Des processus de quantification à la cardinalité - article ; n°1 ; vol.94, pg 25-43

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L'année psychologique - Année 1994 - Volume 94 - Numéro 1 - Pages 25-43
Summary: From quantification processes to cardinality.
The respective role of subitizing and counting on the development of small number cardinality were studied. Forty 4-year-old children were equally assigned and trained in one of four conditions: I - Number sequence training: children simply learned to count up nine objects without feed-back on cardinal meaning to the last number-word said in counting; II - training putting in correspondence the subitizing result with the counting result: children learned that correct assignation of number words to small collections (two or three objects) of perceptual items is identical to the last number-word said in counting the same collection; III - a combination of two previous types of training; IV - control. Number sequence, subitizing and counting were evaluated before (pre-test) and after (post-test) three training sessions. Equivalent performance is found in each condition on three pre-test tasks. On the post-test, counting capacity of children from the third condition is largely better than the other conditions; performance on two others task (number sequence and subitizing) are equivalent among experimental conditions (I, II and III). The results support our hypothesis: counting a collection which has been already «subitized» can help children to understand the cardinal meaning of counting and so to count larger collections. Results are discussed in regard to topical theory interpretation.
Key words: Subitizing, counting, cardinality, cardinal principle
Résumé : Des processus de quantification à la cardinalité
Le rôle respectif du subitizing et du comptage dans l'acquisition de la cardinalité des petits nombres a été étudié au moyen de situations d'apprentissage. Quarante sujets âgés de 3;8 ans ont été également répartis dans l'une des conditions suivantes: I - entraînement au comptage; II - entraînement mettant en correspondance le résultat du subitizing avec celui du comptage ; III - entraînement qui combine successivement les deux précédents ; IV - contrôle. Une épreuve de comptage, une épreuve de subitizing et une épreuve de dénombrement sont réalisées avant (pré-test) et après (post-test) trois séances d'entraînement. Au prétest, des performances équivalentes aux trois épreuves ont été obtenues dans chaque condition. Au post-test, la capacité de dénombrement des sujets de la condition III est largement supérieure à celle des autres conditions. Les résultats recueillis vont dans le sens de notre hypothèse: le comptage d'une collection subitisée peut conduire les enfants à comprendre la signification cardinale du comptage et à dénombrer des collections de taille plus importante. Les résultats sont discutés en regard des interprétations théoriques actuelles dans ce domaine.
Mots clés: subitizing, comptage, cardinalité, principe cardinal.
19 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.
Publié le : samedi 1 janvier 1994
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B. Vilette
Des processus de quantification à la cardinalité
In: L'année psychologique. 1994 vol. 94, n°1. pp. 25-43.
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Vilette B. Des processus de quantification à la cardinalité. In: L'année psychologique. 1994 vol. 94, n°1. pp. 25-43.
doi : 10.3406/psy.1994.28732
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/psy_0003-5033_1994_num_94_1_28732Abstract
Summary: From quantification processes to cardinality.
The respective role of subitizing and counting on the development of small number cardinality were
studied. Forty 4-year-old children were equally assigned and trained in one of four conditions: I -
Number sequence training: simply learned to count up nine objects without feed-back on
cardinal meaning to the last number-word said in counting; II - training putting in correspondence the
subitizing result with the counting result: children learned that correct assignation of number words to
small collections (two or three objects) of perceptual items is identical to the last number-word said in
counting the same collection; III - a combination of two previous types of training; IV - control. Number
sequence, subitizing and counting were evaluated before (pre-test) and after (post-test) three training
sessions. Equivalent performance is found in each condition on three pre-test tasks. On the post-test,
counting capacity of children from the third condition is largely better than the other conditions;
performance on two others task (number sequence and subitizing) are equivalent among experimental
conditions (I, II and III). The results support our hypothesis: counting a collection which has been
already «subitized» can help children to understand the cardinal meaning of counting and so to count
larger collections. Results are discussed in regard to topical theory interpretation.
Key words: Subitizing, counting, cardinality, cardinal principle
Résumé
Résumé : Des processus de quantification à la cardinalité
Le rôle respectif du subitizing et du comptage dans l'acquisition de la cardinalité des petits nombres a
été étudié au moyen de situations d'apprentissage. Quarante sujets âgés de 3;8 ans ont été également
répartis dans l'une des conditions suivantes: I - entraînement au comptage; II - entraînement mettant en
correspondance le résultat du subitizing avec celui du comptage ; III - qui combine
successivement les deux précédents ; IV - contrôle. Une épreuve de comptage, une épreuve de
subitizing et une épreuve de dénombrement sont réalisées avant (pré-test) et après (post-test) trois
séances d'entraînement. Au prétest, des performances équivalentes aux trois épreuves ont été
obtenues dans chaque condition. Au post-test, la capacité de dénombrement des sujets de la condition
III est largement supérieure à celle des autres conditions. Les résultats recueillis vont dans le sens de
notre hypothèse: le comptage d'une collection subitisée peut conduire les enfants à comprendre la
signification cardinale du comptage et à dénombrer des collections de taille plus importante. Les
résultats sont discutés en regard des interprétations théoriques actuelles dans ce domaine.
Mots clés: subitizing, comptage, cardinalité, principe cardinal.L'Année psychologique, 1994, 94, 25-44
Labacolil
UFR de Psychologie
Université Charles de Gaulle
Villeneuve d'Ascq1
DES PROCESSUS DE QUANTIFICATION
À LA CARDINALITÉ
par Bruno Vilette2
SUMMARY: From quantification processes to cardinality.
The respective role of subitizing and counting on the development of
small number cardinality were studied. Forty 4-year-old children were
equally assigned and trained in one of four conditions: I - Number
sequence training: children simply learned to count up nine objects
without feed-back on cardinal meaning to the last number-word said in
counting; II - training putting in correspondence the subitizing result with
the counting result: children learned that correct assignation of number
words to small collections (two or three objects) of perceptual items is
identical to the last number-word said in counting the same collection; III
- a combination of two previous types of training; IV - control. Number
sequence, subitizing and counting were evaluated before (pre-test) and
after (post-test) three training sessions. Equivalent performance is found
in each condition on three pre-test tasks. On the post-test, counting capac
ity of children from the third condition is largely better than the other
conditions; performance on two others task (number sequence and subiti
zing) are equivalent among experimental conditions (I, II and III). The
results support our hypothesis: counting a collection which has been
already «subitized» can help children to understand the cardinal mea
ning of counting and so to count larger collections. Results are discussed
in regard to topical theory interpretation.
Key words: Subitizing, counting, cardinality, cardinal principle
1. Site des Fives, 31 bis Rue Pierre Legrand, 59000 Lille - Fives.
2. Ce travail a été realise au Labacolil à l'Université Charles de Gaulle
de Villeneuve d'Ascq. Je remercie le Professeur J. Bideaud qui a dirigé cette
recherche. 26 Bruno Vilette
INTRODUCTION
Le but de cette recherche est d'étudier, à partir de situa
tions d'apprentissage, le rôle respectif du subitizing3 et du
comptage dans l'acquisition de la cardinalité des petits nomb
res.
Le subitizing peut être défini comme une manière d'appré
hender spontanément et précisément les petites quantités.
Kaufman, Lord, Reese et Volkmann (1949) ont les premiers
introduit le terme «subitizing» pour désigner cette capacité de
quantification exacte lorsque la taille des ensembles est limitée
à deux ou trois éléments ou lorsque la configuration est orga
nisée selon des arrangements figuraux familiers (quatre en
carré, cinq en quinconce). Il s'agit d'un opérateur de quantificat
ion, selon l'expression de Klahr et Wallace (1973), qui appar
aît très tôt au cours du développement vers l'âge de 2-3 ans.
Comptage et subitizing sont deux types de connaissances
qui, du point de vue de l'architecture cognitiviste de la cogni
tion, se rapportent à la distinction entre connaissances décla
ratives et connaissances procédurales. Les
déclaratives concernent les «savoirs» ou les concepts indépen
dants des actions susceptibles de les mettre en jeu, alors que
les connaissances procédurales concernent les «savoir-faire»
qui sont encapsulés dans l'action. La perspective adoptée pour
ce travail est celle de Fischer (1991a) selon laquelle l'appré
hension perceptive quasi-immédiate des petits nombres (subi
tizing) relève d'une connaissance déclarative alors que le
comptage relève davantage d'une connaissance procédurale.
Le subitizing peut en effet être interprété comme un pattern
de réponse associé à une connaissance factuelle alors que le
comptage est avant tout une procédure bien qu'il repose sur
certaines connaissances numériques. Quoique son existence
soit bien attestée, le subitizing pose toutefois un problème qui
a trait à sa signification cardinale chez les jeunes enfants.
Contrairement au subitizing, le comptage est une procédure
moins rapide mais qui s'applique sur des ensembles plus
3. Le terme «subitizing» a été francisé par Fischer (1984) et nous le
préférerons à la traduction de Klahr et Wallace (1973) : «appréhension
numérique immédiate». Nous utiliserons aussi, comme Gréco (1962, p. 184),
le verbe «subitiser». comptage et cardinalité 27 Subitizing,
larges. Il est généralement admis que les premiers comptages
ne sont pas utilisés à des fins de dénombrement (Droz, 1991).
De plus, la répétition du dernier mot-nombre compté en ré
ponse à la question «Combien ?» n'implique pas de soi la com
préhension cardinale du dernier terme en tant que totalité
numérique de la collection (Fuson, Pergament, Lyons et Hall,
1985). Enfin, comme l'écrit Meljac (1979, p. 63): «la maîtrise
parfaite de la suite numérique sur le plan verbal n'est nulle
ment une garantie de la réussite du dénombrement». La dis
tinction entre subitizing, connaissance déclarative, et compt
age, connaissance procédurale, laisse donc entier le problème
de savoir comment l'enfant peut acquérir le principe cardinal.
Les positions à cet égard sont diverses. Nous retiendrons ici les
plus significatives.
La position sans doute la plus marquante est celle de Gel-
man. À partir de nombreuses données expérimentales,
man postule que les enfants disposent très tôt d'une compét
ence conceptuelle qui leur permet des dénombrements cor
rects (Gelman et Gallistel, 1978; Gelman et Meck, 1983;
Greeno, Riley et Gelman, 1984). Cette compétence repose sur
cinq principes dont le principe cardinal: le dernier nombre
compté représente le nombre total d'éléments de la collection.
C'est le comptage qui actualise ce principe inné. Selon Gelman,
le subitizing, mécanisme perceptif de discrimination des
petites numérosités, n'existe pas. Il s'agit d'un comptage, inté
riorisé et rapide, nécessairement cardinal en raison de l'i
nnéisme des principes. La position innéiste de Gelman est vive
ment contestée par de nombreux auteurs. Comme le remarque
pertinemment Fayol: «... les principes sous-jacents ne sont
pas génétiquement fondés: on cherche en vain leur origine et
leur développement» (Fayol, 1990, p. 190). Dans des perspect
ives qui ont en commun le rejet de l'innéisme des principes de
Gelman, des auteurs diffèrent quant à l'importance à accorder
soit au subitizing, soit au comptage dans l'acquisition de la
cardinalité. En mettant l'accent sur le rôle du subitizing, cer
tains suggèrent que les premières manifestations cardinales
ressortissent aux dénominations numériques des jeunes en
fants lorsqu'ils «subitisent» les petites collections. En privilé
giant au contraire le rôle du comptage, d'autres soulignent le
caractère tardif de l'utilisation cardinale des nombres qui se
développe seulement avec la pratique des procédures de
comptage. Enfin, d'autres encore adoptent une position inter- 28 Bruno Vilette
médiaire en soulignant à la fois le rôle du subitizing, sans tou
tefois lui accorder un statut cardinal, et le rôle du comptage
dans l'acquisition de la cardinalité.
Selon Sophian (1991), par exemple, le premier concept de
cardinalité est acquis très tôt dans les premières utilisations
du nombre et le comptage se développe comme une activité
mécanique, transmise socialement. Mais rapidement, l'enfant
réalise que le dernier mot-nombre compté revêt un caractère
spécial. En réponse aux questions «Combien?», l'enfant
accentue et répète le dernier mot-nombre compté sans com
prendre encore qu'il recouvre une signification cardinale.
C'est en comparant les nombres «non comptés» (subitizing),
qui ont déjà une valeur cardinale, aux derniers nombres
« comptés » que les enfants confèrent au comptage une finalité
cardinale. De nombreux auteurs ont insisté sur cette «concor
dance», selon l'expression de Meljac (1991), entre le résultat
du subitizing et celui du comptage tout en contestant la pro
priété véritablement cardinale des premières dénominations
numériques (Fischer, 19916; Fuson, 1991; Klahr et Wallace,
1976; Shaeffer, Eggleston et Scott, 1974; Wynn, 1992).
Selon Fischer (19916), par exemple, les collections de 1, 2
voire 3 éléments peuvent être subitisées et dénombrées par
l'enfant qui ne sait pas encore compter mais la compréhension
complète du principe cardinal émerge plus tardivement avec
la maîtrise des procédures de comptage. Le subitizing est en
quelque sorte une «proto- cardinalité» qui peut coïncider avec
l'activité de comptage, mais c'est seulement avec la maîtrise
du comptage qu'émerge la véritable compréhension du prin
cipe cardinal.
Le statut cardinal du subitizing est contesté plus encore
dans le modèle psycholinguistique de Von Glasersfeld (1982).
Les premières dénominations numériques sont considérées
comme de simples étiquettes verbales connectées à une recon
naissance globale et non unitaire des éléments d'une collec
tion. L'enfant apprend les premiers numératifs comme noms
de configurations perceptives. La «coïncidence» entre nom de
configuration et résultat du comptage peut servir de base
expérientielle pour l'acquisition de la cardinalité mais le nom
bre ne devient une unité d'unités que par le biais du compt
age.
L'importance du comptage est accentuée davantage encore
dans le modèle de Steffe (1991) qui décrit l'acquisition du comptage et cardinalité 29 Subitizing,
nombre comme le résultat des opérations d'unitarisation4 du
sujet. L'acte d'unitarisation suppose que l'enfant combine
divers signaux sensori-moteurs pour construire un objet uni
taire plus ou moins stable. L'exploration de l'environnement et
l'assimilation (au sens piagétien) des différentes combinaisons
de signaux permet une expérimentation séparée et indivi
duelle des objets (y compris les nombres). Autrement dit,
l'enfant considère les éléments re-traités du point de vue de
leur unité et crée ainsi une suite d'éléments unitaires percepti
fs. Les opérations qui produisent ces collections d'éléments
unitaires perceptifs sont les opérations d'assimilation d'un
scheme de comptage d'abord perceptif, puis figuratif reprodui
sant au niveau de l'expérience imagée les éléments perceptifs
originaux. Au début, l'activité de comptage n'est pas accompa
gnée par la signification cardinale des mots-nombres mais
c'est de cette activité que dépend son acquisition. Le subiti
zing, selon Steffe, n'implique pas le comptage. Mais il ne signif
ie pas non plus que l'association d'un mot-nombre avec un
pattern soit conçue par l'enfant comme un pattern numérique.
C'est seulement à partir du scheme de comptage perceptif que
l'enfant établit des connexions entre les mots-nombres et les
patterns qui deviennent alors des collections d'éléments uni
taires perceptifs. Lorsqu'il compte les éléments du pattern,
l'enfant peut abstraire une protonumérosité. Le comptage pro
duit une protonumérosité dans la mesure où le pattern se pré
sente maintenant à la fois unitaire et composite. Le pattern
compté fournit ainsi un objet à l'activité reflexive et à l'abs
traction de la cardinalité (Baroody et Price, 1983).
En résumé, le concept de subitizing dans la perspective de
Gelman ne rend pas compte de la réalité du développement de
la cardinalité: c'est un concept inutile. C'est le comptage, et
ses principes innés et implicites, qui expliquent le subitizing.
Selon Sophian, c'est au contraire en subitisant les petits
ensembles que l'enfant découvre la cardinalité préalablement
à tout comptage. Puis c'est en comparant les nombres subiti-
sés avec le résultat du comptage que les nombres «comptés»
deviennent des cardinaux. Le subitizing est donc selon Sophian
un nombre cardinal indépendant du comptage. En revanche,
pour Fischer, le nombre subitizé ne devient un nombre cardi-
4. L'unitarisation débouche sur des unités composites ou unité d'unités. 30 Bruno Vilette
nal que lorsqu'il est «compté». Mais avant d'être compté, il
possède déjà une propriété proto-cardinale. Cependant, c'est
cette propriété proto-cardinale que récuse Steffe pour qui l'en
fant ne peut abstraire la cardinalité que de l'activité reflexive
sur le comptage qui seule produit des collections à la fois uni
taires et composites.
Dans la recherche présentée, l'objectif est de montrer, au
moyen de situations d'apprentissage, que le subitizing, con
naissance déclarative, et le comptage, connaissance procédurale,
participent ensemble à la construction cardinale du nombre
compté5 L'hypothèse retenue est que le comptage d'une collec
tion subitisée peut conduire les enfants à comprendre la signif
ication cardinale du comptage: en effet, observer que les petits
nombres subitisés sont identiques aux résultats obtenus en
comptant peut leur permettre de découvrir la propriété cardinale
du dernier petit nombre compté et d'étendre cette propriété aux
nombres plus grands. Pour tester cette hypothèse, une expé
rience d'apprentissage a été réalisée sur des enfants d'âge pré
scolaire qui met en œuvre un entraînement basé sur le comptage
ei/ou l'appréhension directe des petites numérosités. On suppose
qu'en suscitant la jonction entre le comptage et le subitizing, une
certaine signification cardinale du pourra être ainsi
induite; cette signification pourrait alors être utilisée pour
dénombrer des collections plus importantes que les enfants
savent déjà compter ou qu'on leur aura appris à compter.
On suppose qu'en permettant aux enfants de faire la jonc
tion entre comptage et subitizing, ils comprendront la finalité
du comptage ; ils pourront alors l'utiliser pour dénombrer des
collections plus importantes qu'ils savent compter ou qu'on
leur aura appris à compter. La question du statut cardinal, ou
non cardinal, du subitizing sera envisagée dans la discussion.
MÉTHODE
1 . Sujets
L'expérience porte sur 40 sujets, inscrits en maternelle, dont l'âge
moyen est de 3;8 ans (± 4 mois). Recrutés dans trois écoles, les enfants
sont issus de milieux socio-économiques moyens. Précisons également
5. Nous utilisons l'expression nombre «compté» (Sophian, 1991) pour
signifier le dernier nombre énoncé lors du comptage. comptage et cardinalité 31 Subitizing,
que nous n'avons pas pu représenter également les deux sexes (25 gar
çons pour seulement 15 filles).
2. Matériel
Le matériel utilisé dans les tests et les entraînements comprend :
— Vingt-cinq planches de dessin format A4: sur chacune est dessinée,
en noir et blanc, 2 à 9 items identiques (objets ou animaux famil
iers). Sur chaque dessin, les items figurent en ligne.
— Une planche de dessin grand format (65 x 50 cm) sur laquelle est
dessinée, en couleur, 8 collections comprenant 2 à 8 items. L'ensemb
le représente une «ferme»: 2 garçons, 3 chiens, 4 vaches, 5 che
vaux, 6 moutons, 7 poules, 8 cochons et 9 arbres. Les items de cha
que collection figurent en ligne.
3. Procédure
Les sujets sont répartis en quatre groupes (trois groupes expér
imentaux et un groupe contrôle), soit 10 sujets par groupe. Les sujets
du premier groupe expérimental (groupe I) reçoivent un entraînement
de type «procédural» sous la forme d'un apprentissage des procé
dures de comptage décrites par Fuson, Richard et Briards, (1982). Les
sujets du second groupe expérimental (groupe II) reçoivent un entra
înement de type «déclaratif»: il s'agit de dénommer la numérosité de
petits ensembles et de mettre en relation la dénomination avec le
résultat d'un comptage. Enfin, les sujets du troisième groupe expéri
mental (groupe III) sont soumis successivement aux deux entraîne
ments précédents. Les sujets du groupe contrôle n'ont aucun
ment (groupe IV).
Les capacités de subitizing, de comptage et de dénombrement sont
évaluées avant (pré-test) et après (post-test) les sessions d'entraîne
ment6. C'est le même expérimentateur qui a interrogé tous les enfants
individuellement.
4. Description des tests
Le pré-test est identique au post-test. Ils comprennent une épreuve
de subitizing, une épreuve de comptage et une épreuve de dénombrem
ent.
Dans l'épreuve de subitizing, on montre successivement quatre
dessins représentant 2, 3, 4 et 5 items. Juste avant la consigne {«Com-
6. «Précisons que les sujets ont été évalués et entraînés uniquement sur
des ensembles d'items alignés, et cela en raison des difficultés que soulève le
comptage des items non alignés pour les enfants en bas âges». 32 Bruno Vilette
bien y a t-il de... ?»), l'enfant est encouragé à répondre vite et juste. Le
temps d'exposition des dessins ne dépasse pas une seconde. Après la
réponse de l'enfant, nous essayons de lui faire dévoiler sa procédure
en le questionnant («Comment tu as su qu'il y en avait... ?»).
Dans l'épreuve de comptage, on demande au sujet de compter les
items qui figurent sur les dessins («Peux-tu compter les... ?»). Quatre
dessins sont présentés: 3, 5, 7 et 9 items figurent respectivement sur
chaque dessin.
Dans l'épreuve de dénombrement, on présente à l'enfant la plan
che sur laquelle on a dessiné 2 garçons, 3 chiens, 4 vaches, 5 chevaux,
6 moutons, 7 poules, 8 cochons et 9 arbres. L'enfant doit identifier ce
qu'il voit sur la planche («Dis-moi tout ce que tu vois»). Après avoir
identifié chaque collection, il doit reconstituer la «ferme» à l'aide de
figurines que seul l'expérimentateur détient («Maintenant, tu vas
mettre ici - une autre planche - tout ce qui se trouve sur le dessin. J'ai
tout ce qu'il faut pour cela... Tu dois me dire ce que tu veux et combien
il en faut. Tu as compris?...»). L'expérimentateur remet au sujet les
items qu'il demande en insistant, s'il le faut, sur la quantité («Combien
en faut-il?»).
L'épreuve de subitizing précède toujours l'épreuve de comptage. Ce
pendant, l'ordre de présentation de ces deux épreuves et de l'épreuve de
dénombrement est contrebalancé dans chaque groupe: cinq sujets pas
sent en premier avec le problème de dénombrement, les cinq autres avec
les épreuves de subitizing et de comptage.
On rappelle que le pré-test est identique au post-test. Chaque pas
sation a été enregistrée à l'aide d'un caméscope.
5. Description des situations d'entraînement
5.1. L'entraînement de type «procédural» (groupe I) com
prend trois phases:
Phase 1 : (procédure de comptage oral ou les mots-nombres sont indif
férenciés)
On demande à l'enfant de réciter la suite numérique à partir du
premier nombre de la série des entiers («Sais-tu compter?. 1, 2, 3,...
Montre-moi. »)
La procédure est répétée jusque la récitation parfaite de la suite
jusqu'à neuf. À chaque erreur, l'expérimentateur corrige le sujet.
Phase 2: (procédure de comptage ou les mots-nombres sont différenciés)
Une indication précoce de la différenciation des mots nombres est
la capacité à générer le «venir après» dans la séquence du comptage.
On interroge l'enfant en corrigeant ses erreurs sur les dix premiers
entiers («Dis-moi ce qui vient après x...., après y...., après.... etc. »). On
peut aussi lui demander de compter à partir de n'importe quel nombre
de la suite numérique («Compte à partir de... »).

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