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Surunepartitionencellules
associéeàunefonctionsurune
ne0
variété
0Note deM.RenéThom,présentéeparM.ÉlieCartan.
Soit f une fonction numérique, deux fois différentiable sur une variété
compacte à n dimensions V à structure deux fois différentiable. Supposonsn
que f neprésentesur V qu’un nombre finidepointscritiques non dégénérés.n
1Soit P un point critique de type p. Dans une carte locale autour de P , f
s’écrit
2 2 2 2 2f(x)= f(P)−x −x ...−x +x +...+x .p n1 2 p+1
Associons à chaque point critique P une carte dans laquelle f(x)− f(P)i i
se présentesouscetteforme réduite.On complète alors ce systèmede cartes
en un recouvrement fini de V en y ajoutant un nombre fini d’ouverts U nen k
contenant aucun des points critiques. On peut alors, à l’aide d’une partition
2différentiable de l’unité, définir sur V une forme ds partoutpositive et unen
2foisdifférentiable,qui,auvoisinagedechaquepointcritique,seréduiseauds
euclidiendanslacarteassociée.Lavariété V estainsidotéed’unemétrique,n
etl’onpeutdéfinirentoutpoint xde V différentde P,levecteurn i
X(x)= gradf 0.
Le champ de vecteurs X définit un groupe G d’homéomorphismes à un pa-
ramètre. Les points critiques P, pour lesquels X = 0, sont les points fixes desi
transformationsde G.
0Séance du14 mars1949.
1M.Morse, FunctionalTopology and abstract variational Theory(Memorial,p.44, Lemma 10).
1Soit Γ une trajectoire du groupe G.Lafonctionf est monotone sur Γ,et
les valeurs limites prises par f lorsqu’on s’éloigne dans l’un ou l’autre sens
surΓ sontdes valeurs critiques. Lespoints limites deΓ sont alors des points
critiques,desortequetoute trajectoireΓ joint unpoint critique P àunautrepointi
critique P (f(P ) < f(P )).j i j
L’ensembledestrajectoiresΓaboutissantaupointcritique Oconstitue,au
voisinage de O,unep-cellule;ainsi qu’onlevoitencoupantparla variétéde
2 2niveau f =−ε ,onobtientpour−ε < f ≤ 0, une p-cellule B définieparp
2 2 2 2x +x +...+x <ε , x =...= x = 0,np p+11 2
dontlebordestunesphèrededimension p−1
2 2 2(S ) x +x +...+x =ε, x =...= x = 0.p−1 p+1 n2 p1
Désignonspar tleparamètredugroupeG.Sil’onfaitsubirà S toutes(p−1)
les transformations du semi-groupe t < 0 (qui diminuent f), il est clair que
−S va engendrer un lieu homéomorphe à S × R . Il en résulte que le(p−1) (p−1)
lieudetoutesles(Γ)quiaboutissenten Oestune p-cellule ouverte Z .Ainsi:p
Théorème. À toute fonction f ne présentant sur V qu’un nombre fini de pointsn
critiquesnondégénérés, onpeutassocier unedécomposition deV encellules, chaquen
point critique de type p étant le centre d’une p-cellule ouverte.
Il suffit d’associer à tout point x de V le point d’aboutissement de la (Γ)n
passantpar x.
La décomposition ainsi obtenue n’est pas, en général, une subdivision
cellulaire de V quisoitlesupportd’uncomplexe.Elleenpossèdecependantn
certainespropriétés.
pSi l’on désigne par K l’ensemble des q-cellules pour q ≤ p,etparβ lep
ièmep nombre de Betti, on voit sans difficulté que tout p-cycle dans V peutn
p p p+1êtredéformésur K ,doncqueβ (K )≥ β (V )etβ (K )= β (V ).p p n p p n
(p)D’autre part, si l’on enlève de K i p-simplexes, un dans chacune desp
p (p−1)cellules Z , on constate que le polyèdre restant peut être rétracté sur K .
Unraisonnementassezsimplepermetalorsdemontrerquelenombre i desp
p-cellules est≥ β (V ), cequi démontrel’inégalité classique deM. Morse.p n
Remarque. –Aucasoùlapartitionencellulesassociéeà f estunesubdivision
cellulaire de typeclassique, la partitionassociée à (−f)estla subdivision duale
dela subdivision donnée.
0Applications. –1 Lenombredepointscritiquesdetype1d’unefonctionsur
une variété est supérieur ou égal au nombre minimum de générateurs du
groupefondamental.
202 Lenombredepointscritiquesdetype2estsupérieurouégalaunombre
2minimum derelationsliant le groupefondamental .
03 Sisurunevariété,unefonction f présente,pour f croissant,despoints
critiquesdetypesuivant:[0,k,...,l,...,n]oùtouslesl sont> k+1,onpeutj j
affirmerqueπ (V)= 0pour r < ketπ (V)= Z(groupeadditifdesentiers).r k
(k+1) kEneffet,danscecas,K estunesphère S .
(Extraitdes Comptes rendus des séances de l’Académie des Sciences, t.228,
pp.973-975, séance du21 mars 1949.)
Notesdel’éditeur
ne0 1949, 1. Article édité in C.R. Acad. Sci. Paris, t. 228, pp. 973-975, (14/21
mars 1949).
2Elsholtz, Variation de la structure topologique des surfaces de niveau (Recueil Mathématique de
Moscou,1948, 15-3).
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