Solides de Platon Définitions : Recherches : Propriété :

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Solides de Platon Définitions : Recherches : Propriété :

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Solides de Platon D´efinitions: nUlyponegotdescoitxevntiseetuosessonaldiagntenessoeremite`lnitna`urieert´rfsuladeeca de´limite´eparlepolygone.Parexemple,lecarr´eenestun,alorsquelespolygonesene´toilesnele sont pas. ´toˆcedeuqahlopeonygesalha.Cecquygoneeest`edrpolyUntimile´dedilosnuolspcefaesrdpa´e constituantunefaceco¨ıncideavecuncˆot´eduneautrefaceetchaquesommetestrelie´`aunautre parunesuitedareˆtesdontdeuxarˆetescons´ecutivessontreli´eesparunsommet(parexempleles pyramides,prismes,paralle´le´pipe`de...). esssteoualonagdinetnosseemere`itconvedrestunexeee`rdopyluqtetelenotl`ya`lUinnpt´erieurud volumed´elimit´eeparlepoly`edre. dere`hpsenusnadecefaesslteouttonopyltsnueiergelutiblcripeins`edrUlopnde`y´rerssnodtse polygonesr´eguliers(triangleequilat´eral,carre´,pentagoner´egulier).Lespolye`drere´gulierslesplus connussontlecubeetletetra`edrer´egulier,cesdeuxsolidesfontpartidungroupedecinqsolides appele´sSolidesdePlaton(427;347),quisontlescinqseulspoly`edrer´egulierconvexes.Nousallons dabordlesd´ecouvrirpuisd´egagercertainespropri´et´esetennmontrerquilnenexistequecinq(ce que fit Euclide(320; 260)).
Recherches : LescinqsolidesdePlatonsont:letetrae`dre,lhexa`edre,ledod´eca`edreetlicosae`dre,onconsid`ere biensˆur`achaquefoisquilssontr´eguliers(sinon,ceneseraientpasdessolidesdePlaton...). 1. Rechercherles significations des racines greques suivantes : tetra, hexa, octa, dodeca, icosa. ` 2.Apartirdevosrecherches,nommerlescinqsolides(de´coupezlesguresenndepage). 3.Commentappelletonhabituellementlhexae`dre?
Propri´ete´: PartieA:Travailsurlocta`edrer´egulier 1.Combiendefacesalocta`edrer´egulier? 2.Surchaqueface,combienyatildareˆtes? 3.Onveutcompterlenombredareˆtesquilyasurunoctae`dre,sachantquonconnaitlenombre dareˆtesparfacesetlenombredefaces,onpeutpresquer´epondre,ilfauttoutefoisfaireattention,carchaqueareˆteestcommunea`deuxfaces,ilfautdoncmultiplierlenombredefacespar lenombredareˆtesparface,puisdiviserpardeux(´etantdonn´equechaquearˆeteestcompte´e deux fois). Calculerlenombredareˆtessurloctae`dre. 4.Enutilisantlemˆemeraisonnementquepr´ec´edemment,calculerlenombresommetsdelocta`edre. 5.Ve´rierlere´sultatsurlagure.
PartieB:G´ene´ralisation Ond´esigneparAbmoneleˆraderet,sFle nombre de faces etSenombredldr`ee.nudylopmosestem 1.Enutilisantlame´thodede´criteenpartieA,comple´terletableausuivant:
Tetrae`dreHexa`edreOctae`dreDode´cae`dreIcosa`edre F A S F+SA
2. Quepeuton dire de la valeurF+AS?
Nombre de solides de Platon : Onavulorsdespremi`erespartiescinqpolye`drere´guliers,onvamontrerquilnenexisteque5. ` Apartirdupatrondeloctae`drecicontre,enregardantlesommetmarqu´e, onremarquequelasommedesmesuresdesanglesestinf´erieure`a360˚.Ce re´sultatestge´n´eralis´e`alensembledespoly`edresconvexes.
1.Dansunpolygonere´gulier`anonvamontrerquellgnaeˆctoe´,sγstuficˆe2´eotonscecs´ofe´mrrtne 360 est 180. n Lagurecidessousrepre´senteunepartiedepolygoner´egulier,ilestcompose´dentriangles isoc`elesidentiques.
(a)Exprimerαen fonction den. (b)Exprimerβen fonction den. (c)Exprimerγen fonction den.
b a
g
` 2.Apartirdur´esultatpr´ec´edent,compl´eterletableausuivant(ondonneraler´esultat`a1˚pre`s sine´cessaire): Nombre de faces3 4 5 6 7 8 910 Angleform´epar2cˆote´sconse´cutifs 3.Onsaitqua`chaquesommetserejoigneaumoins3faces(siilnyenaque2,celaneformepas desommet...),onsaitaussiquepourˆetrer´egulier,unpolye`dredoitposs´ederlemˆemenombre depolygonesr´eguliersenchacundesessommets.Onveutcalculerlasommedesmesuresdes anglesen1sommetdansdi´erentscas(possiblesounon). Compl´eterletableausuivantenutilisantletableaupr´ece´dent: Nombre de faces ❤❤3 4 5 6 7 8 910 Nombre de faces en un sommet3 4 5 6 7 4.Sachantquelasommedesmesuresdesanglesestinf´erieure`a360˚,mettreenvaleur(encoloriant) dans le tableau les cas possibles. Combien y en atil?
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