[MATH07] MPSI - Complexes

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Le septième chapitre de l'année synthétisé en Latex.

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02
Prop :Soit (z, z)∈C:
z=z
0 0
z+z=z+z
z+z= 2Re(z)
z−z=i2Im(z)
0 0
zz=z∗z
z= 0 ssiz= 0

D´ef:On noteiRniiaerpsru,s´dfiel’ensembledesimagpanir:
iR={ix|x∈R}={z∈C|Re(z) = 0}

Prop :

Soitz∈C. On a :z∈Rssiz=zetz∈iRssiz=−z.

Rem :opeltinfixffia’dtni´eendOzanointdupltenaltpeocmm´e
decoordonne´es(a, b).

1.3 Module
√ √
2 2
D´ef:Soitz∈C. On a :|z|=zz=a+b.

Rapp :uPaaesqsonnd-ma´eidneonebunntveuostsee´rracuare
nipule des modules.

02
Prop :Soit (z, z)∈C. On a :
|z|= 0⇔z= 0
0 0
|zz|=|z| ∗ |z|
|z|=|−z|=|z|
1z
Siz6= 0, =2
z|z|

Lem :Soitz∈C. On a :
Re(z)≤|Re(z)| ≤ |z|
Im(z)≤|Im(z)| ≤ |z|

Ine´galite´triangulaire:

Interpre´tation
la somme des
troisi`eme.

02
Soit (z, z)∈C. On a :

0 0 0
||z| − |z|| ≤ |z+z| ≤ |z|+|z|

ge´om´etrique
longueurs de

del’in´egalit´etriangulaire:
deuxcoˆt´esestsup´erieure

3

dans un triangle,
a`lalongueurdu

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