Note sur l abstraction mathématique selon saint Thomas - article ; n°40 ; vol.53, pg 482-510
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Revue Philosophique de Louvain - Année 1955 - Volume 53 - Numéro 40 - Pages 482-510
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Publié le 01 janvier 1955
Nombre de lectures 14
Langue Français
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Eleuthère Winance
Note sur l'abstraction mathématique selon saint Thomas
In: Revue Philosophique de Louvain. Troisième série, Tome 53, N°40, 1955. pp. 482-510.
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Winance Eleuthère. Note sur l'abstraction mathématique selon saint Thomas. In: Revue Philosophique de Louvain. Troisième
série, Tome 53, N°40, 1955. pp. 482-510.
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/phlou_0035-3841_1955_num_53_40_4574Note sur l'abstraction mathématique
selon saint Thomas
La tradition thomiste distingue trois degrés d'abstraction: le
physique, le mathématique et le métaphysique.
Certains regardent cette théorie comme une solution encore
actuelle au problème de la distinction des disciplines scientifiques
et comme une explication adéquate de la nature de leur objet
respectif ; d'autres, au contraire, lui refusent cette valeur expli
cative profonde de la diversité du savoir humain et lui accordent,
tout au plus, le rôle dune interprétation, toute approximative, sur
le plan psychologique (1).
Sans prendre encore position dans ce débat récent, nous nous
sommes assigné comme objet de cette note, un thème à la fois
plus restreint et moins étudié, l'abstraction mathématique, en vue
précisément de contribuer à résoudre ce problème de la division
des sciences envisagé dans toute son ampleur.
La thèse traditionnelle sur l'abstraction en général étant sup
posée connue des lecteurs et familière à leur réflexion, cet exposé
peut négliger le rappel des notions fondamentales en cette matière
et aborder, sous la réserve de certaines remarques, le sujet proposé.
<*> Les manuels du P. J. GREDT O. S. B., du P. C. BoYER S. J. défendent
la première opinion. M. J. MarITAIN, dans Les degrés du savoir, 3e éd., Paris,
Desclée, 1940, c. II, Philosophie et science expérimentale, § II, Les degrés d'abs
traction, n. 12-14, pp. 71-93, développe longuement la même thèse. Par contre,
M. F. VAN SteenberGHEN, dans Réflexions sur la systématisation philosophique,
dans la Revue néoscolastique de philosophie, t. 41, mai 1938, pp. 185-216, prend
nettement parti pour la seconde opinion. 11 dit clairement: c II faut souhaiter
que le thomisme se débarrasse définitivement du mirage des trois degrés d'abst
raction. Non pas que cette distinction ne réponde à aucun fait psychologique,
mais parce qu'elle n'a nullement la portée qu'on lui attribue souvent» (p. 213).
La même doctrine est exposée dans Y Ontologie du même auteur, 2e éd., Louvain,
1952, pp. 10-11. L' - abstraction mathématique selon saint Thomas 483
II faut, en effet, se garder de vouloir trouver, toute prête, dans
les œuvres de S. Thomas, une conception toujours applicable à la
mathématique moderne ; encore moins, de prétendre élaborer, sur
la base d'éléments partiels, une doctrine valable dans tous les do
maines de cette science. Une théorie des mathématiques, en effet,
ne se construit pas selon une norme fixée à priori par l'esprit sur
la nature de cette connaissance ni ne s'impose au mathématicien
à la manière d'un programme conçu dans l'abstrait par le philo
sophe. Bien au contraire, le géomètre ou l'analyste développent
leurs chaînes de raisonnements dans la ligne même des nécessités
de leurs problèmes ; et puis, eux ou quelques autres, réfléchiront
sur le système ainsi élaboré, ses présupposés, ses principes, ses
théorèmes et ses méthodes, pour en déterminer la structure et en
mesurer la portée. Ils énonceront alors sur cet ensemble d'affirma
tions des méta-théorèmes qui en détermineront le caractère et en
apprécieront la valeur. M. E. W. Beth ne cache pas son sentiment
à ce propos (a>.
Aristote lui-même ne procéda pas autrement car, dans sa no
tion du savoir, il reflétait, en quelque façon, l'état des mathémat
iques de son temps et reprenait aux géomètres tout un matériel
où s'appliquait une technique de la démonstration, antérieure aux
spéculations des métaphysiciens se targuant de préciser l'idéal de
<a) £. W. Beth, Les fondements logiques des mathématiques, Paris, Gauthier-
Villars, 1950, p. 22: «Ces recherches nous apprennent également que les mathém
aticiens se rendent très bien compte que la differentiation et la généralisation
qu'ils poursuivent ont leurs limites. Il convient de souligner cette prise de con
science, puisque certains philosophes ont l'air de s'inquiéter de la double ten
dance que je viens de signaler. M. J. Maritain, par exemple, dit: « Ces déviations
et ces empiétements ne sont que trop fréquents. Il y a par exemple une manière
de traiter les geometries non-euclidiennes qui fait dévier les mathématiques de
leur fin; les mathématiques d'autre part ont usurpé avec Descartes sur le domaine
de toutes les sciences... ».
Ces paroles peuvent être interprétées comme une réaction contre les ten
dances à la differentiation et à la généralisation qui depuis un siècle ont incité
les mathématiciens à s'émanciper des bornes imposées à l'imagination sensible
de l'homme. Cette émancipation osée a, selon tous ceux qui sont compétents
en cette matière, produit des résultats tellement précieux que nul mathématicien
ne pense à accepter les restrictions que bien des philosophes voudraient lui
imposer, ou à tenir compte d'une certaine censure de la part de la métaphysique,
d'autant moin» puisque, comme nous venons de Je voir, les mathématiciens sont
parfaitement capables de déterminer eux-mêmes les limites imposées à leurs ten
dances à la differentiation et à la généralisation ». 484 Êleuthère Winance
la recherche scientifique. De plus, le Stagirite ne pouvait connaître
des mathématiques que cette somme de connaissances synthétisées,
peu de temps après lui, par Euclide, dans ses Eléments. S. Thomas,
lui, connaissait évidemment auquel il reprend des théo
rèmes ; mais c'est surtout au contact du Philosophe qu'il se fit
une idée des mathématiques.
Ceci nous invite à une certaine discrétion. On ne peut évidem
ment s' attendre à trouver chez ces deux penseurs une méta-mathé-
matique de nature à envelopper tout le savoir relatif au continu ou
à en prévoir les plus profondes virtualités ; par ailleurs on ne doit
pas refuser à priori la possibilité pour les mathématiques modernes
de se laisser intégrer dans les cadres aristotélico-thomistes, cependant
une étude à objectif plus limité risquerait moins de nourrir des
prétentions chimériques. Pareille étude se formulerait comme suit:
vu le niveau des mathématiques de leur temps, leur origine, leurs
axiomes, leurs conclusions et leurs procédés, la théorie présentée
par ces philosophes orTre-t-elle une solution aux problèmes logico-
philosophiques nécessairement inhérents à toute recherche intellec
tuelle ? Dans l'hypothèse où elle apporterait un essai de réponse,
il resterait encore à «prouver que, loin de se borner à résoudre ces
difficultés connues de ces métaphysiciens dans la mesure même de
leur information, cette épistémologie critique fournit une explica
tion exhaustive, irréformable et susceptible d'assimiler tous les
progrès futurs. Mais ceux-ci, qui peut les prévoir ?
C'est dans cet esprit qu'il s'agit pour nous d'étudier le pro
blème du second degré d'abstraction, d'en reprendre les formules
reçues de la tradition afin d'en établir la véritable signification et
d'en critiquer la validité.
I. L'exposé des manuels
Pour entrer dans la matière voyons l'enseignement des auteurs
qui sont soucieux de rester fidèles à la pensée de S. Thomas.
Voici, par exemple, une brève analyse de l'exposé relatif à
l'abstraction mathématique présenté par le P. Gredt dans son man
uel. Cet exposé s'insère évidemment dans une théorie générale
de considérée comme principe d'intelligibilité et fon
dement de la division des sciences. La distinction générique du
savoir en physique, mathématique et métaphy

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