La machine dite « de PLATON »

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La machine dite « de PLATON »

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Michel BENASSY
La machine de PLATON
1
La machine dite « de PLATON »
I.
Objectif :
Duplication du cube
Une longueur
a
étant donnée (arête du cube à dupliquer), il s’agit d’intercaler deux
moyennes proportionnelles
x
et
y
entre
a
et
2
a
.
(i.e.
trouver deux longueurs
x
et
y
telles que :
a
y
y
x
x
a
2
=
=
).
II.
Approche :
Le principe consiste à utiliser la propriété suivante, jadis
répertoriée au chapitre des « relations métriques dans le
triangle rectangle » et pouvant actuellement être envisagée
en 4
ème
(théorème de Pythagore), en 3
ème
(tangente d’un
angle aigu) ou en 2
de
(triangles de même forme) :
Si ABC est un triangle rectangle en C et si H est le pied
de la hauteur issue de C, alors
HB
AH
CH
×
=
2
.
En conséquence, la construction à la règle et au compas
de la moyenne proportionnelle
m
(
b
m
m
a
=
)
de deux
longueurs
a
et
b
données
(
a
=
AH
et
b
=
BH
) est du
registre du collégien
(
m
=
CH
avec
m
2
= ab
) :
Fichier Géoplan
mp1 :
Voir la construction par étapes :
0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6.
pour modifier a :
touche A ;
;
pour modifier b :
touche B ;
;
pour revenir au dessin initial :
0 ; 0
En revanche la construction de deux longueurs
x
et
y
telles que :
b
y
y
x
x
a
=
=
n’est pas
réalisable à la règle et au compas (conséquence du théorème de Wantzel), donc le problème
évoqué au
§ I n’est pas soluble à la règle et au compas.
La légende prête aux disciples de Platon l’idée de la conception d’un dispositif mécanique,
qui, moyennant un « ajustement », permet d’utiliser deux fois la propriété rappelée ci-dessus
(on voit mal l’illustre philosophe revendiquer lui-même la paternité d’une invention
s’écartant autant des « canons académiques »).
III.
La machine :
Le dispositif vise à disposer de deux droites (dont l’une est « mobile ») perpendiculaires à
une même droite.
Il se compose d’une équerre et d’une tige rectiligne qui coulisse perpendiculairement sur
l’une des « branches » de l’équerre en restant donc parallèle à l’autre « branche ».
L’ensemble rappelle un pied à coulisse.
A
B
H
I
C
a:1.2
b:4.8
m:2.4
A
B
C
H
Michel BENASSY
La machine de PLATON
2
Fichier Géoplan
mp2 :
la machine :
l’équerre :
touche E ,
la tige :
touche G ,
pour actionner la tige :
;
le dessin géométrique utile :
touche P
pour actionner l’équerre : poignées rouges (souris)
pour effacer le dispositif mécanique: touche CTRL-P
pour revenir à la position initiale :
touche 0 .
IV.
L’utilisation de la machine :
Les segments [
OA
] et [
OB
] ont pour supports deux
droites perpendiculaires en
O
.
OA = a
et
OB = k a
(avec
k =
2 ).
Fichier Géoplan
mp3 :
touche P :
La machine de Platon
simplifiée.
touche CTRL
- P :
La machine de Platon
Pour maintenir la
« poignée de l’angle droit » sur (OB) :
-
CTRL-E
crée un point mobile E pilotable à la souris sur (OB)
-
touche E : affecte
la
« poignée de l’angle droit » sur E.
En maintenant la touche E, on peut déplacer la machine en
l’obligeant à cette première contrainte.
Pour imposer à
la « branche fixe de l’équerre» de passer par A :
-
touche A.
-
En maintenant la touche E, on peut déplacer la machine en
l’obligeant à ces deux contraintes.
O
A
B
k:2
O
A
B
k:2
O
A
B
E
k:2
O
A
B
E
k:2
O
A
B
k:2
Michel BENASSY
La machine de PLATON
3
Il s’agit maintenant :
-
en maintenant la touche E
-
en déplaçant le point E à la souris
-
en faisant coulisser la tige mobile à l’aide des
commandes
;
« d’ajuster » le point E de façon à ce que le deuxième sommet
d’angle droit de la machine soit situé sur (OA) et que la tige
mobile passe par le point B !
Touche X :
-
surligne en bleu le segment [OE]
-
affiche
x
une mesure approchée de sa longueur
-
affiche
a
une mesure approchée de la longueur du
segment [OA].
-
reste à comparer
2 a
3
avec x
3
.
Touche Y :
-
nomme le point F
-
surligne en vert le segment [OF].
Touche R :
-
affiche une valeur approchée de x/a.
Touche 0 :
-
retour à la configuration initiale.
REMARQUE:
touche K
suivie de
;
permet d’attribuer d’autres valeurs à l’entier
k
et donc d’obtenir par une
démarche analogue la longueur approchée
OE
de l’arête d’un cube dont le volume est égal à
k
fois celui
du cube d’arête [OA] et d’en déduire une valeur approchée de la racine cubique de k. (attention après le choix
d’une nouvelle valeur de k
revenir à la configuration initiale par la touche 0 pour pouvoir actionner la tige de
machine).
V.
La justification :
En imaginant l’ajustement parfait :
-
Dans le triangle
AEF
rectangle en
E
,
O
est le pied
de la hauteur issue de
E
, donc selon la propriété §II :
OF
OE
OE
OA
=
.
-
De même dans le triangle
EFB
rectangle en
F
,
O
est
le pied de la hauteur issue de
F
,
donc
OB
OF
OF
OE
=
.
O
A
B
E
k:2
O
A
B
E
F
k:2
x:2.630273
a:2.084367
O
A
B
E
k:2
r:1.261905
O
A
B
E
F
Michel BENASSY
La machine de PLATON
4
-
On obtient :
OB
OF
OF
OE
OE
OA
=
=
c’est à dire, en posant
OE = x
et
OF = y
:
a
y
y
x
x
a
2
=
=
.
Un cube d’arête [
OE
] aura donc un volume double d’un cube d’arête [
OA
]
c’est à dire en notations actuelles :
3
3
2
a
x
=
ou encore :
3
2
=
a
x
.
Remarque :
La démarche reste utilisable pour tout
k
(
k >
0) et permet donc à partir de l’arête
a
d’un
cube de volume
V
d’obtenir l’arête
x
d’un cube dont le volume est égal à
kV
c’est à dire
3
3
ka
x
=
ou encore
3
k
a
x
=
.
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