdésordre .................. 74
4.3.1 Lenombredevoisinsetlescontacts .......... 74
4.3.2 Désordredecontact ................... 76
4.4 Lacompaction .......................... 77
4.5 Des matériaux à base de milieux granulaires 78
4.5.1 Le frittage . . 78
4.5.2 Lebéton ......................... 79
4.5.3 Lesgrès 81
4.6 Conclusion ............................ 82
5 Écoulements granulaires : comment coulent des grains 85
5.1 Qu’est-cequ’unécoulementgranulaire? ............ 85
5.2 Quand coulent les grains ? Seuil de mise en mouvement . . . 88
5.3 Comment coulent des grains ? Une description
hydrodynamique ......................... 90Table des matières iii
5.4 Les écoulements de milieux granulaires plus complexes .... 94
5.4.1 Milieux polydisperses .................. 94
5.4.2 cohésifs ..................... 96
5.4.3 Milieux immergés .................... 96
5.5 Conclusion ............................ 98
6 États d’équilibre, textures, et chaînes de force dans les
milieux granulaires 101
6.1 Introduction 101
6.2 Frottement interne . . ...................... 102
6.3 Dilatance ............................. 107
6.4 Effetdelacohésion........................ 108
6.5 Texturegranulaire 110
6.5.1 Connectivitéduréseaudescontacts .......... 110
6.5.2 Anisotropiedelatexture ................ 113
6.6 Réseauxdeforce ......................... 115
6.6.1 Hétérogénéitédesforces................. 115
6.6.2 Anisotropiedesforces .................. 119
6.6.3 Broyageetrupturedesgrains ............. 120
6.7 Conclusion ............................ 121
Partie 3 : Des suspensions aux milieux poreux 123
7 Les milieux poreux 125
7.1 Introduction 125
7.2 Approchesclassiquesdesporeux ................ 126
7.3 Écoulementsmonophasiques................... 129
7.3.1 Effetsdeseuildepercolation .............. 129
7.3.2 Milieux à large distribution des tailles de pores.... 131
7.3.3 fracturés..................... 131
7.4 Écoulementsdiphasiques 133
7.5 Dispersionetmélange ...................... 135
7.5.1 Dispersionetmarcheauhasard ............ 135
7.5.2 Dispersionnormale ................... 137
7.5.3 Dispersionanormale 138
7.5.4 Écoulementsdefluidesréactifs ............. 139
7.6 Conclusion ............................ 140
8 Suspensions 143
8.1 Introduction 143
8.2 Sédimentation........................... 144
8.3 Écoulements de cisaillement et rhéologie ............ 148
8.4 Conclusion 152iv La matière en désordre
Partie 4 : Le temps des matériaux désordonnés 153
9 Les mousses liquides : évolution par diffusion gazeuse 155
9.1 Introduction............................ 155
9.2 RègledePlateauetstructured’unemousse .......... 160
9.3 Diffusiondugaz ......................... 163
9.4 De quelles grandeurs géométriques dépend l’évolution du
volumed’unebulle? . ...................... 164
9.5 Imageriedesmousses. 164
9.6 Structure statique d’une mousse . . .............. 166
9.7 Valeurdestauxdecroissance .................. 166
9.8 Évolutionglobaled’unemousse ................. 168
9.9 Régimeinvariantd’échelle .................... 169
9.10 Influence du vieillissement sur le comportement mécanique . . 170
9.11 Conclusion ............................ 172
10 Grains et pâtes : structure, dynamique et écoulement
des dispersions colloïdales 175
10.1 Lescolloïdesentrechimieetphysique ............. 177
10.1.1 Quelquesdéfinitions ................... 177
10.1.2 Diversitéetrichesse 178
10.1.3 Interactions . ...................... 181
10.2 Diagrammedephaseetstructure................ 183
10.2.1 Cristallisation des suspensions ............. 183
10.2.2 Transitionvitreuse.................... 185
10.2.3 Transitiondeblocage .................. 186
10.2.4 Gelscolloïdaux ..................... 188
10.3 Transition solide-liquide, écoulement, vieillissement . ..... 189
10.3.1 Leseuild’écoulement 189
10.3.2 Écoulement, glissement, bandes de cisaillement.... 191
10.3.3 Phénomènes hors d’équilibre et vieillissement
physique ......................... 194
11 Les verres 197
11.1 Introduction............................ 197
11.2 Unebrèvehistoiredeverres ................... 197
11.3 Qu’est-cequ’unverre? ...................... 199
11.3.1 Les états de la matière . . . .............. 199
11.3.2 Viscositéetdynamiqued’écoulement ......... 199
11.3.3 Leverre:unequestiondetemps............ 200
11.3.4 Desverrespartout! 201
11.4 Lespropriétésdesverres ..................... 203
11.5 Lesgrandesquestionsscientifiques ............... 204
11.5.1 Pourquoicettelenteur? ................. 204
11.5.2 Naturedumouvementdesparticules ......... 205Table des matières v
11.5.3 Cristallisation et fragilité des verres .......... 208
11.5.4 Vieillissement des verres . . .............. 209
11.6 Conclusion ............................ 209
Annexes
A Mouvementbrownien....................... 211
B Imageries ............................. 215
C Capillarité 217
D Mécanique 221
D.1 Solide ........................... 221
D.2 Liquide .......................... 223
D.3 Rhéologie......................... 223
D.4 Tribologie ........................ 225
Index 227
Les contributeurs 2297KLVSDJHLQWHQWLRQDOO\OHIWEODQNIntroduction générale
Le passé
Les opérations de mise en forme de matériaux naturels et la métallurgie
permettent d’identifier une longue histoire des âges de l’humanité, mais ce
n’est que à l’époque contemporaine à partir des travaux des cristallographes
ede la fin du XVIII siècle que se constitue une science de la matière qui part
de l’invariance des angles de faces cristallines en fonction de la taille : un
cristal se brise accidentellement et ses morceaux présentent les mêmes angles de
face. Cette observation, décrite à plusieurs reprises dans l’histoire des sciences,
trouve une explication avec les travaux de l’abbé René Just Hauÿ, dans la
pé1riode de la Révolution . Partant de la constatation que l’on retrouvait une
correspondance exacte avec des formes d’empilements périodiques de volumes
identiques, il crée la cristallographie à partir de constructions à base de
parallélépipèdes (« les molécules intégrantes »).
La physique des solides, qui se développera tout particulièrement à partir
des années 1950, en s’appuyant sur les données de la radiocristallographie,
utilisera cette périodicité dans ses développements théoriques : les phonons qui
donnent accès aux mesures thermiques et acoustiques, les théories de bandes
2pour leur structure électronique ...
« Les cristaux sont comme les humains : ce sont les défauts qui
les rendent intéressants. »
Cette boutade est due au physicien britannique Charles Frank qui, aux
côtés du physicien français Jacques Friedel, mettra en avant l’importance
1 Lescoursdonnésaux1500élèvesdel’Écolenormaledel’anIIIetnouvellementréédités
par les éditions Rue d’Ulm contiennent plusieurs chapitres sur cette nouvelle science de la
cristallographie dans le volume Leçons de physique, de chimie et d’histoire naturelle.
2 L’ouvrage de Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics, qui fit l’objet de
nombreuses éditions au cours du développement de ce domaine, est une bonne référence de
ces approches.2 La matière en désordre
d’introduire du désordre dans cette belle organisation au cours la seconde
emoitié du XX siècle. En métallurgie physique, les dislocations dues à des
défauts de périodicité permettent de rendre compte des propriétés mécaniques
des métaux (telles que leur plasticité); les impuretés atomiques dans des
semiconducteurs intrinsèques sont à la base de toutes leurs applications actuelles ;
les impuretés diluées rendent compte des couleurs des pierres précieuses.
La localisation des ondes dans des systèmes électroniques, reconnue en
premier par Phil Anderson qui reçut le prix Nobel de physique aux côtés de
Nevil Mott pour ces travaux, montre que la présence d’un très faible désordre
dans des structures périodiques peut parfois conduire à des changements
qualitatifs de comportement. Une application indirecte de ces travaux est décrite
dans le chapitre 3 de cet ouvrage qui concerne la modification des propriétés
optiques d’un matériau due à la diffusion par une faible quantité
d’impuretés. D’autres applications des effets de désordre, dues à la prise en compte
du désordre de phase, se rencontrent à grande échelle (par exemple dans les
propriétés acoustiques de cavités). Une première voie d’approche du désordre
des matériaux part du désordre atomique de la matière et de son impact sur
les comportements macroscopiques tels que les physiciens de l’état solide les
ont développés dans le siècle précédent. Ce n’est pas celle que nous avons prise
dans cet ouvrage où nous proposons une vision plus globale et géométrique de
l’effet du désordre, qu’il soit du à des inhomogénéités locales ou distribuées.
Le grand désordre
Par comparaison avec les connaissances acquises sur les solides cristallins,
la structure de l’état liquide, intermédiaire entre l’état gazeux éclairé par la
mécanique statistique depuis les travaux de Ludwig Boltzmann et le solide
cristallin, reste mal comprise. C’est aussi le cas des verres qui feront
l’objet du dernier chapitre de ce livre : les Britanniques contemporains de John
Bernal, autour des années 1950, développeront une description de leur
structure (ainsi que de la structure instantanée des molécules d’un liquide) à partir
d’empilements désordonnés de sphères, qui sont le pendant des empilements
périodiques de sphères. Si ce remarquable effort permettra des premières
approches de l’état vitreux où le désordre est figé, en retour il permet
aujourd’hui de mieux comprendre les structures macroscopiques présentant un grand
désordre.
« Le désordre microscopique est un animal bien domestiqué; le
désordre à grande échelle a besoin de nouveaux explorateurs. »
À travers cette phrase, le physicien français Pierre-Gilles de Gennes, dont
les contributions majeures, en particulier sur la physique des cristaux
liquides, lui valurent le prix Nobel de physique en 1991, invitait la communauté
physicienne à appliquer à des matériaux présentant un désordre à grandeIntroduction générale 3
échelle les résultats importants précédents sur le désordre à très petite échelle.
En partenariat étroit avec cet explorateur, nous avons constitué, à la fin des
années 1970, un réseau qui prendra le nom de MIAM (MIlieux Aléatoires
Macroscopiques) et auquel ont contribué les auteurs des divers chapitres de
cet ouvrage.
Le plan
Une première partie théorique rappelle des notions essentielles sur de tels
systèmes. Un premier exemple montre que un petit nombre de défauts contrôle
le processus de rupture fragile. Les modèles de percolation inventés
indépendamment par J. Hammersley et S. Broadbent en Grande-Bretagne et par de
Gennes sont un second exemple de problèmes qui résistent à des méthodes
d’homogénéisation. Il faut souligner la correspondance avec les problèmes de
transition sol-gel envisagée préalablement par le chimiste Paul Flory (prix
Nobel de chimie en 1974) et qui ouvre les problèmes de désordre en
physicochimie vers ce que l’on a coutume maintenant d’appeler « matière molle ».
Un dernier chapitre porte sur une application à des ondes optiques du
phénomène de localisation qui lui même ne relève pas de l’étude de simples
moyennes.
Un premier volet expérimental (Chap. 4 à 6) porte sur l’étude des milieux
granulaires et s’appuie sur la modélisation à partir de sphères des
empilements de sphères dures (la « drosophile » des matériaux à grand désordre) :
elle montre la combinaison des approches expérimentales et numériques et de
l’observation facilitée par l’omniprésence et l’utilisation constante des
matériaux granulaires.
L’étude des milieux granulaires humides s’ouvre naturellement ensuite vers
celle de l’hydrodynamique des milieux poreux souvent constitués de grains
soudés entre eux (Chap. 7 et 8). Dans le cas où plusieurs phases coexistent
dans ces milieux, l’existence d’effets interfaciaux permet de comprendre les
propriétés mécaniques des granulaires humides non saturés. Comme dans les
modèles de percolation (Chap. 2) sur lesquels on peut s’appuyer, on rencontre
dans ces milieux mouillés des problèmes de continuité de phases. En
prolongement de l’étude des milieux poreux, celle des suspensions montre des effets
coopératifs entre grains en plus de l’influence des écoulements induits par les
déplacements de grains dans la phase fluide.
Une dernière partie concerne des systèmes complexes qui illustrent bien les
manifestations du désordre et, en particulier, l’évolution au cours du temps
du désordre vers un état plus stable. Les mousses, bien connues à travers de
nombreux usages courants, peuvent être décrites comme des réseaux
désordonnés de parois limitant des structures vides (Chap. 9). Ce chapitre limitera
l’étude au cas de parois liquides ; on rencontre en particulier des problèmes de
vieillissement qui joue un rôle important dans de nombreux autres systèmes
désordonnés. Les pâtes (Chap. 10) soulèvent des questions que l’on trouve4 La matière en désordre
dans les granulaires humides denses ; mais, de plus, l’influence des interactions
physico-chimiques entre les éléments solides et le liquide joue sur la cohésion
de ces structures. L’ouvrage se termine par le cas des verres (Chap. 11), que
nous avons introduit malgré la nature atomique du désordre qui gouverne leur
comportement macroscopique, à la différence des autres exemples traités : ces
matériaux recouvrent en effet de grands enjeux ouverts vers la physique du
désordre et restent très incomplètement compris.
Ce livre répond à une demande que nous avait faite Jacques Friedel en
prolongement de l’action sur les MIAM. Nous avons eu avec lui de nombreux
échanges directs et épistolaires au cours de cette préparation. Jacques Friedel
a joué un rôle essentiel dans la prise en compte des défauts et du désordre en
physique des solides.
C’est pour nous aujourd’hui, l’occasion de rendre hommage au grand
savant, à sa disponibilité et ses exigences.Partie 1
La théorie
Comme nous l’avons souligné dans l’introduction générale, les études
théoriques classiques de la physique du solide se font à partir de la situation idéale
d’un cristal périodique, alors que ce sont les défauts ou les hétérogénéités
de composition et de structure et le désordre qui contrôlent très souvent ses
propriétés électriques, optiques ou mécaniques pour lesquelles des
descriptions statistiques sont indispensables. Il importe donc de trouver un moyen
de définir des propriétés moyennes incluant aussi précisément que possible le
désordre élémentaire et sa géométrie.
Un premier exemple illustrant le rôle dominant des défauts est donné dans
le chapitre 1 portant sur la mécanique de la rupture fragile. Si les modèles
d’endommagement permettent de décrire l’effet moyen de la présence de défauts,
ils ne permettent pas la prise en compte des défauts individuels. Les travaux
de Léonard de Vinci (Fig. 1.2) mettent en évidence le fait que les
phénomènes de rupture fragile sont contrôlés par la présence accidentelle de défauts
dont la probabilité d’existence augmente avec la taille. L’interaction entre
défauts peut, suivant la géométrie, favoriser la rupture ou, dans certains cas, la
ralentir.
eLes travaux de Clausius et de Mossotti au milieu du XIX siècle ont donné
une première description formelle d’effets de moyenne. Ils portaient sur le
calcul de la constante diélectrique d’un composite solide constitué d’un
pourcentage donné de deux phases dont on connait les comportements diélectriques
individuels. Ces méthodes, qui ont été affinées à de nombreuses reprises, sont
dites de champ moyen. Un article clé de Landauer (1978) en fait une
description historique claire. Ces méthodes supposent que le désordre dans
l’environnement d’un élément donné, où la composition en moyenne serait celle du
mélange, est gommé, et que la propriété d’ensemble que l’on veut connaître
(par exemple la constante diélectrique du mélange) prend une valeur telle
qu’elle ajuste sa valeur à celle de l’élément local (méthodes autocohérentes).
C’est un peu comme si l’on avait à faire à un tableau pointilliste où l’on
définirait une couleur moyenne qui soit telle qu’un petit élément avec la
composition réelle des couleurs en présence ait une couleur qui ne tranche pas6 La matière en désordre
avec la couleur moyennée. Le chapitre 2 donne un exemple d’un tel procédé
dans le cas du calcul de la conductance d’un réseau périodique constitué de
deux types de liens distribués au hasard.
D’autres méthodes ont été développées telles que des méthodes de bornes
où l’on remplace le milieu hétérogène, dont on ignore la géométrie exacte, par
des milieux de géométrie plus simple que l’on sait calculer (comme des couches
alternées en série ou en parallèle). On peut enfin, dans les modèles cellulaires,
partir d’une description précise des propriétés locales et reproduire celles-ci
de façon périodique pour construire le problème global, ce qui était le cas du
modèle de Wigner-Seitz en physique des solides. Toutes ces méthodes peuvent
être qualifiées d’homogénéisation et visent à gommer par un effet de moyenne
le désordre. Cette situation est à l’opposé de problèmes où l’existence d’un
désordre aussi faible soit-il contrôle le comportement global (comme c’est le
cas dans les problèmes de fracture fragile).
Il est possible enfin dans le cas de systèmes dilués, où les inhomogénéités
peuvent être considérées comme indépendantes, de traiter les modifications
introduites par celles-ci en en faisant simplement la somme. C’est le cas du
problème de la viscosité d’une suspension diluée qu’a calculée Einstein à
l’occasion de son traitement du mouvement brownien : seule la concentration
volumique moyenne des particules C intervient dans le résultat final,
indépendamment de toute connaissance des particules introduites, et la viscosité est
augmentée par le facteur (1 + 2,5C ) par rapport à celle du liquide suspendant
pur.
Des effets particuliers du désordre se rencontrent dans l’étude des
phénoemènes critiques initiée par le travail de Van der Waals à la fin du XIX siècle
sur le comportement critique des fluides. Au voisinage immédiat d’un point
critique (défini par une température et une pression ou d’une concentration
dans le cas d’un mélange de deux phases liquides), l’existence de
fluctuations spatiales et temporelles géantes de composition est reliée à la nature
multi-échelles (fractale) de la géométrie fluctuante et est incompatible avec la
notion d’homogénéisation. Nous verrons que c’est aussi le cas de nombreux
problèmes rencontrés dans les chapitres qui suivent. Nous parlons de petit
désordre là où les méthodes de moyennes s’appliquent et de grand désordre
dans le cas contraire, comme dans le cas de la percolation traité au chapitre 2.
Cette distinction ne résulte pas uniquement du fait d’être confronté à
des systèmes désordonnés de nature différente. Par exemple, le calcul de la
perméabilité d’un milieu poreux construit à partir d’un ensemble de grains
solides en contact et rempli d’un fluide se prête relativement bien à des
méthodes d’homogénéisation (Chap. 7). En revanche, si l’on veut étudier l’étude
mécanique du même milieu solide, il faut avoir recours à une description
multiéchelles (décrite au Chap. 6) caractéristique du grand désordre.
Les études de phénomènes critiques dans des matériaux, tout
particulièrement sur les modèles de systèmes magnétiques et du désordre qui leur sont
associés, se sont développées de façon continue sur un siècle et demi dans lesLa théorie : introduction 7
systèmes microscopiques. Dans les années 1970, sous l’impulsion de
PierreGilles de Gennes et de ses collaborateurs, ces approches ont été étendues à
des systèmes plus divers où le désordre apparaissait à des échelles plus grandes
(il convient, à ce propos, de rendre justice au travail pionnier de Paul Flory
avant guerre sur la physico-chimie des polymères qui utilisait une approche
statistique qu’il avait appliquée en particulier à la transition de gélification).
Ainsi les notions qui apparaissent dans la première partie théorique telles
que la percolation (Chap. 2), celle de géométries fractales ou encore la
localisation dans la diffusion élastique d’ondes optiques vont être appliquées à
des systèmes où le désordre est à l’échelle mésoscopique et éclaireront des
propriétés physiques, chimiques et mécaniques très variées.
Des applications de ces approches se rencontrent dans les gels (Chap. 2)
ou dans l’hydrodynamique diphasique des poreux (Chap. 7) : ainsi, il
apparaît souvent des effets de seuil. Mais ceci n’est pas nécessairement le cas. Le
système physique peut, de lui-même, se placer dans des conditions critiques :
c’est le cas dans les problèmes de progression de fronts en milieux
hétérogènes ou encore dans le classique problème des avalanches pour lesquels a
été introduite la notion de criticalité auto-organisée. Dans d’autres cas, une
distribution suffisamment large d’hétérogénéités permet d’appliquer des
résultats de phénomènes critiques en l’absence de seuil (Chap. 2). En tout état
de cause, si les approches critiques sont un guide pour l’étude des matériaux
désordonnés, elles visent principalement à nous aider dans la prise en compte
générale des effets d’hétérogénéités qui restera notre guide tout au long de ce
livre.
Enfin le délicat problème de l’interaction des ondes avec un matériau
désordonné fait l’objet du chapitre 3. La différence essentielle du traitement de ces
ondes dans ce chapitre avec les approches classiques où l’on néglige les effets de
la phase des ondes dans la diffusion vient justement du fait que ces problèmes
de cohérence de phase jouent un rôle essentiel et modifient qualitativement
les effets de l’interaction des ondes avec la matière (les effets de tavelure –
speckles – en sont une manifestation classique).
Bibliographie
Landauer R. (1978) Electrical transport and optical properties in
inhomogeneous media (ETOPIM) 1 (Garland J., Tanner D.B. Eds).7KLVSDJHLQWHQWLRQDOO\OHIWEODQNChapitre 1
Endommagement, rupture
Véronique Lazarus, maître de conférences à l’université
ParisSud, membre de l’Institut universitaire de France.
Laboratoire FAST, UMR 7608, CNRS, Université Paris-Sud,
bâtiment 502, campus Paris-Sud, 91405 Orsay.
Un bateau qui se casse, une vitre qui éclate,duboisqui se fendille, une
roche quise rompt, une peinture quicraquelle,unosquise fracture sont autant
d’exemples de rupture de matériau qui ont intrigué ou blessé la population à
travers l’histoire (Fig. 1.1).
Ces ruptures peuvent se produire de façon lente et progressive mais aussi
de façon soudaine, bien souvent sans prévenir, sans déformation apparente,
ce qui rend le phénomène d’autant plus inquiétant. Elles génèrent des
morphologies de rupture diverses et fascinantes (Hull, 1999). Mais pouvons-nous
à l’heure actuelle les prévoir, expliquer les formes que l’on observe et enfin les
retarder? Pouvons-nous prévoir la durée de vie d’un solide (pont, aile d’avion,
composants électroniques...)? Quels sont les mécanismes physiques à l’œuvre
qui mènent le solide à sa ruine?
Le processus de rupture est intimement lié à la présence, dans la plupart
des matériaux, de défauts (cavités, fissures) qui résultent de leur procédé de
fabrication. Ils sont distribués de façon désordonnée. Ils sont à l’origine en
général très petits, invisibles à l’œil nu.
Quand le solide subit un chargement extérieur, celui-ci se trouve amplifié
localement au voisinage des défauts d’autant plus que le défaut est aplati.
Les défauts les plus dangereux sont donc les fissures (trous infiniment plats).
L’amplification dépend de l’interaction entre les fissures : selon leur
orientation, certaines fissures viennent écranter ou au contraire augmenter le
chargement que ressent leur voisine. Elle dépend également de leur taille : plus
elles sont grandes, plus l’amplification du chargement est importante, si bien
qu’au fil du temps seul un nombre restreint de fissures continue de grandir
et devient de plus en plus dangereux. Au-delà d’une certaine taille, elles sont
susceptibles de se propager de façon soudaine, instable, sans préavis.10 La matière en désordre
(a) (c)(b)
(f)
(e)
(d)
Fig. 1.1 – Les fissures nous entourent : (a) un Liberty Ship qui s’est rompu en
deux morceaux, (b) fissures d’impact sur une vitre, (c) craquelures dans l’écorce des
arbres, (d) coulée de lave s’étant fracturée en colonnes basaltiques lors de son
refroidissement (chaussée des géants en Irlande, A. Davaille), (e) craquelures dans une
œuvre picturale, (f) radiographie d’une fracture du tibia. Une version en couleurs
de cette figure est disponible en fin d’ouvrage.
Étudier la propagation d’une fissure donnée est donc de première
importance. C’est l’objet de la mécanique de la rupture. Après un bref historique,
nous permettant de comprendre pourquoi elle a connu son essor à partir des
années 1950 (§1.1), les principes fondateurs de cette discipline sont
rappelées (§1.2). Ils font abstraction de tout désordre matériel microscopique. Ils
sont cependant un prérequis indispensable à la prise en compte de la
croissance de défauts minuscules, qui sont inhérents à la matière solide. Concilier
les aspects aléatoires de la matière aux aspects mécaniques de la rupture est
un sujet complexe, en plein développement, qui est abordé dans la dernière
section (§1.3) de ce chapitre.
1.1 Un peu d’histoire
Depuis la nuit des temps, les Hommes sont confrontés à des problèmes de
rupture (je ne parlerai pas ici des ruptures sentimentales !). Surtout subie lors
de catastrophes naturelles (séismes, inondations, tempêtes...) notamment, la
rupture a ensuite été utilisée pour créer les premiers outils (en taillant silex
ou os) dès l’âge de la pierre (–2,5 millions d’années). Mais, il fallut attendre1. Endommagement, rupture 11
Fig. 1.2 – Expériences originales de Léonard de Vinci pour tester la solidité de
câbles. Codex Atlanticus, sheet 222, 1486-90. Conservé à la Biblioteca Ambrosiana
àMilan.
les expériences de Léonard de Vinci (1452–1519) pour avoir une première
tentative de compréhension scientifique du phénomène. Ces expériences
consistent à verser doucement du sable dans un petit récipient suspendu à
1un fil métallique jusqu’à sa rupture (Fig. 1.2) . La masse de sable qui s’est
écoulée jusqu’à cet instant est une mesure de la charge à rupture.DeVinci
constate que pour une même longueur de fil, cette charge fluctue et qu’en
moyenne elle diminue avec la du fil. L’explication est liée à la
présence inévitable et aléatoire de défauts dans la plupart des matériaux, qui sont
susceptibles de se propager si le chargement devient suffisamment important.
eJusqu’à la révolution industrielle du XIX siècle (Gordon, 1994), la plupart
des constructions étaient réalisées en bois, brique ou mortier et supportaient
majoritairement des chargements de compression (pyramides, ponts et voûtes
de cathédrale en forme d’arche...). La notion de charge à la rupture (les
mécaniciens parlent de façon plus précise de contrainte à la rupture), déjà utilisée
par Léonard de Vinci, était alors satisfaisante. Mais avec le développement
industriel et l’essor de constructions en métal (fer, acier) capables de
supporter des chargements de tension, de plus en plus d’accidents inexplicables en
etermes de charge à la rupture vont se produire. Au cours du XIX siècle, on
ne compte plus le nombre de morts dû à la défection inattendue de ponts
suspendus ou à des accidents de train (rupture de rails, roues). Au cours de la
Seconde Guerre mondiale, c’est la rupture inexpliquée de bateaux de guerre,
les Liberty Ship, qui émeut l’armée américaine (Fig. 1.1).
1 E. Bouchaud et D. Bonamy ont remis au goût du jour l’expérience. Elle
peut être visionnée sur le site des conférences expérimentales de l’ESPCI (http://
radium.net.espci.fr/esp/CONF/2008/C08_04/conf04_2008.htm).246 La matière en désordre
(a) (b) (c)
(d) (e) (f )
Fig. 10.2La matière en désordre 247
Fig. 10.6
Surface rugueuse Polymère Verre(a) (b)
Fig. 10.8

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