Modèles à correction d'erreur : l'apport de la théorie de la co-intégration - article ; n°2 ; vol.88, pg 105-125

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Économie & prévision - Année 1989 - Volume 88 - Numéro 2 - Pages 105-125
Modelle mit einbezogener Fehlerkorrektur : die Aussagekraft der Ko-Integrationstheorie,
von Françoise Maurel.

Die Modelle mit einbezogener Fehlerkorrektur werden von den Ökonometrieexperten schon seit einigen Jahren angewandt. In letzter Zeit konnte dieser Kategorie von dynamischen Modellen durch die Ausarbeitung der Ko-Integrationstheorie ein zusätzliches Fundament gegeben werden. Erreicht wurde dies durch die Formalisierung des Begriffs der Langzeit- oder Ausgleichsrelation, der den Modellen mit einbezogener Fehlerkorrektur zugrunde liegt, sowie durch die Einfiihrung von Testverfahren zur Ûberprùfung des Vorhandenseins solcher Langzeitrelationen. Diese Untersuchung beruht im wesentlichen auf dem asymptotischen Verhalten nichtstationärer Reihen sowie auf der Théorie der Zeitreihen, ihre Anwendungen in Wirtschaft und angewandter Ökonometrie sind indessen zahlreich.
Error-Correction Models: the Contribution of Co-Integration Theory,
by Françoise Maurel.

Error-correction models have been used for several years by specialists in applied econometrics. Recently, the development of co-integration theory has provided an additionnai statistical basis for this type of dynamic model for formalising the notion of long-term relationships or relationships of equilibrium underlying the error-correction models, and by proposing procedures for testing the existence of such long-term relationships. This approach is essentially based on the theory of asymptotical behaviour of non-stationary series and on temporal series theory, but it has numerous applications in economics and applied econometrics.
Modèles à correction d'erreur : l'apport de la théorie de la co-intégration,
par Françoise Maurel.

Les modèles à correction d'erreur sont utilisés depuis déjà quelques années par les économètres praticiens. Récemment, le développement de la théorie de la co-intégration a permis de donner un fondement statistique supplémentaireàcetypede modèles dynamiquesen formalisant la notion de relation de long termeou d'équilibre, sous-jacente aux modèles à correction d'erreur, et en proposant des procédures de tests de l'existence de telles relations de long terme. Cette approche repose essentiellementsur le comportement asymptotique de séries non stationnaires etde la théorie des séries temporelles mais ses applications sont nombreuses en économie et économétrie appliquée.
Modelos de correción de error : el aporte de la teoría de la cointegración,
por Françoise Maurel.
Los modelos de corrección de error están siendo utilizados desde hace ya algunos años por los especialistas en econometría. Recientemente, el desarrollo de la teoría de la cointegración ha permitido dar un fundamento estadístico adicional a este tipo de modelos dinámicos convirtiendo en formai la noción de relación de largo plazo o de equilibrio, subyacente en los modelos de corrección de error, y proponiendo procedimientos de pruebas de la existencia de taies relaciones de largo plazo. Este enfoque se apoya esencialmente en el comportamiento asintótico de series no estacionarias y de la teoría de las series temporales, pero sus aplicactiones son numerosas en economía y econometría aplicada.
21 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.
Publié le : dimanche 1 janvier 1989
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Françoise Maurel
Modèles à correction d'erreur : l'apport de la théorie de la co-
intégration
In: Économie & prévision. Numéro 88-89, 1989-2-3. Etudes du comportement des entreprises. pp. 105-125.
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Maurel Françoise. Modèles à correction d'erreur : l'apport de la théorie de la co-intégration. In: Économie & prévision. Numéro
88-89, 1989-2-3. Etudes du comportement des entreprises. pp. 105-125.
doi : 10.3406/ecop.1989.6076
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/ecop_0249-4744_1989_num_88_2_6076Zusammenfassung
Modelle mit einbezogener Fehlerkorrektur : die Aussagekraft der Ko-Integrationstheorie,
von Françoise Maurel.
Die Modelle mit einbezogener Fehlerkorrektur werden von den Ökonometrieexperten schon seit einigen
Jahren angewandt. In letzter Zeit konnte dieser Kategorie von dynamischen Modellen durch die
Ausarbeitung der Ko-Integrationstheorie ein zusätzliches Fundament gegeben werden. Erreicht wurde
dies durch die Formalisierung des Begriffs der Langzeit- oder Ausgleichsrelation, der den Modellen mit
einbezogener Fehlerkorrektur zugrunde liegt, sowie durch die Einfiihrung von Testverfahren zur
Ûberprùfung des Vorhandenseins solcher Langzeitrelationen. Diese Untersuchung beruht im
wesentlichen auf dem asymptotischen Verhalten nichtstationärer Reihen sowie auf der Théorie der
Zeitreihen, ihre Anwendungen in Wirtschaft und angewandter Ökonometrie sind indessen zahlreich.
Abstract
Error-Correction Models: the Contribution of Co-Integration Theory,
by Françoise Maurel.
Error-correction models have been used for several years by specialists in applied econometrics.
Recently, the development of co-integration theory has provided an additionnai statistical basis for this
type of dynamic model for formalising the notion of long-term relationships or relationships of equilibrium
underlying the error-correction models, and by proposing procedures for testing the existence of such
long-term relationships. This approach is essentially based on the theory of asymptotical behaviour of
non-stationary series and on temporal series theory, but it has numerous applications in economics and
applied econometrics.
Résumé
Modèles à correction d'erreur : l'apport de la théorie de la co-intégration,
par Françoise Maurel.
Les modèles à correction d'erreur sont utilisés depuis déjà quelques années par les économètres
praticiens. Récemment, le développement de la théorie de la co-intégration a permis de donner un
fondement statistique supplémentaireàcetypede modèles dynamiquesen formalisant la notion de
relation de long termeou d'équilibre, sous-jacente aux modèles à correction d'erreur, et en proposant
des procédures de tests de l'existence de telles relations de long terme. Cette approche repose
essentiellementsur le comportement asymptotique de séries non stationnaires etde la théorie des séries
temporelles mais ses applications sont nombreuses en économie et économétrie appliquée.
Resumen
Modelos de correción de error : el aporte de la teoría de la cointegración,
por Françoise Maurel.
Los modelos de corrección de error están siendo utilizados desde hace ya algunos años por los
especialistas en econometría. Recientemente, el desarrollo de la teoría de la cointegración ha permitido
dar un fundamento estadístico adicional a este tipo de modelos dinámicos convirtiendo en formai la
noción de relación de largo plazo o de equilibrio, subyacente en los modelos de corrección de error, y
proponiendo procedimientos de pruebas de la existencia de taies relaciones de largo plazo. Este
enfoque se apoya esencialmente en el comportamiento asintótico de series no estacionarias y de la
teoría de las series temporales, pero sus aplicactiones son numerosas en economía y econometría
aplicada.Modèles à correction d'erreur : l'apport
de la théorie de la co-intégration
Françoise Maurel ^
Cette note a pour but de présenter quelques développements récents de la modélisation économétrique
dynamique autour de la notion de « co-intégration », soit la propriété de plusieurs séries tendancielles à avoir
des mouvements conjoints tels qu'elles vérifient approximativement une relation dite de long terme ou
d'équilibre. Sans apporter d'innovation fondamentale aux approches des modèles « à correction d'erreur » tels
que les définit Hendry, la définition formelle de la co-intégration permet de rationaliser la modélisation
dynamique à court et long terme.
Les méthodes d'estimation et de test proposées par Engle et Granger (1987) suscitent ainsi de nombreuses
applications, de par leur simplicité et leur interprétation intuitive. On présentera dans un premier temps les
spécifications « classiques » des modèles à correction d'erreur, supposés décrire à la fois court et long terme,
puis la définition de la co-intégration et son lien avec l'approche précédente. Le rapprochement de cette
théorie avec celle des séries temporelles sera ensuite examiné. Les tests de co-intégration suggérés par la des séries temporelles et proposés par Engle et Granger ainsi que quelques exemples d'utilisation
seront observés d'un point de vue pratique. La dernière partie présente certains développements récents de la
co-intégration, tant du point de vue des modèles que des méthodes d'estimation et de test.
I. — Modèles à correction d'erreur et spécifications de Hendry
A côté des théories économiques, portant sur des relations d'équilibre qu'on ne peut supposer réalisées qu'à
long terme, existent des modélisations dynamiques spécifiant, par exemple, des schémas d'ajustement d'une
variable économique à une cible dite de long terme.
La théorie est en général insuffisante pour modéliser complètement ces ajustements et on a recours
à dés spécifications économétriques connues sous le nom de mécanismes d'ajustement partiel et/ou à
correction d'erreur. Ce dernier type de spécification a été popularisé par Hendry sous le terme général de ECM
(error correction models) à l'issue de l'article de référence de Davidson, Hendry, Srba et Yeo (1 978). Nous en
présenterons ici, sur un exemple, la démarche : elle permet de déterminer en même temps des propriétés de
court terme et de long terme des systèmes dynamiques.
Nous partons ici de la relation théorique supposée exister à long terme entre consommation et revenu (issue de
la théorie du revenu permanent) sous la forme :
(i) c;=kr:
(*) Administrateur de l'Inséé.
Economie et Prévision n° 88-89 1989-2/3
105 i
K étant constant sur chaque sentier de croissance équilibrée. En passant à une écriture logarithmique en
minuscule (xt = Log Xt), on obtient comme relation de « long terme » :
(2) c;=k + rî
ce qui désigne comme « cible de long terme » de la consommation le membre de droite de (2) soit C*= k + rt . Il
faut bien préciser ici que l'expression long terme ne signifie pas seulement que t tend vers l'infini mais surtout,
que l'ensemble des variables se trouvent sur des sentiers de croissance à taux fixe, éventuellement différents
selon les variables, soit tels que :
(3) Cr= Alog Cr= Ac?=ge = c'«
k;= A log R^= Ar*= gr = c
'en utilisant les notations habituelles et les approximations logarithmiques classiques. La notation * s'applique
aux variables théoriques que l'on distingue ainsi des variables observées.
Une spécification dynamique à la Hendry de l'ajustement de la consommation au revenu est le choix d'une
forme empirique inspirée de la relation de long terme théorique qui est, elle, uniquement statique.
Cette forme empirique relie les variables observées de consommation et revenu c, et rt par une forme
autorégressive à retards distribués :
(4) A (L) ct = a + B (L) rt + o,
où A (L) et B (L) sont des polynômes en l'opérateur retard L (voir annexes 1 et 2), supposés de degré assez élevé
pour que u, puisse être considéré comme un bruit blanc. On notera :
p
A(L) = ao + a, L + a2 L2 + — - + ap Lp, soit A(L)xt= S aiXt_i
i = 0
= bo+b, L + .-.+ bpLP, soit B (L) x, = = Z 0 bixi_i B(L)
Le modèle (4), associé à l'hypothèse de « long terme » (3), décrit un comportement de « long terme » que l'on
va, selon la méthodologie des ECM, identifier à la forme théorique initiale (2). De manière générale, le modèle
(4) peut aussi être écrit en séparant les termes en niveau de c, et rt des termes en différence première Ac,_] et
Ar,_|. Ceci s'effectue à l'aide des relations générales de factorisation des polynômes autour d'une racine, ici
la racine 1.
On a ainsi A(L)=A(1) + (1 -L)A* (L)
et B(L)=B(1) + (1-L)B* (L)
avec :
A* B* (L) polynômes en L, de degré inférieur ou égal à p - 1 (L),
A (1) = valeur du polynôme A (x) pour x = 1, soit A (1) = ao+ a, + a2 + -— + ap et B (1) = b0 + b] + — - + bp
Soit aussi A = (1 - L) l'opérateur différence première.
L'équation (4) peut ainsi être réorganisée en
(5) A(l)ct + A* (L) Ac, = a+B(l)rt+B* (L)Ar,+ ut
Cette forme fait apparaître les valeurs retardées des différences premières (soit des taux de croissance, puisque
les variables sont des logarithmes). L'hypothèse (3) sur les variables de long terme c*et r*, utilisée dans (5),
fournit la relation de long terme du modèle (4) soit ici
(6) A(l)cr= a-A*(l)gc+B*O)gr+B(l)rr
(en rajoutant l'hypothèse ut = 0 à « long terme »).
Il s'agit de la relation de « long terme » associée à (4), indépendamment de la théorie économique. La relation
(6) exprime une élasticité constante de la consommation au revenu à long terme. Pour qu'elle soit compatible
avec l'hypothèse d'élasticité unitaire de (2), il faut en plus que :
(7) A(l)-B(l)
106 Si on suppose (7) vérifiée, il est alors possible d'écrire (4) sous sa forme « à correction d'erreur », en réorganisant
par factorisation les termes de (4). Nous l'écrivons ici pour p = 1 et ao = 1/ la démonstration générale étant
donnée en annexe 2.
c, = a - a, c, _ , + b0 rt + b, r, _ , + ut
<=> ct - c, _ , = a - (a, + 1 ) c, _ , + b0 (rt - r, _ ,) + (b, + b0) rt _ , + u,
Comme A (1) = 1 + a, = B (1) = b0 + b, d'après (7), il vient :
(8) Act = a-(a1 + 1) (c,_, -rt_,) + b0Ar, + ut
L'équation (8) est sous une forme standard de « correction d'erreur » au sens où elle décrit l'ajustement
instantané de la consommation (A ct) sur les variations précédentes de la consommation et du revenu (termes
en A ct _ i A rt A r, _ i , ici représentés uniquement par A r, en raison du choix de p = 1 ) et sur l'écart à la cible
de long terme ct _ i — rt _ i (en toute rigueur, l'écart est ct_ } — k — rt_ ]) de la date précédente, en niveau.
Il existe diverses formes de cette équation, par exemple l'expression de l'écart à la cible instantané comme
fonction des écarts passés et des variations de revenu (ou de consommation). On l'obtient en soustrayant rt aux
deux membres de (4) >
c, - rt = a - a, c, _ i + (b0 - 1 ) rt + b, rt _ , + u,
ct-rt = a-a! (c,_, -rt_!) + (b0 + b, - 1 -a,)rt+ (^ -a,)Art + ut
qui devient, en utilisant l'hypothèse (7)
(9) c, - rt = a - a, (ct _ , - rt _ ,) + (b! - a,) A r, + uf
Les formules (8) et (9) peuvent être généralisées à des polynômes de retard quelconques et surtout ne
dépendent pas de la restriction (7) mais seulement de la forme de long terme (6). On peut ainsi de façon très
générale faire apparaître l'écart à la cible (6) et ses valeurs retardées (cf. annexe 2) de telle sorte que les formes
générales de (8) et (9) soient :
(10) A c, = a + P (L) A c,_ , + B (0) A r,+ Q (L) A rt_ , - A (1) z,_ , + u,
et
(11) A(L)z, = a+[B*(L)-A*(L)] Ar, + u,
si zt est l'écart à la cible définie par (6) soit
z' = c'-MÛrt
P (L), Q (L) des polynômes en L définis dans l'annexe 2.
L'équation (1 1) peut être écrite de façon symétrique comme exprimant la cible en fonction de ses valeurs
passées et des variations antérieures de la consommation.
Les équations (1 0) et (1 1 ) font apparaître le long terme empirique du modèle (3) : [A (1 ) c, - B (1 ) rj . Le fait que
cette cible de long terme soit ou non celle prescrite par la théorie économique est indépendant des différentes
formulations. Il faut retenir la forme (10) comme forme classique des ECM au sens où elle fait apparaître le
déséquilibre instantané entre le niveau de ct et sa cible de long terme, retardé d'une période, tous les autres
termes étant en différence première. La formalisation des ECM s'avère donc adaptée pour décrire des
comportements de court terme associés à des relations de long terme du type : élasticité constante entre deux
variables, pour une croissance équilibrée à long terme. L'écriture d'une équation de type (10) en niveau non
logarithmique nécessite un traitement spécifique ou le recours à d'autres hypothèses de long terme que (3). Par
exemple la croissance linéaire de toutes les variables.
Les modèles à correction d'erreur ont été étendus à des cibles plus complexes que celle qui a été décrite : elles
peuvent être, en général, fonction linéaire de plusieurs variables. Enfin, la généralisation courante consiste à
décrire plusieurs équations et plusieurs cibles de long terme simultanément. Une forme mgtricielle générale ne
faisant pas d'hypothèse, a priori, sur l'exogénéité ou l'endogénéité des variables est donnée en annexe 2. C'est
elle qui permet faire le passage entre systèmes co-intégrés et modèles à correction d'erreur.
107 — Co-intégration I.
II semble bien que la théorie des variables co-intégrées résulte d'une jonction entre une approche économét
rique traditionnelle (économétrie dynamique selon la méthodologie de Hendry) et l'apport à la théorie des
séries temporelles de Box et Jenkins (1 976). La formalisation de la co-intégration par Engle et Granger (1 987),
déjà proposée dans Granger et Weiss (1 983), définit en effet une classe de modèle ARIMA pouvant être réécrits
sous une forme ECM classique. A la différence de l'approche économétrique classique qui pose a priori un
modèle ECM, Engle et Granger fondent la co-intégration sur les propriétés stochastiques des variables à
modéliser. Il s'agit en effet, ici, de modéliser le comportement de variables économiques tendancielles. Selon les
ECM classiques, il existerait des relations de long terme entre des variables, lorsque celles-ci sont en régime de
croissance équilibrée, soit encore linéaires en logarithme, vers lesquels existerait un ajustement dynamique.
Or, les modèles ARIMA de Box et Jenkins (1 976) (cf. annexe 1 pour une présentation lapidaire de ces modèles)
se sont révélés fort adaptés à décrire les variables économiques tendancielles. Ceux-ci supposent en effet que
les différences premières des séries sont stationnâmes, ce qui est bien sûr plus général que des tendances
linéaires, et les ARIMA peuvent être vus comme l'analogue stochastique de séries déterministes polynômiales. Ils
permettent ainsi de représenter des mouvements cycliques autour de croissance de long terme (1).
L'apport de la théorie de la co-intégration aux ECM consiste à formuler des conditions testables sur les
propriétés statistiques dynamiques des variables qui justifient la formalisation du type modèle à correction
d'erreur, qui, jusque là, était posée a priori.
Définitions, modèles et estimation
Variables intégrées : on appelle variable intégrée d'ordre d une variable x, telle que sa différence deme soit
stationnaire et possède une représentation ARMA inversible (c'est-à-dire que la différence (d — 1) eme n'est pas
stationnaire) et on note x, ~ / (d)
xt ~ / (d) <=) Ad x, = (1 — L)d xt possède une représentation ARMA inversible
Dans la terminologie de Box et Jenkins, x, est un ARIMA (p, d, q) si p et q sont les degrés respectifs des polynômes
AR et MA de Ad xt (cf. annexe l). En pratique, les valeurs de d qui vont être considérées sont d = 0 et
d = 1. Ainsi :
xt ~ I (0) signifie que xt est stationnaire ARMA. Sa variance finie est constante, la covariance entre deux dates
quelconques des x, n'est fonction que de l'écart k entre celles-ci, les autocorrélations correspondantes pi<
tendent vers 0 lorsque k tend vers l'infini ;
x, ~ I (1 ) implique que la variance de x, tend vers l'infini avec t , les autocorrélations entre deux dates distantes
de k, Pk, tendent vers 1 pour tout k, lorsque t tend vers l'infini.
Toute combinaison linéaire de variables I (0) est I (0). Généralement, une combinaison linéaire de variables I (d)
est I (d) mais dans certains cas peut être intégrée d'ordre plus faible : le cas le plus simple étant
d = 1 : x, , y, ~ I (1 ) et, pour a # 0, x, - ay, ~ I (0)
Les séries xt et yt peuvent en effet présenter des mouvements tendanciels semblables de telle sorte que dans la
combinaison linéaire (xt — ayt) les composantes tendancielles se compensent pour donner une série stationnaire.
La définition formelle de la co-intégration va traduire cette idée.
(1) Une présentation simple de la notion de variables tendancielles en économie est donnée- dans Stock et Watson (1988).
108 •.
Séries co-intégrées : deux séries xtet y, sont dites co-intégrées d'ordre d , b pour 0 ( b{ d, si :
i) xt~l(d)etyt~ l(d)
H) il existe (a, fi) ¥^ 0 tel que z, = ax, + fi yt~ I (d - b)
(a, fi) est dit vecteur co-intégrant
On adopte la notation (xt , yt) ~ Cl (d, b).
Cette définition peut être généralisée à plus de deux séries : on parle ainsi d'un vecteur de séries co-intégrées.
Dans le cas qui nous intéresse : (d = l,b = l),la co-intégration traduit le fait que la combinaison linéaire zt ne
s'éloigne « jamais très longtemps » de sa moyenne (finie), bien que les séries xt et y, présentent des mouvements
tendanciels. Dans le cas de deux séries, il y a au plus un vecteur co-intégrant (à un facteur près) mais il peut y
avoir (N — 1 ) vecteurs co-intégrant un ensemble de N séries. Dans le vocabulaire des ECM, le vecteur zt va jouer
le rôle de l'écart à la cible de long terme. Le lien précis entre les deux approches est établi dans le paragraphe
suivant.
Théorème de représentation de Granger : ce théorème, dont on ne présente qu'une partie dans le cas de
deux séries Cl (1,1), montre l'équivalence entre système co-intégré et modèles à correction d'erreur.
Théorème de représentation : si la forme IMA (co) (c'est-à-dire moyenne mobile infinie de la différence première
de x, , y, ) du vecteur (x, , y t) Cl (1, 1) est
A „
(12)
avec C (L) = i = 2 0 C; U , polynôme matriciel,
e, bruit blanc bivarié,
alors i) il existe une représentation ARMA vectorielle de (xt, y,)
A(L) (Xt) =d(L)et Yt
avec d (L) polynôme scalaire, A (L) polynôme matriciel 2x2, tels que A (1) de rang 1 et d (1)
fini ;
ii) il existe un vecteur co-intégrant (a,$)et une représentation à correction d'erreur du système sous la
forme.
avec A* (0) = l2 (matrice identité de taille 2).
La représentation à correction d'erreur (13) du système co-intégré, outre le fait qu'elle est multivariée, est plus
générale que les spécifications selon la méthodologie de Hendry, au sens où apparaît dans le membre de
droite un terme d (L), donc une partie moyenne mobile sur l'erreur et . Si on écrit sous forme extensive le
système (13), en utilisant le fait que A* (0) = l2 / il vient :
Axt = an (L)Axt_T+ a,2(L)Ayt_1-Yzt_,+ d (L) elf
(14)
Ayt = a2i (L) Axt_ , + a22 (L) Ayt_ , - ô zt_ , + d (L) e2t
a" W a'2 W en posant A* (L) = I - L ( r i / t a2i (L) a22 (L) / )
La forme de Hendry des ECM n'est autre que le choix de l'une ou l'autre des deux équations de (1 4) pour d (L) = 1 .
On rappelle ici que le fait que n'intervienne qu'une seule valeur retardée de la cible z, _ ] n'est pas restrictif, un
modèle avec plusieurs retards de z, pouvant toujours être réécrit sous la forme (13). (Cf. annexe 2, II).
109 Le fait que d (L) = 1 exprime l'absence de partie moyenne mobile du système (1 3). Il est en pratique commode
de faire cette hypothèse, en prenant pour A* (L) un polynôme de degré suffisamment élevé.
Notons enfin la différence notable entre la forme (1 3) et les ECM traditionnels qui proposent en effet des cibles
définies par la théorie économique, soit en général des valeurs données de a et (3, tandis que le modèle de co-
intégration prend (a, P) comme un paramètre à estimer sous l'hypothèse de co-intégration. Remarquons aussi
(cf. Engle et Granger, 1 987 ; Engle et Yoo, 1 987) que l'hypothèse de co-intégration entre un ensemble de varia
bles n'est pas compatible avec l'écriture d'un modèle VAR en différences, dont peuvent en effet résulter des pré
visions divergentes si les variables sont co-intégrées.
La définition générale de système co-intégré de Engle et Granger permet des représentations multivariées et
des variables plus générales comme des processus intégrés d'ordre 2 ou plus. Cependant, la théorie de l'estima
tion des systèmes co-intégrés est pour l'instant limitée aux systèmes co-intégrés d'ordre 1,1.
Estimation de système co-intégré : on présentera ici la méthode d'estimation en deux étapes de systèmes
co-intégrés d'ordre 1,1 proposée par Engle et Granger (1987). Elle se fonde sur la forme à correction
d'erreur (1 3) du système, après estimation du vecteur co-intégrant (a, P). Cette méthode sépare donc dans un
premier temps l'estimation du long terme et dans un deuxième temps celle du court terme (l'équation à correc
tion d'erreur).
Le principal résultat est le suivant, dans le cas particulier de deux variables (xt ,yt) Cl (1,1) avec représentation
vectorielle autorégressive, donc telle que d (L) = 1 et dont la forme (13) s'écrit :
Ayt** ) =- (£)(*-, 6 -*./,_,)+ e, (15) A*(L) (
Théorème : si xt, y, G (1, 1) suivant (15), alors :
l'estimateur A, des Mco de x, sur y, fournit une estimation convergente de X définissant le vecteur
co-intégrant ;
^estimateur des moindres carrés de l'équation à correction d'erreur de xt dans (15), obtenu en utilisant la valeur
X au lieu de la vraie valeur X est convergent et asymptotiquement équivalent à l'estimateur du maximum de
vraisemblance utilisant la vraie valeur A. Les écarts-type calculés habituellement par les moindres carrés sont
des estimateurs convergents des vrais écarts-type.
On remarque ainsi que l'estimation du long terme par une régression statique est convergente et indépendante
de la forme dynamique du modèle à court terme.
Le choix d'une normalisation du vecteur (a, P) qui consiste à régresser x sur y — et non pas l'inverse — est ici
indifférent, ce qui n'est pas vrai dans le cas de plus de deux variables.
Les bonnes propriétés de l'estimateur en deux étapes proviennent du fait que l'estimateur À, converge
beaucoup plus vite vers la vraie valeur que dans le cas classique des variables stationnaires. Cependant, les
propriétés de l'estimateur en deux étapes sont très fortement liées au fait que xtet y, sont intégrées d'ordre 1
précisément. Ce résultat ne se généralise pas par exemple à des variables intégrées d'ordre 2 (cf. Gourieroux et
alii, 1987) ce qui justifie quelques précautions dans l'usage des tests fondés sur ce type d'estimation.
Deux critiques principales ont aussi été adressées à cette méthode. La première repose sur la constatation
empirique des mauvaises propriétés des estimateurs à distance finie. La seconde remet en cause le principe de
l'estimation préalable de l'équation de co-intégration : puisque les propriétés de convergence de l'équation
ECM ne sont pas modifiées par l'estimation préalable du long terme, il est suffisant d'estimer la dynamique en
niveau et de laisser le long terme se révéler de lui-même. Le problème inhérent à cette approche réside dans le
fait que les racines unité apparaissant donnent aux estimateurs correspondants des propriétés asymptotiques
non standard. Dans la forme à correction d'erreur, en revanche, toutes les variables sont stationnaires et on peut
utiliser sur cette régression tous les tests et diagnostics classiques.
110 Approche « Séries Temporelles » de la co-intégration : III.
non-stationnarité et tests de racine unité
Parallèlement à l'économétrie des modèles à correction d'erreur, la théorie des séries temporelles a développé
un axe de recherche sur la modélisation des processus non stationnaires et les problèmes de test associés. Ima
ginons simplement que l'on se pose le problème de savoir si p = 1 dans le modèle autorégressif :
(16) y» = Py,-i+e,, et^NiD(0,o2)
contre l'hypothèse alternative IpK 1- Il n'est malheureusement pas possible d'utiliser les tests classiques de
régression par les Mco, car les distributions limites des statistiques dans le cas p = 1 sont non-standard.
Or cette hypothèse est très importante en séries temporelles et on vient de le voir dans les modèles à varia
bles co-intégrées induit la nécessité de différencier une variable pour la rendre stationnaire ou non. Les pra
ticiens jugent de la véracité de cette hypothèse en général par l'observation du graphe de la fonction
d'autocorrélation et diverses statistiques ont été proposées (Box-Pierce, Box-Ljûng, cf. Box et Jenkins, 1976)
pour décider de la stationnarité d'une série.
De manière théorique, une série de tests non-standard de racine unité a ainsi été proposée depuis quelques
années par Dickey et alii (1^79, 1981, 1984). Ces tests visent à tester la stationnarité ou la non-stationnarité
d'une série dans divers types de modèles. On comprend donc leur utilité pour juger de la co-intégration de
séries. Mais le lien entre les deux approches n'est jusqu'à présent qu'intuitif.
On va présenter ici les modèles sous- jacents aux tests de racine unité devenus les plus courants, servant de base
aux divers tests de co-intégration. Les tests de Dickey et Fuller (1979-1981) se fondent sur les statistiques de
Student (que l'on appellera ainsi, bien que leur loi ne soit pas de Student) associées à l'estimateur p des Mco de
p dans les modèles suivants :
(a) yt = Pyt-i+et
(17) (b) yt = |J + py»-i + et
(c) yt = fi+pt + pyt_1+et
Les lois asymptotiques de ces statistiques x , tm , Tp tabulées par simulation se trouvent dans Fuller (1 976). Elles
permettent de tester l'hypothèse nulle commune aux trois modèles H0 : [y, = yt _ j + e, , et ~7NID (0,o2)]. Ces résul
tats restent valables pour des erreurs non gaussiennes. Les tests ne possèdent cependant aucun caractère d'op-
timalité. Une généralisation de ce type de tests est proposée dans l'article de Dickey et Fuller (1981) où sont
tabulées les lois des statistiques (|) de Fisher dans les modèles de régression (a), (b) et (c). Ces statistiques sont
dans ce cas des fonctions croissantes des statistiques de test du rapport de vraisemblance de H0 contre (a), (b)
ou (c). Le modèle (17) peut, de plus, être généralisé à des erreurs non plus du type bruit blanc mais
autorégressives :
Ho = yt = yt-i + zt
p
avec zt = Z Q,zt_-, + et i = 1
Dickey et Fuller ont alors montré que les statistiques de Student associées aux modèles de régression :
p
y, = p yt _ i + 2 9j (y,_i-yt_i_i) + e, i = 1
P
y. = a + py,_i+ 2 9j (yt_i-yt_i_1) + et i = 1
P
y, = a+pt + pyt_1+ 2 8j (yt_i-yt_i_i) + et i = I
ont les mêmes lois limites que celles des modèles (1 7) (a), (b) ou (c). On peut donc utiliser les tables de Fuller
pour tester la présence de racine unité dans des modèles un peu plus généraux.
Enfin, une nouvelle approche des tests de racine unité, se plaçant d'emblée dans un cadre multivarié et utilisant
une théorie asymptotique de nature différente des précédentes, a récemment été proposée par Phillips (1 987).
Le principe de ces tests est exposé en section V.
111 — Pratique des tests de co-intégration de Engle et Granger IV.
Au-delà de la définition de la co-intégration et des méthodes d'estimation associées présentées en II, Engle et
Granger (1 987) ont proposé un ensemble de tests de co-intégration, assez couramment utilisés depuis. On ren
verra le lecteur à cet article pour le détail des tests, dont on se contentera de donner une première
interprétation.
Interprétation des tests de co-intégration
L'idée de départ est que, sous l'hypothèse de co-intégration, il existe une combinaison linéaire de xt et y, station-
naire qui peut être estimée de manière convergente par les Mco
(18) xt = a + Àyt + zt
La relation (1 8) est appelée régression co-intégrante. C'est la régression statique de xt sur yt , zt est son résidu et
il « estime » (on ne peut pas à proprement parler d'estimation d'une variable aléatoire) de manière conver
gente la perturbation zt de l'équation statique, ce qui justifie les tests suivants :
Test 1 : CRDW de Engle et Granger (Co-integrating Regression Durbin Watson)
Sous l'hypothèse nulle de non co-intégration, les perturbations zt de l'équation statique ne sont pas stationnai-
res. On a montré que, dans ce cas, la statistique de Durbin et Watson de (1 8) tend asymptotiquement
vers zéro, d'où le test CRDW qui rejette l'hypothèse nulle de non co-intégration lorsque la statistique DW est su
périeure à une valeur critique (et donc accepte la co-intégration, dès lors que le Durbin et Watson est
assez grand).
Test 2 : DF et ADF de Engle et Granger (Dickey-Fuller et Augmented Dickey-Fuller)
Ces tests se fondent directement sur les tests de racine unité de Dickey et Fuller présentés en section III. On peut
en effet penser à tester la stationnante des résidus z, de (18) à la manière de Dickey et Fuller, soit en testant
p = 1 dans le modèle zt=pzt_i + ut/ ou, de manière équivalente, cp = 0 dans A zt = cpzt _ i + ut pour le modèle
le plus simple (z, AR (1)). C'est le test DF de Engle et Granger.
En raffinant le modèle, on peut aussi effectuer un test à la manière de Dickey et Fuller dans le modèle
d'ordre supérieur :
p
A zt = (pzt_, + _L 9j Az,_i + ut
C'est le test ADF de Engle et Granger lorsque p , choisi par l'économètre, est supérieur à 1.
Ces tests DF et ADF se fondent sur les statistiques de Student du coefficient cp . Leurs valeurs critiques ne sont pas
les valeurs théoriques tabulées par Dickey et Fuller car les tests de co-intégration DF et ADF utilisent les résidus z,
au lieu des vraies valeurs zt . Engle et Granger ont eux-même tabulé des valeurs critiques. Ici encore, l'hypo
thèse nulle est la non co-intégration que l'on rejette lorsque les statistiques DF et ADF sont supérieures aux
valeurs critiques (on accepte la co-intégration pour les valeurs élevées de DF et ADF).
Test 3 : RVAR et ARVAR de Engle et Granger (Restricted VAR et Augmented RVAR)
Ces tests utilisent l'estimation en deux étapes des modèles à correction d'erreur, convergente sous l'hypothèse
de co-intégration, en testant la significativité des termes en niveau dans l'écriture d'un modèle à correction
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