X de V Théorie Financière GL ECON 3350 24 Ch. 2: Les décisions en ...

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X de V Théorie Financière GL ECON 3350 24 Ch. 2: Les décisions en ...

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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X de V Théorie FinancièreGL ECON 3350 Ch. 2:Les décisions en avenir incertain:2.1. EspérancemathématiqueEn incertitude, il y a des éléments que l'on ne peut pas contrôler.Pour formaliser tout cela, il nous faut simplifier: États de la nature(1xn) Signes d'action(mx1) Conséquences (mx n) En théorie, on a donc lamatrice(m x n) des conséquences C: Etats de la NatureE E... En 1 2 Lignes d'action A CC ...C 1 1112 1n A CC ...C 2 2122 2n A CC ...C m m1m2 mn Exemple pratique: un restaurant:  actionA: nombre de repas à préparer (à l'avance)  étatde la nature E: nombre de clients  conséquenceC: profit  (J'emploieles hypothèses suivantes pour construire cette table: coût par repas préparé: 5, prix du repas vendu: 15)  EA 1020 30 40 10 100100 100 100 20 50200 200 200 30 0150 300 300 40 -50100 250 400 Que faire? Traditionnellement, il y a 2 cas (si on est neutre par rapport au risque): - Dans le premier cas, les probabilités des états de la nature sont connues: la solution est alors simple, on prend l'espérance mathématique comme point de départ (puis critère de décision; expliquer --rôle de lafonction de pertetrès particulière des firmes pharmaceutiques...)
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X de V Théorie FinancièreGL ECON 3350 - Dans le deuxième cas, les probabilités des états de la nature sontinconnues. Que faire? Il nous faut introduire une distribution (subjective) de probabilité.  Ily a plusieurs manièresd'introduiredes probabilités et donc de choisir: nous allons en (re)voir 3. 1- Leprincipe de Laplace (1749-1827):  Ilpensait que face à l'incertitude, personne n'est capable de dire quel état de la nature a plus de chance qu'un autre -autant attacher la même probabilité pour chaque état de la natureet puis prendre l'espérance mathématique.  Appliquonsce principe au tableau du restaurant: ici, 30 repas doivent être préparés. Pourquoi? 2- Le critère de Wald(1902-1950): L'idée sous-jacente de Wald est que l'environnement cherchesystématiquementla défaite du décideur (la loi de Murphy?).Quelle que soit l'action que vous choisissiez, la Nature vous donnera le pire des cas possibles! En conséquence, il faut, pour chaque action, considérer le pire des cas et puis choisir "le moins pire résultat!": (C’est le minimax (minimiser la perte maximale)!)  Appliquonsce principe au tableau du restaurant:  -si vous choisissez A = 10, le pire état de la Nature vous donnera: E= E = 10 (ou, dans ce cas particulier,20, 30, 40),donc profit = 100,  -si vous choisissez A = 20, le pire état de la Nature vous donnera: E = 10,donc profit = 50,  -si vous choisissez A = 30, le pire état de la Nature vous donnera: E = 10,donc profit = 0,  -si vous choisissez A = 40, le pire état de la Nature vous donnera: E = 10,donc profit = -50.  Donc,il faut choisir "le moins pire résultat ":profit = 100, c'est-à-dire que nous devons préparer 10 repas. 3- Le critère de Hurwicz (1917-): SelonHurwicz, l'environnement est loin d'être hostile ou favorable d'une manière systématique. Enconséquence pour chaque ligne d'action, le décideur doit considérer une moyenne pondérée de la conséquence la plus favorable et la plus néfaste. Prenons un coefficient, tel que 0 << 1.
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X de V Théorie FinancièreGL ECON 3350  siA = 10, calculons: (100).α+ (100).(1 -α) = X 10 si A = 20, calculons: (50).α) = X+ (200).(1 - 20  siA = 30, calculons: (0).α+ (300).(1 -α) = X 30  siA = 40, calculons: (-50).α+ (400).(1 -) = X 40. Une fois que l'on a trouvé les différents Xs, on choisit le plus élevé. Remarquez que pour un décideur pessimiste à propos de la vie,tend vers 1 (on est de retour chez Wald!).  Ily a d'autre critères de ce genre. Dans les trois cas, il y a une implicite introduction d'une distribution de probabilité. Ceci est très important pour l'analyse d'un portefeuille en gestion: vous faites face à une situation d'incertitude et,en plus, vous ne connaissez pas la distribution objective de probabilité attachée à cette incertitude. Vous allez donc introduire votre propre distribution (selonLaplace,Wald,Hurwiczou une de votre propre imagination) 2.2. Introduisons l'aversion au risque: C'est l'histoire d'un mendiant, à St. Petersbourg, qui est possession d'un billet de la loterie offrant une chance sur 2 de gagner 20000 Ducats: (20000, 0; p, 1 - p) = (20000, 0; .5, .5) E = 20000 Ducats x (.5) + 0x (0.0) = 10000 Ducats Un riche marchand lui offre 6000 Ducats (c'est-à-dire 4000 Ducats de moins que l'espérance mathématique de la valeur de ce billet) pour le billet - le pauvre accepte. Pourquoi? Représentons tout cela avec notre tableau/matrice des conséquences:  EtatsLe billet est perdantLe billet est gagnantEspérance Actions (probabilité= .5)(probabilité = .5)mathématique garder le billet0 2000010000 vendre le billet6000 60006000
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X de V Théorie FinancièreGL ECON 3350 En fait, le mendiant exprime son aversion pour le risque.Représentons tout cela graphiquement (comme d'habitude). Il y a en fait 3 cas simples 1. individuindifférent au risque 2. individuexprimant de l'aversion au risque 3. individuexprimant une propension pour le risque 1.individu indifférent au risque: Figure 1
U(20000)
U(E*)=U(E)
U
0=G1 P(G1)=.5
E=10000 E*=10000
U(F)
20000=G2
Fortune P(G2)=.5
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X de V Théorie FinancièreGL ECON 3350 Commentaires:  -la droite n'est pas nécessairement à 45 º  -G ,G =résultats possibles du jeu 1 2  -E = espérance mathématique du gain  -E*= équivalent-certain du jeu. 2. individuexprimant de l'aversion au risque Figure 2
U
U(20000) U(E)
U(E*)=E(U)
U(0) 0=G1 E* E=10000 P(G1)=.5
U(F)
20000=G2
Fortune
P(G2)=.5
 Onvoit que l'aversion au risque dit que E(U) < U(E) Pourquoi? Réfléchissons: la prime de risque représente E - E*, la prime d'assurance maximale qui peut être perçue par les assureurs. (cf. l'histoire des démineurs!) 3. individuexprimant une propension pour le risqueC'est essentiellement le mystère de la loterie: est-ce un taxe sur la bêtise ou une représentation d'une propension (locale) pour le risque?
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X de V Théorie FinancièreGL ECON 3350 Figure 3
U(20000)
U(E*)=E(U)
U
U(E) U(0) 0=G1 P(G1)=.5
U(F)
E* E=10000
20000=G2
Fortune P(G2)=.5
Dans ce cours, l'individu exprime de l'aversion au risque. Nous pouvons représenter tout cela dans un plan "moyenne-écart-type":
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X de V Théorie FinancièreGL ECON 3350
E(G)
U3 U2
U1
Commentaire: bien que= ,on a< .
Commentaire: plus la situation initiale est risquée, plus l'investisseur demandera une importante incitation pour accroître ce risque. Question: Parmi ces trois investisseurs (1, 2, 3), quel est celui qui démontre le plus d'aversion au risque? Pourquoi? 3 E(G) 2 1
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