Les nombres premiers

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Depuis la plus haute Antiquité, leur suite infinie passionne mathématiciens, philosophes et profanes : régulière puisque arithmétique, et cependant d’allure chaotique et aléatoire, elle constitue une intarissable source de défis pour l’esprit humain.
Longtemps étudiée pour elle-même, la théorie des nombres premiers est aujourd’hui utilisée à la fois comme principe théorique pour des applications à haute valeur ajoutée, telles que la cryptographie, et comme paradigme de système stochastique.

La recherche est plus active que jamais dans ce domaine de la théorie des nombres, ainsi qu’en témoignent de récentes et prestigieuses avancées.

Cet ouvrage invite le lecteur à une promenade initiatique autour du problème de la répartition des nombres premiers parmi les nombres entiers. Historique et méthodologique, le texte constitue une concise mais solide introduction aux techniques actuelles de la théorie analytique des nombres premiers.
Publié le : mercredi 12 janvier 2011
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EAN13 : 9782100559367
Nombre de pages : 192
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Chapitre 2 La fonction zêta de Riemann
1. Introduction Riemann n’a écrit qu’un seul article sur la théorie des nombres, publié en. Ce mémoire a bouleversé définitivement le paysage de la discipline. L’approche spécifique de la répartition des nombres premiers qui y est développée, à la fois simple et révolutionnaire, consiste à faire appel à la théorie de Cauchy des (1) fonctions holomorphes, alors relativement récente. La théorie de Cauchy est traditionnellement enseignée dans les seconds cycles universitaires, et il n’est pas question d’exposer ici ne seraitce que les rudiments de ce vaste domaine de l’analyse moderne. Nous nous contentons d’indiquer que l’objet central est celui defonction analytique d’une variable complexe, autrement dit une fonctionf(s) (sC)dont les variations locales « ressemblent » à celles d’un polynôme. Ainsi, pour tout entier naturelm0, une fonction analytique satisfait à une approximation du type
2m f(s0+w)a0+a1w+a2w+∙ ∙ ∙+amw
1. La formule intégrale de Cauchy, clef de voûte de la théorie, date de.
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LES NOMBRES PREMIERS, ENTRE L’ORDRE ET LE CHAOS
lorsques0est un point oùfest bien définie etwest un nombre complexe assez petit, i.e. assez proche de l’origine. En termes consacrés, on dit quefdéveloppable en série entière n f(s) =an(ss0) n0 au voisinage de tout points0où elle est définie. Le saut qualitatif entre l’analyse réelle et l’analyse complexe provient d’une propriété fondamentale découverte par Cauchy : en chaque point, la valeur d’une fonction analytique peut être calculée en effectuant la « moyenne » de ses valeurs en des points voisins. Bien entendu, il faut définir une notion adaptée de voisinage et expliquer comment on calcule la moyenne. C’est là que la représentation géométrique des nombres complexes trouve son utilité la plus éclatante : sans entrer dans une description rigoureuse, on peut dire que les points à prendre en compte dans le calcul de la moyenne peuvent être choisis de manière à constituer dans leur ensembletoutecourbe entourant le point sélectionné. Tournez autour de 0 selon un cercle, un rectangle, un triangle ou un polygone à 17 côtés, vous obtiendrez toujoursf(0), pour peu que vous ayez défini la moyenne selon les règles de l’art. Formellement, on dit que cette moyenne est obtenue grâce à une intégrale curviligne, le long d’une courbe fermée du plan complexe. Ce procédé très puissant est aussi très souple car il autorise, sous certaines conditions, des déformations du chemin d’intégration qui facilitent l’approximation de l’intégrale. Riemann a compris très rapidement que la fonction zêta d’Euler 1 1 1 ζ(σ) :=1+ + + +∙ ∙ ∙, σ σ σ 2 3 4 déjà présentée au Chapitre 1 (voir p. 3) et qui actualise le lien structurel entre les entiers et les nombres premiers, pouvait être prolongée en une fonction analytique de la variable complexe s=1, et partant bénéficier de la liberté de manœuvre octroyée par la théorie de Cauchy.
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LA FONCTION ZÊTA DE RIEMANN
Dans la suite de ce chapitre, plus avant ce contexte et l’apport théorie analytique des nombres.
nous nous attachons à décrire révolutionnaire de Riemann à la
2. Une brève histoire de ce qui va suivre Le calcul numérique suggère facilement les deux formules suivantes 1 1 1 1 2 1+ + + + +∙ ∙ ∙=π/6 4 9 16 25 1 1 1 1 2 (1)(1)(1)(1)∙ ∙ ∙=6/π . 4 9 25 49 Dans la somme, apparaissent les inverses des carrés des entiers ; dans le produit, ce sont les inverses des carrés des nombres premiers qui entrent en jeu. Ces formules ne sont évidemment pas dues au hasard. On peut les justifier sans trop d’effort à l’aide du théorème fondamental de l’arithmétique, qui énonce qu’un nombre entier s’écrit de manière unique comme le produit de nombres premiers : pour un carré, il faudra simplement élever les facteurs premiers au carré. On a par exemple 1 1 1 1 =1+2+4+6+∙ ∙ ∙ 1 2 2 2 14 de sorte que 1 1 1 1 1 1 1114 9 25     1 1 1 1 1 1 =1+2+4+∙ ∙ ∙1+2+4+∙ ∙ ∙1+2+4+∙ ∙ ∙ 2 2 3 3 5 5 1 1 1 1 =1+2+2+2+2 2+∙ ∙ ∙ 2 3 5 23 Lorsque le produit de gauche est étendu à tous les carrés de nombres premiers, tous les carrés des entiers apparaissent dans la somme de droite. Dans cette formule, le fait que les nombres soient élevés au carré est contingent : on pourrait remplacer, formellement, l’exposant 2 par n’importe quel nombre réel, mais, pour des raisons de convergence, les deux membres n’ont de sens que si cet exposant est>1.
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