L'adaptation de la géométrie au monde sensible - article ; n°9 ; vol.28, pg 37-51

De
Revue néo-scolastique de philosophie - Année 1926 - Volume 28 - Numéro 9 - Pages 37-51
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Publié le : vendredi 1 janvier 1926
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Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.
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Thomas Greenwood
L'adaptation de la géométrie au monde sensible
In: Revue néo-scolastique de philosophie. 28° année, Deuxième série, N°9, 1926. pp. 37-51.
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Greenwood Thomas. L'adaptation de la géométrie au monde sensible. In: Revue néo-scolastique de philosophie. 28° année,
Deuxième série, N°9, 1926. pp. 37-51.
doi : 10.3406/phlou.1926.2425
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/phlou_0776-555X_1926_num_28_9_2425IV
L'ADAPTATION DE LA GÉOMÉTRIE
AU MONDE SENSIBLE *)
La géométrie a pris de nos jours un développement si
considérable, qu'on ne saurait construire une théorie comp
lète de la connaissance sans répondre aux nombreuses
questions qu'elle pose.
Jusqu'aux recherches de Gauss sur les surfaces courbes
et aux travaux de Lobatchewski et de Bolyai sur une géo
métrie indépendante du postulat classique des parallèles,
non seulement la géométrie d'Euclide était la seule qu'on
avait conçue, mais encore on ne pensait même pas à la
possibilité d'une géométrie différente. Par son indépendance
logique et sa féconde application aux sciences expériment
ales, la géométrie d'Euclide symbolisait l'alliance de la
raison et de l'expérience. Et cette alliance semblait si natu
relle qu'on n'a jamais songé à la contester, mais bien à la
justifier et à l'expliquer. Ainsi le raisonnement géométrique
n'était qu'une application du en général aux
concepts géométriques. Et ceux-ci n'intéressaient la philo
sophie que pour autant qu'ils pouvaient servir d'illustration
à la théorie de l'origine des idées.
Il nous semble que selon la doctrine thomiste, la géo
métrie dérive du monde sensible par abstraction, et même
*) Quelques fragments de cette esquisse ont paru dans les Acta du récent
Congrès Thomiste de Rome, où elle a été présentée. L'auteur y ajoute quelques
explications en vue de répondre aux objections qui lui ont été faites. 38 T. Greenwood
0 certains de ses principes s'obtiennent par induction. Les
concepts géométriques ne pas uniquement par
la simple abstraction de la matière sensible particulière,
mais aussi de la matière sensible commune, et même de la
matière intelligible particulière. Les concepts géométriques
ne conservent que la matière intelligible commune, sans
laquelle la quantité extensive, et par conséquent l'objet
même de la géométrie, disparaîtrait.
Cette distinction fondamentale s'accorde entièrement avec
l'état actuel de la géométrie. Elle permet aussi, croyons-
nous, de justifier et d'expliquer certaines théories récentes
sur le raisonnement mathématiqne et les jugements rela
tionnels. De plus, ces éléments de doctrine ne sont pas
incompatibles avec les propositions spéciales qui constituent
notre thèse. •"
I. — La géométrie est V étude des systèmes de relations
ordonnées entre des points dont l'ensemble constitue lespace.
La critique sévère à laquelle furent soumis les divers
systèmes de géométrie établis au cours du siècle dernier, a
montré nettement leur caractère hypothético-déductif. Cha
n'est' que le développement logique des combinaicun d'eux
sons possibles impliquées dans un groupe initial d'axiomes,
qui énoncent sous la forme de propositions hypothétiques
des relations possibles entre les points et cohérentes entre
elles. Ces points sont les termes indéfinissables et quel
conques de ces relations et leur ensemble constitue l'espace.
Les axiomes peuvent être plus ou moins intuitifs, mais ils
doivent respecter les règles de la logique.
La définition de la géométrie que nous donnons énonce
donc les caractères généraux communs à tous les systèmes
de géométrie. Elle convient à la géométrie d'Euclide,
comme aussi à la géométrie non-archimédienne et à
la géométrie euclidienne à plus de trois dimensions
qui dépassent notre représentation. Dans ces conditions
l'espace de la géométrie ne saurait être grevé des éléments V adaptation de la géométrie au monde sensible 39
intuitifs qui caractérisent la géométrie d'Euclide. Il doit
être amorphe, c'est-à-dire susceptible de recevoir toute
détermination impliquée dans un groupe possible et cohé
rent d'axiomes. La forme de l'espace est donc déterminée
par les relations qu'on établit entre les points. Nous nous
trouvons ici dans l'ordre abstrait où règne l'esprit façon
nant la matière intelligible commune, et s'élançant, par des
analogies, jusqu'à des conceptions géométriques qui res
pectent ses lois, mais qui n'ont aucun besoin de s'adapter
à la matière sensible.
II. — Tous les systèmes de géométrie sont formellement
vrais et parfaits, quoique tous ne correspondent pas aux
données de la connaissance sensible.
Puisque la structure technique de tout système de géo
métrie ne comporte aucun élément intuitif, et que la comp
atibilité interne d'un groupe d'axiomes est la condition
fondamentale de sa possibilité mathématique, il devient
évident que chaque système de géométrie, quel que soit le
caractère pratique de ses axiomes, est vrai. A ce point de
vue la géométrie de Riemann est aussi vraie que celle
d'Euclide ; et cette dernière est aussi vraie que la géomét
rie du discontinu de Veronese. On ferait donc un non-sens
en se demandant quel est le système de géométrie le plus
vrai au point de vue formel. De môme il est absurde de dire
que tel système est plus parfait que tel autre. Puisque tous
doivent remplir les mêmes conditions logiques et que tous
sont également vrais au point de vue formel, chacun d'eux
est parfait en soi ; et cela indépendamment même de la
complexité de son développement déductif.
Par exemple, le fait que le paramètre spatial est nul dans
la géométrie d'Euclide, n'est pas une raison pour dire que
cette est plus parfaite que les geometries non-
euclidiennes dont les paramètres spatiaux ont une valeur
positive ou négative. Certes, la géométrie d'Euclide con
vient à un espace plus simple en soi que l'espace de Rie- .
40 T. Greenwood
mann par exemple. Mais ceci n'est pas un signe de perfec
tion supérieure, pas plus que les équations du premier
degré ne sont plus parfaites que celles du second degré,
parce que plus simples.
Parmi tous ces systèmes possibles, il en est dont les
axiomes correspondent plus exactement aux données de la
connaissance sensible. Jusqu'à maintenant et malgré l'exis
tence des geometries non-euclidiennes, les principes de la
géométrie d'Euclide étaient les seuls dont on affirmait
l'accord avec l'expérience. Or s'il est vrai que l'espace
euclidien dérive par. abstraction de l'espace physique de
notre expérience, rien ne nous oblige à conclure de ce fait,
que notre intuition spatiale nous donne exclusivement
l'espace euclidien ; et réciproquement, que cet espace
idéal est le seul qui convienne à notre expérience.
III. — L'espace non-euclidien de la Théorie de la Relati
vité est aussi intuitif que celui d'Buclide, et s'adapte mieux
à l'espace physique.
La cosmologie thomiste admet une différence de degré
entre l'espace physique et l'espace idéal dénué de tout él
ément sensible. Or ce n'est pas l'espace idéal qui intéresse
le physicien, mais l'espace sensible. Comment ce dernier
se présente-t-il à nous l
Nous savons que l'espace physique est rempli de matière
qui est soumise à la gravitation. Les trajectoires suivies
par la matière en mouvement sont-elles des droites eucli
diennes ? Elles ne le sont pas, quoiqu'elles nous paraissent
rectilignes dans un champ d'expérience limité, par rapport
à certains repères supposés fixes et aussi rapprochés que
possible du champ d'expérience. En réalité le mouvement
de la matière et l'attraction universelle produisent une
déviation dans les trajectoires suivies par les particules
matérielles ; car la plus courte distance entre deux points
doit se composer par rapport à l'espace, au temps et
à la matière pris ensemble. Et l'on pourrait difficilement L 'adaptation de la géométrie au monde sensible 41
admettre l'existence de forces qui se composent et s'équi
librent en agissant sur une particule matérielle pour
l'obliger à suivre une trajectoire euclidienne.
Dans l'univers actuel, nous ne pouvons pas construire
une droite rigoureusement euclidienne à cause du mouve
ment de la terre. En effet, la trajectoire que nous devons
tracer pour aller d'un point à un autre doit se composer
avec la trajectoire de la terre dans l'espace ; et l'on sait
que les différents mouvements auxquels est soumise notre
planète rendent cette trajectoire particulièrement compli
quée. Il nous est loisible de concevoir et d'imaginer des
droites euclidiennes ou même de cet univers de
"
trajectoires courbes contenu dans un espace euclidien.
Mais ces possibilités n'intéressent que le mathématicien.
Ainsi donc la matière intervient dans l'univers en pro
duisant des sortes de plissements qui changent la forme de
l'espace de distance en distance, et cet espace se ferme
ainsi en prenant une forme quasi sphérique tout en retenant
ses trois dimensions 1).
La matière mondiale façonne en quelque sorte l'espace
physique qui la contient, et en détermine la courbure
moyenne. Or nous venons de donner la définition de l'espace
einsténien. Une fois que nous sommes en possession de ce
concept spatial, il n'est guère besoin, en le vidant de tout
contenu matériel et de tout champ de gravitation, do le
corriger, de lui donner des coups de pouce pour le déformer
et aboutir ainsi à l'espace euclidien. Nous pouvons bien le
concevoir indépendamment de toute matière et de tout
champ de gravitation sans avoir besoin pour cela de lui
changer sa forme. Rien ne nous empêche donc de trans
porter cet espace courbe tel quel dans l'ordre conceptuel.
Cette dissociation de l'espace physique et de l'espace
euclidien, qu'on avait l'habitude de confondre, nous permet
1) Dans la Théorie de la Relativité, ce n'est pas l'espace qui a quatre dimens
ions, mais l'Univers, ou Espace-Temps. L'Univers, euclidien et l'espace
physique sont donc trois choses distinctes qu'il faut se garder de confondre. T. Greenwood 42
de voir que l'espace non -euclidien de la Théorie de la
Relativité est aussi intuitif que celui d'Euclide, d'autant
plus que l'un et l'autre ne conservent que trois dimensions.
De plus elle nous montre que l'espace non-euclidien de la
Théorie de la Relativité s'adapte plus adéquatement à
l'espace sensible, puisque nous pouvons passer directement
de l'un à l'autre sans avoir besoin d'un intermédiaire qui
serait ici l'espace simple d'Euclide.
Cependant dans un champ d'expérience limité, l'espace
euclidien est aussi valable que l'espace non-euclidien ; car
la courbure de l'espace par rapport à son étendue est telle,
que les trajectoires des particules matérielles sont sensible
ment euclidiennes dans un champ restreint. C'est pourquoi
dans l'application de la géométrie à la pratique, on préfère
garder l'espace plus simple d'Euclide comme le cadre de
nos représentations. Mais si nous nous habituons à penser
en termes d'un espace non-euclidien, nous finirons par con
sidérer l'espace d'Euclide comme une limite idéale, plus
simple que nos représentations et plus difficilement adap
table aux données complexes de la connaissance sensible.
IV. — L'espace et le temps, en tant que mesurables,
sont relatifs.
On a toujours considéré l'espace et le temps comme deux
absolus, tant dans leur essence que dans leur mesure. Le
physicien s'occupe de mesurer l'espace et le temps et non
point de fixer leur essence. Le philosophe peut donc les
interpréter comme il l'entend sans gêner pour cela les con
clusions des physiciens.
On s'était habitué dernièrement à concevoir la relativité
des mesures spatiales ; mais on n'avait jamais pensé au
caractère relatif des intervalles de temps. La perception
de la simultanéité et la durée psychologique qui nous
fournissent le concept du temps absolu, étaient étendus
sans restriction à l'univers tout entier. Or deux événe
ments considérablement éloignés dans l'espace peuvent V adaptation de la géométrie au monde sensible 43
être simultanés pour un observateur et consécutifs pour
un autre. Tout dépend du mouvement des observateurs
l'un par rapport à l'autre. Car Tunique agent connu qui
nous permet de remarquer l'incidence de ces événements
est la lumière dont la transmission n'est pas instantanée.
En réalité ces deux événements sont simultanés ou ils ne
le sont pas ; il n'y a pas de milieu possible. Mais il n'existe
pas un être dont les organes de perception enregistreraient
tous les événements de l'univers aussitôt qu'ils se pro
duisent. Nous ajouterons que tout en faisant un acte de
foi dans la réalité- du temps absolu, nous devons recon
naître que les données des expériences nous obligent à
admettre que nos mesures du temps ne peuvent qu'être
relatives. Dans la vie pratique cette relativité de nos
mesures temporelles n'est guère sensible ; car les événe
ments que nous enregistrons ne sont pas suffisamment
éloignés dans l'espace pour manifester les écarts de temps
dus à la transmission de la lumière.
V. — V Univers à quatre dimensions formé par l'union
de l'espace et du temps, est un absolu qui donne une image
objective du monde sensible.
La représentation des mouvements de la matière, ou, si
l'on veut la localisation d'un événement dans l'Univers, a
toujours exigé deux facteurs inséparables : l'espace à trois
dimensions, et le temps à une dimension. Et pourtant l'on
se représentait l'Univers avec trois dimensions seulement.
Car si le temps intervenait nécessairement dans toutes les
formules de la mécanique, on ne lui donnait pas la place
qu'il mérite dans notre représentation du monde. Jusqu'à
présent nous faisions une coupe dans l'univers pour séparer
l'espace et le temps, et nous confondions avec l'e
space physique. Mais comme l'unique attribut des mesures
spatiales et temporelles est de servir de coordonnées aux
événements de l'univers, il convient de les réunir en un
continuum unique à quatre dimensions où ils ne se dis- T. Greenwood 44
tinguent que par leur mode de détermination de ces évé
nements.
La portée de cette assimilation est considérable, car elle
nous permet d'appliquer la géométrie à quatre dimensions
au monde sensible l). Ainsi la de l'univers se
complique, mais le nombre d'hypothèses physiques se trouve
considérablement diminué. En effet, tous les systèmes de
géométrie peuvent s'adapter à l'expérience, pourvu qu'ils
soient complétés par un cycle convenable d'hypothèses phy
siques. Pour que la géométrie d'Euclide, par exemple,
s'applique au monde sensible, il a fallu la compléter par
une longue série d'hypothèses, depuis celle de l'attraction
universelle jusqu'à celle de la contraction de Lorentz. Mais
pour des raisons de simplicité et d'économie, la géométrie
de l'Univers sera celle dont les axiomes correspondent le
plus adéquatement aux données de la connaissance sensible,
et qui exige le moins d'hypothèses possibles pour retracer
l'histoire de l'univers. Or nous avons vu que la géométrie
non-euclidienne de Riemann répond entièrement à ces
besoins.
La nouvelle figure du monde est donc profondément
intuitive ; et l'on se tromperait gravement en la consi
dérant comme une simple théorie abstraite qui dépasserait
l'expérience. On ferait aussi une erreur non moins profonde
en. la confondant avec la négation d'une réalité absolue.
Quoique le nom même de la Théorie de la Relativité
puisse prêter à cette équivoque, la de la
est, en réalité, une théorie physique de l'Absolu, car elle
1) Ce n'est pas de la géométrie euclidienne à quate dimensions et sans para
mètre spatial qu'il s'agit ici, mais de la géométrie riemannienne à quatre dimen
sions représentée dans un espace courbe avec le temps comme quatrième coor
donnée. La première n'est que le redressement dans un espace imaginaire plan,
de la géométrie ordinaire à trois dimensions considérée comme sa projection.
Et cet espace imaginaire n'implique ni temps ni mouvement. Minkowski a repris
cette géométrie en considérant le temps comme quatrième dimension imaginaire,
pour l'appliquer aux données de la physique nouvelle. Mais sa tentative n'a pas
eu de succès. Ce qui montre encore une fois que la géométrie d'Euclide est loin
d'être aussi intuitive qu'on a voulu le penser jusqu'ici. L'adaptation de la géométrie au monde sensible 45
accorde le caractère relatif de nos mesures de l'espace et
du temps avec la Réalité absolue que le physicien cherche
toujours à atteindre.
Le continuum tétradimensionnel de l'univers, ou Espace-
Temps, est justement le cadre absolu de la réalité phy
sique. Ce cadre est identique pour tous les observateurs
quel que soit leur mouvement : c'est ce qu'exprime mathé
matiquement l'unité de l'intervalle spatio-temporel entre
deux événements. Ce qui n'est pas absolu et qui justifie le
titre qu'on a donné à la Théorie de la Relativité, c'est la
coupe que chaque observateur fait dans l' Espace-Temps. 11
obtient ainsi un espace et un temps qui lui sont propres et
qui diffèrent de ceux d'un observateur animé d'un mouve
ment différent. Mais les inégalités de l'espace et du temps
de chacun d'eux se compensent par leur union dans l'Uni
vers unique et absolu dont on ne saurait ainsi nier l'objec
tivité.
Nos conclusions sont identiques à l'énoncé des proposi
tions que nous avons essayé de démontrer. Elles sont donc
faites pour combattre la méfiance qu'un grand nombre de
philosophes thomistes témoignent à l'égard de la nouvelle
figure du monde. Il ne nous suffit point de déclarer que
les thèses fondamentales de l'ontologie et de la cosmologie
scolastiques sont au-dessus des inventions des physiciens.
Il nous faut encore descendre dans l'arène du progrès
scientifique, nous pénétrer de l'esprit de ces doctrines
nouvelles, et leur donner leur vraie valeur dans notre
philosophie.
*
La thèse que nous présentons a soulevé deux objections
fondamentales : l'une conteste la légitimité môme des geo
metries non-euclidiennes en tant que geometries ; l'autre
nous reproche de confondre l'objet formel des mathémat
iques et celui de la physique.
Les géomètres modernes, nous dit-on, sont trop sévères

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