La place des manuscrits conservés à l'Institut de France dans l'évolution de la pensée mathématique de Léonard de Vinci, communication du 2 février 1979 - article ; n°3 ; vol.123, pg 459-475

De
Comptes-rendus des séances de l'Académie des Inscriptions et Belles-Lettres - Année 1979 - Volume 123 - Numéro 3 - Pages 459-475
17 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.
Publié le : lundi 1 janvier 1979
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Monsieur Augusto Marinoni
La place des manuscrits conservés à l'Institut de France dans
l'évolution de la pensée mathématique de Léonard de Vinci,
communication du 2 février 1979
In: Comptes-rendus des séances de l'Académie des Inscriptions et Belles-Lettres, 123e année, N. 3, 1979. pp. 459-
475.
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Marinoni Augusto. La place des manuscrits conservés à l'Institut de France dans l'évolution de la pensée mathématique de
Léonard de Vinci, communication du 2 février 1979. In: Comptes-rendus des séances de l'Académie des Inscriptions et Belles-
Lettres, 123e année, N. 3, 1979. pp. 459-475.
doi : 10.3406/crai.1979.13633
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/crai_0065-0536_1979_num_123_3_13633MANUSCRITS DE LÉONARD DE VINCI 459
Nous publions ici la communication du 2 février 1979.
COMMUNICATION
la place des manuscrits conservés a l'institut de france
dans l'évolution de la pensée mathématique
de léonard de vinci,
par m. augusto marinoni.
C'est un grand honneur que j'apprécie vivement d'avoir l'occasion
de parler devant votre compagnie.
Ayant travaillé presque toute ma vie à l'édition des écrits de
Léonard de Vinci, je voudrais examiner sur un point très précis
les manuscrits de Léonard, conservés à la Bibliothèque de l' Institut
de France. Quant à leur importance, il ne peut exister aucun doute.
Ils couvrent pratiquement tout le cours de la vie de Léonard écrivain
et permettent d'en suivre l'évolution en ce qui concerne la graphie,
la langue, le style et les thèmes d'étude. Étant, au reste, écrits
presque tous à des époques connues, ils sont également utiles pour
dater plusieurs pages semblables qu'on trouve dans les autres
manuscrits.
Le domaine des études léonardiennes a été malheureusement
ouvert à beaucoup d'amateurs qui, ignorant les rapports de Léonard
avec la culture de son époque, le considèrent comme un météore
surgi à l'improviste de la nuit. Nous devons une grande reconnais
sance à Duhem et à Solmi, qui ont révélé maintes concordances entre
les pages de Léonard et une quantité d'auteurs anciens, médiévaux
et contemporains. Mais ils étaient convaincus que Léonard était en
mesure de lire Lucrèce, Macrobe, Euclide, etc. Ils n'ont jamais su
voir en Léonard l'humble élève de maîtres plus doués. La méthode
que j'ai suivie diffère de celle de Duhem et Solmi par le fait que je
ne cherche pas, ici ou là, l'écho momentané d'une lecture de Léonard.
Ce que je voudrais saisir, se sont les conséquences de ces lectures
lorsqu'elles représentent le départ d'une évolution culturelle de
Léonard, qui a pu modifier radicalement l'aspect de sa pensée.
Je crois avoir montré, il y a plus de trente ans, comment on pouvait
résoudre le problème de l'éducation littéraire de Léonard. Dans ses
notes grammaticales et lexicales, on avait vu une invention géniale,
a nihilo. Il s'agissait, en fait, d'autre chose : l'effort de Yuomo sanza COMPTES RENDUS DE L* ACADÉMIE DES INSCRIPTIONS 460
lettere pour apprendre le latin et surtout pour acquérir une quantité
de mots nouveaux afin de se mettre au niveau des écrivains. Je
voudrais aujourd'hui montrer — pour la première fois en ce qui
concerne le détail principal — comment on peut tenter de résoudre,
avec la même méthode, le problème des connaissances mathémat
iques de Léonard ; je crois pouvoir établir que la clef se trouve
précisément dans les manuscrits M et I de l'Institut de France,
datables de 1497-1499. Personne n'a jamais cru à l'excellence de
Léonard dans le domaine de la mathématique. Le plus grand admira
teur de la mathématique vincienne fut Marcolongo. Il eut une réac
tion indignée contre les savants allemands qui avaient relevé des
erreurs de calcul dans les manuscrits de Léonard, et il mit en avant
une page du manuscrit Arundel, qui constitue une démonstration
parfaite des calculs de racines1. Mais l'existence de cette page alléguée
par Marcolongo ne saurait annuler les erreurs repérées ailleurs ; et
elle nous met en présence d'une difficulté supplémentaire.
Le manuscrit Arundel contient, en effet, quelques pages dont
Marshall Clagett2 a révélé qu'elles provenaient des œuvres d'Ar-
chimède traduites en latin : il s'agit de traductions ou de résumés
plus ou moins libres. Mais, comme je l'ai déjà démontré, Léonard
n'était pas en mesure de lire et de comprendre le latin très difficile
des traités d'Archimède sans l'aide de quelque lettré qui fût en
même temps mathématicien. Qui est donc l'auteur des calculs de
racines ? En ce qui concerne les bévues de Léonard, Marcolongo
exigeait de les attribuer uniquement à l'époque de sa jeunesse, ce
que nous aussi pouvons accepter, si l'on accepte de fixer à cinquante
ans la fin de la jeunesse.
Tout d'abord, je dois souligner un détail important : le seul
domaine où Léonard énumère fièrement ses découvertes en se fél
icitant d'avoir surpassé les anciens (une anticipation de la « querelle
des anciens et des modernes ») est justement celui des mathémat
iques. Il faut donc diviser la vie de Léonard en deux parties : avant
et après les manuscrits M et I. La première, jusque vers 1497, est
caractérisée par de graves lacunes et, j'ose le dire, par une véritable
ignorance des mathématiques. Je ne fais pas allusion aux bévues
banales, je parle des erreurs de concept et de méthode.
On peut considérer — tout d'abord — la plus ancienne des opéra
tions arithmétiques conservée dans le manuscrit B (f. 72, près de
1. R. Marcolongo, Le richerche geometrico-meccaniche di Leonardo da Vinci,
Roraa, 1929, p. 44, contre F. Schuster, Zut Mechanik L. da V., Erlangen, 1915,
qui, en relevant une erreur de Léonard, écrivait : « dies hangt mit seiner geringen
mathematischen Schulung zusammen », un jugement que nous trouvons parfait,
en dépit de Marcolongo.
2. M. Clagett, L. da V. and the médiéval Archimedes, « Physis », 1969, pp. 132-
133. DE LÉONARD DE VINCI 461 MANUSCRITS
42.66
FlG. 1.
± * ± - 9
3 3 - 7
Fio. 2.
•3 3 3 - 2,2 - •*
* T ' 1 - 9 ~ T
Fig. 3.
1485). Léornard doit multiplier 108 x 27 et doit donc obtenir 2916.
Mais l'opération s'effectue ainsi : 7 x 8 = 56, il écrit 6 ; 7 x 0 = 0,
il écrit 0 sans ajouter le chiffre des 5 dizaines, qu'il place par contre
dans suivante 7 x 1 = 7,7 + 5 = 12. L'erreur se répète
dans le second produit : 2 x 8 = 16, il écrit 6 et poursuit 2x0 = 0,
qu'il écrit, retenant le 1 qu'il ajoute à 2 x 1 = 2, 2+1 =3. Le
total obtenu est 4266 au lieu de 2916 (fig. 1). C'est une erreur
de méthode que l'on rencontre dans quelques pages du Codex
Atlanticus3.
Léonard a de graves difficultés pour le calcul avec des fractions4.
Lorsqu'il multiplie deux fractions ayant un dénominateur semblable,
il opère comme s'il s'agissait d'une somme ; il ne touche pas au
dénominateur commun et multiplie uniquement les numérateurs.
De cette façon, il croit avoir découvert une méthode assez facile pour
calculer les nombres irrationels ou les « racines sourdes », comme la
3. Par exemple, le f. 30 v.a de V Atlanticus contient neuf fois cette faute dans
l'espace de douze lignes.
4. Cf. A. Marinoni, La teoria dei numeri frazionari nei manoscritti vinciani,
« Raccolta Vinciana », XX (1964), pp. 111-196. COMPTES RENDUS DE L* ACADÉMIE DES INSCRIPTIONS 462
racine carrée ou cubique de 2, 3 et ainsi de suite. Dans le Codex
Atlanticus (245 r.b) il écrit un tableau des racines carrées. Celle de
2 serait 2/2, parce que 2/2 x 2/2 = 4/2, c'est-à-dire 2 ; celle de 3
serait 3/3, parce que 3/3 x 3/3 = 9/3 = 3 (fig. 2). Dans le Codex
Arundel (200 r) nous trouvons par contre le tableau des racines
cubiques, où il est dit que la racine cubique de 3 est 3/9, car 3/9 x
3/9 x 3/9 = 27/9 = 3. Il poursuit avec le chiffre 4, etc. (fig. 3),
expliquant clairement ce que je résume ici et il conclut, non sans
orgueil, « innanti a me non c'è notizia essere trovate ». A cette époque,
il devait être particulièrement difficile d'expliquer à des débutants
pourquoi le quotient est toujours plus grand que le dividende,
lorsque l'on divise un nombre par une fraction. Pacioli, dans sa
Summa, consacre un petit développement à ce sujet. Nous trouvons
également ce problème dans le Codex Atlanticus et dans le L (10 v),
mais les affirmations formelles de Léonard, qui déclare que la règle
enseignée par les maîtres est erronée ou peu claire et qui propose
d'autres règles, l'une plus absurde que l'autre, nous démontrent
qu'à cinquante ans, il n'a pas encore franchi cet obstacle, et l'on se
demande s'il parle sérieusement. Mais voici la confession où il s'est
rendu compte de ne pas savoir comment il faut multiplier les frac
tions ; au folio 120 r° de Y Atlanticus il écrit : « impara la multipli-
cazione délie radici da maestro Luca », c'est-à-dire de Luca Pacioli.
La leçon de maître Luca paraît dans le même Codex au f. 69 et
consiste en un résumé du petit traité contenu dans la Summa avec
les règles pour additionner, soustraire, multiplier et diviser les
fractions.
Le problème des racines « sourdes » et plus particulièrement celui
de la duplication du cube, appelé également problème de Délos,
a beaucoup préoccupé Léonard. Dans un premier temps, il estime
que la solution du problème est aisée. Si l'arrête du cube mesure 4
brasses (volume 46), il dit que l'arête du cube doublé (volume 128)
mesurera 5 et une toute petite quantité en plus qui, je cite, « con
comodità si fa e con difficulté si dice » (AU. 58 ra) ; voilà une affirma
tion digne d'un homme pratique, d'un ingénieur qui admet certaines
tolérances (pour nous la racine cubique de 128 est 5,03968), mais qui
ne peut être acceptée par un mathématicien. Après de nombreuses
tentatives, dont quelques-unes sont réellement mal posées, Léonard
écrit dans le Codex Arundel (f. 77) la traduction d'une page de De
expetendis et fugiendis rébus de G. Valla, qui rapporte une des solu
tions géométriques inventées par les anciens. En unissant deux carrés,
qui représentent deux faces d'un même cube, l'on obtient un rec
tangle dont la base (b) est double par rapport à la hauteur (a). Il
faut prolonger indéfiniment cette base vers la droite, et le côté
gauche (a) vers le haut. Une règle qui frôle obliquement le sommet MANUSCRITS DE LÉONARD DE VINCI 463
; x = X ; : 4 = i : b
a : x = x
■1
xz =
0
=
f
x2
a2
x5 = a2t>
a.
Fia. 4. 464 COMPTES RENDUS DE L ACADEMIE DES INSCRIPTIONS
Fio. 5.
supérieur droit du rectangle coupe les prolongements susmentionnés.
Un compas, dont une pointe est fixée au centre du rectangle, doit
vérifier à l'aide de l'autre pointe, en faisant osciller la règle, que les
deux intersections sont à égale distance du centre susmentionné.
De cette manière, il y aura deux segments, un sur le prolongement
inférieur, que nous appellerons x, et un autre sur le
supérieur, que y. Ils représentent les deux moyennes
proportionnelles dans la proportion continue a : x = x : y = y : b,
d'où l'on déduit aT : x1 = a : b, et où x représente l'arête du cube
doublé (fig. 4). Léonard accepte ce résultat, mais il se montre insa
tisfait du procédé, qu'il déclare « douteux et mécanique » à la suite
de la combinaison difficile du mouvement de rotation du compas et
d'oscillation de la règle. Léonard n'est pas un mathématicien, mais
bien un expérimentateur, et en essayant à nouveau ces mouvements,
il fait une découverte très simple et remarquable (AU. 218 v.b).
En plaçant la pointe du compas dans le sommet supérieur gauche
du rectangle et en le faisant tourner, il découvre que la distance du MANUSCRITS DE LÉONARD DE VINCI 465
centre du deuxième carré coïncide avec le segment y ; et ainsi le
chercheur est délivré de la peine hasardeuse de combiner les deux
mouvements du compas et de la règle (fig. 5). Léonard est heureux
de sa découverte, mais il ne se soucie pas et ne serait d'ailleurs pas
en mesure de donner une explication scientifique d'un fait qu'il se
borne à constater : « là dove gli antichi trovavano negoziando la
dubbiosa situazione délia corda... in questa nuova invenzione non si
ha bisogno di tal curva... il che far non si potea avanti li nostri giorni »
(AU. 218 v.l).
Au moment où Léonard affronte ce problème, il avait déjà consacré
plusieurs années à l'étude de la géométrie. Tout le monde se rappelle
les lettres écrites à Isabelle d'Esté en 1501 par Pietro da Nuvolara,
où ce dernier affirmait que Léonard avait complètement cessé de
peindre, afin de pouvoir se consacrer entièrement à la géométrie.
Dans les premiers cahiers léonardiens, la géométrie occupe peu de
place. Dans le Cahier B il y a seulement quelques règles relatives
à la construction des polygones réguliers ; dans le Cahier C, appa
raissent des rayons lumineux qui tombent sur des corps ombrés,
mais ils n'impliquent pas une connaissance particulière de la géo
métrie. Dans les Cahiers I, M et Forster II, nous trouvons par contre
des pages très intéressantes. Elles comportent des dessins géomét
riques et jusqu'à présent, elles étaient très mystérieuses. A première
vue, ces pages semblaient indéchiffrables. Elles se réduisent à
quelques lignes avec ou sans un numéro, parfois il y a un mot isolé
ou phrases, mais parfois il y a un titre : « Leçon troisième
du premier » et aussi « du dixième ». Grâce à ces titres, j'ai pu
découvrir la clef du mystère. En fait, une comparaison minutieuse
avec le texte des Éléments d'Euclide, dans la version commentée par
Campano, m'a permis de reconstituer, page après page, le travail
de Léonard pour l'étude d'Euclide. Elle représente une nouveauté
pour les années 1497-1499, qui coïncident exactement avec la pré
sence à Milan de Luca Pacioli, lequel a chargé Léonard de dessiner
les figures des Polyèdres pour la Divina Proportione. Et voilà un
travail qui exige la connaissance de la géométrie la plus avancée pour
ce qui concerne les solides. Cela explique le fait apparemment étrange
que dans les premières « leçons » il y a des théorèmes du livre X à
côté des théorèmes du premier. Dans le Cahier I, nous trouvons aussi
les notes de grammaire latine qui révèlent, sans aucun doute, une
connaissance insuffisante du latin. Comment Léonard peut-il affron
ter l'étude d'un texte latin si difficile ? D'autre part, si Léonard s'était
servi d'une traduction, il transcrirait au moins une partie du texte,
comme il l'a fait dans le Madrid II, avec les premières propositions
d'Euclide, et dans V Atlanticus, avec de longs résumés de la Summa
de Pacioli. Il est donc aidé par quelqu'un, et ce quelqu'un ne peut COMPTES RENDUS DE L* ACADÉMIE DES INSCRIPTIONS 466
Fio. 6. — CA 177 v» (d).
être que Pacioli lui-même. Quelques pages, plutôt désordonnées,
semblent avoir été écrites pendant la « leçon », d'autres par contre
— spécialement dans le Codex Atlanticus — sont si bien ordonnées
que l'on peut penser à l'existence d'un carnet qui résume une grande
partie des trois premiers livres d'Euclide, réduit à une succession
de dessins qui peuvent seulement être compris par celui qui les a faits.
Voici quelques exemples :
Cahier M, f. 29 v° : la figure correspond à la proposition d'Euclide I,
31, tracer d'un point donné une ligne droite parallèle à une droite
donnée. L'on trace une ligne oblique qui forme un certain angle avec
la droite donnée, par le point on trace une droite qui définit un angle
identique opposé. DE LÉONARD DE VINCI 467 MANUSCRITS
Cahier M 29 r°, figure correspondant à Euclide I, 30 : si deux
droites sont parallèles à une troisième, elles sont parallèles entre elles.
Léonard répète plusieurs fois le dessin, il enferme les lignes dans des
rectangles pour les opposer entre elles, et il indique les angles opposés
égaux. Les deux pages que nous avons vues ne comportent ni mots,
ni chiffres. La coïncidence avec Euclide n'est toutefois pas fortuite,
car toutes les pages qui précèdent et qui suivent concordent avec
une ou plusieurs proportions euclidiennes.
Codex Atlanticus, f. 177 v.d — Euclide I, 7. Cette proposition est
plusieurs fois répétée par Léonard et elle a été bien analysée dans
une série de treize figures (fig. 6). Euclide dit que si, à partir des
extrémités d'un segment, l'on trace deux lignes en direction d'un
point donné, il n'est pas possible de tracer, d'un point différent et
du même côté partant des mêmes extrémités, deux segments égaux
aux précédents. La démonstration est faite par l'absurde. « SU
linea AB », dit Euclide et Léonard exécute l'ordre dans la première
figure. « L'on trace deux lignes au point C », et voici la seconde
figure, mais Léonard oublie toujours les lettres. Par l'absurde, l'on
suppose que deux lignes qui mènent à un point divers sont égales aux
précédentes. Les deux sommets se rejoignent, et voici la quatrième
figure. On considère le triangle à droite et les deux angles supérieurs,
qui doivent être égaux, s'il est vrai qu'il y a deux côtés égaux.
Léonard indique les deux angles par un point et dégage le triangle
vide. La même observation se répète pour le triangle à gauche dans
la figure 6. Il en déduit la conclusion absurde, que les deux angles
marqués dans la cinquième et la sixième figure sont égaux, et cela
signifierait que la partie est égale au tout. Euclide continue en
considérant une seconde hypothèse qui place le deuxième point plus
haut. Léonard énonce la nouvelle hypothèse par la phrase « muta-
tione d'aversario », et poursuit selon la même méthode.
Voici le f. 169 r.b du Codex Atlanticus portant deux titres : « Le
petitioni sono 5 — Le conceptioni sono 11 ». L'ensemble provient des
premières pages du « Liber elementorum Euclidis ». Le premier
postulat d'Euclide, dans l'édition utilisée par Léonard, prescrit de
tracer une ligne d'un point à un autre. Pour que les points soient
visibles, Léonard les place de manière qu'ils ne soient pas couverts
par la ligne. Le deuxième postulat veut qu'autour d'un centre l'on
puisse tracer des circonférences de n'importe quel rayon. Voici
divers cercles de Léonard. Le troisième postulat dit que tous les
angles droits sont égaux, et Léonard trace quatre angles droits. Le
quatrième dit que si une droite coupe deux droites, formant des
angles plus petits que deux droites d'un seul côté, les deux droites
doivent se rejoindre. Le cinquième dit que deux lignes droites ne
renferment aucune figure. Léonard trace deux parallèles et peut-être
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