Le calcul des probabilités et les régularités statistiques - article ; n°65 ; vol.17, pg 23-52

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Revue néo-scolastique de philosophie - Année 1910 - Volume 17 - Numéro 65 - Pages 23-52
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Publié le : samedi 1 janvier 1910
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Joseph Lottin
Le calcul des probabilités et les régularités statistiques
In: Revue néo-scolastique de philosophie. 17° année, N°65, 1910. pp. 23-52.
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Lottin Joseph. Le calcul des probabilités et les régularités statistiques. In: Revue néo-scolastique de philosophie. 17° année,
N°65, 1910. pp. 23-52.
doi : 10.3406/phlou.1910.2728
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/phlou_0776-555X_1910_num_17_65_2728il.
LE CALCUL DES PROBABILITÉS
ET
LES RÉGULARITÉS STATISTIQUES*)
Si la première source de vérité est l'expérience, il est
de fait que notre esprit ne peut s'en contenter. D'instinct,
nous recherchons la loi des agents naturels, les causes et
le mode de leur action. Quiconque prétend faire de la science
admet qu'il y a une connexion nécessaire entre les causes et
leurs effets ; c'est le principe du déterminisme : le nier serait
nier la science elle-même.
La conséquence de ce principe s'impose : si> dans un cas
donné, nous connaissons les diverses causes qui ont agi sur
un phénomène, leur mode d'action, leur direction et leur
intensité, nous pouvons prédire avec certitude leur résul
tante finale ; la déduction peut s'effectuer rigoureuse,
mathématique, sous forme d'un raisonnement d'une valeur
irrécusable : si telles causes agissent, tel effet s'ensuivra
nécessairement. En fait, ces causes agissent ; donc, tel efiet
*) Dans le numéro de novembre 1909 de cette Revue, nous annon
cions (p. 539) une étude sur les rapports qui existent entre la méthode
statistique (ou les moyennes subjectives) et la méthode inductive. Nous
nous étions contenté, dans ce premier article, de préparer le sujet:
exposer les différentes espèces de moyennes, et déterminer la sphère
d'application des moyennes subjectives.
Nous abordons aujourd'hui la question elle-même. Historiquement, la
méthode statistique se présente comme un corollaire du calcul des pro
babilités ; logiquement, ne doit-on pas la rattacher à la méthode induc
tive ? C'est la question que nous examinons dans les pages qui suivent. i. lottin 24
en résultera infailliblement. Ex veritate antecedents, neces-
sario sequitur veritas consequenlis.
Si tel était l'état de nos connaissances pour tous les phé
nomènes naturels, nous aurions atteint l'idéal de la science ;
par définition, la science est deductive, connaissance des
phénomènes par leurs causes. Mais pouvons-nous nous
flatter d'atteindre souvent cet idéal ? Connaissons-nous
toutes les causes qui déterminent les phénomènes ? En
connaissons-nous le mode d'activité, la direction, l'i
ntensité? Voici un homme d'une taille bien déterminée.
Nous soupçonnons que la race, l'hérédité sous ses diverses
formes, le climat, le genre de vie sont autant d'influences
qui ont pu contribuer à l'effet final ; avons-nous énuméré
toutes les causes ? Cette question fût-elle éclaircie, une
autre se pose : comment ces causes ont-elles agi ? Ont-elles
agi toutes dans la même direction, avec une intensité
égale ? Si elles se sont mutuellement contrecarrées, quelle
a été l'intensité de l'action et de la réaction ? Autant de
problèmes qu'il importe de résoudre, si l'on veut connaître
les lois de la nature
Une difficulté se présente, insurmontable, sembîe-t-il :
la complexité décevante de la plupart des phénomènes. La
simplicité des faits n'est qu'apparente. Tel phénomène phy
sique nous paraît typique, parce que l'énoncé de la loi est
simple ; c'est une illusion : « la grossièreté de nos sens
nous empêche d'apercevoir la complexité » I). La comp
lexité augmente encore, si nous abordons les phénomènes
vitaux ; c'est ce qui explique leur extrême variabilité. « Les
phénomènes que nous présentent les êtres organisés, écrit
Quetelet, sont si variables, qu'ils ne se manifestent peut-
être jamais dans des circonstances parfaitement identiques ;
*)H. Poincaré, La science et P hypothèse. P Axis, 1908, p. 175. Il
prend comme exemple la loi de Mariotte. CALCUL DES PROBABILITÉS 25 LE
on le concevra sans peine, si l'on a égard au nombre infini
de causes qui peuvent leur donner naissance, et à tous les
degrés d'intensité dont ces causes sont susceptibles » 1).
Peut-on prétendre analyser ces phénomènes, y voir un
ordre fondamental, découvrir des causes régulières et en
déterminer le mode d'action ? Ne devra-t-on pas, en dés
espoir de cause» attribuer des faits aussi variés au hasard
des circonstances ?
Les mathématiciens ont tenté de surmonter cette diffi
culté. Hume avait déjà dit : « II n'y a point de hasard à
proprement parler ; mais il a son équivalent : l'ignorance
où nous sommes des vraies causes des événements a sur
notre esprit l'influence qu'on suppose au hasard » •).-
Laplace reprend cette conception. Le but qu'il pours
uit est d'éliminer de l'explication scientifique de l'univers
les causes occultes : le hasard et les causes finales. « Tous
les événements, dit-il, ceux mêmes qui, par leur petitesse,
semblent ne pas tenir aux grandes lois de la nature, en sont
une suite aussi nécessaire que les révolutions du soleil-.
Dans l'ignorance des liens qui les unissent au système
entier de l'univers, on les a fait dépendre des causes finales
ou du hasard, suivant qu'ils arrivaient et se succédaient
avec régularité ou sans ordre apparent ; mais ces causes
imaginaires ont été successivement reculées avec les bornes
de nos connaissances, et disparaissent entièrement devant
la saine philosophie qui ne voit en elles que l'expression de
l'ignorance où nous sommes des véritables causes « 3).
Mais quel sera le moyen d'éliminer le hasard, et de
découvrir les lois de la nature ? Le grand obstacle est la
complexité des phénomènes. Le remède sera l'application
du calcitl des probabilités, concrétisé dans X observation du
') Quetelet, Lettres sur la théorie d»s probabilités appliquée aux
sciences morales et politiques. Bruxelles, 1846, pp. 157-158.
*) H um e , Essais philosophiques sur V entendement humain. Amster
dam, 1758, Tome I, p. 150.
*) Laplace, Essai philosophique sur les probabilités, pp. 2*9 (édition
de 1840).
UCL
INSTITUT SUPERIEUR DE PHILOSOPHIE
Bibliothèque
•' Collège D. Mercier
Place du Cardinal Mercier. 14 26 J. LOTTIN
grand nombre ; le résultat sera une valeur moyenne, débar
rassée de l'influence des causes accidentelles. « Les phéno
mènes de la nature sont le plus souvent enveloppés de tant
de circonstances étrangères, un si grand nombre de causes
perturbatrices y mêlent leur influence, qu'il est très diffi
cile de les reconnaître. On ne peut y parvenir qu'en multi
pliant les observations ou les expériences, afin que les
effets étrangers venant à se détruire réciproquement, les
résultats moyens mettent en évidence ces phénomènes et
leurs éléments divers. Plus les observations sont nombreuses,
et moins elles s'écartent entre elles, plus leurs résultats
approchent de la vérité » l).
Cette dernière assertion est l'application du théorème de
Jacques Bernoulli : plus les observations sont nombreuses,
plus les événements observés tendent à se conformer à leurs
probabilités respectives ; la différence entre les résultats
du calcul et ceux de l'expérience sera resserrée dans des
limites d'autant plus étroites que le nombre des expériences
aura été plus considérable 8). « II suit de ce théorème,
écrit Laplace, que, dans une série d'événements indéfin
iment prolongée, l'action des causes régulières et constantes
doit l'emporter à la longue sur celle des causes irrégu
lières » 3). Et nous voilà ainsi arrivés à la neutralisation
des causes accidentelles dont ont parlé les premiers statisti-.
l) Lapl ace, op cit., p. 85.
•) Jacques Bernoulli avait déjà, dans son Ars conjectandi (publié en
1713 par les soins de son neveu Nicolas Bernoulli) entrevu l'application
du calcul des probabilités aux diverses sciences, surtout les sciences
morales; la quatrième partie de son ouvrage, malheurement inachevée,
devait, en effet, traiter de l'application de la doctrine des probabilités
« in civilibus, moralibus et oeconomicis ». Diverses tentatives, plutôt
hasardées, ont été entreprises au cours du XVIIIe siècle, si fécond en
hypothèses générales. C'est à Laplace que revient l'honneur d'avoir érigé
en système toutes les idées éparses dans l'intellectualité de l'époque,
concernant les applications du calcul des probabilités. Il est à remar
quer que Y Essai philosophique de Laplace (1*° édition en 1814) n'est
que le développement de sa 10® leçon donnée à l'Ecole normale,
dès 1795. On peut voir un exposé suffisant du développement du calcul
des chances dans Gouraud, Histoire du calcul des probabilités depuis
ses origines jusqu'à nos jours. Paris, 1848.
•) L a p 1 a c e, op. cit., p. 71. LE CALCUL DES PROBABILITÉS 27
ciens qui ont assimilé les phénomènes de la nature aux
phénomènes qui se rencontrent dans les jeux du hasard.
* Concevons, par exemple, une urne qui renferme des
boules blanches et des boules noires ; et supposons qu'à
chaque fois que l'on en tire une boule, on la remette dans
l'urne pour procéder à un nouveau tirage. Le rapport du
nombre des boules blanches extraites sera le plus souvent
très irrégulier dans les premiers tirages ; mais les causes
variables de cette irrégularité produisent des efîets alterna
tivement favorables et contraires à la marche régulière des
événements, et qui, se détruisant mutuellement dans l'e
nsemble d'un grand nombre de tirages, laissent de plus en
plus apercevoir le rapport des boules blanches aux boules
noires contenues dans l'urne » 1).
Ainsi donc, l'emploi du calcul des probabilités, ou, si
l'on veut, l'observation méthodique de la masse, permet
d'éliminer les causes irrégulières, accidentelles, que l'on
dit volontiers dépendre du hasard ; ainsi les effets des causes
régulières, constantes apparaissent dans la moyenne, selon
leurs probabilités respectives *).
UEssai philosophique de Laplace domine tout le
xix6 siècle : il a inspiré tous les maîtres de la méthode
statistique. Ce n'est pas le lieu d'en retracer la longue série.
On ne peut cependant passer sous silence les mémoires
que le mathématicien Fourier consacra aux moyennes 3).
') L a p 1 a c e, op. cit., p. 69.
') Et c'est ainsi qu'est éliminée l'idée de finalité. « Au milieu des
causes variables et inconnues que nous comprenons sous le nom de
hasard, et qui rendent incertaine et irrégulière la marche des événe
ments, on voit naître, à mesure qu'ils se multiplient, une régularité frap
pante qui semble tenir à un dessein, et que l'on a considérée comme
une preuve de la providence. Mais, en y réfléchissant, on reconnaît
bientôt que cette régularité n'est que le développement des possibilités
respectives des événements simples qui doivent se présenter plus
souvent, lorsqu'ils sont plus probables. > Essai philosophique, pp. 68*69,
Voir aussi pp. 81-82.
*) Ces mémoires constituent les introductions aux Recherches statis
tiques sur la ville de Paris et le département de la Seine ; Notions génér
ales sur la population, dans tome I des Recherches, année 1821, 2e éd.,
en 1883, pp. IX-LXXIII ; Mémoire sur les résultats moyens déduits d'un J. LOTTIN 28
La question des régularités statistiques et des moyennes
est rivée, pour Fourier comme pour Laplace, aux théo
rèmes du calcul des probabilités. C'est après avoir rappelé
les principes fondamentaux de la théorie qu'il énonce une
proposition qui, dit-il, « sert de fondement à la plupart
des recherches statistiques. Elle consiste en ce que la répé
tition indéfinie des événements que l'on regarde comme
fortuits, fait disparaître tout ce qu'ils ont de variable ;
dans la série d'un nombre immense de faits, il ne subsiste
plus que des rapports constants et nécessaires, déterminés
par la nature des choses... Ce principe ne s'applique pas
seulement à des événements fortuits et indifférents (tels que
les phénomènes des jeux de hasard). Il convient à tous les naturels. Les faits météorologiques en four
nissent une preuve remarquable » l). Fourier applique le
théorème de Bernoulli à l'étude des moyennes ; il écrit tout
un mémoire pour calculer mathématiquement le degré de
précision d'un résultat moyen. « II est évident que la valeur
moyenne est connue avec d'autant plus de précision que
l'on fait concourir à cette recherche un plus grand nombre
d'observations ; ... les variations accidentelles se com
pensent... ; la multiplicité des chances fait disparaître ce
qui est accidentel et fortuit, et il ne reste que l'effet cer~
tain des causes constantes ; en sorte qu'il n'y a point de
hasard pour les faits naturels considérés en très grand
nombre » *). L'œuvre entière de Quetelet est basée sur ces
principes.
La définition que Cournot nous donne de la statistique
grand nombre d'observations, dans tome III des Recherches statis
tiques de 1826, pp. 1X-XXXI ; Second mémoire sur les résultats moyens
et sur les erreurs de mesure, dans tome IV des Recherches statistiques
de 182g, pp. IX-XLVIil. Ces mémoires ne sont pas signés.
l) Fourier, Notions générales sur la population, dans Rech. stat.,
1821. p. XXXIX.
*) Fourier. Mémoire sur les résultats moyens déduits d'un grand
nombre d'observations, dans Recherches statistiques, 1826, p. X. « La
multiplicité des observations supplée en quelque sorte à la connais»
sance des causes, et elle suffit pour découvrir les lois auxquelles les
effets naturels sont assujettis », p. XIII du même mémoire. LE CALCUL DES PROBABILITÉS 29
n'est que l'exposé de la méthode d'observation basée sur le
principe de Bernoulli. « Nous entendrons par statistique
la science qui a pour objet de recueillir et de coordonner
des faits nombreux dans chaque espèce, de manière à
obtenir des rapports numériques sensiblement indépendants
des anomalies du hasard, et qui dénotent l'existence des
causes régulières dont l'action s'est combinée avec celle des fortuites » 1).
On pourrait s'en convaincre en faisant l'histoire de la
statistique au xix* siècle, c'est grâce aux théoriciens du
calcul des probabilités que l'on a abordé l'étude des régul
arités statistiques, concrétisées dans les moyennes dites
typiques. Appliqué aux phénomènes naturels, le calcul des
probabilités élimine le hasard et met à nu les lois de
l'univers. Le hasard, en effet, pour les mathématiciens,
est perturbateur des lois ; il se concrétise dans les causes
accidentelles qui masquent la loi de nature. Or, le théorème
de Bernoulli, ou l'observation d'un grand nombre de
phénomènes, élimine ces causes fortuites, et nous fait voir
l'eÛet des causes régulières, constantes ; les déviations sont
le produit des causes accidentelles ; la moyenne est le
résultat des causes constantes.
Essayons de déterminer quelle est la valeur de ces asser*
tions.
Pour ne pas compliquer le problème, nous nous bornerons
à l'étude des phénomènes naturels ; par là, nous entendons
ceux qui sont soumis au déterminisme ; nous ne voulons
pas entrer dans le domaine des faits moraux ; ici intervient
le libre arbitre qui, à première vue, semble réfractaire
à tout calcul, à toute induction ; c'est une difficulté spéciale
que les déterministes suppriment, que d'autres résolvent de
'JCournot, Exposition de la théorie des chances et des probabilités.
Paris, 1843, p. 182. 30 J. LOTTIN
différentes façons. L'examen des lois morales et des lois
sociologiques requiert une étude spéciale.
Nous l'avons dit à une autre occasion ]), les régularités
statistiques, ou les moyennes, peuvent être envisagées
à deux points de vue différents : dans Y espace, c'est l'étude
des phénomènes considérés simultanément ; dans le temps,
et alors, nous étudions les faits dans leur succession chrono
logique.
Nous n'envisagerons que le premier cas ; les considéra
tions que nous émettrons s'appliquent d'elles-mêmes au
second. D'après les travaux du Dr Vervaeck, la taille
moyenne des recrues belges était, en 1907, de 1 m. 658.
Que représente cette moyenne ?
Il se pourrait que les faits considérés dans la masse
soient hétérogènes ; ce qui implique que certaines tailles
sont dues à des causes différentes de celles qui ont déterminé
les autres tailles. Il se pourrait, par exemple, que les tailles
extrêmes soient le produit de causes différentes de celles
qui ont agi sur les tailles qui se rapprochent de la moyenne.
Quand il s'agit de phénomènes que nous ne savons pas,
a priori, homogènes, l'hypothèse n'est pas invraisemblable.
Dans le cas qui nous occupe, cette hypothèse ne tient pas :
nous savons, par ailleurs, que certaines causes du moins,
la race, le climat, ont agi sur tous les individus.
Eliminons donc cette hypothèse, et supposons que, parmi
les nombreuses causes qui ont influé sur la taille des con
scrits, certaines ont agi sur tous les individus ; appelons-les
causes communes. Ici, deux hypothèses se présentent qui,
toutes deux, peuvent rendre compte de la convergence des
tailles vers la moyenne.
Les causes communes peuvent avoir agi dans tous les
individus avec même intensité et même direction. Si elles
*) Revue Néo-Scolastique, novembre 1909, p. 560. LE CALCUL DES PROBABILITÉS 31
avaient été seules à agir, tous les soldats auraient eu la
même taille. Les déviations viennent de certaines causes
qui, dans les cas d'anomalie par excès, ont ajouté leur
efficience à celle des causes communes, et dans les cas
d'anomalie par défaut, ont contrecarré l'influence des
causes communes. La moyenne, serait, ou peu s'en faut,
l'effet des causes communes d'intensité et de direction
identiques ; les déviations seraient le produit des causes
exceptionnelles.
Je puis émettre une seconde hypothèse, tout aussi vrai
semblable a priori. Les causes communes n'ont pas eu la
même intensité dans leur efficience ; c'est la différence de
leur qui m'explique les déviations de la moyenne.
Il m'est loisible de supposer qu'à cette première source
d'écarts, certaines causes exceptionnelles sont venues
s'ajouter ; la supposition n'est pas nécessaire pour expliquer
la diversité des tailles ; il me suffit de supposer que les
causes peu intenses et fort intenses sont moins nombreuses
que les causes d'intensité moyenne.
La première hypothèse (causes communes d'intensité
égale) est V application du théorème de Bernoulli ; la seconde
(causes communes d'intensité variable) est l'application de
la « loi des grands nombres » de Poisson,
Bernoulli, on le sait, a consacré une partie de sa vie
à établir ce théorème qui cependant nous paraît bien simple,
à savoir qu'en multipliant le nombre d'expériences, les
événements tendent à se manifester selon leurs probabilités
respectives. Dans une urne, se trouvent des boules blanches
et noires dans un rapport que je suppose connu a priori —
supposons-le égal. La différence entre la probabilité a
priori ^ et le rapport des boules tirées diminue à mesure
que l'on augmente les expériences ; plus les observations
sont nombreuses, plus petite sera la différence entre l'expé-

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