Théorie des systèmes dynamiques: une introduction

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Ce livre est une introduction à la théorie des systèmes dynamiques. On étudie les systèmes dynamiques topologiques, en basse dimension, hyperboliques et symboliques, ainsi que, brièvement, la théorie ergodique.
Le livre peut être utilisé comme manuel pour un cours d’un ou deux semestres pour les étudiants de niveau avancé de licence ou les étudiants des cycles supérieurs. Il peut aussi être utilisé pour une étude indépendante et comme point de départ pour l’étude de sujets plus spécialisés. L’exposition est directe et rigoureuse. En particulier, tous les résultats sont prouvés. Le texte comprend de nombreux exemples qui illustrent en détail les concepts et les résultats, ainsi que 140 exercices, avec différents niveaux de difficulté.
Publié le : jeudi 1 août 2013
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EAN13 : 9782759810505
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COLLECTION ENSEIGNEMENT SUP Luís Barreira
Théorie des systèmes dynamiques : Une introduction
////////// Mathématiques et Claudia Valls
Théorie des systèmes
COLLECTION ENSEIGNEMENT SUP //// Mathématiques
dynamiques :
Une introduction
Luís Barreira et Claudia Valls
L3M1
Ce livre est une introduction à la théorie des systèmes dynamiques. On
étudie les systèmes dynamiques topologiques, en basse dimension,
hyperboliques et symboliques, ainsi que, brièvement, la théorie ergodique. Théorie des systèmes
Le livre peut être utilisé comme manuel pour un cours d’un ou deux
semestres pour les étudiants de niveau avancé de licence ou les
étudiants des cycles supérieurs. Il peut aussi être utilisé pour une dynamiques :
étude indépendante et comme point de départ pour l’étude de sujets
plus spécialisés. Une introduction
L’exposition est directe et rigoureuse. En particulier, tous les résultats
sont prouvés. Le texte comprend de nombreux exemples qui illustrent
en détail les concepts et les résultats, ainsi que 140 exercices, avec
différents niveaux de difficulté.
Luís Barreira et Claudia Valls sont professeurs à l’Instituto Superior
Técnico, à Lisbonne. Ils sont spécialistes en équations différentielles et
systèmes dynamiques, domaines dans lesquels ils ont publié plusieurs
livres.
Luís Barreira et Claudia Valls
COLLECTION ENSEIGNEMENT SUP //// Mathématiques
www.edpsciences.org
22 euros
Extrait de la publicationISBN : 978-2-7598-0765-9
“systeme_dynamique” — 2013/5/22 — 14:19 — page i — #1

Théorie des systèmes
dynamiques :
une introduction
Luis Barreira et Claudia Valls
Traduit par les auteurs
17, avenue du Hoggar
Parc d’activités de Courtabœuf, BP 112
91944 Les Ulis Cedex A, France
Extrait de la publication


“systeme_dynamique” — 2013/5/23 — 11:09 — page ii — #2

Imprimé en France
ISBN : 978-2-7598-0765-9
Tous droits d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute
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75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35.
c 2013, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf,
91944 Les Ulis Cedex A
Extrait de la publication


“systeme_dynamique” — 2013/5/22 — 8:47 — page iii — #3

TABLEDESMATIÈRES
Avant-Propos vii
I Notions de base 1
I.1 Notiondesystèmedynamique . .. .. ... .. .. ... .. . 1
I.2 Exemplespourletempsdiscret .. .. ... .. .. ... .. . 3
I.2.1 Rotationsducercle .. .. .. ... .. .. ... .. . 3
I.2.2 Applications dilatantes du cercle . . . . . . . . . . . . 5
I.2.3 Endomorphismesdutore . .. ... .. .. ... .. . 6
I.3 Exemplespourletempscontinu .. .. ... .. .. ... .. . 9
I.3.1 Équationsdifférentiellesautonomes .. .. ... .. . 9
I.3.2 Tempsdiscretettempscontinu... .. .. ... .. . 13
2I.3.3 Équations différentielles sur le tore T . .. ... .. . 15
I.4 Ensemblesinvariants . .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 16
I.5 Exercices . .. ... .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 20
II Dynamique topologique 23
II.1 Systèmesdynamiquestopologiques. .. ... .. .. ... .. . 23
II.2 Ensembleslimites . .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 25
II.2.1 Tempsdiscret .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 25
II.2.2 Tempscontinu .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 30
II.3 Récurrencetopologique .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 34
II.3.1 Transitivitétopologique.. .. ... .. .. ... .. . 34
II.3.2 Mélangetopologique.. .. .. ... .. .. ... .. . 36
II.4 Entropietopologique . .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 39
II.4.1 Notionsdebaseetexemples . ... .. .. ... .. . 39
II.4.2 Invariancetopologique. .. .. ... .. .. ... .. . 41
II.4.3 Caractérisationsalternatives . ... .. .. ... .. . 42


“systeme_dynamique” — 2013/5/22 — 8:47 — page iv — #4

Théorie des Systèmes Dynamiques
II.4.4 Applicationsexpansives . ... .. .. ... .. ... . 46
II.5 Exercices ... .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. ... . 51
III Systèmes dynamiques en basse dimension 55
III.1 Homéomorphismesducercle . .. ... .. .. ... .. ... . 55
III.1.1 Relèvements ... .. .. ... .. .. ... .. ... . 55
III.1.2 Nombrederotation . .. ... .. .. ... .. ... . 59
III.1.3 Nombre de rotation rationnel . . . . . . . . . . . . . . 61
III.1.4 Nombre de irrationnel . . . . . . . . . . . . . 64
III.2 Difféomorphismesducercle .. .. ... .. .. ... .. ... . 68
III.3 Applications de l’intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
III.3.1 Existencedepointspériodiques.. .. ... .. ... . 72
III.3.2 LethéorèmedeSharkovsky .. .. .. ... .. ... . 74
III.4 LethéorèmedePoincaré-Bendixson .. .. .. ... .. ... . 80
III.5 Exercices ... .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. ... . 82
IV Dynamique hyperbolique I 85
IV.1 Ensembleshyperboliques . .. .. ... .. .. ... .. ... . 85
IV.1.1 Notionsdebase . .. .. ... .. .. ... .. ... . 85
IV.1.2 FeràchevaldeSmale .. ... .. .. ... .. ... . 87
IV.1.3 Continuité des espaces stables et instables . . . . . . . 92
IV.2 Ensembleshyperboliquesetcônesinvariants . ... .. ... . 96
IV.2.1 Cônes et caractérisation des ensembles hyperboliques 96
IV.2.2 Existencedecônesinvariants . .. .. ... .. ... . 98
IV.2.3 Critèred’hyperbolicité.. ... .. .. ... .. ... . 101
IV.3 Stabilité des ensembles hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . 104
IV.4 Exercices ... .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. ... . 106
V Dynamique hyperbolique II 109
V.1 Comportement près d’un point fixe hyperbolique . . . . . . . . 109
V.1.1 LethéorèmedeGrobman-Hartman . ... .. ... . 109
V.1.2 Le théorème de Hadamard-Perron . . . . . . . . . . . 117
V.2 Variétés invariantes stables et instables . . . . . . . . . . . . . 128
V.2.1 Existencedevariétésinvariantes . .. ... .. ... . 128
V.2.2 Structureproduitlocale . ... .. .. ... .. ... . 131
V.3 Flotsgéodésiques .. ... .. .. ... .. .. ... .. ... . 134
V.3.1 Géométriehyperbolique . ... .. .. ... .. ... . 134
V.3.2 Quotientsparisométries ... .. .. ... .. ... . 139
V.3.3 Flotgéodésique . .. .. ... .. .. ... .. ... . 141
V.3.4 Flotshyperboliques . .. ... .. .. ... .. ... . 143
iv
Extrait de la publication


“systeme_dynamique” — 2013/5/22 — 8:47 — page v — #5

Table des matières
V.4 Exercices . .. ... .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 147
VI Dynamique symbolique 149
VI.1 Notionsdebase .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 149
VI.1.1 Espacedesuitesetdécalage . ... .. .. ... .. . 149
VI.1.2 Entropietopologique . .. .. ... .. .. ... .. . 151
VI.1.3 Suitesbilatérales . ... .. .. ... .. .. ... .. . 152
VI.2 Exemplesdecodages . .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 153
VI.2.1 Applicationsdilatantes .. .. ... .. .. ... .. . 154
VI.2.2 Applicationsquadratiques. .. ... .. .. ... .. . 157
VI.2.3 FeràchevaldeSmale . .. .. ... .. .. ... .. . 159
VI.3 ChaînesdeMarkovtopologiques .. .. ... .. .. ... .. . 160
VI.3.1 Notionsdebase . ... .. .. ... .. .. ... .. . 160
VI.3.2 Pointspériodiques ... .. .. ... .. .. ... .. . 162
VI.3.3 Entropietopologique . .. .. ... .. .. ... .. . 164
VI.3.4 Transitivité et mélange topologiques . . . . . . . . . . 165
VI.4 FersàchevaletchaînesdeMarkovtopologiques .. ... .. . 169
VI.5 Fonctionszêta ... .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 171
VI.6 Exercices . .. ... .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 174
VII Théorie ergodique 177
VII.1 Notionsdethéoriedelamesure .. .. ... .. .. ... .. . 177
VII.2 Mesuresinvariantes .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 180
VII.3 Récurrencenontriviale .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 183
VII.4 Lethéorèmeergodique .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 185
VII.5 Exposants de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
VII.6 Entropiemétrique . .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 193
VII.7 Exercices . .. ... .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 196
Bibliographie 199
Index 201
v
Extrait de la publication


“systeme_dynamique” — 2013/5/22 — 8:47 — page vi — #6

Extrait de la publication


7KLVSDJHLQWHQWLRQDOO\OHIWEODQN
“systeme_dynamique” — 2013/5/22 — 8:47 — page vii — #7

AVANT-PROPOS
Ce livre est une introduction autonome à la théorie des systèmes dynamiques,
avec un accent particulier sur le temps discret. Cela inclut les systèmes
dynamiques topologiques, en basse dimension, hyperboliques et symboliques, ainsi
qu’une brève introduction à la théorie ergodique. Le livre peut être utilisé comme
manuel pour un cours d’un ou deux semestres pour les étudiants de niveau avancé
du premier cycle ou étudiants des cycles supérieurs. Il peut aussi être utilisé pour
une étude indépendante et comme point de départ pour l’étude de sujets plus
avancés.
L’exposition est directe et rigoureuse. En particulier, tous les résultats formulés
dans le livre sont prouvés. On a essayé que chaque démonstration soit la plus
simple possible. Parfois, cela nécessite une préparation ou la restriction à classes
appropriées de systèmes dynamiques, ce qui se justifie pleinement dans un cours
introductif. Le texte comprend aussi de nombreux exemples qui illustrent en détail
les concepts et les résultats, ainsi que 140 exercices, avec différents niveaux de
difficulté.
La théorie des systèmes dynamiques est très large et très active en termes
de recherche. Elle dépend aussi substantiellement de la plupart des principaux
domaines des mathématiques. Ainsi, afin de donner une vue suffisamment large,
mais toujours autonome et avec une taille contrôlée, il était nécessaire de faire
une sélection des sujets traités. De ce fait, certains sujets ont été exclus,
notamment la dynamique hamiltonienne et la dynamique holomorphe. On a indiqué des
références pour ces autres sujets qui sont des prolongements naturels de ce livre.
Luís Barreira et Claudia Valls
Lisbonne, avril 2013
Extrait de la publication


“systeme_dynamique” — 2013/5/22 — 8:47 — page viii — #8

Extrait de la publication


7KLVSDJHLQWHQWLRQDOO\OHIWEODQN
“systeme_dynamique” — 2013/5/22 — 8:47 — page 1 — #9

I
NOTIONSDEBASE
On introduit dans ce chapitre la notion de système dynamique, à temps discret
et temps continu. On décrit aussi plusieurs exemples qui, avec d’autres exemples
introduits au long du livre, sont utilisés pour illustrer les nouveaux concepts et
les nouveaux résultats. On décrit également quelques constructions de base qui
déterminent de nouveaux systèmes dynamiques.
I.1. Notion de système dynamique
Un système dynamique à temps discret est simplement une application.
Defi´ nition I.1. Une application f : X Ñ X est appelée un système dynamique
à temps discret ou simplement un système dynamique.
On définit récursivement
n`1 nf “ f ˝ f
0pour chaque n P N. On écrit aussi f “ Id, où Id est l’application identité. On
note que
m`n m nf “ f ˝ f (I.1)
pour m,n P N ,où N “ NYt0u. Lorsque l’application f est inversible, on définit0 0
´n ´1 naussi f “pf q pour chaque n P N. Dans ce cas, l’identité (I.1) est satisfaite
pour tous m,n P Z.
Exemple I.2. Soient f : X Ñ X et g: Y Ñ Y des systèmes dynamiques. On définit
un nouveau système dynamique h: X ˆ Y Ñ X ˆ Y par
hpx,yq“ pfpxq,gpyqq.
Extrait de la publication


“systeme_dynamique” — 2013/5/22 — 8:47 — page 2 — #10

Chapitre I. Notions de base
On note que si f et g sont inversibles, alors l’application h est aussi inversible et
a pour application réciproque
` ˘
´1 ´1 ´1h px,yq“ f pxq,g pyq .
On considère maintenant le cas du temps continu.
Defi´ nition I.3. Une famille d’applications ϕ : X Ñ X pour t ě 0 telles quet
ϕ “ Id et0
ϕ “ ϕ ˝ ϕ pour tous t,s ě 0t`s t s
est appelée un semi-flot. Une famille d’applications ϕ : X Ñ X pour t P Rt
telles que ϕ “ Id et0
ϕ “ ϕ ˝ ϕ pour tous t,s P Rt`s t s
est appelée un flot.
On dit aussi qu’une famille d’applications ϕ est un système dynamique àt
temps continu ou simplement un système dynamique si elle est un flot ou un
semi-flot. Si ϕ est un flot, alorst
ϕ ˝ ϕ “ ϕ ˝ ϕ “ ϕ “ Id.t ´t ´t t 0
´1Donc, chaque application ϕ est inversible et a pour application réciproque ϕ “t t
ϕ .´t
Un exemple simple d’un flot est un mouvement de translation avec vitesse
constante.
n n nExemple I.4. Soit y P R . On considère les applications ϕ : R Ñ R définies part
nϕ pxq“ x ` ty pour t P R et x P R .t
On a ϕ “ Id et0
ϕ pxq“ x `pt ` sqyt`s
“px ` syq` ty “pϕ ˝ ϕ qpxq.t s
Donc, la famille des applications ϕ est un flot.t
Exemple I.5. On considère les flots ϕ : X Ñ X et ψ : Y Ñ Y,pour t P R.Lat t
famille des applications α : X ˆ Y Ñ X ˆ Y définies pour chaque t P R part
` ˘
α px,yq“ ϕ pxq,ψ pyqt t t
2
Extrait de la publication


“systeme_dynamique” — 2013/5/22 — 8:47 — page 3 — #11

I.2. Exemples pour le temps discret
est aussi un flot. En outre,
` ˘
´1α px,yq“ ϕ pxq,ψ pyq .´t ´tt
On souligne que l’expression système dynamique est utilisée à la fois pour les
systèmes dynamiques à temps discret et les systèmes dynamiques à temps continu.
I.2. Exemples pour le temps discret
On décrit dans cette section plusieurs exemples de systèmes dynamiques à
temps discret.
I.2.1. Rotations du cercle
1On considère d’abord les rotations du cercle. Le cercle est défini ici par S “
1R{Z, c’est-à-dire que S est obtenu à partir de la droite réelle en identifiant les
points x,y P R tels que x ´ y P Z. Autrement dit,
1S “ R{Z “ R{„,
où „ est la relation d’équivalence dans R définie par x „ y ô x ´ y P Z.Les
1classes d’équivalence, qui sont les éléments de S , peuvent être écrites sous la
forme (
rxs“ x ` m : m P Z .
En particulier, on peut introduire les opérations
rxs`rys“rx ` ys et rxs´rys“rx ´ ys.
1On peut aussi identifier S avec r0,1s{t0,1u, où les extrémités de l’intervalle r0,1s
sont identifiées.
1 1Defi´ nition I.6. Soit α P R.On définit la rotation R : S Ñ S parα
R prxsq “ rx ` αsα
(voir la figure I.1).
On écrit aussi
R pxq“ x ` α mod 1,α
3
Extrait de la publication


“systeme_dynamique” — 2013/5/22 — 8:47 — page 4 — #12

Chapitre I. Notions de base
R pxqα
1
α
1 x
Figure I.1. Rotation R .α
en identifiant rxs avec son représentant dans l’intervalle r0,1r. L’application
R pourrait aussi être appelée une translation de l’intervalle.Onobserve queα
1 1 ´1R : S Ñ S est inversible et son application réciproque est R “ R .α ´αα
On introduit maintenant la notion de point périodique.
Defi´ nition I.7. Soit q P N.Unpoint x P X est dit q-périodique pour une
appliqcation f : X Ñ X si f pxq“ x. On dit aussi que x P X est un point périodique
pour f s’il est q-périodique pour un certain q P N.
En particulier, les points fixes, c’est-à-dire les points x P X tels que fpxq“ x
sont q-périodiques pour tout q P N. En outre, un point q-périodique est
kqpériodique pour tout k P N.
Defi´ nition I.8. On dit qu’un point périodique a pour période q s’il est
qpériodique mais n’est pas l-périodique pour tout l ă q.
4


“systeme_dynamique” — 2013/5/22 — 8:47 — page 5 — #13

I.2. Exemples pour le temps discret
On considère maintenant le cas particulier des rotations du cercle R .Onα
vérifie que leur comportement est très différent selon que α est rationnel ou
irrationnel.
Proposition I.9. Soit α P R.
1. Si α P RzQ,alors R n’a pas de point périodique.α
12. Si α “ p{q P Q avec p et q premiers entre eux, alors tous les points de S
sont périodiques pour R et ont pour période q.α
1Démonstration. On note que rxsP S est q-périodique si et seulement si rx`qαs“
rxs, c’est-à-dire si et seulement si qα P Z. Les deux propriétés dans la proposition
découlent facilement de cette remarque.
I.2.2. Applications dilatantes du cercle
1On considère dans cette section une autre famille d’applications de S dans
lui-même.
1 1Defi´ nition I.10. Soit m ą 1 un entier. L’application dilatante E : S Ñ S estm
définie par
E pxq“ mx mod 1.m
Par exemple, pour m “ 2 on a
#
2x si x Pr0,1{2r,
E pxq“2
2x ´ 1 si x Pr1{2,1r
(voir la figure I.2).
On détermine maintenant les points périodiques pour l’application
dilaq q 1tante E . Puisque E pxq“ m x mod 1,unpoint x P S est q-périodique simm
et seulement si
q qm x ´ x “pm ´ 1qx P Z.
Donc, les points q-périodiques pour l’application E sontm
p qx “ , pour p “ 1,2,...,m ´ 1. (I.2)
qm ´ 1
En outre, le nombre n pqq de points périodiques pour E de période q peut êtrem m
calculé facilement pour chaque q (voir le tableau I.1 pour q ď 6). Par exemple, si
q est premier, alors
qn pqq“ m ´ m.m
5
Extrait de la publication


“systeme_dynamique” — 2013/5/22 — 8:47 — page 6 — #14

Chapitre I. Notions de base
E pxq2
1
1 1 x2
Figure I.2. Application dilatante E .2
Tableau I.1.Nombre n pqq de points périodiques pour E de période q.m m
qn pqqm
1 m ´ 1
2 22 m ´ m “ m ´ 1´pm ´ 1q
3 33 m ´ m “ m ´ 1´pm ´ 1q
4 2 4 24 m ´ m “ m ´ 1´pm ´ 1q
5 55 m ´ m “ m ´ 1´pm ´ 1q
6 3 26 m ´ m ´ m ` m
I.2.3. Endomorphismes du tore
On considère dans cette section une troisième famille de systèmes dynamiques
à temps discret. Soit n P N.Le n-tore ou simplement le tore est défini par
n n n nT “ R {Z “ R {„,
n noù „ est la relation d’équivalence dans R définie par x „ y ô x ´ y P Z .Les
néléments de T sont donc les classes d’équivalence
(
nrxs“ x ` y : y P Z ,
navec x P R . Soit maintenant A une matrice de dimension pn,nq àcoefficients
dans Z.
6


“systeme_dynamique” — 2013/5/22 — 8:47 — page 7 — #15

I.2. Exemples pour le temps discret
n nDefi´ nition I.11. L’endomorphisme du tore T : T Ñ T est défini parA
nT prxsq “ rAxs pour rxsP T .A
On dit aussi que T est l’endomorphisme du tore induit par A.A
Puisque A est une application linéaire,
n nAx ´ Ay P Z lorsque x ´ y P Z .
Cela montre que Ay PrAxs lorsque y Prxs et, donc, T est bien défini.A
En général, l’application T n’est pas nécessairement inversible, même siA
la matrice A est inversible. Lorsque T est inversible, on dit aussi qu’elle estA
l’automorphisme du tore induit par A. On représente sur la figure I.3
l’automor2phisme du tore T induit par la matrice
ˆ ˙
21
A “ .
11
2Apr0,1s q
2r0,1s
2Apr0,1s q
2r0,1s
2Figure I.3. Un automorphisme du tore T .
7
Extrait de la publication


“systeme_dynamique” — 2013/5/22 — 8:47 — page 8 — #16

Chapitre I. Notions de base
On détermine maintenant les points périodiques pour une classe
d’automorphismes du tore.
n nProposition I.12. Soit T : T Ñ T un automorphisme du tore induit par uneA
matrice A sans valeur propre de module 1. Alors les points périodiques pour TA
n nsont les points de coordonnées rationnelles, c’est-à-dire les éléments de Q {Z .
nDémonstration. Soit rxs“ rpx ,...,x qs P T un point périodique. Alors il existe1 n
n qq P N et y “py ,...,y qP Z tels que A x “ x ` y, c’est-à-dire,1 n
qpA ´ Idqx “ y.
qPuisque A n’a pas de valeur propre de module 1, la matrice A ´ Id est inversible
et on peut écrire
q ´1x “pA ´ Idq y.
qEn outre, puisque les coefficients de A ´ Id sont des nombres entiers, chaque
q ´1 ncoefficient de pA ´ Idq est un nombre rationnel et donc x P Q .
n nOn suppose maintenant que rxs“rpx ,...,x qs P Q {Z et on écrit1 n
ˆ ˙
p p1 n
px ,...,x q“ ,..., , (I.3)1 n
r r
où p ,...,p Pt0,1,...,r ´ 1u. Puisque les coefficients de A sont des nombres1 n
entiers, pour chaque q P N,ona
ˆ ˙
1 1p pq 1 nA px ,...,x q“ ,..., `py ,...,y q1 n 1 nr r
1 1 npour certains p ,...,p Pt0,1,...,r ´ 1u et py ,...,y qP Z . Mais puisque le1 n1 n
nnombre de points de la forme (I.3) est r ,ilexiste q ,q P N avec q ‰ q tels que1 2 1 2
q q n1 2A px ,...,x q´ A px ,...,x qP Z .1 n 1 n
En supposant, sans perte de généralité, que q ą q ,onobtient1 2
q ´q n1 2A px ,...,x q´px ,...,x qP Z1 n 1 n
q ´q1 2(voir l’exercice I.12) et donc T prxsq “ rxs.A
L’exemple suivant montre que la proposition I.12 ne peut être étendue à tout
endomorphisme du tore.
8
Extrait de la publication


“systeme_dynamique” — 2013/5/22 — 8:47 — page 9 — #17

I.3. Exemples pour le temps continu
2 2Exemple I.13. Considérons l’endomorphisme du tore T : T Ñ T induit par laA
matrice ˆ ˙
31
A “ .
11
On remarque que T n’est pas un automorphisme puisque det A “ 2 (voir l’exer-A
cice I.12). On observe maintenant que
´ ¯ ´ ¯ ´ ¯1 1 1 1 1
T 0, “ , ,T , “p0,0q et T p0,0q“ p0,0q.A A A
2 2 2 2 2
Cela montre que les points de coordonnées rationnelles p0,1{2q et p1{2,1{2q ne‘ ‘
sont pas périodiques. D’autre part, les valeurs propres 2 ` 2 et 2 ´ 2 de A ont
des modules différents de 1.
I.3. Exemples pour le temps continu
On donne dans cette section plusieurs exemples de systèmes dynamiques à
temps continu.
I.3.1. Équations différentielles autonomes
On considère d’abord des équations différentielles (ordinaires) autonomes,
c’est-à-dire des équations différentielles qui ne dépendent pas explicitement du
temps. On vérifie qu’elles donnent lieu naturellement à la notion de flot.
n nProposition I.14. Soit f : R Ñ R une fonction continue telle que, pour chaque
nx P R , le problème de Cauchy0
#
1x “ fpxq,
(I.4)
xp0q“ x0
a une solution unique xpt,x q définie par t P R. Alors la famille des applications0
n nϕ : R Ñ R définies pour chaque t P R part
ϕ px q“ xpt,x qt 0 0
est un flot.
nDémonstration. Pour chaque s P R, considérons la fonction y: R Ñ R définie par
yptq“ xpt ` s,x q.0
9


“systeme_dynamique” — 2013/5/22 — 8:47 — page 10 — #18

Chapitre I. Notions de base
On a yp0q“ xps,x q et0
1 1y ptq“ x pt ` s,x q“ fpxpt ` s,x qq “ fpyptqq0 0
1pour t P R. Donc, la fonction y est aussi une solution de l’équation x “ fpxq.
Puisque par hypothèse le problème de Cauchy (I.4) a une solution unique, on
obtient
yptq“ xpt,yp0qq “ xpt,xps,x qq,0
ou
xpt ` s,x q“ xpt,xps,x qq (I.5)0 0
npour tous t,s P R et x P R . Il résulte de (I.5) que ϕ “ ϕ ˝ ϕ . En outre,0 t`s t s
ϕ px q“ xp0,x q“ x ,0 0 0 0
c’est-à-dire ϕ “ Id. Cela montre que la famille des applications ϕ est un0 t
flot.
On considère maintenant deux exemples spécifiques d’équations différentielles
autonomes et on décrit les flots qu’elles déterminent.
Exemple I.15. Considérons l’équation différentielle
#
1x “´y,
1y “ x.
Si px,yq“pxptq,yptqq est une solution, alors
2 2 1 1 1px ` y q “ 2xx ` 2yy “´2xy ` 2yx “ 0.
Donc, il existe une constante r ě 0 telle que
2 2 2xptq ` yptq “ r .
Soient
xptq“ r cos θptq et yptq“ r sin θptq,
1où θ est une fonction différentiable. Il résulte de l’identité x “´y que
1´rθ ptqsin θptq“ ´r sin θptq.
1Donc, θ ptq“ 1 et il existe une constante c P R telle que θptq“ t ` c.Pour
2px ,y q“pr cos c,r sin cqP R ,0 0
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Extrait de la publication


“systeme_dynamique” — 2013/5/22 — 8:47 — page 11 — #19

I.3. Exemples pour le temps continu
on obtient
ˆ ˙ ˆ ˙
xptq r cospt ` cq

yptq r sinpt ` cq
ˆ ˙
cos t ¨ r cos c ´ sin t ¨ r sinc

sin t ¨ r cos c ` cos t ¨ r sinc
ˆ ˙ˆ ˙
xcos t ´ sin t 0
“ .
sin t cos t y0
On remarque que ˆ ˙
cos t ´ sint
Rptq“
sin t cos t
est une matrice de rotation pour chaque t P R. Puisque Rp0q“Id,ilrésultedela
2 2proposition I.14 que la famille des applications ϕ : R Ñ R définies part
ˆ ˙ ˆ ˙
x x0 0
ϕ “ Rptqt
y y0 0
est un flot. On note que l’identité ϕ “ ϕ ˝ ϕ est équivalente à l’identité entret`s t s
matrices de rotation
Rpt ` sq“ RptqRpsq.
Exemple I.16. On considère maintenant l’équation différentielle
#
1x “ y,
1y “ x.
Si px,yq“pxptq,yptqq est une solution, alors
2 2 1 1 1px ´ y q “ 2xx ´ 2yy “ 2xy ´ 2yx “ 0.
Donc, il existe une constante r ě 0 telle que
2 2 2 2 2 2xptq ´ yptq “ r ou xptq ´ yptq “´r . (I.6)
Dans le premier cas, on peut écrire
xptq“ r cosh θptq et yptq“ r sinhθptq,
1où θ est une certaine fonction différentiable. Puisque x “ y,ona
1rθ ptqsinh θptq“ r sinh θptq
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