Cet ouvrage fait partie de la bibliothèque YouScribe
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le lire en ligne
En savoir plus

Transferts thermiques : Initiation et approfondissement

De
770 pages
Cet ouvrage est destiné à prendre le relais du livre Initiation aux transferts thermiques. Conçu comme un ouvrage de formation continue dans le cadre du Centre d’Actualisation Scientifique et Technique (le CAST, fondu depuis dans INSAVALOR), à l’INSA de Lyon, Initiation aux transferts thermiques est le recueil de base pour la formation initiale et continue en thermique d’un très grand nombre d’ingénieurs et de techniciens dans les pays francophones.
Dans la suite du premier, ce nouveau livre est un ouvrage collectif d’enseignants-chercheurs et de chercheurs spécialistes des différents sujets abordés. La cible de l’ouvrage s’est élargie : aux ingénieurs et techniciens de l’industrie s’ajoutent les chercheurs, la thermique étant désormais reconnue comme un domaine incontournable de la recherche scientifique. Comprendre la physique des transferts de chaleur, acquérir des outils et des méthodologies pour analyser, modéliser, dimensionner, prédire, en faisant la part toujours belle aux méthodes analytiques, tels sont les objectifs de cet ouvrage.
Transferts thermiques vise non seulement à guider les débuts dans la thermique, mais aussi à aider dans la progression. Il apporte notamment une ouverture sur des sujets comme la micro- et nanothermique ou les méthodes inverses en thermique, domaines récents et en constante progression. Le premier ouvre des perspectives prometteuses sur de nouvelles technologies, tandis que le second a redessiné les contours de la métrologie thermique et de la conception des expériences en thermique. L’ouvrage est illustré par de nombreux exemples traités de manière détaillée dans le texte et des exercices avec réponses sont disponibles à la fin de la plupart des chapitres.
Chapitre 1 - Initiation aux transferts thermiques
1. Thermodynamique et transferts thermiques
2. Les différents modes de transfert de la chaleur
3. Schéma de l’étude
Chapitre 2 - Transferts de chaleur par conduction
1. Phénoménologie. Notions de base
2. Loi de Fourier
3. Équation de diffusion de la chaleur (ou équation de la conduction)
4. Conduction stationnaire avec λ constante
5. Conduction instationnaire
6. Résolution numérique de problèmes de conduction par différences finies
Chapitre 3 - Transferts convectifs
1. Introduction
2. Équations de la convection
3. Convection forcée externe
4. Convection forcée dans les conduites
5. Convection naturelle et mixte
Chapitre 4 - Rayonnement thermique
1. Introduction
2. Fondements et concepts : bases de la physique et de la description du rayonnement thermique
3. Modèle des échanges thermiques radiatifs entre corps opaques séparés par un milieu transparent
4. Modèles des transferts thermiques radiatifs dans les milieux semi-transparents
Chapitre 5 - Transferts avec changement de phase fluide-fluide
1. Introduction – rappels
2. Ébullition
3. Condensation
4. Application des transferts de chaleur avec changement de phase : exemple des caloducs
5. Transferts de chaleur et de masse par évaporation
Chapitre 6 - Transferts par différents modes combinés, exemples
1. Introduction
2. Cas stationnaire
3. Cas instationnaire
4. Conclusion
Chapitre 7 - Échangeurs de chaleur : notions
1. Principaux types d’échangeurs à fluides séparés
2. Classification selon les écoulements
3. Distribution des températures
4. Étude d’un échangeur
5. Évaluation des performances thermiques d’un échangeur en régime permanent
6. Efficacité d’un échangeur
7. Méthode du nombre d’unités de transfert (NUT)
8 Exemple numérique
9. Comparaison des méthodes DTML et NUT
10. Exemple de synthèse : échangeur compact gaz-liquide
11 Conclusion
Chapitre 8 - Métrologie thermique et méthodes inverses
1. Éléments de métrologie en transferts thermiques
2. Méthodes inverses
Chapitre 9 - Transferts thermiques aux petites échelles
1. Conduction thermique à l’échelle nanométrique
2. Rayonnement thermique aux échelles sub-longueur d’onde
3. Transferts convectifs en microcanaux et nanofluidique
Annexes
Bibliographie
Index
Voir plus Voir moins

Vous aimerez aussi

Coordonnateur
Jean-François Sacadura
Cet ouvrage est destiné à prendre le relais du livre Initiation aux
transferts thermiques. Conçu comme un ouvrage de formation
continue dans le cadre du Centre d’Actualisation Scientifique et
Technique (le CAST, fondu depuis dans INSAVALOR), à l’INSA de
Lyon, Transferts thermiques demeure le recueil de base pour la
formation initiale et continue en thermique d’un très grand nombre
d’ingénieurs et de techniciens dans les pays francophones. Transferts
Dans la suite du premier, ce nouveau livre est un ouvrage collectif
d’enseignants-chercheurs et de chercheurs spécialistes des
différents sujets abordés. La cible de l’ouvrage s’est élargie :
aux ingénieurs et techniciens de l’industrie s’ajoutent les thermiqueschercheurs, la thermique étant désormais reconnue comme
un domaine incontournable de la recherche scientifique.
Comprendre la physique des transferts de chaleur, acquérir des
outils et des méthodologies pour analyser, modéliser, dimensionner,
prédire, en faisant la part toujours belle aux méthodes analytiques,
tels sont les objectifs de cet ouvrage.
Transferts thermiques vise non seulement à guider les débuts dans Initiation et approfondissement
la thermique, mais aussi à aider dans la progression. Il apporte
notamment une ouverture sur des sujets comme la micro- et
nanothermique ou les méthodes inverses en thermique,
domaines récents et en constante progression. Le premier ouvre des
perspectives prometteuses sur de nouvelles technologies, tandis que
le second a redessiné les contours de la métrologie thermique et
de la conception des expériences en thermique. L’ouvrage est
illustré par de nombreux exemples traités de manière détaillée dans le
texte et des exercices avec réponses sont disponibles à la fin de la
plupart des chapitres.
Jean-François Sacadura, Professeur émérite des Universités à l’INSA de Lyon, a consacré
sa carrière à l’enseignement et à la recherche dans le domaine des transferts de chaleur et de la
thermophysique.
Les auteurs sont des enseignants-chercheurs et chercheurs rattachés, ou l’ayant été, au CETHIL, le
Centre d’Énergétique et de Thermique de Lyon, et à l’INSA de Lyon, à l’Université Claude Bernard
Lyon 1 ou au CNRS. Deux d’entre eux sont depuis à l’Université Savoie - Mont Blanc et dans
l’industrie.
-:HSMHOD=UV^^X]:
editions.lavoisier.fr 978-2-7430-1993-8
1993-Sacadura.indd 1 2/02/15 15:06:27
Coordonnateur
Jean-François Transferts thermiques
SacaduraTransferts thermiques
Initiation et approfondissementChez le même éditeur :
Géostructures énergétiques
Collection « Génie civil »
L. Lalaoui, A. Di Donna, 2014
Systèmes diphasiques : éléments fondamentaux et applications industrielles
Collection « Science et ingénierie des matériaux »
J. Woillez, 2014
Modélisation des écoulements multiphasiques turbulents hors d’équilibre
Collection « Mécanique des fuides »
R. Borghi, F. Anselmet, 2014
Chocs et impacts sur les matériaux et les structures :
de la théorie aux méthodes de l’ingénieur
Collection « Génie civil »
P. Bailly, 2013
Direction éditoriale : Fabienne Roulleaux
Édition : Céline Bénard, Solène Le Gabellec
Fabrication : Estelle Perez
Couverture : Isabelle Godenèche
Composition : STDI, Lassay-les-Châteaux
Impression : Laballery, Clamecy
© 2015, Lavoisier, Paris
ISBN : 978-2-7430-1993-8Transferts thermiques
Initiation et approfondissement
Coordonnateur
Jean-François Sacadura
Professeur des Universités émérite à l'INSA de Lyon
Membre fondateur et ancien directeur du CETHIL
Co-rédacteur en chef de High Temperatures – High Pressures
editions.lavoisier.frListe des auteurs
Jocelyn BONJOUR
Professeur des universités, INSA de Lyon
Centre d’Énergétique et de Thermique de Lyon (CETHIL)
Pierre-Olivier CHAPUIS
Chargé de recherche, CNRS
Centre d’Énergétique et de Thermique de Lyon (CETHIL)
Agnès DELMAS
Maître de conférences, INSA de Lyon
Centre d’Énergétique et de Thermique de Lyon (CETHIL)
Ronnie KNIKKER de Lyon
Centre d’Énergétique et de Thermique de Lyon (CETHIL)
Frédéric LEFÈVRE
Professeur des universités, INSA de Lyon
Centre d’Énergétique et de Thermique de Lyon (CETHIL)
Stéphane LIPS
Maître de conférences, INSA de Lyon
Centre d’Énergétique et de Thermique de Lyon (CETHIL)
Hervé PABIOU
Chargé de recherche, CNRS
Centre d’Énergétique et de Thermique de Lyon (CETHIL)
Martin RAYNAUD
Professeur des universités, INSA de Lyon.
Expert Thermique, Thales Communications & Security
Rémi REVELLIN
Maître de conférences, INSA de Lyon
Centre d’Énergétique et de Thermique de Lyon (CETHIL)
Jean-François SACADURA
Professeur émérite, INSA de Lyon
Centre d’Énergétique et de Thermique de Lyon (CETHIL)
Valérie SARTRE
Maître de conférences, INSA de Lyon
Centre d’Énergétique et de Thermique de Lyon (CETHIL)VI Transferts thermiques
Rodolphe VAILLON
Directeur de recherche, CNRS
Centre d’Énergétique et de Thermique de Lyon (CETHIL)
Monika WOLOSZYN
Professeur des universités, Université Savoie Mont Blanc
Laboratoire Optimisation de la Conception et Ingénierie de l’Environnement (LOCIE)
Le CETHIL est une Unité Mixte de Recherche (UMR 5008) de l’INSA de
Lyon, de l’Université Claude Bernard Lyon 1 et du CNRS.
Le LOCIE est une Unité Mixte de Recherche (UMR 5271) de l’Université
Savoie-Mont-Blanc et du CNRS.Table
Liste des auteurs V
Avant-propos XV
Principales abréviations XVII
Principaux symboles XXI
Chapitre 1
▬ ▬
Initiation aux transferts thermiques
1 Thermodynamique et transferts thermiques 1

2 Les différents modes de transfert de la chaleur 2

2 1 Conduction 3
2 2 Rayonnement 3
2 3 Convection 4
2 4 Échange de chaleur lors d’un changement de phase Combinaison
des différents modes de transfert 4
3 Schéma de l’étude5

Chapitre 2
▬ ▬
Transferts de chaleur par conduction
1 Phénoménologie Notions de base 8

1 1 Champ de température, lignes de flux, surfaces isothermes 8
1 2 Gradient de température 8
2 Loi de Fourier 9

2 1 Loi de Fourier pour un milieu isotrope 9
2 2 Vecteur densité de flux 11
2 3 Loi de Fourier en milieu anisotrope 11
2 4 Conductivité thermique Ordres de grandeur Évolution
avec la température et la pression 12
3 Équation de diffusion de la chaleur (ou équation de la conduction) 14

3 1 Forme générale pour un milieu homogène et isotrope 14
3 2 Diverses formes de l’équation de la conduction 18
3 3 Conditions aux limites et condition initiale 20
4 Conduction stationnaire avec  constante 25

4 1 Paroi plane avec génération volumique de chaleur 25
4 2 Paroi plane sans génération volumique de chaleur 25
4 3 Géométrie cylindrique monodimensionnelle 32
4 4 Sphère 37
4 5 Ailettes Modèle de la barre 38
4 6 Milieu semi-infini : méthode des images 48
VIII Transferts thermiques
5 Conduction instationnaire 53

5 1 Épaisseur affectée thermiquement 54
5 2 Méthode du corps à température quasi-uniforme 55
5 3 Plaque plane, cylindre long, sphère :
solutions analytiques monodimensionnelles 60
5 4 Milieu semi-infini 75
5 5 Milieu semi-infini en régime sinusoïdal 84
5 6 Méthode des quadripôles thermiques 88
5 7 Extension des solutions 1D aux cas multidimensionnels 92
6 Résolution numérique de problèmes de conduction

par différences finies 95
6 1 Régime permanent 95
6 2 Régime instationnaire 104
Bibliographie 113
Exercices 115
Chapitre 3
▬ ▬
Transferts convectifs
1 Introduction 127

2 Équations de la convection 130

2 1 Conservation de la masse 131
2 2 Conservation de la quantité de mouvement 134
2 3 Conservation de l’énergie 139
2 4 Conditions aux limites 144
2 5 Approximation à faible nombre de Mach 145
2 6 Approximation de Boussinesq 147
2 7 Nombres sans dimension en convection 149
2 8 Écoulements turbulents 154
3 Convection forcée externe 156

3 1 Écoulement de couche limite laminaire 158
3 2 Écoulement de couche limite turbulente 175
3 3 Écoulement autour d’un cylindre et d’une sphère 186
4 Convection forcée dans les conduites 191

4 1 Écoulement dans une conduite 192
4 2 Transferts thermiques en conduite en régime laminaire 198
4 3 Transferts thermiques en conduite en régime turbulent 213
4 4 Prise en compte des variations des propriétés du fluide 218
4 5 La transition laminaire-turbulent en conduite 220
4 6 Transferts convectifs en conduite pour les métaux liquides 222
5 Convection naturelle et mixte 223

5 1 Les équations adimensionnelles de convection revisitées 223
5 2 Convection naturelle sur une paroi verticale 225
5 3 Autres configurations de convection naturelle externe 234
5 4 Convection mixte 239
Table IX
Tables de corrélations 246

Bibliographie 256
Exercices 261
Chapitre 4
▬ ▬
Rayonnement thermique
1 Introduction 265

1 1 Exemples choisis de problèmes : questions posées
en rayonnement thermique 265
1 2 Nature du rayonnement thermique 267
2 Fondements et concepts : bases de la physique et de la description

du rayonnement thermique 268
2 1 Flux radiatifs 268
2 2 Gain, perte et redistribution angulaire de puissance thermique
sous forme radiative 275
2 3 Rayonnement thermique d’équilibre – corps noir 278
2 4 Modèles de transfert thermique radiatif 285
3 Modèle des échanges thermiques radiatifs entre corps opaques

séparés par un milieu transparent 285
3 1 Modèle des corps opaques 285
3 2 Émission de rayonnement par des corps opaques 286
3 3 Réception du rayonnement par un corps opaque 291
3 4 Flux radiatif partant d’une surface 297
3 5 Flux net radiatif 298
3 6 Échanges radiatifs entre deux corps opaques :
introduction du facteur de forme 299
3 7 Propriétés et évaluation des facteurs de forme 301
3 8 Flux net échangé entre deux surfaces 310
3 9 Évaluation des échanges dans une enceinte 310
3 10 Analogie électrique 314
4 Modèles des transferts thermiques radiatifs

dans les milieux semi-transparents 319
4 1 Introduction à la semi-transparence 319
4 2 L’Équation de Transfert Radiatif (ETR) 320
4 3 Flux net radiatif et source de puissance radiative 332
4 4 Conditions aux limites Réflexion et réfraction
à une interface entre deux milieux 334
4 5 Propriétés radiatives de milieux semi-transparents :
quelques exemples 339
4 6 Résoudre un problème de rayonnement thermique
en milieu semi-transparent Éléments sur les méthodes
de résolution de l’ETR 342
5 Conclusion 352

Bibliographie 352
Exercices 353
X Transferts thermiques
Chapitre 5
▬ ▬
Transferts avec changement de phase fuide-fuide
1 Introduction – Rappels 359

1 1 Pression de vapeur saturante, température de saturation 360
1 2 Chaleur latente de vaporisation 360
1 3 Titre en vapeur 360
1 4 Tension superficielle 361
2 Ébullition 362

2 1 Ébullition en vase 363
Exercice 370
Exercice 373
2 2 Ébullition convective 375
3 Condensation 385

3 1 Modèle fondamental : théorie de Nusselt pour la condensation
en film sur une plaque plane verticale 385
Exercice 389
3 2 Condensation sur des surfaces cylindriques horizontales 392
3 3 Condensation intratubulaire 396
3 4 Condensation en gouttes 399
4 Application des transferts de chaleur avec changement de phase :

exemple des caloducs 400
4 1 Technologie et principe de fonctionnement des caloducs 400
4 2 Exemple de dimensionnement d’un caloduc cylindrique 404
4 3 Exemple densionnement d’une boucle capillaire 407
4 4 Conclusion 410
5 Transferts de chaleur et de masse par évaporation 410

5 1 Liens entre les transferts de masse et les transferts de chaleur 410
5 2 Introduction au transfert de masse 413
5 3 Transfert de masse par diffusion 418
5 4 Transfert de masse par convection 426
5 5 Flux de chaleur échangés 430
5 6 Application : tour de refroidissement 432
5 7 Conclusion 435
Bibliographie 436
Chapitre 6
▬ ▬
Transferts par différents modes combinés, exemples
1 Introduction 440

2 Cas stationnaire 441

2 1 Exemple du double vitrage 441
2 2 Exemple d’un radiateur à circulation d’eau chaude 449
2 3 Exemple d’un câble électrique 457
3 Cas instationnaire 460

3 1 Résolution 465
3 2 Exemple numérique 466
Table XI
4 Conclusion 470

Bibliographie 470
Chapitre 7
▬ ▬
Échangeurs de chaleur : notions
1 Principaux types d’échangeurs à fluides séparés 471

2 Classification selon les écoulements 474

3 Distribution des températures 475

4 Étude d’un échangeur 476

5 Évaluation des performances thermiques d’un échangeur

en régime permanent477
5 1 Équation de bilan d’échange local à travers un élément de paroi 477
5 2 Méthode DTML 477
5 3 Évaluation du coefficient d’échange global 482
6 Efficacité d’un échangeur 493

6 1 Efficacité d’un échangeur à co-courants 494
6 2 Expressions de E pour d’autres configurations d’écoulements 495
7 Méthode du nombre d’unités de transfert (NUT) 496

8 Exemple numérique 498

9 Comparaison des méthodes DTML et NUT 499

10 Exemple de synthèse : échangeur compact gaz-liquide 500

10 1 Évaluation des différentes caractéristiques géométriques 501
10 2 Recherche des propriétés physiques des fluides dans les tables 502
10 3 Nombres de Reynolds des écoulements : Re = D G/µ 503
h
10 4 Nombres de Nusselt et de Stanton 503
10 5 Coefficients de convection fluides/parois 503
10 6 Évaluation du coefficient d’efficacité de la surface ailetée
(côté air) 504
10 7 Évaluation du coefficient d’échange global
rapporté à l’unité de surface d’échange du côté air 504
10 8 NUT et efficacité E 504
10 9 Calcul des températures de sortie T et Tcs fs 505
11 Conclusion 505

Bibliographie 506
Autres références 506
Exercices 506
Chapitre 8
▬ ▬
Métrologie thermique et méthodes inverses
1 Éléments de métrologie en transferts thermiques 509

1 1 Métrologie des températures par contact 510
1 2 Métrologie des températures sans contact 520
1 3 Mesure de densité de flux de chaleur 529
2 Méthodes inverses 537

XII Transferts thermiques
2 1 Introduction 537
2 2 Estimation de températures et de flux surfaciques 539
2 3 Description des méthodes de conduction inverse 544
2 4 Méthode de spécification de fonction 545
2 5 Conclusions sur l’estimation de la température et du flux
surfacique 552
2 6 Estimation de propriétés thermophysiques 553
2 7 Méthodes stochastiques 564
2 8 Conclusions 565
Bibliographie 566
Chapitre 9
▬ ▬
Transferts thermiques aux petites échelles
1 Conduction thermique à l’échelle nanométrique 570

1 1 Introduction 570
1 2 Conduction thermique dans les gaz 576
1 3 Conduction thermique dans les solides ordonnés 594
1 4 Matériaux amorphes, polymères et désorganisés623
1 5 Pour aller plus loin… 624
2 Rayonnement thermique aux échelles sub-longueur d’onde 625

2 1 Introduction 625
2 2 Approche électromagnétique du rayonnement thermique 627
2 3 Rayonnement thermique d’un corps semi-infini 642
2 4 Échange de rayonnement thermique
par des corps en champ proche 653
2 5 Rayonnement thermique d’un corps sub-longueur d’onde 663
2 6 Autres géométries, perspectives et applications 666
3 Transferts convectifs en microcanaux et nanofluidique 668

3 1 Introduction 668
3 2 Transfert monophasique 669
3 3 Transfert avec changement de phase 673
3 4 Nanofluides 687
3 5 Conclusions et perspectives 690
Bibliographie 691
Annexes
reAnnexe 1 : Fonctions Erf, Erfc et fonctions de Bessel de 1 espèce, J0 et J1 702

Annexe 2 : Unités et conversions 704

Annexe 2 1 : Système inernational d’unités (S I ) 704
Annexe 2 2 : Conversions entre les unités du systeme international (S I )
et celles de l’ancien systeme dit « technique » 704
Annexe 2 3 : Conversions d’unités anglo-américaines
et autres en unités S I 705
Annexe 3 : Propriétés thermophysiques (autres que radiatives) 706

Annexe 3 1 : Propriétés de solides métalliques 706
Table XIII
Annexe 3 2 : Propriétés de solides non métalliques 707
Annexe 3 3 : Propriétés de quelques liquides sous pression de saturation 711
Annexe 3 4 : Propriétés de la vapeur d’eau surchauffée 713
Annexe 3 5 : Propriétés de quelques gaz
à la pression atmosphérique normale 714
Annexe 4 : Fonction F (T) 717
■ 0-T
Annexe 5 : Émissivités 721

Annexe 5 1 : Émissivités totales normales 721
Annexe 5 2 : Émissivités totales hémisphériques 724
Bibliographie 725
Index 727
Avant-propos
Cet ouvrage est une nouvelle édition presque totalement réécrite du livre
Initiation aux transferts thermiques, paru initialement en 1980, à une époque où
l’on trouvait très peu d’ouvrages en langue française sur ce sujet, surtout écrits
pour des ingénieurs et par des universitaires qui étaient aussi des ingénieurs et
avaient en outre l’expérience de la formation continue d’ingénieurs et techniciens
de l’industrie.
C’était aussi une époque où, l’énergie étant peu coûteuse, les aspects
thermiques étaient peu ou mal pris en considération dans la plupart des secteurs
industriels et économiques, hormis ceux où la thermique était déjà identifiée comme
une barrière technologique, notamment dans les domaines aérospatial et nucléaire.
Corrélativement, les transferts thermiques étaient peu enseignés dans les
formations techniques, où la distinction n’était pas toujours faite entre thermique et
thermodynamique. Certains même considéraient la thermique comme faisant partie
d’autres disciplines telles que la mécanique des fluides ou le génie des procédés !
Depuis, la situation a bien changé et les transferts thermiques ont totalement
émergé pour devenir une discipline clé des sciences de l’ingénieur. Le
mouvement est venu de l’industrie et a gagné progressivement tous ses secteurs, même
les plus traditionnels, comme le bâtiment. Notre livre, en étant présent sur les
bureaux des ingénieurs et techniciens ayant des préoccupations en thermique, a
accompagné et, nous l’espérons aussi, contribué à cette évolution.
Dès la première édition, le parti avait été pris d’un ouvrage collectif,
présentant l’avantage que les différents sujets soient traités par des auteurs qui sont
des enseignants et aussi des chercheurs dans les différents domaines abordés,
apportant ainsi la valeur ajoutée de leur expérience et de leur contribution
personnelle au domaine. L’équipe initiale, à laquelle nous rendons hommage, étant
aujourd’hui à la retraite, c’est une nouvelle équipe qui a été réunie autour de ce
projet, formée d’enseignants et chercheurs rattachés, ou l’ayant été, au Centre
d’énergétique et de thermique de Lyon (CETHIL), à l’INSA de Lyon, à
l’Université Claude Bernard de Lyon ou au CNRS. L’esprit initial est conservé, mais la
cible est élargie, puisqu’à la formation d’ingénieurs et de techniciens de
l’industrie s’ajoute celle des chercheurs, la thermique étant désormais également
reconnue comme un domaine incontournable de la recherche scientifique.
Comprendre la physique, apporter les outils et méthodologies d’analyse,
modélisation, dimensionnement, prédiction, en faisant la part toujours belle aux
méthodes analytiques qui permettent, moyennant des simplifications, d’obtenir
de manière assez immédiate des ordres de grandeur préalables à des
modélisations numériques, tels sont les objectifs de cet ouvrage. Son contenu commence XVI Transferts thermiques
toujours par la présentation des trois modes fondamentaux de transfert
thermique : conduction, convection, rayonnement. Dans le chapitre sur les transferts
convectifs, le lecteur trouvera une description des équations de conservation où
la physique est très présente. Après la présentation des solutions analytiques, les
diverses corrélations permettant de traiter les problèmes pratiques ont été
revisitées, pour la plupart à partir de leur publication d’origine, et sont commentées,
de manière à éviter l’écueil trop fréquent en la matière du « catalogue de
corrélations ». La présentation des transferts radiatifs, dépourvue de la traditionnelle
dichotomie entre le rayonnement des surfaces et celui des milieux
semi-transparents, est innovante. Viennent ensuite : les transferts avec changement de phase
liquide-vapeur, illustrés par des applications (caloducs, aéroréfrigérants, etc.), les
transferts mettant en jeu différents modes, des notions sur les échangeurs
thermiques, domaine industriel toujours très important et excellente illustration des
transferts thermiques. Comme dans l’édition précédente, un chapitre est dédié à
la métrologie thermique. De nouveaux sujets ont été ajoutés, correspondant à des
développements majeurs observés en thermique au cours des dernières décennies.
Il s’agit notamment de la micro- et de la nano-thermique et des méthodes inverses
en thermique. Ce sont des sujets qui, à eux seuls, donnent lieu à des ouvrages
spécialisés, généralement d’un certain niveau de complexité. Les aborder revient
souvent à déplacer les frontières traditionnelles de la thermique vers la physique.
Nous nous limitons ici à apporter une ouverture sur ces sujets prometteurs et en
évolution permanente, fournissant au lecteur intéressé des pistes « pour en savoir
plus ». L’ouvrage est illustré tout au long par de nombreux exemples traités de
manière détaillée et des exercices avec réponses sont disponibles à la fin des
principaux chapitres.
Nous espérons ainsi que cet ouvrage prendra tout naturellement le relais de
Initiation aux transferts thermiques, en répondant aux attentes des lecteurs.Principales abréviations
Abréviation Signification Chapitre
ASME American Society of Mechanical Engineers 2, 7
BEM Méthode des éléments de frontière 4
(Boundary Element Method)
BGK Approximation de Bhatnagar, Groos et Krool 9
BHMIE Algorithme de calcul de la diffusion de Mie, par Bohren 4
et Huffman
CPL Boucle diphasique à pompage thermocapillaire 5
(Capillary Pumped Loop)
DDA Approximation des dipôles discrets 9
(Discrete Dipole Approximation)
DF Différences finies 2
DIN Institut de normalisation allemand 8
(Deutsche Institüt für Normung)
DNB Point de départ de l’ébullition nucléée 5
(Departure of Nucleate Boiling)
DTML Différence de température moyenne logarithmique 7
(LMTD, Logarithmic Mean Temperature Difference)
EIT Échelle internationale de température 8
ETL Équilibre thermodynamique local 4, 9
ETR Équation du transfert radiatif 4
FDTD Discrétisation par différences finies dans le domaine 9
temporel (Finite Differences in Time Domain)
FTIR Infrarouge à transformée de Fourier (type de 8
spectromètre), (Fourier Transform Infra Red)
HFC Hydro-fluoro-carbone 5, 9
HHF Haut flux de chaleur (High Heat Flux) 5
IR Infrarouge (Infra Red) 4, 8
LA, LO Longitudinal acoustique, longitudinal optique 9
(mode de phonon : la première lettre désigne
la polarisation, la seconde le type de vibration)
LHF Faible flux de chaleur (Low Heat Flux) 5
LHP Boucle diphasique à pompage thermocapillaire 5
(Loop Heat Pipe)
LIF Fluorescence induite par laser 8
(Laser Induced Fluorescence)XVIII Transferts thermiques
Abréviation Signification Chapitre
MCT Tellurure de cadmium et de mercure 8
(Mercurium Cadmium Telluride)
MEMS Microsystème électromécanique 9
(MicroElectroMechanical System)
MW-CNT Nanotube de carbone multifeuillets
(Multiwall Carbon NanoTube)
MiePlot Code de calcul de la diffusion de Mie, basé sur BHMIE 4
NEP Puissance équivalente au bruit (d’un détecteur), 8
(Noise Equivalent Power)
NETD Plus petit écart de température détectable (par un 8
détecteur), (Noise Equivalent Temperature Différence)
NIST Institut fédéral nord-américain de métrologie 5
et de normalisation (National Institute of Standards
and Technology)
NTC Coefficient de température négatif (pour une 8
thermistance), (Negative Temperature Coefficient)
NUT Nombre d’unités de transfert 7
(Number of Transfer Units, NTU)
PHP Caloduc oscillant (Pulsating Heat Pipe) 5
PICC Problème inverse de conduction de la chaleur 8
PIV Vélocimétrie par imagerie de particules 8
(Particle Image Velocimetry)
PTC Coefficient de température positif 8
(pour une thermistance), (Positive Temperature Coefficient)
QWIP Transducteur IR à puits quantique 8
(Quantum Well Infrared Photodetector)
RTD Transducteur thermo-résistif 8
(Resistance Temperature Detector)
SAM Molécules (organiques) auto-assemblées 9
(Self-Assembled Molecules)
SLG Graphène monofeuillet (Single-Layer Graphene) 9
SPRT Thermomètre à résistance platine standard 8
(Standard Platinum Resistance)
SSPRT Thermomètre secondaire à résistance platine standard 8
(Secondary SPRT)
TA, TO Transverse acoustique, transverse optique 9
(mode de phonon : la première lettre désigne
la polarisation, la seconde le type de vibration)
TE Transverse électrique 9
(polarisation du champ électromagnétique)
TEMA Association des fabricants d’échangeurs tubulaires 7
(Tubular Exchangers Manufacturer Association)Principales abréviations XIX
Abréviation Signification Chapitre
TM Transverse magnétique 9
(polarisation du champ électromagnétique)
TPV Thermophotovoltaïque 8
UV Ultraviolet 4, 8, 9
vs Versus, en fonction de 9
1D, 2D, 3D Monodimensionel, bidimensionnel, tridimensionnel diversPrincipaux symboles
Certains symboles ont différentes significations, mais celles-ci correspondent
à des utilisations dans des chapitres différents, ce qui enlève tout risque de
confusion.
a diffusivité thermique
A aire, ou aire d’une surface d’échange par unité de volume (aéroréfrigérants)
absorptance spectrale d’une colonne de milieu semi-transparent (m.s.t.)Aλ
b effusivité thermique (ou paramètre d’arrachement)
B champ magnétique
c chaleur massique, ou concentration d’un constituant d’un mélange gazeux
c chaleur massique à pression constantep
c chaleur massique à pression constante de l’air secpa
c chaleur massique à pression constante de la vapeur d’eaupv
c chaleur massique à volume constantv
C capacité thermique (échangeur), ou vitesse de propagation des ondes
électromagnétiques
C coefficient de frottement pariétalf
C coefficient de trainéeD
C vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le video
C ,C constantes de la loi de Planck, ou constantes d’intégration1 2
d diamètre, ou distance
D diamètre, ou diamètre hydraulique, ou distance, ou vecteur
déplacement électrique
D coefficient de diffusion moléculairec
D diamètre hydrauliqueh
D coefficient de diffusion relatif aux pressions partiellesv
e épaisseur, ou charge élémentaire de l’électron
E champ électrique
f fréquence
F force
F fraction de la puissance émise par le corps noir aux longueurs d’onde 0-λT
inférieures à λ et à une température TXXII Transferts thermiques
F facteur de forme (géométrique) : échange de rayonnement entre deux ij
surfaces noires S et Si j
F facteur de forme « gris » : échange de rayonnement entre deux surfaces ij
grises et diffusantes-isotropes S et Si j
coefficient de transmission en énergie
g accélération de la pesanteur
G vitesse massique, ou puissance radiative incidente
G puissance radiative spectrale incidenteλ
G tenseur de Green (matrice)
h coefficient d’échange de chaleur par convection, ou constante de
Planck, ou enthalpie massique (chapitres 3, § 3.2.3 et 5, §5.4.6)
h ,h coefficient d’échange de chaleur par convection, rayonnementc r
constante de Planck réduiteh
H hauteur, ou enthalpie massique (par unité de masse), ou champ magnétique
i indice ou nombre imaginaire pur
I intensité d’un courant électrique
j flux massique de diffusion, ou densité de courant électrique, ou nombre
imaginaire pur
k coefficient d’échange global (échangeurs), ou vecteur d’onde
k constante de BoltzmannB
k indice d’extinction (partie imaginaire de l’indice de réfraction, chapitre 4)λ
k vecteur d’onde dans le vide0
K conductance thermique d’une surface non unitaire
l longueur, ou longueur de mélange de Prandtl
L, ou luminance totale d’un rayonnement, ou constante de Lorenz
luminance monochromatique ou spectraleL , Lλ ν
m masse, ou périmètre d’une ailette, ou moment dipolaire magnétique
indice complexe de réfraction (chapitre 4)mλ
ṁ débit massique
M masse, ou polarisation magnétique
Ṁ débit massique total d’un condensat
n normale à une surface, ou indice de réfraction complexe (chapitre 9),
ou fonction de distribution
n’ partie réelle de l’indice complexe de réfraction (chapitre 9)
n’’ partie imaginaire de l’indice complexe de réfraction (chapitre 9)
partie réelle de l’indice de réfraction (chapitre 4)nλ Principaux symboles XXIII
n° fonction de distribution d’équilibre
N normale à une surface, ou processus Normal
N* densité de molécules ou particules
p pression, ou périmètre baigné par une fluide, ou moment dipolaire
électrique, ou vecteur unitaire en polarisation TM
p pression de vapeur saturantesat
p pression de vapeurv
P pression, ou polarisation électrique
P , P fonction de phase spectraleλ ν
q flux, puissance thermique
q′ flux par unité de longueur (flux linéique)
q″ flux par unité de surface (flux surfacique, ou densité de flux)
q‴ puissance volumique des sources et puits de chaleur
q charge électrique de l’élément ii
Q quantité de chaleur
r rapport de mélange de la vapeur d’eau dans un gaz (humidité absolue),
ou constante des gaz parfaits pour l’unité de masse, ou coordonnée
r coefficient de réflexion de Fresnelij
R constante des gaz parfaits relative à une mole, ou résistance thermique
relative à une surface non unitaire, ou rayon, ou distance
R tenseur des contraintes de Reynolds (écoulements turbulents)ij
coefficient de transmission en énergie
s surface, ou vecteur unitaire en polarisation TE
S surface, ou aire, ou coordonnée curviligne
S source de puissance radiative spectrale dans un milieu semi-transparentλ
t temps
t coefficient de transmission de Fresnelij
T température
transmittance monochromatique d’une colonne de m.s.t.Tλ
T transformée de Laplace de la température, ou température moyenne
T température de paroip
T température de saturationsat
T température « à l’infini » dans un écoulement (loin d’une paroi)∞
u densité (volumique) d’énergie électromagnétique (spectrale)EM
u (ou u,v,w) composantes de la vitesse (repère cartésien, i = 1,2,3)i
u′ (ou u’,v’,w’) fluctuations de la vitesse dans un écoulement turbulentiXXIV Transferts thermiques
u composantes de la vitesse moyenne dans un écoulement turbulenti
U vitesse, ou composante de vitesse, ou processus Umklapp
v volume, ou volume spécifique (volume massique)
V volume, ou vitesse
w puissance mécanique, ou composante de la vitesse
x coordonnée cartésienne, ou titre d’une vapeur, ou énergie
adimensionnée d’un oscillateur
x coordonnées cartésiennes (i = 1,2,3)i
y coordonnée cartésienne
z coordonnée cartésienne ou cylindrique, ou hauteur
Caractères grecs
absorptivité totale directionnelleα
α absorptivité monochromatique directionnelleλ
∩α absorptivité totale hémisphérique
∩ absorptivité monochromatique hémisphériqueα λ
polarisabilité électrique ou magnétiqueαE,H
β coefficient de dilatation cubique (ou volumique) à pression constante,
1 ⎛ ∂νν⎞ ⎛ ∂ ⎞
d’un fluide β = =− , ou coefficient d’échange de masse⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ν ∂TT ∂pp
β , β coefficient de transfert de masse relatif aux concentrations, pressionsc p
β coefficient d’échange de chaleur relatif à un écart d’enthalpiem
coefficient d’extinction monochromatiqueβ βλ, ν
accélérationΓ
δ épaisseur de la couche limite cinématique
δ épaisseur de la couche limite thermiqueth
Δh chaleur latente de vaporisationlv
émissivité totale directionnelle, ou coefficient d’efficacité d’une sur-ε
face ailetée (chapitre 7)
∩ε émissivité totale hémisphérique
émissivité totale directionnelleε
émissivité monochromatique directionnelleελ
∩ émissivité monochromatique hémisphériqueελ
ε permittivité diélectrique du vide0
permittivité relativeεr
viscosité cinématique turbulente (écoulement fluide)εcPrincipaux symboles XXV
ε diffusivité thermique turbulente (écoulement fluide)T
η efficacité d’une ailette, ou longueur de corrélation des rugosités
indice de réfractionηλ
différence de température, ou fluctuation de température, ou angle en θ
coordonnées polaires, cylindriques ou sphériques, ou énergie moyenne
d’un oscillateur harmonique
coefficient d’absorption monochromatiqueκ κλ , ν
λ conductivité thermique, ou longueur d’onde
libre parcours moyenΛ
μ viscosité dynamique
perméabilité du videμ0
perméabilité relativeμr
ν viscosité cinématique (ν = μ/ρ), ou fréquence d’une radiation
Π vecteur de Poyting
masse volumique, ou réflectivité totale, ou densité d’états électroma-ρ
gnétiques
réflectivité monochromatiqueρλ
réflectivité monochromatique bidirectionnelleρ”λ
∩ρ’ réflectivité monochromatique directionnelle-hémisphériqueλ
∩∩r réflectivité monochromatique hémisphérique-hémisphériqueλ
tension superficielle, ou constante de Stefan-Boltzmann, ou conducti-σ
vité électrique
coefficient de diffusion monochromatiqueσ , , σ ,d  λ d  ν
contrainte visqueuse dans un fluide, ou temps de relaxationτ
τ longueur (ou profondeur) optique spectrale dans un m.s.t.λ
τ épaisseur optique spectrale d’extinction d’une colonne de m.s.t.ext , λ
 ∩ transmittivité monochromatique directionnelle-hémisphériqueτ’ λ
∩∩ transmittivité monochromatique hémisphérique-hémisphériqueτ λ
ϕ angle azimutal en coordonnées sphériques
Φ fonction de dissipation (écoulement de fluide visqueux)D
angle en coordonnées sphériquesΨ
pulsation, ou angle solideω
Ω angle solide
coefficient de compressibilité à température constante d’un fluide χ
(variation relative de volume par unité de pression, à température
constante)XXVI Transferts thermiques
Nombres sans dimension
Bi nombre de Biot
Ec nombre d’Eckert
Fo nombre de Fourier
Gr nombre de Grashof
Gz nombre de Graetz
Kn nombre de Knudsen
Le nombre de Lewis
Ma nombre de Mach
Me nombre de Merckel
Ms nombre de Margoulis (= St)
Nu nombre de Nusselt
Pe nombre de Péclet
Pr nombre de Prandtl
Ra nombre de Rayleigh
Re nombre de Reynolds
Sc nombre de Schmidt
Sh nombre de Sherwood
Sr nombre de Strouhal
St nombre de Stanton (= Ms)
Opérateurs mathématiques
∇ gradient
∇◊ divergence
2∇ laplacienChapitre 1▬ ▬
Initiation aux transferts thermiques
Parmi les modes d’échange d’énergie, le transfert de chaleur est certainement
celui qui impacte le plus notre vie quotidienne. Il intervient dans de nombreux
phénomènes naturels et dans quasiment tous les secteurs de l’activité
industrielle. Le transfert de chaleur prend naturellement place entre deux zones d’un
milieu ou entre deux systèmes dès qu’existe entre eux une différence de
température et cela même lorsqu’ils sont séparés par le vide. Ainsi, dans le domaine
des sciences comme dans celui des applications technologiques, les transferts
thermiques ont un rôle primordial. Celui-ci devient même déterminant lorsque
le transfert de chaleur est au cœur des technologies mises en œuvre (échangeurs,
moteurs thermiques, isolation thermique, utilisation de l’énergie solaire, stockage
1d’énergie..) .
1. ■ Thermodynamique et transferts thermiques
Les concepts de base des transferts thermiques sont la quantité de chaleur et
de différence de température, qui trouvent leur définition dans les principes de la
thermodynamique :
– équivalence de la chaleur et du travail comme formes particulières de
2l’énergie (premier principe) ;
– mesure du déséquilibre thermique relatif de deux systèmes par leur
différence de température, la valeur de celle-ci caractérisant à la fois le sens et
l’intensité du transfert d’énergie thermique (second principe).
1. Ce chapitre introductif est inspiré pour une large part de sa version de l’ouvrage initial, rédigée
par Émile Rieutord, à qui nous rendons hommage.
2. Comme conséquence directe : énergie, travail et quantité de chaleur ont même unité, le Joule.2 Transferts thermiques
Cependant, la thermodynamique, sous sa forme classique, ne s’attache qu’à
3des états d’équilibre . Elle permet de dire si une évolution entre ces états est
possible ou non, et d’évaluer la quantité de chaleur échangée pendant une telle
transformation et le rendement. Mais elle ne renseigne pas sur les mécanismes
d’échange qui y conduisent. Leur étude s’est ainsi développée parallèlement et,
en raison même de son importance, avec suffisamment d’ampleur pour constituer
4une discipline indépendante, les transferts thermiques .
Pour l’ingénieur, ces deux disciplines sont complémentaires et indissociables,
comme le montre par exemple la conception d’un réfrigérateur. La
thermodynamique permet de déterminer le cycle thermodynamique approprié, le type de
fluide à utiliser en fonction des niveaux de température visés, de déterminer le
rendement théorique maximal et la puissance théorique du compresseur, alors
que les transferts thermiques permettront le choix et le dimensionnement des
composants tels que l’évaporateur, le condenseur et le compresseur.
2. ■ Les différents modes de transfert de la chaleur
Dans l’étude des transferts thermiques, on distingue trois grandes parties se
rattachant chacune à un mode fondamental de transfert de la chaleur : la
conduction, la convection et le rayonnement, liés chacun à un processus physique
spécifique. En effet, comme l’énergie thermique d’un milieu matériel correspond à
l’énergie cinétique de ses constituants fondamentaux ayant une certaine liberté de
mouvement (molécules, atomes, électrons libres, etc.), ceux-ci peuvent échanger
tout ou partie de leur énergie thermique, c’est-à-dire gagner ou perdre de
l’énergie cinétique :
– soit par interaction directe avec les particules proches (chocs de molécules,
vibrations du réseau d’atomes, diffusion d’électrons libres, par exemple),
ce qui correspond à la conduction ;
– soit par émission et absorption de radiations électromagnétiques,
correspondant au rayonnement.
Enfin, dans le cas d’un gaz ou d’un liquide en mouvement, on considère
également, mais cette fois à l’échelle macroscopique, comme un mode de transfert de
chaleur appelé convection, les échanges résultant du déplacement et du mélange
des diverses parties d’un fluide à des températures différentes.
3. Ce qui n’est plus le cas de la « thermodynamique hors équilibre ».
4. Les transferts thermiques sont par essence des processus hors équilibre. Les travaux de Joseph
Fourier sur la conduction de la chaleur préfigurent la théorie des processus thermodynamiques
hors équilibre.Initiation aux transferts thermiques 3
2.1. Conduction
Ce mode d’échange tend à une distribution homogène, au sein du milieu, de
l’énergie cinétique moyenne des diverses particules par diffusion des zones où la
valeur moyenne de cette énergie – traduite par la température – est élevée, vers
les zones où elle est plus faible.
La loi macroscopique correspondant à ce processus de diffusion de la chaleur
indique que la densité q′′ du « courant » de chaleur en un point, appelée densité de 
flux, est une fonction linéaire du gradient de température en ce point qT′′ =∇λ .
λ est la conductivité thermique du milieu au point considéré. Dans le cas le plus
fréquent d’un milieu isotrope, la conductivité est un scalaire. Si le milieu n’est pas
isotrope, cas d’un matériau laminé par exemple, la conductivité est représentée par
un tenseur symétrique du second ordre, noté λ, permettant de tenir compte des
variations de la conductivité dans le matériau selon les directions. Ce type de
situation, plus complexe, ne sera pas traité dans cet ouvrage.
La relation ci-dessus, dite loi de Fourier, est établie à partir des lois de la
mécanique statistique appliquées aux atomes, molécules ou électrons libres du
milieu considéré.
La conduction est le seul mode de transfert thermique intervenant au sein des
milieux opaques, solides ou fluides immobiles.
2.2. Rayonnement
Que ce soit de façon spontanée ou au cours d’interactions mutuelles, les
atomes, molécules et électrons libres des corps peuvent perdre une partie de leur
énergie cinétique par émission d’un rayonnement électromagnétique.
Réciproquement, lorsqu’un tel rayonnement est reçu par de la matière, soit à la surface
d’un corps, soit au sein d’un milieu dit semi-transparent, qui est traversé par le
rayonnement, une partie du rayonnement est absorbée par le corps et se retrouve
dans l’énergie cinétique de ses composants, c’est-à-dire sous forme de chaleur.
oLa relation de base est celle de Stefan-Boltzmann selon laquelle la puissance q′′
5du rayonnement thermique émis par unité de surface d’un corps noir (il s’agit
d’une densité de flux) est directement proportionnelle à la puissance quatrième de
o 4la température absolue (qT′′ = σ ). Cette expression est déduite par
intégration, sur l’ensemble des longueurs d’ondes, de la relation fondamentale obtenue
par Planck dans sa théorie des quanta.
5. On appelle ainsi le corps idéal émettant par rayonnement thermique le maximum d’énergie à
une température donnée. C’est aussi un corps absorbant la totalité des radiations thermiques qu’il
reçoit.4 Transferts thermiques
Le rayonnement thermique, comme toutes les radiations électromagnétiques,
ne nécessitant pas de support matériel pour se propager, représente de ce fait la
seule possibilité d’échange thermique entre des corps séparés par le vide.
2.3. Convection
Les transferts thermiques interviennent quel que soit l’état du milieu
considéré, solide, liquide ou gazeux. Néanmoins, dans ces deux derniers cas, la
possibilité de déformation importante qu’ont les fluides permet aux différentes parties
de ces milieux d’avoir, à l’échelle macroscopique, une liberté de mouvement
importante et par là-même de transporter une quantité de chaleur directement liée
à leur capacité calorifique.
On distingue la convection forcée, dans laquelle le mouvement du fluide est
produit par une action extérieure (pompe, ventilateur, etc.), de la convection libre
(ou naturelle), dans laquelle ce mouvement résulte de la différence de masse
6volumique entre les parties chaudes et froides du fluide .
La représentation exacte des processus de transfert par convection pose des
problèmes de mécanique des fluides extrêmement difficiles qu’il n’est, dans la
plupart des cas, pas possible de résoudre directement. Cependant, comme le plus
souvent on ne s’intéresse qu’à la quantité de chaleur échangée entre le fluide et
une paroi solide qui le limite, on introduit, par analogie avec les transferts
thermiques par conduction, un coefficient d’échange superficiel h, tel que la densité
du flux de chaleur q′′ à travers un élément de surface de la paroi soit
proportionnelle à la différence entre la température T de cet élément de surface et une p
température moyenne de référence du fluide T : qh′′ =−TT .()f pf
2.4. Échange de chaleur lors d’un changement de phase.
Combinaison des différents modes de transfert
Ci-dessus, nous avons considéré séparément les trois modes fondamentaux
de transfert thermique. Dans la réalité, les différents modes sont le plus
souvent combinés : conduction et rayonnement dans le cas de solides non-opaques
(verres, matières plastiques, etc.), ou encore conduction et rayonnement dans les
fluides non-opaques.
Par ailleurs, des changements d’état physique des corps, appelés changements
de phase (vaporisation, condensation, congélation, fusion, etc.), se produisent
lorsque les échanges de chaleur portent un corps à une température de
changement de phase et lui apportent ou enlèvent une quantité de chaleur égale à
la chaleur latente du changement de phase. Celle-ci est la quantité de chaleur
6. Le mouvement peut être dû à d’autres forces massiques : liquide métallique soumis à un champ
électromagnétique, différence de concentration (convection solutale).Initiation aux transferts thermiques 5
nécessaire au changement d’état d’une masse de 1 kg d’un corps. Elle est
généralement importante comparativement aux quantités de chaleur mises en jeu au
prorata de la chaleur spécifique massique des corps. Ainsi, la chaleur latente joue
le rôle d’une source ou d’un puits de chaleur supplémentaire pour le processus
de transfert thermique concerné. L’intensification des transferts de chaleur qui
accompagne un changement de phase est mise à profit dans de nombreuses
applications industrielles où il est nécessaire d’échanger des densités de flux de
chaleur élevées, le plus souvent pour des problèmes de refroidissement de systèmes
ou de composants.
Pour illustrer la combinaison des différents modes de transfert de chaleur,
nous citerons l’exemple banal, très souvent évoqué, où l’on chauffe de l’eau dans
un récipient placé sur une flamme. Le transfert de la partie d’énergie libérée par
la combustion à l’eau contenue dans le récipient fait intervenir :
– la convection ainsi que le rayonnement dans le transfert de chaleur entre
les gaz chauds de la flamme et la surface externe du récipient ;
– la conduction à travers la paroi et les couches fluides très proches de
celle-ci ;
– la convection et aussi un peu la conduction au sein de la masse d’eau ;
– enfin, dès que l’échauffement devient suffisant, l’ébullition et ensuite
la vaporisation interviennent et constituent des éléments essentiels de
l’échange thermique.
Comme dans l’exemple précédent, la plupart des problèmes techniques font
intervenir une combinaison des différents modes de transfert, ce qui complique
considérablement les études.
Toutefois, et fort heureusement, soit l’un des modes est prépondérant, et l’on
néglige alors les autres, soit les différents modes ont une importance comparable,
mais ils peuvent être découplés et traités séparément.
Dans le cas où de telles approches ne sont pas possibles, il est nécessaire
d’avoir recours à des méthodes de traitement numérique. Néanmoins, quel que
soit le problème considéré, il est toujours nécessaire de savoir apprécier les
situations relevant de ces différentes approches.
3. ■ Schéma de l’étude
Compte-tenu des diverses remarques précédentes, on conçoit aisément que la
résolution des problèmes de thermique passe d’abord par une bonne connaissance
des processus d’échange élémentaires : conduction, convection, rayonnement.
Ceux-ci seront étudiés en premier. Les mécanismes des transferts de chaleur lors
de changements de phase fluide-fluide – ébullition, condensation, évaporation –
seront ensuite abordés, illustrés par des applications, avec une attention
particulière portée sur les caloducs, thermosiphons et boucles diphasiques, qui ont pris
une importance croissante dans de nombreux secteurs industriels.6 Transferts thermiques
Puis, dans un esprit de synthèse, un chapitre sera dédié à des exemples concrets,
pour montrer comment peut être abordée l’étude de phénomènes complexes où
interviennent simultanément les différents mécanismes d’échange.
Viendra ensuite, à titre d’application, un chapitre consacré au sujet très
important au plan économique des échangeurs de chaleur.
Il a semblé utile, pour le public d’ingénieurs, de techniciens et de chercheurs
en sciences thermiques auquel s’adresse cet ouvrage, d’introduire un chapitre
apportant des connaissances sur les principales méthodes de mesure et
d’identification de paramètres utilisées dans le domaine des transferts thermiques. Ce
chapitre inclut notamment une ouverture sur les méthodes inverses en thermique,
rarement abordées dans les ouvrages de base de transfert thermique.
L’ouvrage s’achève sur un chapitre destiné à apporter au lecteur une
ouverture sur un autre domaine qui a pris une importance croissante avec le
développement des micro et nano-technologies : les transferts de chaleur aux petites
échelles d’espace et de temps. Ce chapitre comportera ainsi trois parties traitant
respectivement de conduction aux petites échelles, de rayonnement thermique
aux échelles « sub-longueur d’onde » et de transferts convectifs en microcanaux
et nanofluidique.Chapitre 2▬ ▬
Transferts de chaleur par conduction
Jean-François Sacadura
On aborde l’étude des trois modes fondamentaux de transfert de chaleur en
commençant dans ce chapitre par la conduction. L’objectif est d’apporter au
lecteur la compréhension phénoménologique et l’acquisition de connaissances de
base, de méthodes et d’outils permettant de résoudre des problèmes pratiques
de conduction thermique. Dans les situations les plus fréquentes, on cherche la
répartition des températures et flux de chaleur dans un objet soumis à des
sollicitations thermiques connues. Ce type de situation correspond à ce qu’on désigne
aujourd’hui sous l’appellation de problèmes directs de conduction thermique.
Car, dans les années récentes, un autre type de problèmes de conduction, dits
problèmes inverses, a pris une place croissante par le fait qu’ils correspondent à de
très nombreuses situations pratiques. L’un des principaux objectifs des méthodes
inverses en conduction thermique est de déterminer les sollicitations thermiques
qui, appliquées à un corps, conduisent à un champ thermique donné en son sein.
Les méthodes inverses sont également des moyens très efficaces pour identifier
des propriétés thermo-physiques à partir de mesures. Ce chapitre sera focalisé sur
la méthodologie de résolution de problèmes directs de conduction, mais le lecteur
trouvera cependant, au chapitre 8, une ouverture sur les méthodes inverses.
Après une présentation des concepts fondamentaux et des équations
générales de la conduction, on étudiera la manière de formuler un problème direct de
conduction et on abordera les méthodes et outils de résolution les plus courants,
en commençant par des géométries simples (1D) et le régime stationnaire, pour
aborder ensuite des géométries multidimensionnelles et les régimes
non-stationnaires. Les différentes méthodes présentées seront illustrées par des exemples
concrets.8 Transferts thermiques
1. ■ Phénoménologie. Notions de base
1.1. Champ de température, lignes de flux, surfaces isothermes
On peut définir, en chaque point M d’un corps solide ou fluide, une
température représentée par une fonction scalaire des coordonnées du point et du temps,
notée T(M,t), ou T(x,y,z,t). L’ensemble de ces températures constitue la
distribution ou champ de température du milieu considéré. Lorsque la température
dépend du temps on dit que le régime thermique est variable ou instationnaire.
Dans le cas contraire, le régime est dit permanent ou stationnaire.
La chaleur diffuse par conduction des zones les plus chaudes vers les plus
froides selon des trajectoires appelées lignes de flux, dont la configuration dépend
du champ de température. Le lieu des points du milieu qui, à un instant t, sont à
une même température est une surface isotherme.
Dans un milieu isotrope, les isothermes forment un réseau de surfaces
orthogonales aux lignes de flux. En régime thermique non permanent, le champ de
température et les réseaux de lignes de flux et de surfaces isothermes évoluent
avec le temps. En régime permanent les températures, lignes du flux et isothermes
sont invariantes.
L’ensemble des lignes de flux s’appuyant sur un contour fermé constitue un
tube de flux.
1.2. Gradient de température
En chaque point M et à chaque instant t le taux de variation spatiale de la
température, avec son intensité et son orientation, est caractérisé par le vecteur 
gradient de température noté ∇T :
  ∂T ∂T ∂T
∇=T ij + + k , [2.1]
∂x ∂y ∂z
  
où i , j, sont les vecteurs unitaires des axes en repère cartésien 3D.k

Compte-tenu qu’en chaque point et à tout instant dT =∇Td◊ M, si le
déplacement élémentaire dM a lieu le long d’une isotherme, dT = 0 et on a :
∇◊TdM = 0. Ainsi, le vecteur gradient de température est en chaque point
normal à l’isotherme et tangent à la ligne de flux passant par le point considéré. En
outre, il est orienté en sens opposé à la ligne de flux (figure 2.1.).
L’orthogonalité des lignes de flux et des isothermes dans les milieux isotropes,
associée aux autres données d’une situation, permet de tracer, au moins
qualitativement, les réseaux d’isothermes et de lignes de flux et d’appréhender ainsi la
cartographie thermique du problème. À cet égard, il est utile de noter que, les Transferts de chaleur par conduction 9
Figure 2 1 Gradient de température, lignes des flux et surfaces isothermes dans des
espaces bi- et tridimensionnel
Les lignes isothermes dans l’espace 2D sont les traces des surfaces isothermes de l’espace
3D
parois d’un tube de flux étant normales aux isothermes, aucun flux ne les
traverse. Ce sont donc des surfaces adiabatiques. En régime permanent le flux est
conservatif dans un tube de flux.
2. ■ Loi de Fourier
La loi fondamentale de la conduction, publiée en 1822 par Joseph Fourier, a
été établie par ce mathématicien et physicien dès 1807, suite à des observations
antérieures d’un autre savant français, Jean-Baptiste Biot.
La loi de Fourier peut être énoncée en termes d’énergie, de flux, ou de densité
de flux de chaleur.
2.1. Loi de Fourier pour un milieu isotrope
La quantité de chaleur δQ [J] traversant pendant un temps dt, dans le sens de 
la normale n, un élément de surface dS situé dans un milieu matériel homogène
et isotrope, solide ou fluide au repos, est proportionnelle à :
– la conductivité thermique λ [W/(m.K)] du milieu, qui est une propriété de
la matière,
– la dérivée ∂∂Tn [K/W] de la température suivant la normale à dS orientée
dans le sens de diffusion de la chaleur,
2– l’aire dS de l’élément de surface [m ],
– la durée dt [s],10 Transferts thermiques
soit :
∂T
δQ =− dSdt [J] [2.2]
∂n
où ∂∂Tn, dérivée normale de la température, est la projection du vecteur
gradient de température sur la normale à dS. On a ainsi :
 ∂T
=∇Tn◊ [2.3]
∂n
Remarques :
1 Comme représenté sur la figure 2 2 , l’élément dS peut ne pas être
perpendiculaire à la direction des lignes de flux

2 Signe : avec l’orientation choisie pour n (dans le sens de diffusion de la chaleur),
∂∂Tn < 0 traduit le fait que la température décroît dans le sens de diffusion de
la chaleur Le signe négatif de la loi de Fourier compense le caractère négatif de
∂∂Tn pour donner une quantité δQ > 0
3 Pour un milieu homogène et isotrope la conductivité λ est un scalaire ne
dépendant que de la température Dans la pratique, lorsque les écarts de température
sont modérés, on peut raisonnablement considérer λ comme constante dans le
milieu étudié
Figure 2 2 Gradient et flux
La loi de Fourier peut aussi être énoncée en termes de flux ou de densité de
flux de chaleur. Le flux traversant l’élément dS étant dq = δQdt la loi de Fourier
en termes de flux prend l’une des formes suivantes :
∂T
dq =−λ dS
∂n
 
dq =−λ∇◊T ndS [W] [2.4]Transferts de chaleur par conduction 11
La densité de flux étant qd′′ = qdS, la loi de Fourier exprimée en densité de
flux prend l’une des formes :
∂T
q′′ =−λ [2.5]
∂n
 
2ou qT′′ =−λ∇◊n [W/m]v[2.6]
Attention : q′′ est un scalaire.
2.2. Vecteur densité de flux
La densité de flux peut aussi être représentée à l’aide d’un vecteur traduisant
à la fois l’intensité et l’orientation du flux de chaleur en chaque point du milieu.
La loi de Fourier s’écrit ainsi :

2 qT′′ =−λ∇ [W/m] [2.7]
Les vecteurs densité de flux et gradient de température sont tous deux portés
par la tangente à la ligne de flux locale mais sont orientés en sens opposés. Le
vecteur densité de flux indique le sens de diffusion de la chaleur. Il est donc
orienté dans le sens de la ligne de flux : « la chaleur diffuse vers les températures
décroissantes ».
La grandeur scalaire densité de flux est la projection du vecteur densité de flux    
sur la normale n (de composantes nx, ny, nz) à l’élément de surface au travers
duquel diffuse la chaleur. Ainsi :

qT′′ = q ′′ ◊=nn−∇λ ◊ [2.8]
   ∂T ∂T ∂T ∂T⎛ ⎞soit : q′′ − λλij + + kn ◊+ xy nn+ z =− . [2.9]()⎝ ⎠∂x ∂y ∂z ∂n
Dans la pratique, on s’intéresse souvent aux densités de flux traversant des
surfaces perpendiculaires aux axes de coordonnées. On considère ainsi des
densités de flux :
∂T ∂T ∂T
q′′ =−λ , q′′ =−λ et q′′ =−λ . [2.10]x y z∂x ∂y ∂z
2.3. Loi de Fourier en milieu anisotrope

Dans un milieu anisotrope la conductivité dépend de la direction n. Elle n’est
plus un scalaire mais un tenseur symétrique d’ordre 2 possédant en général trois
directions principales. La loi de Fourier s’écrit alors :

qT′′ =−λ∇ [2.11]12 Transferts thermiques
où λ est le tenseur des conductivités. Le vecteur densité de flux n’est plus normal
aux isothermes, sauf quand le gradient de température est colinéaire avec l’une
des directions principales de conductivité. Comme conséquence, les lignes de
flux ne sont en général pas orthogonales aux surfaces isothermes.
Bien qu’ils correspondent à de nombreux matériaux composites d’usage
courant (stratifiés, multicouches, matériaux à fibres de renforcement, etc.), les
milieux anisotropes constituent des situations plus complexes qui ne seront pas
traitées dans cet ouvrage.
2.4. Conductivité thermique. Ordres de grandeur.
Évolution avec la température et la pression
Les conductivités thermiques connues s’étendent sur une très vaste plage de
–4 –1 –1valeurs, allant de moins de 10 .Wm .K pour les super-isolants cryogéniques
4sous vide, à environ 10 pour les caloducs les plus performants. À l’intérieur
de cette plage, les matériaux naturels occupent une zone plus restreinte, située
approximativement entre 0,01 pour les gaz non métalliques et plus de 1 000 pour
certaines formes de diamant : on retiendra schématiquement que ce sont les gaz
qui présentent les plus faibles conductivités et les métaux les plus fortes, avec
des valeurs intermédiaires pour les liquides non métalliques (environ 0,1 à 1) et
les solides non métalliques (environ 0,1 à 10 pour la plupart des matériaux de
construction : bois, verres, béton, briques, pierres, etc.). Certains matériaux non
métalliques cristallins (graphite, silicium) ont des conductivités du même ordre
de grandeur que celles des métaux et même plus élevées (diamant, graphite
pyrolytique dans le sens parallèle à ses feuillets). Les isolants poreux de faible densité
(fibres, mousses, poudres, etc. : peu de matière solide emprisonnant une quantité
importante de gaz) présentent des conductivités approchant celles des gaz qu’ils
renferment. Les conductivités des métaux liquides sont du même ordre de
grandeur que celles des solides correspondants.
Le tableau 2.1. et la figure 2.3. fournissent une vue d’ensemble sur les ordres
de grandeur des conductivités thermiques.
Dans les gaz, la diffusion de la chaleur peut être considérée comme résultant
d’un mécanisme collisionnel entre les molécules en agitation permanente.
Tableau 2 1 Plages de valeurs de λ pour différentes familles de matériaux
–1 –1Familles de matériaux en Wm K
Métaux solides 12 à 400
Solides non métalliques 0,1 à 180
Liquides non métalliques 0,07 à 0,7
Matériaux isolants non évacués 0,025 à 0,12
Gaz à la pression atmosphérique 0,01 à 0,18Transferts de chaleur par conduction 13
Figure 2 3 Ordres de grandeur des conductivités thermiques des matériaux à la
température ambiante
(D’après Lienhard, A Heat Transfer Textbook, 4th ed , Version 2 02, June 2012, MIT ([1],
p 15), avec autorisation Pour les gaz non métalliques, la plage de valeurs englobe les
hautes températures
La théorie cinétique des gaz fournit une prédiction de la conductivité
thermique en assez bon accord avec les résultats expérimentaux, pour autant que la
pression reste modérée et la température ne soit pas extrême.
Dans le cas des liquides, la conduction thermique peut être considérée comme
due à une oscillation élastique des molécules.
Le transfert thermique conductif dans les solides procède d’un mécanisme
combinant un transport par les électrons libres, se traduisant par une conductivité
électronique λ avec les effets de vibration du réseau des ions, dont les quanta él
produisent la conductivité phononique λ s’ajoutant à la précédente. On a ainsi : pn
λλ=+ λ Pour les métaux, la conductivité électronique est prépondérante : él pn≅ ; tandis que, dans le cas des matériaux diélectriques, c’est l’inverse : él
λλ≅ . Les semi-conducteurs ont un comportement intermédiaire.pn
Quelques tendances peuvent être soulignées concernant l’évolution de λ avec
la température et la pression :
– Gaz : leur conductivité augmente modérément avec la température
()λ ∝ T et varie peu avec la pression, excepté pour les vapeurs saturantes. 14 Transferts thermiques
Pour la vapeur saturante d’eau, elle varie comme T (T étant exprimée en
Kelvin).
– Liquides non-métalliques : en général, leur conductivité diminue avec la
température et augmente avec la pression. Quelques exceptions,
notamment l’eau dont la conductivité présente un maximum aux environs de
150 °C. Les métaux liquides, du fait de l’intervention des électrons libres
et des phonons dans leurs mécanismes de transfert thermique, ont une
conductivité bien plus importante, proche de celle des métaux solides.
– Métaux solides : aux très basses températures la conductivité λ des métaux
purs évolue rapidement, passant par un maximum situé à quelques K, pour
décroître ensuite continûment avec l’augmentation de T. Les alliages et
métaux contenant des impuretés présentent des variantes à ce
comportement : la température du maximum de conductivité augmente, tandis que
son niveau diminue.
– Solides non métalliques : différents comportements de leur conductivité
en fonction de la température sont observés. Il s’agit souvent de matériaux
non homogènes pour lesquels la conductivité est une grandeur effective,
dépendant de la composition, de la nature des composants, de la structure,
de la porosité. Lorsqu’il s’agit de matériaux fortement poreux, comme
c’est le cas des isolants thermiques (fibres, mousses, granulats, etc.), ou
de certains réfractaires, leur conductivité suit le comportement de celle du
gaz contenu dans les pores (λ ∝ T ). Les courbes d’évolution en
température de la conductivité de différents milieux matériels, présentées à
la figure 2.4., illustrent ces tendances. La conductivité thermique varie en
général de manière lente avec la température, ce qui permet de la
considérer comme constante dans une plage de température limitée où l’on adopte
sa valeur moyenne dans les calculs. On peut aussi adopter une loi linéaire
du type λλ=+ ()1 βT où β est un coefficient de température et λ la 0 0
conductivité à une température de référence T .0
3. ■ Équation de diffusion de la chaleur
(ou équation de la conduction)
3.1. Forme générale pour un milieu homogène et isotrope
On établit cette équation à partir d’un bilan énergétique sur un volume de
matière et en appliquant le premier principe de la thermodynamique (conservation
de l’énergie). Dans un but de simplicité, on suppose que le milieu est immobile
et que les travaux de déformation dont il peut être l’objet sont négligeables par
rapport aux quantités de chaleur mises en jeu (c’est le cas pour un solide, ou un
fluide « incompressible » : cc== c). On peut effectuer le bilan sur un volume vp
de contrôle fini (bilan intégral) ou sur un volume élémentaire (bilan différentiel).Transferts de chaleur par conduction 15
Figure 2 4 Évolution en température de la conductivité thermique de divers milieux
matériels
3 1 1 Bilan intégral
Considérons un volume V de matière délimité par une surface S dont la nor-
male extérieure est n (voir figure 2.5.).
Figure 2 5 Volume de contrôle 16 Transferts thermiques
Le bilan s’énonce :
⎛Quantité de chaleur ⎞ ⎛Quantité de chaleur⎞
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Variation d’énergie reçue par le corps au générée au sein du ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟interne du corps = travers de la frontière S + corps par unité de
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟par unité de temps par unité de temps (flux temps (sources ou⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
entrantf− lux sortant) puits de chaleurs)⎝ ⎠ ⎝ ⎠
On le formalise ainsi :
∂T
ρc dv =−qn′′ ◊+dS qd′′′ v, [2.12]∫∫ ∫∂tVS V
–3où : ρ = masse volumique du corps [kg.m ] ;
c = chaleur massique [J/(kg.K)] ;
–3q′′′ = puissance volumique [W.m ] des sources ou puits de chaleur (effet
Joule, réactions chimiques, nucléaires, etc.).
Le signe (–) du flux vient du fait que l’on compte positivement le flux sortant de V.
L’intégrale de surface est ensuite transformée en intégrale de volume par le
théorème du flux – divergence de Green – Ostrogradski, applicable si l’on sup-
pose que la densité de flux q′′ est une fonction continûment dérivable par rapport
aux coordonnées d’espace :
 
q′′.ndS =∇ ◊qd′′ v [2.13]∫∫
SV
 
où ∇◊ q′′ désigne la divergence du vecteur densité de flux.
∂T
Ainsi : ρc dv =−∇qd′′ vq+ ′′′dv,∫∫ ∫∂tVV V
⎛ ⎞∂T
soit ρc +∇qq′′ − ′′′ dv = 0 [2.14]∫ ⎜ ⎟⎝ ∂t ⎠V
Cette expression doit être vérifiée quel que soit le volume V. Cela n’est
possible que si le terme entre crochets est en tout point nul, soit :
 ∂T
ρc =∇ ◊−()qq′′ + ′′′ [2.15]
∂t
Remarques :
1 Sous cette dernière forme, l’équation est locale et s’applique à une matière
pouvant être non-homogène et non-isotrope
2 Si les travaux de dilation ne sont pas nuls (fluide compressible, gaz), mais que
la matière reste immobile, on peut en tenir compte, dans le cas d’une pression
extérieure constante, en considérant la variation d’enthalpie massique ρcT ∂∂t p
à la place de celle de l’énergie interne ρcT ∂∂t vTransferts de chaleur par conduction 17
La présentation sera limitée, dans cet ouvrage, au cas de milieux homogènes
et isotropes dont les propriétés sont représentées par des variables scalaires
pouvant cependant varier avec la température et donc la position et le temps.
–3Les termes de cette équation ont pour unité le W.m . Le premier terme
contient la capacité ou inertie thermique, traduisant un effet de retard dans la
diffusion de la chaleur.
3 1 2 Bilan énergétique différentiel
L’équation de la conduction peut aussi être établie à partir d’un bilan
énergétique sur un élément de volume infinitésimal (figure 2.6.). Le développement est
présenté en coordonnées cartésiennes tridimensionnelles.
On considère un élément de volume dv = dx dy dz situé dans un corps siège
d’un champ de température T(x,y,z,t). Les facettes de dv sont parallèles aux plans
définis par les axes de coordonnées. L’élément de volume est traversé par un flux 
de chaleur conductif représenté par le vecteur de densité de flux q′′ de
composantes q′′, q′′ et q′′.x y z
Figure 2 6 Densité de flux traversant un élément de volume
Le bilan sur l’élément de volume s’énonce :
« Variation par unité de temps de l’énergie interne de l’élément dv
= (flux entrant dans dv – flux sortant de dv) par conduction
–3+ puissance q′′′ (W.m ) générée dans dv par les sources ou puits volumiques ».
On formalise ce bilan comme suit :
∂T ⎡ ⎤ρc dv = ⎡qx′′() − qx′′()+ dx ⎤ Sq+ ()yq− ()yd+ yS′′ ′′⎣ xx ⎦ xy yy⎣ ⎦ ∂t
+ ⎡qz′′() − qz′′()+ dz ⎤ Sq+ ′′′dv⎣ zz ⎦ z
où Sd= ydz, Sd= xdz et Sd= xdy.x y z18 Transferts thermiques
Un développement en série de Taylor du terme qx′′()+ dx permet ensuite x
d’écrire : ∂q′′x 2 qx′′()+=dx qx′′() + dx + Ox(),xx ∂x
∂q′′x 2d’où : qx′′() − qx′′()+=dx − dx + Ox().xx ∂x
Des expressions similaires sont obtenues pour les autres termes. Le bilan
devient simplement :
∂q′′∂q′′ ∂q′′∂T yx z ρc dv =− dv − dv − dv + qd′′′ v,
∂t ∂x ∂y ∂z ⎛ ⎞∇◊⎜−q′′⎟⎝ ⎠
 ∂T
soit encore : ρc =∇ ◊−qq′′ + ′′′ [2.16]()
∂t
On retrouve comme il se doit l’expression fournie par le bilan intégral. 
Si l’on introduit la loi de Fourier qT′′ =−λ∇ dans l’équation de la
conduction, on obtient :
∂T
ρλc =∇ ◊∇Tq+ ′′′ [2.17]()
∂t
Sous cette forme la chaleur massique c et la conductivité thermique λ peuvent
varier avec la température et dépendre en conséquence de la position dans le
milieu et du temps. La source (ou puits) volumique q′′′ peut aussi varier avec la
position et le temps.
3.2. Diverses formes de l’équation de la conduction
• Si la conductivité λ est considérée comme constante dans le milieu, il vient :
 
2 ∇◊ λλ∇=TT∇◊ ∇= λ∇ T ,() ()
2où ∇ T est le laplacien de la température. D’où l’expression :
∂T 2 ρλc =∇ Tq+ ′′′ [2.18]
∂t
En introduisant le groupe de paramètres appelé diffusivité thermique et noté a :
λ
a = , [2.19]
ρc
l’équation de la conduction de chaleur prend la forme :
∂T2 λρ∇+Tq′′′ = c . [2.20]
∂tTransferts de chaleur par conduction 19
• Si, en outre, il n’y a pas de sources ni de puits de chaleur dans le milieu
()q′′′ = 0 :
∂T 1 ∂T2 2 λρ∇=Tc ou ∇−T = 0. [2.21]
∂t a ∂t
On voit ainsi que la diffusivité thermique a est le paramètre qui gouverne le
transfert de chaleur conductif non-stationnaire. Il s’agit d’un groupe de
paramètres formé du rapport de la conductivité thermique λ à la capacité thermique
ρ c. Pour qu’un corps diffuse rapidement la chaleur, il ne suffit pas qu’il soit bon
conducteur (λ grande), il faut également qu’il n’ait pas une capacité thermique
trop importante qui ralentirait le transfert conductif par effet de stockage.
∂T
• Si, en outre, le régime thermique est stationnaire (ou permanent), = 0
∂tet on obtient simplement
2 ∇=T 0. [2.22]
Le tableau 2.2. rassemble diverses formes de l’équation de la chaleur pour
un milieu homogène et isotrope, en coordonnées cartésiennes, cylindriques et
sphériques.
Tableau 2 2 Équation de la chaleur en coordonnées cartésiennes, cylindriques et
sphériques
Coordonnées cartésiennes : Mx(, yz,)
∂ ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞λλ+ + λρ+ qc′′′ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂x ∂xy ∂ ⎝ ∂yz⎠ ∂ ∂z ∂t
si λ = constante :
2 2 2∂ T ∂ T ∂ T q ′′′ 1 ∂T
+ + + =2 2 2∂x ∂y ∂z λ a ∂t
Coordonnées cylindriques : Mr (,θ,)z
11∂ ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞λr + λ + λρ+ qc′′′ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟2⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠rr∂ ∂rr ∂θ ∂θ ∂z ∂z ∂t
si λ = constante :
2 211∂ ∂T ∂ TT ∂ 1 ∂T⎛ ⎞r + + + q ′′′ =⎜ ⎟ 2 2 2⎝ ⎠rr∂ ∂rr ∂θ ∂z a ∂t
2∇ T
avec symétrie de révolution autour de Oz : Mr (,z)
1 ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T⎛ ⎞ ⎛ ⎞λλr + + qc′′′ = ρ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠rr∂ ∂rz ∂ ∂z ∂t et λ = constante :
2 2∂ T 11∂T ∂ T q ′′′ ∂T
+ + + =2 2∂rr ∂r ∂z λ a ∂t20 Transferts thermiques
Coordonnées sphériques : Mr (,θφ ,)
11∂ ∂T ∂ ⎛ ∂T ⎞ 1 ∂ ∂T ∂T⎛ ⎞ ⎛ ⎞2λr + λφsin + λ + qc′′′ = ρ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟2 22 2⎝ ⎠ ⎝ ⎠rr ∂ ∂rr sinφφ∂ ⎝ ∂φφ⎠ r sin ∂θ ∂θ ∂t
si λ = constante :∂ ∂T ∂ ⎛ ∂T ⎞ 1 ∂ ∂Tq′′′ 1 ∂T⎛ ⎞ ⎛ ⎞2r + sinφ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟2 2⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠rr ∂ ∂rr sinφφ∂ ∂φφr sin ∂θθ ∂ λ a ∂t
avec symétrie autour de l’origine : Mr ()
1 ∂ ∂T ∂T⎞⎛ 2λρr + qc′′′ =⎜ ⎟2 ⎝ ⎠rr ∂ ∂r ∂t
avec symétrie autour de l’origine et λ = constante :
211∂ ∂T q ′′′ ∂T ∂ T 21∂T q ′′′ ∂T⎛ ⎞2r + = ou + + =⎜ ⎟2 2⎝ ⎠rr ∂ ∂r λ a ∂t ∂rr ∂r λ a ∂t
Remarques :
1 L’équation de la conduction traduit la conservation de l’énergie thermique dans
un milieu purement conductif (opaque, solide ou fluide immobile)
2 Pour les fluides en mouvement, l’équation de l’énergie incluant les effets du
transport convectif est présentée au chapitre 3, 2 3
3 Dans le cas des milieux semi-transparents, à la divergence du flux conductif
il faut ajouter, dans l’équation de l’énergie, la divergence du flux radiatif qui
intervient comme un terme source volumique supplémentaire, dont l’évaluation
est présentée au chapitre 4, 4 3
Le calcul du champ de température consiste à intégrer l’équation de la chaleur
sur tout le domaine considéré, en appliquant des conditions aux limites et une
condition initiale.
3.3. Conditions aux limites et condition initiale
L’équation de chaleur à elle seule est dite indéfinie. Pour décrire complètement
un problème de conduction, il faut lui adjoindre des conditions aux limites, ainsi
qu’une condition initiale dans les cas instationnaires. La condition initiale est
la description du champ de température dans le corps considéré à un instant dit
initial, pris comme référence de temps.
3 3 1 Conditions aux limites extérieures

Soit M un point situé sur la surface frontière du corps. n est la normale en M
dirigée vers l’extérieur.Transferts de chaleur par conduction 21
Il existe trois types de conditions aux limites extérieures (figure 2.7.) :
re• A Condition de 1 espèce ou de température imposée, également appelée
condition de Dirichlet.
La température de surface prend une valeur imposée T (figure 2.7. a) :p
TM(,tT) = . [2.23]p
e• B Condition de 2 espèce, ou de flux imposé, également dite condition de
Neumann (figure 2.7. b).
La densité de flux à la surface prend une valeur imposée q′′ :p
⎛ ⎞∂T
−λ = q′′. [2.24]⎜ ⎟ p∂n⎝ ⎠Mt ,
Cas particulier : flux nul (q = 0), paroi adiabatique (bien isolée).′′p
e• C Condition de 3 espèce, ou condition mixte, également appelée condition
de Fourier ou de Newton (figure 2.7. c).
La densité de flux à la surface est proportionnelle à la différence entre la
température de surface TM(,t) et une température T caractéristique des échanges avec ∞
l’environnement extérieur :
∂T⎛ ⎞
−λ =−hT[]()Mt , T . [2.25]∞⎝ ⎠∂n Mt ,
–2 –1h est le coefficient d’échange superficiel (unités W.m .K ).
a) b) c)
Figure 2 7 Les 3 types de conditions aux limites extérieures : a) température imposée ;
b) densité de flux imposée ; c) condition mixte
3 3 2 Cas particuliers
⎛ ∂T ⎞ e• Si h → 0 on obtient : −λ = 0 ou q′′ = 0, condition de 2 espèce ⎜ ⎟ p⎝ ∂n ⎠Mt ,
avec un flux nul (paroi adiabatique).
re• Si h →∞ on obtient : TM() ,0tT−→ ou TM(,tT) = , condition de 1 [] ∞ ∞
espèce avec la température imposée.
re eCette aptitude à représenter, à la limite, les conditions de 1 et 2 espèces, vaut
eà celle de 3 espèce d’être également appelée condition mixte.22 Transferts thermiques
3 3 3 Diverses formes de la condition d’échange
avec le milieu environnant
• Échange par convection (environnement fluide) :
∂T⎛ ⎞ −λ =−hT []()Mt , T [2.26]c ∞⎝ ⎠∂n Mt ,
où T est une température caractéristique de l’environnement fluide et h est le ∞ c
coefficient d’échange thermique par convection (voir chapitre 3).
On le note simplement h lorsque le rayonnement n’est pas à prendre en compte.
• Échange par rayonnement (avec un environnement solide, c’est-à-dire
composé d’autres surfaces)
∂T⎛ ⎞ 44 −λσ =−hA TM() ,tT , [2.27][]rr⎝ ⎠∂n Mt ,
où T est la température moyenne des surfaces de l’environnement solide et A est r
un paramètre regroupant les propriétés radiatives des surfaces et la géométrie de
l’échange. σ est la constante de Stefan – Boltzmann. On montre (voir chapitre 4)
que, dans le cas de faibles différences de température, cette expression peut être
réécrite sous la forme suivante, en linéarisant l’expression du flux radiatif :
∂T⎛ ⎞ −λ , =−hT ()Mt T [2.28][]rr⎝ ⎠∂n Mt ,
13où hA= 4 σT est le coefficient d’échange radiatif, avec TT=+()Mt , T .[]r r2
• Échanges simultanés par rayonnement et par convection :
hh=+ h [2.29]cr
hT + hTcr∞ ret T = .[2.30]∞ hh+∞ r
Commentaire : en pratique, les conditions de densité de flux imposée et
d’échange superficiel avec un environnement de température donnée sont plus
faciles à réaliser que l’imposition d’une température uniforme sur toute une
surface. On peut imposer uniformément une densité de flux sur une surface en
y fixant, par exemple, une résistance électrique bien répartie. Il est également
aisé de mettre une surface en contact avec un fluide de température connue ou
de l’exposer à un rayonnement de densité de flux connue, à peu près
uniformément réparti. On peut imposer la température d’une surface par contact avec un
fluide subissant un changement de phase. Dans la modélisation des problèmes
thermiques, une grandeur imposée en tant que condition limite est en fait une
grandeur dont on a pu avoir la connaissance, par mesure ou par tout autre mode
d’évaluation suffisamment précis.Transferts de chaleur par conduction 23
3 3 4 Conditions au contact entre solides
Résistance thermique de contact
Le contact entre deux solides est plus ou moins bon selon leurs natures, leurs
rugosités, la pression de contact, la nature de l’assemblage (collage, soudage,
pressage, etc.) et celle du milieu interstitiel.
Un transfert conductif direct s’établit entre les solides aux points de contact
matériels (figure 2.8.). Ailleurs, un transfert indirect a lieu à travers le milieu
interstitiel. Lorsque la conductivité thermique de ce dernier est plus faible
que celle des solides en contact (situation la plus fréquente), les lignes de flux
convergent vers les zones de contact où le transfert conductif a lieu
préférentiellement. Ce phénomène est appelé constriction des lignes de flux.
Figure 2 8 Contact entre deux solides
Deux modèles de contact thermique sont communément utilisés :
– le contact parfait se traduisant par la continuité des températures et des
densités de flux à l’interface (située à l’abscisse M sur la figure 2.9.) :
Figure 2 9 Contact parfait
TM() = TM() où Tx () et Tx () sont les distributions de température dans 12 1 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂T ∂T1 2les deux solides et q′′ =−λλ =− ;x 1 ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟∂x ∂x⎝ ⎠ ⎝ ⎠−+MM
– le contact imparfait où il y a continuité des densités de flux, mais
discontinuité des températures à l’interface (figure 2.10.). Les resserrements
(constrictions) des lignes de flux vers les zones de contact réel créent
au niveau de l’interface une résistance au transfert de la chaleur qui est
responsable d’une discontinuité apparente de température entre les deux 24 Transferts thermiques
surfaces de contact. La capacité thermique du milieu interstitiel étant en
général négligeable, la densité de flux est supposée continue à l’interface.
On fait l’hypothèse que la discontinuité de température est proportionnelle
à la densité de flux.
Figure 2 10 Contact imparfait
⎛ ∂T ⎞ ⎛ ∂T ⎞1 2 q′′ =−λλ =− TM() −=TM() Rq′′ ′′. [2.31]x 1 ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ 12 cx∂x ∂x⎝ ⎠ ⎝ ⎠−+MM
2Le coefficient de proportionnalité R′′ [m K/W] est la résistance thermique c
de contact (RTC) pour l’unité de surface de l’interface. Le contact parfait
correspond à R′′ = 0. L’assemblage par soudure ou brasure permet d’approcher ce c
modèle. Le collage avec une colle ayant une conductivité thermique élevée
(plutôt rare) ou le remplissage de la zone interstitielle avec une graisse de contact
conductrice sont d’autres moyens de réduire la RTC. Les résistances thermiques
–8de contact que l’on trouve en pratique se situent dans une plage allant de 10
–4 2(contact parfait) à 10 m K/W. Elles interviennent de manière cruciale dans de
très nombreuses applications industrielles (notamment en microélectronique, en
dépôts de surface, ou en mécanique) où elles sont un facteur limitant pour le
transfert de chaleur.
La modélisation du contact thermique d’un élément (composant électronique
par exemple) déposé sur un substrat de dimensions plus grandes fait intervenir des
phénomènes de constriction à deux échelles, tenant compte respectivement de la
différence de taille (macro-constrictions) et du contact imparfait élément –
substrat (micro-constrictions). La connaissance des résistances thermiques de contact
est un enjeu technologique majeur, motivant de très nombreuses recherches
associant les expériences à la modélisation, parmi lesquelles on citera les travaux
précurseurs de Bardon [2, 3], Cooper et Yovanovich [4, 5], Beck [6], Laurent [7],
Degiovanni [8], ou plus récents de Bahrami et al. [9], Laraqi [10, 11], Grimaud
et al. [12]. Les références [13] et [14] contiennent des revues bibliographiques
bien documentées sur le sujet.Transferts de chaleur par conduction 25
4. ■ Conduction stationnaire avec  constante
4.1. Paroi plane avec génération volumique de chaleur
L’équation présentée chapitre 2, 3.1. se résume ici à :
2dT 1
+ qx′′′() = 0 [2.32]
2 λdx
La source (ou puits) volumique peut dépendre éventuellement de la position.
Si elle est constante, on note dans ce cas qx () = q et l’équation s’écrit :′′′ ′′′0
2 q′′′dT 0 =− [2.33]
2 λdx
Deux intégrations successives fournissent:
q′′′dT 0 =− xC+[2.34]1dx λ
q′′′0 2et Tx() =− xC++ xC [2.35]12λ
Le profil de températures obtenu est parabolique.
C et C sont des constantes à déterminer par deux conditions aux limites.1 2
Remarques :
1 Les conditions aux limites peuvent être des trois types présentés
précédemment, avec cependant des restrictions On ne peut pas prescrire simultanément
des conditions quelconques de flux imposé sur les deux faces sous peine d’aboutir
à une situation où il n’y a pas de régime permanent On peut aisément le
comprendre en considérant le cas d’une paroi isolée sur ses deux faces dans laquelle
une source répartie dissipe de la chaleur, par exemple une résistance électrique
(en forme de ruban) Il est clair que sa température ne cessera de croître (jusqu’à
la fusion du matériau)
2 Une fois déterminée C l’expression de la dérivée de la température permet de 1
calculer la densité de flux en toute abscisse x :
dT
qx′′ () =−λ [2 36]
dx
Ces remarques s’appliquent aux autres types de géométrie (cylindre, sphère)
abordés plus loin
4.2. Paroi plane sans génération volumique de chaleur
L’équation indéfinie de la chaleur se réduit dans ce cas à :
2dT
= 0 [2.37]
2dx26 Transferts thermiques
dT
Une première intégration donne : = C [2.38]1dx
La seconde intégration fournit : Tx() =+Cx C [2.39]12
On obtient un profil de température linéaire. C et C sont des constantes d’in-1 2
tégration à déterminer par les conditions aux limites. Examinons quelques cas.
En faisant T = 0, on note que CT = (0), qui peut ne pas être une condition 2
limite.
4 2 1 Températures des surfaces imposées
En x = 0 : TT= et en x = L : TT= (figure 2.11.).1 2
Figure 2 11 Profil de température linéaire dans une paroi plane
TT−21Les constantes C et C sont alors définies par C = et CT = .1 2 1 21L
x
On obtient ainsi : Tx() =−()TT + T .
21 1L
TT− TT−dT 21 12La densité de flux de chaleur est égale à : q′′ =−λλ =− = λ .x dx L L
Le flux total traversant une surface d’aire S est donné par :
TT− TT−12 12 qq= ′′SS= λ =x LL
λS
que l’on peut écrire sous la forme :
∆T
q = [2.40]
RCD
où ∆=TT − T [K] est la différence de température entre les deux faces de la 12
L
paroi et R = [K/W] est la résistance thermique de conduction de la paroi.
CD λSTransferts de chaleur par conduction 27
4 2 2 Échange superficiel en x = 0 et température imposée en x = L
dT
En x = 0 : −=λ hT()− T soit −=λCh ()TC− .∞ 1 12 ∞dx
En x = L : TC=+ LC .21 2
On a ainsi deux équations à deux inconnues dont la solution est :
TT− TT−2 ∞ ∞ 2 A = et BT=+ L2Lh+ λ Lh+ λ
TT− x⎛ ⎞∞ 2d’où : Tx() = 1 − + T .2⎝ ⎠1 + λ ()hL L
Il s’agit, ici encore, d’une distribution de température linéaire (figure 2.12.).
Figure 2 12 Paroi plane avec échange convectif sur une face et température imposée
sur l’autre face
La température de la surface en x = 0 est
TT−∞ 2 TT==(0x ) = + T . [2.41]1 21(+ λ hL)
Flux traversant la paroi :
TT− TT−12 ∞ 2 q = = . [2.42]
11 1
+
λλS ShS
On peut aussi calculer ce flux comme celui traversant l’interface de la plaque
en x = 0 :
TT− TT−∞∞11 qh=−ST() T = = [2.43]∞ 1 1 RS
hS
1
où R = est la résistance thermique d’échange superficiel (unité : K/W).S hS
N.B. : l’indice S de la résistance d’échange superficiel sera remplacé par CV
dans le cas d’un échange convectif et par R pour un échange radiatif.28 Transferts thermiques
4 2 3 Résistances thermiques : analogie avec les circuits électriques
Dans cette analogie, les températures apparaissent comme des « potentiels
thermiques » et le flux de chaleur est assimilé à un « courant thermique », allant
du nœud de potentiel le plus élevé (ici T ) vers celui de potentiel le plus bas ()T en 2 ∞
traversant, dans l’exemple ci-dessus, deux résistances thermiques en série, l’une
de conduction, l’autre d’échange superficiel convectif, représentées figure 2.13.
Figure 2 13 Résistances thermiques en série
Les résistances thermiques sont un outil très efficace pour traiter de manière
simple des problèmes de conduction monodimensionnelle avec diverses
conditions aux limites, en régime permanent, sans sources ou puits internes.
Par exemple, dans le cas d’une paroi multicouche soumise à des échanges
convectifs sur ses deux faces avec des milieux environnants de températures T ∞1
et T (figure 2.14. a), le flux traversant sera fourni par l’expression :∞2
TT − ∞∞12 i q = avec R = [2.44]in λ SiRR++ R∑cv12 icv
i =1
où n est le nombre de couches d’épaisseurs  , conductivités λ et aire S, R , Ri i cv1 cv2
et les R étant respectivement les résistances thermiques superficielles et internes.i
a) b)
Figure 2 14 Parois planes multicouches
On peut aussi évaluer la température en une position x dans la couche i par
l’expression :
i −1⎛ ⎞x TT −i ∞∞12 Tx() =−TR ++ R∑∞11⎜ cv i ⎟ nλ S⎝ ⎠i =1 i RR++ R∑cv12 icv
i =1Transferts de chaleur par conduction 29
► EXEMPLE 2.1
La paroi d’un four est composée de deux couches (figure 2.14. b). L’une est en
brique réfractaire d’épaisseur L = 0,20 m, conductivité λ = 1,38 W/(mK). L’autre 1 1
est en matériau isolant d’épaisseur L = 0,10 m, conductivité λ = 0,17 W/(mK) . 2 2
La température à l’intérieur du four est T = 1 650 °C et le coefficient d’échange ∞1
2h sur la paroi intérieure est estimé à 70 W/(m K). À l’extérieur, la température 1
2ambiante est T = 25 °C et le coefficient d’échange h est estimé à 10 W/(m K). ∞2 2
On se propose de calculer les pertes de chaleur par unité de surface de la paroi,
ainsi que les températures des faces interne et externe, celle de l’interface des
deux couches, et les gradients de température dans les deux couches.
Solution
– La relation [2.44] fournit les pertes thermiques (flux traversant la paroi) :
TT − TT −q′ ∞∞12 ∞∞12 q′′ = = =
S RR ++ RR+ S LL() 11cv11 22 cv 1 2
++ +
h λλ h1 1 22
1650 − 25 2soit q′′ = = 1916 W/m .
0,0143 ++0,1449 0,5882 + 0,100
On observe la faible contribution des résistances de convection à la résistance
totale. En contrepartie la couche isolante, qui occupe le tiers de l’épaisseur de la
paroi, représente les trois quarts de la résistance thermique totale.
– La température T de la face interne est fournie par la relation :p1
1
TT −= qC′′ =×0,0413 1916 =°27,4∞11 p h
1
soit TC=°1622,6 ≈ T .p11 ∞
On note que cette température est peu différente de celle de l’ambiance
intérieure.
– La température T ′ de l’interface entre les deux couches est obtenue de la
L1même façon : TT − ′ = q′′ soit TC′ =°1344,6 .p1 λ1
– La température T de la face externe a pour expression :p2
1
TT =+ =°216,6 C.p22 ∞ h2
– On obtient finalement les pentes des droites T(x) :
TT − ′ TT′ −q′′ q′′p1 p2
= =°1388 Cm/ et = =°11270 Cm/ .
L λ L λ11 2230 Transferts thermiques
Les pentes sont inversement proportionnelles à la conductivité du matériau.
Ainsi, pour le réfractaire de conductivité λ = 1,38 W/(mK), la pente est environ 1
8 fois plus faible que dans l’isolant où λ = 0,17 W/(mK).2
4 2 4 Parois composites
Bien qu’étant un outil prévu pour des géométries 1D, les résistances thermiques
permettent de traiter des problèmes de transfert stationnaire dans des parois plus
complexes, comme illustré dans l’exemple ci-après d’une paroi de bâtiment
composée de parpaings creux remplis d’isolant (figure 2.15.). Le transfert n’est certes
pas unidimensionnel, mais le modèle des résistances thermiques fournit en pratique
des résultats satisfaisants. Compte-tenu des axes de symétrie permettant de définir
la structure par la répétition d’un motif de hauteur b, la résistance thermique globale
est obtenue en combinant les résistances en série et en parallèle selon les règles
classiques de l’électricité. Pour une largeur unité et une hauteur b = b + b + b la 1 2 3
résistance thermique équivalente globale a pour expression :
1
RR=+ R + ++RRcc11 2211 1
++
RR R34 5
  1 1 12 1 1où R = , R = , RR== , R = , R = et R = .c1 c2 12 3 4 5hb hb λ b λ b λ b λ b1 2 2 11 22 13
Figure 2 15 Paroi composite
Une fois évaluée la résistance R, le flux traversant la paroi est obtenu par :
TT −∞∞12 q = .
RTransferts de chaleur par conduction 31
► EXEMPLE 2.2
On se propose de comparer les résistances thermiques, flux et températures de
surfaces dans le cas d’un mur de bâtiment en maçonnerie, d’épaisseur e = 0,20 m, 1
conductivité λ = 0,8 W/(mK) et du même mur lorsqu’il est pourvu d’une couche 1
isolante d’épaisseur e = 0,10 m, conductivité λ = 0,05 W/(mK), placée du côté 2 2
extérieur ou du côté intérieur. Pour les trois situations, on adopte des
températures d’ambiance et coefficients d’échange superficiels T = 20 °C, T = –5 °C, i e
2 2h = 8W/(m K), h = 15W/(m K), respectivement du côté intérieur et extérieur.i e
Solution
Évaluation des diverses résistances thermiques par unité de surface :
2– superficielle intérieure : Rh==10,125 m K/Wii
2– superficielle extérieure : ,067 m K/Wee
2– paroi en maçonnerie : Re== λ 0,25 m K/W11 1
2– couche isolante : Re == λ 1 m K/W22 2
Chaque résistance est la même dans les trois cas.
2La résistance totale a pour valeur : Rh=+11 he+= λ 0,442 m K/W ie 11
2sans isolant, et Rh=+11 he++ λλ e = 2,442 m K/W avec la isol ie 11 22
couche isolante, que celle-ci soit placée à l’intérieur ou à l’extérieur. On note
également que l’isolant intervient pour les 3/4 dans la résistance totale de la paroi isolée.
TT−ieCalculons le flux traversant l’unité de surface de la paroi : q′′ =
R−TTie2 2= 56,6 W/m sans isolant et q = = 10,2 W/m avec isolant. Le gain ′′isol Risol
apporté par l’isolation est très important. Il est en proportion de l’augmentation
de résistance.
Évaluons ensuite les températures de surface T et T .pi pe
Côté intérieur : TT−= qh′′ipii
– sans isolant : TT 7,1 °C et TC=°12,9 ;ipi pi
– avec isolant : TT−= 1,3 °C et 18,7 .ipi pi
En absence d’isolation la paroi intérieure est bien plus froide, ce qui ajoute de
l’inconfort à la dépense excessive d’énergie.
Côté extérieur : TT −= qh′′ ,pe ee
– sans isolant : −= 3,8 °C et TC=−1,2 ° ;pe e pe
– avec isolant : TT −= 0,7 °C et =−4,3 ° .pe e pe
En apparence, il n’y a pas de différence, quel que soit le côté du mur où
l’isolant est placé. Calculons cependant dans les deux cas la température T de l’inter-0
face entre la paroi en maçonnerie et la couche isolante.
– isolant du côté intérieur : TT −= Rq′′ =°20,5 C ; TC=−1,8 ° ;
pi 02 0
– isolant du côté extérieur : −= Rq2,6 C ; =°16,1 .′′pi 01 032 Transferts thermiques
Lorsque l’isolant est placé du côté extérieur, la température à l’interface
isolant/maçonnerie est à un niveau plus élevé (1TC=°6,1) que lorsque l’isolant est 0
à l’intérieur (1TC=− ,8 ° ) (voir figure 2.16). Dans ce dernier cas, la température 0
relativement basse à l’interface peut être génératrice de phénomènes de
condensation, raison pour laquelle les matériaux isolants pour le bâtiment sont
généralement pourvus d’un film dit « pare-vapeur ».
Figure 2 16 Profils de température dans un mur avec un isolant placé du côté extérieur
ou intérieur
4.3. Géométrie cylindrique monodimensionnelle
On considère la conduction thermique en régime permanent dans un cylindre
infiniment long dans la direction z avec une conductivité λ constante, et
d’éventuelles sources volumiques internes constantes. L’équation de la chaleur s’écrit :
2dT 1 dT q′′′
++ = 0. [2.45]
2 r dr λdr
2dT 11dT d dt⎛ ⎞Comme += r , l’équation devient :
2 ⎝ ⎠r dr r dr drdr
1 d ⎛ dT ⎞ q′′′
r + = 0. [2.46]⎜ ⎟r dr ⎝ dr ⎠ λ
Le terme source volumique q′′′ peut être fonction de la position qq′′′ = ′′′ ()r .
Si qc′′′ ==te q′′′, l’équation s’écrit :0
d ⎛ dT ⎞ q′′′0 r =−r , [2.47]⎜ ⎟dr ⎝ dr ⎠ λ
qui s’intègre en :
q′′′ q′′′ CdT dT0 2 01 r =− rC+ soit =− r + . [2.48]1dr 2λ dr 2λ rTransferts de chaleur par conduction 33
Une deuxième intégration conduit à
q′′′0 2 Tr =− rC++lnrC . [2.49]() 124λ
Les conditions limites déterminent les constantes C et C .1 2
Comme dans la géométrie plane, une fois obtenue la dérivée de la
température, on accède à la densité de flux traversant les différentes surfaces isothermes.
4 3 1 Cylindre plein avec génération volumique de chaleur
R est le rayon du cylindre. L’axe (r = 0) est un axe de symétrie du champ de
température T(r). C’est donc un lieu de flux nul. Ainsi, en r = 0, on a dT dr = 0.
On observe en outre, en r = 0, une singularité de l’expression de dT dr :
lorsque r tend vers zéro, le terme ln(r) tend vers l’infini par valeur négative. On
en déduit que C = 0. En r = R choisissons le cas d’une température imposée 1
T(R) = T .2
q′′′ q′′′0 02 2Ainsi : T =− RC+ soit CT=+ R .2 2 224λ 4λ
La distribution de température s’écrit donc :
q′′′0 22 Tr () = Rr −+ T . [2.50]() 24λ
C’est un profil de température parabolique décroissant depuis r = 0 jusqu’à
r = R où T = T . La température maximale T sur l’axe est donnée par :2 max
q′′′0 2 TT ==()0 RT + . [2.51]max 24λ
La densité de flux est donnée par :
qR′′′dT 0 qR′′′() =− λ = . [2.52]r dr 2rR=
Ce modèle permet en particulier de traiter des problèmes de résistances
électriques.
► EXEMPLE 2.3
Calcul de la température en surface et sur l’axe d’un fil résistant électrique de
diamètre 2 mm, longueur L =1 m, conductivité thermique λ = 20 W/(mK),
résistivité électrique ρ = 63 μΩ.cm. Cette résistance, traversée par un courant élec-e
trique d’intensité I = 100 A, est plongée dans un liquide à la température de 50 °C
dans lequel elle dissipe la chaleur au prorata d’un coefficient d’échange estimé à
21 000 W/(m K). On note s la section droite du fil.34 Transferts thermiques
Solution
Si l’on néglige le transfert thermique par conduction dans ses bornes, la
puissance P générée par effet Joule dans le fil est dissipée dans le fluide selon
l’équation :
2PR== IhST()− T où R est la résistance électrique, S la surface exté-ep ∞ e
rieure du fil, T sa température de surface et T celle du bain. Cette équation p ∞
va permettre de calculer la température de surface et on sera ensuite ramené au
modèle de la section précédente qui fournira la température sur l’axe du fil.
−62RL==ρs (631××0)(100)/(0,1 )0= ,2ee
22 PR IW0,2 ×=100 2 000 e
−3⎡ ⎤TT=+ Ph/( SC)5=+ 02 000/1000  (2 × 10 )(1) =°368,3 .p ∞ ⎣ ⎦
Ainsi T =°368,3 C.p
23 − 26 3 qP′′′ ==/(RL)2 000/ (1 ×=10 )(1) 637 × 10 W/m.()
Le modèle de la section précédente, avec TT= ()R , fournit la température p
63 − 2q′′′ (637 ××10 )(110)2T(0) = RT += +=368 376 °C. On trouve que p4λ (4)(20)
la température sur l’axe, T(0) = 376 °C, est supérieure de 8 °C à celle de la
surface.
4 3 2 Cylindre creux (tube) sans génération volumique de chaleur
et avec des températures de surfaces imposées
Les rayons intérieur et extérieur sont notés respectivement a et b. L est la
longueur, et q′′′ = 0 (pas de génération volumique de chaleur) (figure 2.17).
L’équation indéfinie de la conduction [2.45] devient :
1 d ⎛ dT ⎞
r = 0. [2.53]⎜ ⎟r dr ⎝ dr ⎠
Figure 2 17 Cylindre creux avec températures imposées
Transferts de chaleur par conduction 35
On prend ici comme conditions aux limites deux températures imposées :
– en r = a, T(a) = T1
– et en r = b, T(b) = T2
dT
Première intégration : r = C1dr
CdT 1soit = .
dr r
Deuxième intégration : Tr () =+Crln C .12
Les deux constantes d’intégration C et C sont déterminées par les conditions 1 2
aux limites :
TC=+lnaC11 2
TClnbC21 2
TT− lna2d’où : C = et CT =− ()TT− .1 21 21ln ()ba ln ()ba
Finalement le profil adimensionnel de température devient :
Tr () − T ln ()ra1 = . [2.54]
TT− ln ()ba21
La densité de flux en est déduite aisément :
TT−dT 21 q′′ =−λλ =− [2.55]r dr rbln () a
ainsi que le flux :
TT− 2λ L21 qr() = qr′′ ()Sr() =−λ 2 rL =− ()TT . [2.56]21rbln () a ln ()ba
On observe que, si la densité de flux radiale q′′ dépend de r, le flux radial r
q ne varie pas avec r : c’est le même flux qui transverse les différentes surfaces
cylindriques au sein de la paroi. On peut donc écrire :
TT− ln ()ba21 q = avec R = , [2.57]CDR 2λ LCD
introduisant ainsi la résistance thermique de paroi cylindrique. Cela est
possible parce que la source volumique est nulle (q′′′ = 0) et que l’on est en régime
permanent.36 Transferts thermiques
4 3 3 Cylindre creux avec échanges convectifs interne et externe
On considère la situation d’un double transfert convectif avec un fluide à
l’intérieur du tube (T et h ) et un autre à l’extérieur (T et h ). Il n’y a pas de géné-∞1 1 ∞2 2
ration volumique de chaleur (voir figure 2.18., où le sens du flux est arbitraire).
Figure 2 18 Cylindre creux avec échanges convectifs interne et externe
Utilisons la méthode des résistances thermiques pour calculer le flux de
chaleur radial. La résistance thermique de conduction, notée ici R , a déjà été calcu-12
ln ()ba
lée : R = .12 2λ L
Les résistances thermiques de convection sont déduites des conditions aux
limites. Pour le transfert convectif à l’intérieur du tube, on obtient :
TT − 1∞11qq= ′′Sh=−ST () Ta=−2 Lh ()TT = avec R = ; r 11 11 ∞∞ 11 1 ∞1R 2aLh∞1 1
1
et pour le transfert thermique à l’extérieur du tube : R = .∞2 2bLh2
TT −∞∞12Le flux de chaleur radial est fourni par : q = .
RR ++ R∞∞1122
► EXEMPLE 2.4
Un tube mince en acier de diamètre extérieur 10 cm est maintenu à 130 °C
(paroi mince de conductivité élevée : elle est donc à peu près isotherme dans son
épaisseur). Le tube est entouré d’une couche d’isolant d’épaisseur 3 cm avec une
conductivité λ = 0,1 W/(mK). La température ambiante extérieure est de 30 °C
2et le coefficient d’échange thermique convectif h est estimé à 25 W/(m K), (voir
figure 2.19.). Quelle est la perte de chaleur par mètre de longueur de tube ?
Figure 2 19 Tube avec un manchon isolant Transferts de chaleur par conduction 37
Solution
On néglige l’épaisseur de la paroi en acier et sa résistance thermique de
conduction. Le flux s’écrit ainsi :
TT− TT−11∞∞q = = , où a et b sont respectivement les rayons
RR + ln ()ba 1CD CV +
2λ Lb 2 Lh
intérieur et extérieur de l’isolant.
Pour une longueur de tube de 1 m, on obtient ainsi :
130 − 30
q = = 120,8 W.
ln ()85 1
+
2(0,1)(1) 2(0,08)(1)(25)
On peut ensuite calculer la température de la surface extérieure de l’isolant :
q 120,8
TT=+ =+30 = 39,6 °C.2 ∞ 2bLh 2(0,08)(1)(25)
4.4. Sphère
L’équation correspondant à la géométrie sphérique 1D (voir chapitre 2, 3.2)
devient, en régime permanent :
qr′′′1 d ⎛ dT ⎞ ()2 r + = 0, [2.58]⎜ ⎟2r dr ⎝ dr ⎠ λ
où la source volumique peut éventuellement dépendre de la position r. Ce cas
sera traité en exercice. Ici supposons qr′′′ () = constante = q′′′. L’équation s’écrit 0
alors :
qd ⎛ dT ⎞ ′′′02 2 r =− r .⎜ ⎟dr ⎝ dr ⎠ λ
Deux intégrations fournissent successivement :
q′′′ CdT()r 01 =− r + , [2.59]
2dr 3λ r
q′′′ C0 2 1 Tr() =− r −+ C , [2.60]26λ r
où C et C sont des constantes à déterminer à l’aide de deux conditions aux 1 2
limites.38 Transferts thermiques
Comme pour le cylindre, si la sphère est pleine il y a lieu de considérer que
son centre, en raison de la symétrie, est un point de flux nul où la condition limite
dT
à appliquer est = 0.
dr
4.5. Ailettes. Modèle de la barre
Les ailettes sont un moyen usuel d’augmentation de la surface d’échange
d’un corps pour intensifier ses échanges thermiques avec son milieu environnant.
Différentes formes d’ailettes sont représentées sur la figure 2.20. Le choix et le
dimensionnement des ailettes constituent un problème industriel important.
Figure 2 20 Diverses configurations d’ailettes
Le champ thermique dans une ailette est généralement tridimensionnel.
Cependant, pour traiter de manière simple les problèmes d’ailettes, on se ramène
à une configuration monodimensionnelle en utilisant le modèle de la barre qui
consiste à supposer que le champ de température est uniforme dans toute section
parallèle à la base de l’ailette (section droite pour une ailette rectiligne). Ainsi
Tx(,yz,) ≅ Tx(), Ox étant l’axe perpendiculaire aux sections droites, ou l’axe
radial dans le cas des ailettes circulaires.
Le modèle de la barre n’est valable que si les transferts longitudinaux (dans la
direction perpendiculaire à la surface d’implantation) sont beaucoup importants
que les transferts latéraux. Cela nécessite :
– des dimensions transversales faibles devant la dimension longitudinale ;
– une conductivité thermique λ du matériau de l’ailette élevée ;
– des échanges transversaux modérés.
Ces conditions sont résumées dans le critère Bi < 0,1 où Bi est le nombre de
Biot transversal défini par :
h e
Bi = , [2.61]
λTransferts de chaleur par conduction 39
2où : h est la coefficient d’échange superficiel [W/(m K)] ;
λ, la conductivité thermique du matériau de l’ailette [W/(mK)] ;
e, une dimension transversale caractéristique de la section droite (demi-épaisseur
de l’ailette à sa base).
Le nombre de Biot est sans dimension.
Si Bi < 0,1 le corps concerné est dit thermiquement mince ; à l’opposé, si
Bi > 0,1 le corps est considéré comme thermiquement épais.
4 5 1 Équation générale de l’ailette
Établissons un bilan thermique sur un élément de longueur dx de l’ailette
représentée sur la figure 2.21. :
Flux entrant dans la section S(x) = flux sortant de la section S(x + dx) + flux
échangé par la surface latérale, de périmètre local P(x),
soit : qx() =+qx() dx +−hT ( ⎡ xT) ⎤ Px()dx,⎣ ∞ ⎦
dq
⎡ ⎤ou encore : qx() =+qx() dx +−hT ( xT) Px()dx,⎣ ∞ ⎦dx
dq
d’où l’équation : +−hT ( ⎡ xT) ⎤ Px() = 0.⎣ ∞ ⎦dx
dT
En introduisant la loi de Fourier, q =−λ Sx(), on obtient :
dx
dq d ⎡ dT ⎤
=−λ Sx() .⎢ ⎥dx dx dx⎣ ⎦
d ⎡ dT ⎤
D’où l’équation : −λ Sx() +−hT ( ⎡ xT) ⎤ Px() = 0.⎢ ⎥ ⎣ ∞ ⎦dx dx⎣ ⎦
Figure 2 21 Schéma d’une ailette rectiligne 40 Transferts thermiques
Dans le cas d’une barre de conductivité et de section constantes (Sx() = S , 0
P(x) = P et λ = cste), l’équation se simplifie en :
2dT
−+λS hP ( ⎡Tx)0− T ⎤ = ,0 ⎣ ∞ ⎦2dx
2dT hP
⎡ ⎤soit : −− Tx() T = 0. [2.62]⎣ ∞ ⎦2dx λS0
Une équation générale simple est ainsi obtenue pour la distribution de
température dans l’ailette :
2dT 2 ⎡ ⎤ −−mT()xT = 0, [2.63]∞⎣ ⎦2dx
où le paramètre m est défini par :
hP
m = . [2.64]
λS0
Cette équation admet une solution générale:
−+mx mx Tx() =+Ae Be +T , [2.65]∞
où A et B sont des constantes dont les valeurs dépendent des conditions aux
limites. En x = 0, Tx() = T , température de pied d’ailette. Pour la condition 0
limite en x = L (bout de l’ailette), trois cas sont habituellement considérés :
– Cas 1 : pour une ailette très longue, on peut écrire : Tx()→∞ = T .∞
On obtient B = 0 et AT=−T . Le profil de température adimensionnel dans 0 ∞
l’ailette devient dans ce cas :
Tx() −T ∞ −mx = e . [2.66]
TT−0 ∞
Le flux de chaleur évacué par l’ailette est obtenu à partir de la dérivée de T(x)
en x = 0 :
dT
qx(0== )(−=λλST − Tm) S . [2.67]00 ∞ 0dx x =0
La résistance thermique équivalente de l’ailette, définie par :
TT−0 ∞ R = [2.68]ail q
1
s’écrit ainsi : R = . [2.69]ail λ mS0
Transferts de chaleur par conduction 41
– Cas 2 : ailette de longueur moyenne, avec échange convectif en bout
(coefficient d’échange h ) :L
⎡ ⎤ qL′′() =−hT()LT .L ∞⎣ ⎦
Le profil adimensionnel de température dans l’ailette est dans ce cas :
Tx() −T ch mL()−+xH sh mL()− x[] []∞ = [2.70]
TT− ch ()mL + Hshm() L0 ∞
où Hh= ()λm . Le flux de chaleur évacué par l’ailette s’écrit :L
th ()mL + H
qT=−() Tm λ S . [2.71]00∞ 1 + Hthm () L
La résistance thermique équivalente de l’ailette a pour expression :
1 1 + Hthm () L
R = . [2.72]ail λ mS Ht+ hm () L0
– Cas 3 : ailette est de longueur modérée, mais on néglige l’échange
thermique au bout (surface du bout isolée ou adiabatique, ou simplement de
petites dimensions) :
dT
qL () = 0 ⇒ = 0.′′
dx L
La solution est identique à celle du cas précédent, mais avec h = 0. On L
obtient le profil de température :
Tx() − T ch []mL ()− x∞ = . [2.73]
TT− ch mL0 ∞
La résistance thermique équivalente de l’ailette devient dans ce cas :
1
R = . [2.74]ail λmS th ()mL0
Le tableau 2.3 résume les solutions relatives aux trois cas et la figure 2.22.
montre quelques exemples de l’évolution de la température dans l’ailette lorsque
l’échange thermique au bout est négligé (Cas 3).




42 Transferts thermiques
Tableau 2 3 Formules analytiques pour une ailette de section et conductivité thermique
constantes
Tx() − T TT−Cas ∞ Flux q 0 ∞R =ailTT q0 −∞
−mx 1e avec ()TT− λ m0 ∞
(1) λ mS0hP
TT()∞= m =∞
λ S0
ch []mL ()-x + H 1 1m+ Hth () LTT− λ mS()00∞ ×(2)
ch ()mL + H λ mS Ht+ h ()mL0th ()mL + HqL =′′ () ×
h 1t+ H hm() LhT []()LT− LL ∞ avec H =
λ m
(3) ch []mL ()-x 1 1TT− λ mS()00∞ ×
qL′′ () = 0 ch ()mL λ mS th ()mL0×th ()mL
()h = 0L
Figure 2 22 Profil de température adimensionnelle dans une ailette (Cas 3) en fonction
de la distance relative x/L et du paramètre mL
La courbe en pointillés représente la distribution pour une ailette « infiniment longue »
(Cas 1) avec mL = 2 D’après Grigull et Sandner, Heat Conduction, Springer Verlag, 1984
[15], avec l’autorisation de l’éditeur
4 5 2 Efficacité d’une ailette
Cette notion facilite le calcul des ailettes. L’efficacité d’une ailette, notée η,
quantifie son aptitude à transmettre de la chaleur par comparaison au cas idéal
d’une ailette de température uniforme égale à la température T de sa base. Ainsi :0Transferts de chaleur par conduction 43
q flux réellement échangé
η == [2.75]
q flux maximum échangeable max
qh =− S ()TT [2.76]maxail 0 ∞
où S = surface extérieure de l’ailette (à ne pas confondre avec la section droite ail
S ou S ). Connaissant l’efficacité η d’une ailette, on peut évaluer le flux qu’elle 0
transmet par l’expression :
qh=−η ST () T . [2.77]ail 0 ∞
L’efficacité η permet aussi d’évaluer la résistance thermique de l’ailette par :
1
R = . [2.78]ail η h Sail
On peut déduire η des expressions de q rassemblées dans le tableau 2.3.
Par exemple, pour l’ailette de section constante avec flux nul à l’extrémité
(Cas 3), on obtient :
()TT− λ m S th ()m Lq 00∞ η = = .
hS ()TT− h P L T()− Tail 0 ∞ 0 ∞
th m() L h P
D’où : η = avec m = [2.79]
m L λ S0
On trouve dans les ouvrages des abaques fournissant les efficacités de
différents types d’ailettes, notamment les abaques de Gardner (figures 2.23. et 2.24.).
Figure 2 23 Efficacité d’ailettes rectilignes de différents profils
y est l’épaisseur à la distance x de la racine D’après Gardner [16], avec l’autorisation
d’ASME

44 Transferts thermiques
Figure 2 24 Efficacité d’ailettes circulaires d’épaisseur e constante
D’après Gardner [16], avec l’autorisation d’ASME
4 5 3 Choix et conception d’une ailette
Les courbes d’efficacité montrent que celle-ci est maximum pour L → 0. Il
ne faut donc pas compter accroître l’efficacité en augmentant la longueur de
l’ailette. Il faut jouer sur la distribution de la matière, la conductivité du matériau,
etc. Dans la démarche, il faut choisir une résistance thermique équivalente de
l’ailette, R , qui soit inférieure à R qui est celle de la surface S sur laquelle est ail 0 0
implantée l’ailette :
1
RR<< = .ail 0 h S0
Les flux évacués avec et sans ailette sont respectivement :
TT−0 ∞ q = et qh=− S ()TT .ail 00 0 ∞Rail
1
Pour obtenir une augmentation de flux : qq > , il faut que R < .ail 0 ail h S0
Par exemple, dans le cas d’une ailette rectiligne d’épaisseur constante e, on
trouve :
dR h eail = 0 pour = 1.
dL 2 λTransferts de chaleur par conduction 45
Ainsi, lorsque :
dRh e ail• > 1, > 0, donc R augmente avec L (l’ailette est défavorable) ;ail2 λ dL
dRh e ail• < 1, < 0, donc R diminue avec L (l’ailette est favorable).ail2 λ dL
h e
En pratique, on utilise une ailette rectiligne uniquement si << 1.
2 λ
4 5 4 Usage des ailettes
• Les ailettes ne sont pas vraiment nécessaires lorsque la paroi est baignée par
un fluide subissant un changement de phase (ébullition, condensation), car dans
ce cas h est très grand. On utilise cependant des parois structurées pour
l’ébullition, mais c’est plutôt pour favoriser la nucléation ;
• les ailettes sont peu utiles pour les parois baignées par des liquides, car h est
généralement grand ;
• elles sont très utiles lorsque le fluide est un gaz (h modéré) ;
• des ailettes courtes et rapprochées sont plus efficaces, à surface d’échange
égale, que des ailettes longues et espacées (mais attention aux pertes de charge
dans des passages étroits entre les ailettes) ;
• plus la conductivité λ du matériau est élevée, meilleure est l’ailette.
4 5 5 Constriction des lignes de flux à la base de l’ailette
Les modélisations précédentes sont toutes fondées sur l’hypothèse que la
température de la base de l’ailette est la même que celle de sa surface d’implantation
en absence d’ailette ou loin de celle-ci. Ce n’est qu’une approximation, car
l’efficacité d’une ailette est diminuée par le phénomène de constriction
(resserrement) des lignes de flux à la base de l’ailette, qui n’est pas pris en compte dans
les modèles simplifiés. La figure 2.25. illustre schématiquement ce phénomène
que l’on essaie de quantifier en ajoutant, à la résistance thermique de l’ailette, une
résistance de constriction R pondérée par le rapport des aires de la section de la c
base d’ailette à celle de la surface d’influence S de l’ailette. Sans que ce soit A
forcément justifié, R est souvent négligée en raison de la difficulté de son éva-c
luation précise. On trouve dans Carslaw et Jaeger [17] deux expressions pour
cette résistance, évaluées dans le cas d’une ailette de section circulaire de rayon
r et de conductivité λ, implantée sur un solide semi-infini dont la surface plane 0
1 8
libre est isolée en dehors de l’ailette : R = et R = , selon respecti-c c 24r λ 3λ r0 0
vement que le cercle de contact est considéré comme isotherme ou traversé par
un flux de densité uniforme.46 Transferts thermiques
Figure 2 25 Constriction des lignes de flux à la base d’une ailette
À partir de calculs numériques du champ de température dans la surface
ailetée, Hennecke et Sparrow [18] ont proposé des abaques permettant de calculer, en
tenant compte du phénomène de constriction, la température à la base d’une
ailette en forme de tige, de section circulaire constante, rayon r et longueur L, 0
ainsi que le flux dissipé. Ces abaques sont représentés à la figure 2.26. Les
granhr0deurs d’entrée sont χ = mr (th mL) et le nombre de Biot Bi = . On note que 0 λ
le dimensionnement de l’ailette doit respecter la condition χ > Bi sans quoi
l’adjonction de l’ailette réduirait, au lieu d’accroître, la dissipation thermique de la
surface. La modélisation des phénomènes de constriction combinée le plus
souvent à celle d’un contact thermique a fait l’objet de nombreux travaux dans le
domaine de la métrologie thermique par capteur de contact. On citera en
particulier Cassagne et al. [19], Degiovanni, Rémy et André [20], ainsi que le chapitre 4
de la référence [21], par Yovanovitch et Marotta, dédié au sujet. On y trouve
notamment des expressions applicables au cas d’une ailette de section
rectangulaire.
Figure 2 26 Température et densité de flux à la base d’une ailette-tige cylindrique,
compte-tenu du phénomène de constriction des lignes de flux
D’après [18], avec l’autorisation d’Elsevier Transferts de chaleur par conduction 47
► EXEMPLE 2.5
L’objet considéré (figure 2.27.) est un cylindre de moteur thermique en alliage
d’aluminium (λ = 200 W/(mK)). Il est refroidi par air et pour cela il est pourvu
en périphérie d’un ensemble d’ailettes venant de fonderie. Son diamètre à la
base des ailettes est D = 60 mm et sa hauteur H = 100 mm. Caractéristiques des
ailettes : largeur radiale L = 20 mm, épaisseur e = 2 mm, nombre N = 10,
espacement d = 8 mm. En régime permanent la température à la surface extérieure du
cylindre est T = 550 K. Le cylindre dissipe de la chaleur par convection dans 0
2l’air à T = 300 K au prorata d’un coefficient d’échange h estimé à 60W/(m K). ∞
On se propose de calculer, sans tenir compte des phénomènes de constriction, le
flux de chaleur évacué par le cylindre aileté et la part de ce flux due aux seules
ailettes.
Figure 2 27 Cylindre aileté
Solution
Le flux total dissipé est composé du flux évacué par les ailettes et de celui
dissipé par la surface du cylindre non couverte par les ailettes (surface « hors
ailettes ») :
qh=+ (η )SS ()TT− où η est l’efficacité des ailettes.ail horsa 0il ∞
2 2La surface d’une seule ailette est Sr=+2[ () er/2 − ], où r et r sont 1 ail ei e i
respectivement ses rayons extérieur et intérieur. En exprimant les longueurs en m,
2 22on obtient : Sm=+2[ ()0,050 0,002/2 −=0,030 ]0,0107 .1 ail
2Ainsi : SN == 100×=,017 0,107ail 1 ail
La surface d’échange hors ailettes s’écrit Sr =−2  ()HN × e , soit horsi ail
2=−2  (0,030) [0,10(10 ×=0,002)] 0,0151 .hors ail
Avec les paramètres d’entrée (sans dimension) rr /0==,05/0,03 1,67 et ei
Lh 2/()λe =+(0,020 0,002/2)(26××0)/(200 0,001)0= ,514, l’abaque c
de la figure 2.24. fournit une efficacité d’ailette η = 0,93. D’où le flux total
éva22cué : qm=×60(0,930,107 +−0,0151mW)(550 300)1= 719 .48 Transferts thermiques
La part due aux ailettes est : q ==60(0,93)(0,107)(250)1493W, soit près ail
de 87 % du flux total dissipé par le cylindre dans l’air.
S’il n’y avait pas d’ailettes, la surface extérieure du cylindre n’évacuerait, pour
la même différence de température, qu’un flux : qh =− (2) rH ()TT ,sans ail e 0 ∞
soit : q ==60 (2)(0,030)(0,10)(250) 236 W.sans ail
4.6. Milieu semi-infini : méthode des images
La configuration du milieu semi-infini correspond à des problèmes d’échange
thermique d’objets enfouis à une certaine profondeur dans un milieu très étendu
selon la direction perpendiculaire à sa surface libre (sols, par exemple). Ici
encore, il s’agit de problèmes multidimensionnels que l’on traite par une méthode
monodimensionnelle.
4 6 1 Sources ou puits de chaleur linéaires et ponctuels
Considérons un fil chauffant ou une canalisation de transport de fluide chaud,
de section faible par rapport à sa longueur, enfoui dans un milieu homogène de
conductivité λ. Ce fil peut être assimilé à une source linéaire délivrant dans le
milieu qui l’entoure une puissance thermique q′ par unité de longueur. La
puissance traversant une surface cylindrique de rayon r et de longueur unité est :
dT
q′ =−λ 2. r [2.80]
dr
q′
D’où : T =− lnrC+ . [2.81]
2λ
La constante d’intégration C est déterminée à partir d’une condition limite,
par exemple la température T en r = 1. D’où : T(r = 1) = C.
De manière analogue, pour une source ponctuelle, la puissance libérée q
traversant une surface sphérique de rayon r centrée sur la source a pour expression :
dT 2 q =−λ 4.r [2.82]
dr
q
D’où T =+ C, [2.83]
4λ r
où C est une constante d’intégration.
Si l’élément enfoui dans le milieu puise de la chaleur dans celui-ci (au lieu de
la libérer), il s’agit alors d’un puits de chaleur, linéaire ou ponctuel.
4 6 2 Champ créé par deux sources linéaires Méthode des images
La méthode des images, proposée par Kelvin, permet d’obtenir la solution
d’une manière simple, par superposition des solutions analytiques relatives à des Transferts de chaleur par conduction 49
sources ou puits parallèles. Cette superposition est possible dans la mesure où
l’équation de la conduction (∆=T 0) étant linéaire, toute combinaison linéaire
de solutions est également solution.
La méthode est appliquée à la détermination du champ thermique créé par une
source et un puits linéaires parallèles conjugués, par exemple deux canalisations
transportant l’une un fluide chaud et l’autre un fluide froid. La source produit
q′
dans le milieu un champ thermique T =− lndC+ , température à la dis-11 12λ
tance d de la source, tandis que la température résultant de l’effet du puits à la 1
q′
distance d de celui-ci a pour expression T =+ lndC+ .2 22 22λ
Pour le puits, on a changé le signe de q′ en −q′. Par superposition des deux
solutions, on obtient :
dq′ 2 T = ln() ++CC .122λ d1
Comme la température en un point équidistant des deux éléments ()dd=12
doit être nulle, CC+= 0. D’où :12
dq′ 2 T = ln().
2λ d1
Les isothermes sont les lieux des points Md (,d ) tels que le rapport des dis-12
tances à deux points fixes est constant. Ainsi :
d 2λ1 = exp( Tc) = ste. [2.84]
dq′2
C’est l’équation d’une famille de cercles (figure 2.28.). Les centres des cercles
reculent par rapport à la source et au puits au fur et à mesure que leur rayon
augmente. Le plan médian est l’isotherme T = 0 (cercle de rayon infini).
Figure 2 28 Source et puits conjugués 50 Transferts thermiques
Pour deux sources linéaires identiques, on obtiendrait de manière analogue la
solution :
q′
T =− ln()dd + C. [2.85]122λ
Revenons au cas de la source et du puits conjugués. Si l’on se place sur le
rayon extérieur r de la source (une canalisation par exemple) et que l’on fait 0
dr= et d = 2, où 2 est la distance entre la source et le puits, la température 10 2
q 2′
du tube devient T = ln .0 2λ r0
Comme la température sur le plan médian (représentant la surface libre du
milieu d’enfouissement) est nulle, TT=∆ différence de température entre 0
la surface du tube et celle de la surface libre du milieu. Donc, en écrivant
⎛ ⎞1 2
∆=T ln q′, on voit que l’expression :⎜ ⎟2λ r⎝ ⎠0
⎛ ⎞1 2
R = ln [2.86]⎜ ⎟2λ r⎝ ⎠0
représente la résistance thermique interposée entre la surface du tube et la surface
libre du milieu, ces deux surfaces étant des isothermes. Cette résistance est
parfois appelée « résistance de fuite » car elle sert à calculer les déperditions entre
une conduite enterrée et la surface du sol.
À titre d’exemple, on observe d’après [22] que 90 % de la chute de
température entre la paroi du tube-source et la surface du milieu d’enfouissement a lieu à
l’intérieur du cercle isotherme TT= 0,1 d’où :0
q d q 2′ ⎛ ⎞ ′ ⎛ ⎞2 T = ln 0 ==,1 0T ,1 ln .⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠2λ d 2λ r1 0
0,1
d ⎛2⎞2Ainsi : ==k .⎜ ⎟⎝ ⎠d r10
4k
Il s’agit du cercle de diamètre D =  symétrique par rapport à l’axe
2k −1
1 − k 1 + k
des y et rencontrant celui-ci en y =  et y = , ce cercle étant centré 1 21 + k 1 − k
21 + k
en x = 0 et y =− . Il est représenté à la figure 2.29. où l’on a aussi tracé c c 21 − k
approximativement le réseau des lignes de flux qui est un réseau de cercles
orthogonaux aux isothermes. Par exemple pour /1r = 0 on trouve : k = 1,349, 0
y =−0,15, y =−6,73 , D = 6,58  et y =−3,44 .1 2 c

Un pour Un
Permettre à tous d'accéder à la lecture
Pour chaque accès à la bibliothèque, YouScribe donne un accès à une personne dans le besoin