Arithmétique cognitive : processus, développement et différences individuelles - article ; n°3 ; vol.91, pg 419-438

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L'année psychologique - Année 1991 - Volume 91 - Numéro 3 - Pages 419-438
Résumé
Les deux dernières décennies ont vu l'élaboration de nombreux modèles relatifs à l'arithmétique cognitive. L'objectif de cet article est de présenter ces modèles et les principaux travaux empiriques relatifs à chacun d'eux. De plus, on examine en quoi les approches développementale et différentielle permettent une meilleure évaluation de leur validité (Underwood, 1975). L'approche critique adoptée permet de comprendre dans quelle mesure on retrouve dans l'arithmétique cognitive des processus cognitifs décrits dans d'autres domaines.
Mots clefs : arithmétique cognitive, modèles, stratégies, différences individuelles.
Summary : Cognitive arithmetic : Processes development and individual differences.
Over recent years research on mental arithmetic has yielded many models. The purpose of the present paper is to give an overview of the main models of cognitive arithmetic and their respective empirical arguments. Besides, following Underwood (1975), developmental and differential investigations are viewed as further arguments for judging these models. The critical approach adopted here enables us to understand how general cognitive processes observed in other domains are also operational in mental arithmetic.
Key-words : cognitive arithmetic, models, strategies, individual differences.
20 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.
Publié le : mardi 1 janvier 1991
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P. Lemaire
M. Bernoussi
Arithmétique cognitive : processus, développement et
différences individuelles
In: L'année psychologique. 1991 vol. 91, n°3. pp. 419-438.
Résumé
Les deux dernières décennies ont vu l'élaboration de nombreux modèles relatifs à l'arithmétique cognitive. L'objectif de cet article
est de présenter ces modèles et les principaux travaux empiriques relatifs à chacun d'eux. De plus, on examine en quoi les
approches développementale et différentielle permettent une meilleure évaluation de leur validité (Underwood, 1975). L'approche
critique adoptée permet de comprendre dans quelle mesure on retrouve dans l'arithmétique cognitive des processus cognitifs
décrits dans d'autres domaines.
Mots clefs : arithmétique cognitive, modèles, stratégies, différences individuelles.
Abstract
Summary : Cognitive arithmetic : Processes development and individual differences.
Over recent years research on mental arithmetic has yielded many models. The purpose of the present paper is to give an
overview of the main models of cognitive and their respective empirical arguments. Besides, following Underwood
(1975), developmental and differential investigations are viewed as further arguments for judging these models. The critical
approach adopted here enables us to understand how general cognitive processes observed in other domains are also
operational in mental arithmetic.
Key-words : cognitive arithmetic, models, strategies, individual differences.
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Lemaire P., Bernoussi M. Arithmétique cognitive : processus, développement et différences individuelles. In: L'année
psychologique. 1991 vol. 91, n°3. pp. 419-438.
doi : 10.3406/psy.1991.29476
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/psy_0003-5033_1991_num_91_3_29476L'Année Psychologique, 1991, 91, 419-438
NOTE
LEAD
Université de Bourgogne1 *
Laboratoire de Psychologie expérimentale
Université Bennes 2Z **
ARITHMÉTIQUE COGNITIVE :
PROCESSUS, DÉVELOPPEMENT
ET DIFFÉRENCES INDIVIDUELLES
par Patrick Lemaire*
et Mohammed Bernoussi3**
SUMMAR Y : Cognitive arithmetic : Processes development and individual
differences.
Over recent years research on mental arithmetic has yielded many
models. The purpose of the present paper is to give an overview of the main
models of cognitive arithmetic and their respective empirical arguments.
Besides, following Underwood (1975), developmental and differential
investigations are viewed as further arguments for judging these models.
The critical approach adopted here enables us to understand how general
cognitive processes observed in other domains are also operational in mental
arithmetic.
Key-words : cognitive arithmetic, models, strategies, individual
differences.
1. CNRS ura 665, 6, boulevard Gabriel, 21000 Dijon.
2. 6, avenue Gaston-Berger, 35043 Rennes Cedex.
3. Nous tenons à remercier Michel Fayol pour ses lectures et comment
aires des toutes premières versions de ce travail. 420 Patrick Lemaire el Mohammed Bernoussi
Au cours des deux dernières décennies, la résolution des
opérations arithmétiques simples a fait l'objet de nombreuses
investigations. La plupart des études ont utilisé soit des tâches
de production, soit des tâches de vérification (cf. pour une
synthèse Fayol, 1985, 1990). Dans une tâche de production,
on demande aux sujets de résoudre une opération du
type 2x4 = ? ou 3 + 5 = ?. L'analyse est essentiellement
centrée sur la distribution et les types d'erreurs en fonction du
problème. Dans une tâche de vérification, on demande aux
sujets de vérifier l'exactitude d'une opération (e.g., 4 -f 9 = 10
Vrai-Faux ?). Les temps de réaction et les erreurs sont recueillis
et analysés. Les résultats obtenus à ces épreuves ont permis
l'élaboration de plusieurs modèles tentant d'expliquer les per
formances arithmétiques (Gornet, Seron, Deloche et Lories, 1988 ;
Geary et Widaman, 1987 ; Widaman, Geary, Cormier et Little,
1989 ; Zbrodoff, Logan, 1990). Ces modèles reflètent l'influence
sur ce domaine spécifique de la cognition humaine de modèles
plus généraux issus d'autres secteurs de la psychologie cognitive
(psycholinguistique, mémoire sémantique...). Nous présentons
ces modèles dans la section qui suit.
I - Arithmétique cognitive :
À LA RECHERCHE DES PROCESSUS
Modèle analogique. — A partir de recherches sur les compar
aisons numériques (Aïken, 1971 ; Aïken et Williams, 1968 ;
Dehaene, 1989 ; Hinrichs, Yurko et Hu, 1981 ; Moyer et Lan
dauer, 1967 ; Restle, 1970), les modèles analogiques postulent
que chaque chiffre d'une équation est « transformé » en une
représentation analogique. Appliqués à des tâches de jugement
d'additions, ces modèles font l'hypothèse que chaque terme est
« représenté » par une ligne interne d'une longueur proportionnelle
à sa taille. La concaténation de deux lignes aboutit à une nouvelle
ligne représentant le résultat qui peut alors être comparé au
résultat proposé. Selon Restle (1970), cette ligne numérique est
divisée en segments de différentes tailles (e.g., par 10, 5, 1).
Ceci expliquerait pourquoi il est plus facile de comparer deux
petits nombres éloignés l'un de l'autre sur la ligne numérique
(e.g., 1 et 9 sont plus faciles à comparer que 17 et 19). Un tel
modèle a uniquement été proposé pour l'addition. En ce qui
concerne la multiplication, Miller, Perlmutter et Keating (1984) Arithmétique cognitive 421
notent qu'une distance logarithmique sur la ligne numérique
serait nécessaire. Selon eux, il n'est pas sûr qu'un tel modèle
conduise à des observations analogues à celles qui ont été rap
portées sur l'addition. En effet, il est peu probable que les manip
ulations sur la ligne numérique soient effectuées en fonction
des distances logarithmiques.
Modèle de comptage. — Selon ces modèles, il existerait une
continuité des mécanismes entre les processus de comptage
externes des enfants et les processus utilisés par les adultes. La
résolution d'une opération arithmétique simple s'effectuerait
par reconstruction du résultat à partir de l'utilisation de règles
itératives.
Ainsi, Groen et Parkman (1972) ; Parkman (1972) ; Parkman
et Groen (1971) ; Suppes et Groen (1967), postulent l'existence
d'un compteur mental interne. Celui-ci serait initialise au plus
grand des deux nombres de l'équation et incrémenté par pas de
un de la valeur du plus petit des deux opérandes, ce qu'on
appelle modèle du min (m, n). Conformément aux prédictions
de ce modèle, les auteurs observent que le minimum des deux
nombres à additionner rend le mieux compte des temps de réac
tion observés. Toutefois, deux observations amènent, en 1972,
les auteurs à reconsidérer leur conception. En premier lieu, les
temps de réponse pour les additions de paires égales {e.g.,
3 + 3 = 6) n'ont pas la même pente de régression que celle
obtenue avec les autres problèmes. En effet, dans ce cas, la durée
ne varie pas avec la taille des problèmes. En deuxième lieu, les
adultes résolvent les additions vingt fois plus vite que les enfants.
Ces faits suggèrent aux auteurs (Groen et Parkman, 1972) une
nouvelle hypothèse. Ils proposent un modèle mixte dans lequel
certains résultats (paires égales) seraient stockés en mémoire à
long terme et récupérés par un processus d'accès direct aussi
bien par les enfants que par les adultes. Ce processus serait
davantage automatisé et plus fréquemment utilisé (dans 95 %
des cas, Parkman, 1972) chez les adultes, le comptage n'inter
venant qu'en cas d'échec de la récupération.
Enfin, Svenson (1975 ; 1985 ; Svenson et Hedenborg, 1979
pour la soustraction) a rapporté que, chez les adultes comme
chez les enfants, les temps de réaction varient en fonction des
paramètres structuraux des opérations. Une analyse détaillée
de ces temps montre que le modèle du minimum à additionner Patrick Lemaire el Mohammed Bernoussi 422
s'accorde seulement avec les additions dans lesquelles les deux
chiffres sont 1 ou 2, alors que le modèle de la somme (le temps
de réaction est prédit par la somme des deux chiffres) semble
mieux rendre compte des temps de réaction mis pour résoudre
une opération contenant des paires égales (3 + 3, 3x3) ou
lorsque l'un des chiffres est zéro. En 1985, Svenson observe égal
ement que plus le temps de réponse augmente, plus petite est la pro
babilité d'obtenir une réponse récupérée directement en mémoire.
En conclusion, il semble donc qu'il existe des problèmes
pour lesquels une solution reconstructive (i.e., par comptage)
est adoptée et d'autres pour lesquels la réponse est directement
récupérée en mémoire à long terme. Plusieurs modèles ont été
élaborés pour essayer de rendre compte du fonctionnement de
cette récupération.
Modèles de récupération. — La plupart des travaux récents
ont mis l'accent sur un processus de récupération du résultat
dans une mémoire en réseau. De manière générale, ces concep
tions postulent que les faits arithmétiques sont stockés en
mémoire à long terme sous la forme d'un réseau. Le recouvre
ment d'un résultat (somme ou produit) implique le parcours
d'une certaine distance dans ce réseau. Cette distance détermine
le temps d'accès au résultat.
Il existe deux grands types de modèle : le modèle de
« recherche dans une table interne » (ou Table Search Model) et
les modèles en réseaux associatifs (ou Associative Network
(cf. pour revue : McGloskey, Harley et Sokol, 1991). Le
premier a été développé par Ashcraft et Battaglia (1978) et
Geary, Widaman et Little (1986). Ces auteurs postulent que les
connaissances sont représentées en mémoire sous la forme d'une
table de faits arithmétiques dans laquelle les lignes et les colonnes
représentent les chiffres et les intersections, la somme ou le pro
duit. Le processus de récupération est celui de l'activation diffu
sante (Anderson, 1983 ; Collins et Loftus, 1975). Il commence
à 0,0 et diffuse sériellement le long des lignes et colonnes jusqu'à
ce que soit activé le résultat (somme ou produit). Dans des tâches
de vérification d'additions, Aschcraft et Battaglia (1978) ont
relevé que le carré de la somme des deux chiffres était le meilleur
prédicteur du temps de réaction. Or, alors que le modèle du
minimum à additionner (Groen et Parkman, 1972) suggère un
modèle de comptage, le carré de la somme suggère une explication Arithmétique cognitive 423
en termes de processus de récupération en mémoire. Les données
semblent donc, au moins chez l'adulte, être mieux expliquées par
une stratégie de récupération. Chez les enfants, les travaux rap
portés suggèrent que, jusqu'à 8 ans, la stratégie la plus plausible
et la plus fréquente est le comptage et, qu'ensuite, la récupération
en mémoire devient la plus mobilisée (Ashcraft et Fierman, 1982;
Svenson et Sjöberg, 1982, 1983; Koshmider et Ashcraft, 1991).
Ces premiers modèles, essentiellement construits sur la base
de travaux menés chez les adultes, ont néanmoins fait l'objet de
plusieurs remaniements. En effet, les travaux menés chez les
enfants suggèrent qu'il n'est pas nécessaire de postuler un réseau
aussi structuré.
A partir des travaux menés chez les enfants, plusieurs
modèles en réseaux associatifs ont donc été proposés par diffé
rents auteurs (Ashcraft, 1987 ; Ashcraft et Fierman, 1982 ;
Ashcraft et Stazyk, 1981 ; Campbell, 1987a et b ; Campbell et
Graham, 1985 ; Hamann et Ashcraft, 1985). Ces modèles n'as
signent pas au réseau mémoire une configuration précise du type
table d'addition ou de multiplication. En effet, selon les auteurs,
les problèmes sont représentés en mémoire par des nœuds asso
ciés à la réponse correcte, mais aussi à d'autres réponses incor
rectes. La récupération du résultat exact dépend à la fois de la
force associative entre problème et réponses et du niveau d'acti-
vation parvenant à ce résultat. Ce niveau doit dépasser celui
qui parvient aux résultats incorrects, qui sont alors inhibés.
Ainsi, les problèmes qui diffusent plus d'activation au nœud
correct ont une probabilité plus grande de conduire à une per
formance correcte. Par exemple, si l'association entre 3 X 4 et
12 est plus forte que les autres (9, 16, etc.) en mémoire, le résul
tat (12) sera plus activé. Le sujet répondra alors « vrai » ou 12,
en fonction de l'épreuve. En revanche, si 3 -f- 4 est plus fort
ement associé en mémoire à 15, 7 ou 16, le sujet soit fournira
l'une de ces réponses, soit répondra faux.
L'avantage d'une stratégie de récupération du résultat stocké
dans un réseau mémoire est très certainement sa rapidité. En
revanche, il peut s'ensuivre des « confusions associatives »
(Stazyk, Ashcraft et Hamann, 1982 ; Winkelman et Schmidt,
1974 ; Zbrodoff et Logan, 1986) ou « interférences » (Campbell,
1987a et 19876 ; Campbell et Graham, 1985). Deux types d'inter
férences ont ainsi été rapportées. Dans le premier cas, les sujets
répondent, par exemple, 24 à 8 x 4 (ou acceptent 8 X 4 — 24 424 Patrick Lemaire et Mohammed Bernoussi
comme vrai). Vingt-quatre est en effet un multiple commun à 8
et à 4. Autrement dit, les sujets confondent les faits multiplic
atifs entre eux. Dans le second cas, l'interférence consiste à
confondre par exemple les faits additifs avec les faits multiplic
atifs. Ainsi, un sujet mettra plus de temps ou commettra plus
d'erreurs pour dire que 8 + 4 = 32 est faux que pour donner
la même réponse au problème 8 + 4 = 15. Cet effet d'interfé
rence a été interprété comme le résultat de confusions associatives
entre l'addition et la multiplication. Lorsqu'un problème est pré
senté, plusieurs réponses sont activées, les problèmes interfé-
rents sont plus longs à juger, car le sujet doit inhiber les réponses
incorrectes activées.
Ces « confusions associatives » ont fait l'objet d'investigations
aussi bien chez des adultes qu'auprès d'enfants (Lemaire, Fayol et
Abdi (sous presse)). Chez les adultes, on les retrouve au niveau des
temps de réaction, chez les enfants, au niveau du type d'erreurs.
Plus les enfants sont âgés, plus les erreurs correspondent à des
réponses correctes à une autre opération. Cet effet d'interférence
est compatible avec une organisation des faits arithmétiques
en mémoire à long terme sous forme d'un réseau sémantique.
Toutefois, chez l'enfant, le problème est double. En effet,
comme nous l'avons vu, les habiletés arithmétiques simples
peuvent mettre en jeu le recours à la fois à des connaissances
procédurales (i.e., comptage, utilisation de règles et procédures,
cf. Baroody, 1983, 1984) et à des connaissances déclaratives
(i.e., récupération : stratégie dominante chez l'adulte). L'évolu
tion semble se caractériser par un changement progressif des
proportions relatives de recours à l'une ou l'autre de ces connais
sances. Il convient, en conséquence, de se demander, d'une part,
à quel moment a lieu le passage d'un type dominant de résolution
à l'autre et, d'autre part, quels sont les mécanismes permettant
le passage d'une modalité de résolution à l'autre.
Les travaux menés chez les enfants, aussi bien à partir
d'études transversales que longitudinales, montrent que c'est
environ vers 8 ans que l'enfant adopte majoritairement une stra
tégie de récupération directe du résultat en mémoire (Ashcraft,
1982 ; Ashcraft et Fierman, 1982 ; Svenson et Sjöberg, 1982,
1983 ; Svenson, 1975). Toutefois, de très grandes variations
interindividuelles sont rapportées dans la plupart des études.
Le problème du choix des stratégies de résolution de pro
blèmes arithmétiques dans une perspective de développement a Arithmétique cognitive 425
été particulièrement étudié par Siegler et ses collaborateurs
(Siegler, 1987 ; Siegler, 1988a et b ; Siegler et Robinson, 1982 ;
Siegler et Shrager, 1984). Nous aborderons donc ce problème
dans la partie suivante.
II - Choix des stratégies
En 1982, Siegler et Robinson (in Siegler et Shrager, 1984)
partent en effet d'un constat. Les chercheurs ayant utilisé des
tâches de résolution d'opérations arithmétiques et mesuré des
temps de ont observé la prédominance d'une stratégie
de résolution (comptage vs. récupération). D'autres, ayant uti
lisé des méthodes d'observation directe, mettent en évidence
l'existence de plusieurs stratégies concurrentes (compter à partir
du premier nombre ou du plus grand nombre ; compter avec
les doigts ; décomposer un problème complexe en problèmes
simples..., cf. Ilg et Ames, 1951 ; Yoshimura, 1974). Le problème
était donc de trouver une méthode qui comportât un double
avantage : d'une part, rendre compte de la pluralité des stra
tégies et, d'autre autoriser à la fois la mesure de temps
de résolution et le calcul des proportions d'erreurs et d'utilisation
associées à chaque stratégie.
Aussi, dans un double objectif de caractériser le choix entre
différentes stratégies et le développement, Siegler et ses coll
aborateurs ont filmé des enfants de 4/5 ans en train de résoudre
des problèmes additifs (Siegler et Robinson, 1982), soustractifs
(Siegler et Shrager, 1984) et multiplicatifs (Siegler, 1988a). Les
résultats sont convergents et permettent d'observer la mise en
œuvre de quatre stratégies, et de calculer, pour chacune d'elles :
les pourcentages d'utilisation, les temps de résolution et les
taux de réponses correctes. Ces résultats font apparaître :
— une forte corrélation positive entre l'utilisation de stratégies
avec aide externe (ex. comptage sur les doigts) et le pourcen
tage de réponses correctes : plus les sujets recourent à une
telle stratégie, et meilleures sont les réponses ;
— ■ une forte corrélation entre l'utilisation de stratégies avec
aide externe et la durée de résolution : plus les sujets utilisent
une aide externe, et plus il leur faut de temps pour répondre.
Sur la base de ces données, les auteurs ont élaboré un modèle
du choix de stratégies de résolution des opérations arithmétiques 426 Patrick Lemaire et Mohammed Bernoussi
simples : le « modèle de distribution des associations ». Ils pos
tulent, en effet, que la des potentielles
problème/réponses détermine l'utilisation de telle ou telle stra
tégie, le temps de résolution et le pourcentage de réponses cor
rectes. Par exemple, au cours de l'évolution, 3 X 4 se trouve
de plus en plus fortement associé en mémoire à 12 et de moins
en moins à d'autres solutions. Cette association de plus en
plus forte permet une réponse de plus en plus rapide et
exacte.
Ce modèle comprend une représentation et un processus. La
représentation consiste en un ensemble d'associations de forces
variables entre problèmes et réponses potentielles. Le processus
opère sur ces représentations. Il peut être scindé en trois phases.
L'enfant récupère d'abord une réponse en mémoire. S'il « pense »
avec une confiance suffisamment élevée (critère de confiance)
que la réponse est juste, il l'émet. Sinon, il construit une repré
sentation plus élaborée (ex. visualisation) et essaie à nouveau
de récupérer. Gomme précédemment, s'il a suffisamment confiance
en sa réponse, il la formule. Sinon, il compte et énonce le dernier
nombre comme solution.
Ce modèle permet de rendre compte :
1 / De ce qui détermine le choix de telle ou telle stratégie. Ce
choix dépend à la fois de la force associative en mémoire à
long terme entre un problème et sa réponse, de l'effort que
fait le sujet pour récupérer l'information en mémoire, de la
confiance qu'il a en la solution trouvée et des contraintes
de la situation (ex. nécessité de répondre vite et/ou bien).
2 / Des différences de temps de résolution : les temps de
lution augmentent du fait que les stratégies les plus rapides
constituent des étapes préliminaires des plus lentes.
3 / Les différentes corrélations observées entre utilisation des
stratégies avec aide externe, temps de résolution et pour
centages de bonnes réponses résultent de ce que ces diverses
activités dépendent de la même variable sous-jacente : la
distribution des associations entre problèmes et réponses.
Ce modèle permet également d'expliquer le développement.
Ainsi, au fur et à mesure de l'apprentissage, la distribution des
associations se modifie (par ex., l'association 2 + 2 = 4 se ren
force alors que celle 2 + 2 = 3 diminue d'intensité). Dès lors,
les enfants font de plus en plus appel à la récupération, donnent Arithmétique cognitive 427
de plus en plus souvent la bonne réponse et répondent de plus
en plus rapidement.
Le problème est alors de savoir comment se modifient les
liens associatifs problèmes/réponses. Le principe de base est le
suivant : chaque fois que l'enfant répond juste à un problème,
le lien associatif se renforce. La réponse du sujet est selon eux
influencée par trois facteurs : la chaîne des nombres (le dernier
membre de l'addition activant toujours son successeur : 2 + 2
active 3), la taille de la somme (et du produit) et la fréquence
d'occurrence d'un problème (plus un problème et sa réponse
correcte sont rencontrés, plus le lien associatif en mémoire est
renforcé).
En résumé, ce modèle a le mérite de rendre compte à la fois
des stratégies de reconstruction et (des stratégies) de récupér
ation, tout en posant de façon explicite le problème des liens
associatifs problèmes/réponses en mémoire. Il reste toutefois
qu'il s'agit d'un modèle sériel et que, comme le note Ashcraft,
1987), les observations empiriques ne font pas apparaître une
additivité des temps de réaction. Ceci suggère que nous pour
rions être en présence de processus parallèles et concurrents
(cf. pour une discussion Zbrodoff et Logan, 1990).
En conclusion, les recherches relatives à la résolution d'opé
rations arithmétiques simples font apparaître que les enfants
commencent par compter (à voix haute, sur leurs doigts ou
mentalement), puis récupèrent directement le résultat en mémoire
à long terme. Néanmoins, ce schéma général de développement
conduit trop souvent à une surestimation de la cohérence inter
individuelle quant aux stratégies utilisées par les enfants. En
effet, les recherches rapportent non seulement des tendances
générales de développement, mais aussi des différences inter
individuelles importantes au sein d'un groupe d'âge donné.
Ainsi, Kaye, Post, Hall et Dineen (1986) observent une différence
de temps de résolution de 600 ms entre des sujets « rapides » et
des sujets « lents » ; et Geary, Widaman, Little et Cormier (1987)
rapportent également une différence importante chez les enfants,
bien que cette différence soit moins grande à 11 ans.
Au-delà de ces observations d'ordre général, il convient donc
d'analyser plus en détails ces différences interindividuelles. Plus
particulièrement, est-il possible d'isoler les facteurs à l'origine
de ces différences ? Quelques éléments de réponses sont rap
portés dans la section suivante.

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