Fécondité et famille - article ; n°3 ; vol.12, pg 413-444

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Population - Année 1957 - Volume 12 - Numéro 3 - Pages 413-444
L'utilisation de données de plus en plus détaillées conduit à une profusion de résultats souvent difficiles à ordonner et à interpréter. Le recours à des modèles mathématiques s'impose alors. L'auteur indique d'abord sur quels fondements sont construits les modèles relatifs à la fécondité et à la famille; il étudie, ensuite, les relations qui existent, en l'absence de limitation des naissances, entre le taux de fécondité légitime d'un groupe homogène de couples et les fonctions fondamentales intervenant dans les modèles. Cette étude permet, entre autres, d'interpréter plus correctement les résultats obtenus par certaines méthodes de mesure et d'éviter quelques pièges, parfois bien dissimulés.
32 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.
Publié le : mardi 1 janvier 1957
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Louis Henry
Fécondité et famille
In: Population, 12e année, n°3, 1957 pp. 413-444.
Résumé
L'utilisation de données de plus en plus détaillées conduit à une profusion de résultats souvent difficiles à ordonner et à
interpréter. Le recours à des modèles mathématiques s'impose alors. L'auteur indique d'abord sur quels fondements sont
construits les modèles relatifs à la fécondité et à la famille; il étudie, ensuite, les relations qui existent, en l'absence de limitation
des naissances, entre le taux de légitime d'un groupe homogène de couples et les fonctions fondamentales intervenant
dans les modèles. Cette étude permet, entre autres, d'interpréter plus correctement les résultats obtenus par certaines méthodes
de mesure et d'éviter quelques pièges, parfois bien dissimulés.
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Henry Louis. Fécondité et famille. In: Population, 12e année, n°3, 1957 pp. 413-444.
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/pop_0032-4663_1957_num_12_3_4853FÉCONDITÉ ET FAMILLE
alors. interpréter. à une L'utilisation profusion Le recours de données résultats à des de souvent modèles plus en difficiles mathématiques plus détaillées à ordonner s'impose conduit et à
L'auteur indique d'abord sur quels fondements sont cons
truits les modèles relatifs à la fécondité et à la famille; il étudie,
ensuite, les relations qui existent, en l'absence de limitation
des naissances, entre le taux de fécondité légitime d'un groupe
homogène de couples et les fonctions fondamentales intervenant
dans les modèles. Cette étude permet, entre autres, d'interpréter
plus correctement les résultats obtenus par certaines méthodes
de mesure et d'éviter quelques pièges, parfois bien dissimulés.
MODÈLES MATHÉMATIQUES
II est à prévoir qu'on utilisera de plus en plus, dans l'étude de la fécond
ité, des échantillons de familles dont l'histoire aura été établie au cours
d'enquêtes ou reconstituée à partir de documents. On est, en effet, conduit
à prendre en considération un nombre croissant de « facteurs » de la fécon
dité; chacun étant un élément de l'histoire de la famille, il est normal qu'on
se soucie de connaître cette histoire dans son ensemble et qu'on ne se limite
pas à un aspect qui, à l'usage, pourrait se révéler sans intérêt.
L'exploitation de l'ensemble des données numériques contenues dans de
tels échantillons permet d'étudier la fécondité et la constitution de la famille
sous de multiples aspects et d'en tirer un grand nombre de résultats.
Cette profusion est, cependant, la source de difficultés; de présentation
d'abord; on ne peut s'abstenir d'ordonner les résultats; mais le choix d'un
ordre peut être tout à fait arbitraire si l'on ignore l'essentiel des relations
entre les divers résultats. Plus délicate encore est l'interprétation : comment
s'y hasarder sans une connaissance suffisante des relations entre les appa
rences diverses que revêt le phénomène observé ?
Le recours à des modèles mathématiques est un moyen de sortir de cette
situation inconfortable; un modèle permettant d'exprimer chaque résultat
observé à partir de quelques fonctions fondamentales nous fait connaître la
signification des faits observés et leurs relations; la présentation des résultats
peut s'en trouver facilitée; l'interprétation y gagne, en tout cas, la solidité
qui lui manquait.
J. P. 700143. 3 414 FÉCONDITÉ ET FAMILLE
Ce recours à des modèles, justifié en principe, pourrait se heurter cepen
dant à des difficultés telles qu'on en viendrait à douter de la valeur pratique
de cette forme de la recherche. Ce doute serait certes fondé s'il s'avérait
que les modèles sont des moyens fort onéreux d'arriver à des résultats intui
tifs; même s'il devait en être ainsi il faudrait, pourtant, recourir aux modèles,
puisqu'on ne peut savoir à l'avance ce qu'ils donneront; il est, d'autre part,
raisonnable de penser que la difficulté d'un modèle tient à la complexité
même du phénomène étudié et qu'il y a, par suite, peu de chances que toutes
les relations entre les aspects divers de ce phénomène se laissent découvrir
par l'intuition ou le métier d'un spécialiste rompu à la manipulation des
statistiques.
Les risques d'un effort inutile sont, d'ailleurs, atténués par la manière
même dont on en vient à des modèles difficiles; avant de s'y attaquer, on
étudie, généralement, des modèles simplifiés; si l'on arrive, dans cette sorte
de reconnaissance des abords du problème, à des résultats importants, on
est amené à pousser plus loin une recherche qui se montre fructueuse.
Il y a déjà quelques années, nous avons débuté par un modèle très simp
lifié ^,dont les insuffisances nous sont apparues par la suite, à l'occasion,
en particulier, de l'étude de la fécondité de populations européennes anciennes;
nous avons été ainsi amené à l'étude de modèles moins sommaires.
Dans notre premier travail, nous ne nous étions occupé que de la fécon
dité en l'absence de limitation des naissances; c'est encore elle qui retiendra
le plus notre attention dans cet article; non que nous entendions limiter à
ce cas l'usage des modèles; mais on ne peut utilement passer aux modèles
relatifs à la fécondité avec limitation des naissances si l'on n'a pas d'abord
étudié les modèles relatifs à la fécondité sans limitation des naissances.
D'autre part, il est impossible d'étudier, dans le cadre d'un article, de
nombreux aspects de la fécondité. Aussi, ces quelques pages ont-elles seul
ement pour objet :
1° D'indiquer sur quels fondements sont construits les modèles;
2° D'étudier quelles relations existent, en l'absence de limitation des
naissances, entre le taux de fécondité légitime d'un groupe homogène et
les fonctions fondamentales intervenant dans les modèles.
D'autres aspects, en particulier celui de la constitution de la famille
(nombre d'enfants et intervalles entre naissances), seront abordés ultérie
urement.
(1) « Fondements théoriques des mesures de la fécondité naturelle », in Revue de l'Institut
international de statistique, 1953, 3, p. 135-151. FÉCONDITÉ ET FAMILLE 415
FONDEMENTS DES MODÈLES
A la base des modèles mathématiques relatifs à la fécondité légitime et
à la constitution de la famille se trouvent trois faits d'observation courante :
1° La conception est impossible pendant la grossesse; nous soupçonnons,
en outre, qu'elle le reste, plus ou moins longtemps, après l'accouchement;
2° Les rapports sexuels, même sans contraception, ne sont pas toujours
suivis de conception; inversement, la contraception n'empêche pas
la conception. La conception est à considérer comme aléatoire;
3° La conception n'aboutit pas toujours à une naissance vivante.
Pour tenir compte de ces faits, on a à faire dépendre la fécondité, sous
tous les aspects qu'elle revêt, de trois facteurs fondamentaux :
1° La durée de stérilité temporaire (g) consécutive à chaque conception.
Elle dépend de la durée de la grossesse et du délai de réapparition de l'ovula
tion après l'accouchement;
Щ 2° La fécondité ou probabilité (p) qu'a une femme mariée d'être fécondée
au cours d'un intervalle de temps extérieur aux périodes de stérilité tempor
aire consécutive à des conceptions. Cet intervalle de temps peut être pris
fini, la durée moyenne du cycle menstruel par exemple, ou infiniment petit.
D'où deux types de modèles, un continu et un discontinu; ce dernier se
prête mieux aux calculs numériques;
3° La proportion des conceptions aboutissant à des naissances vivantes (v).
Aucune population n'étant homogène, ni physiquement, ni psychologi
quement, les facteurs fondamentaux varient certainement d'un couple à
l'autre; il faudra donc construire des modèles relatifs à des groupes hétéro
gènes; mais un groupe hétérogène est constitué de groupes homogènes;
on doit donc commencer par l'étude de ces derniers. Dans cet article, il
n'est question que de groupes homogènes.
Pour une même femme, et par suite pour un groupe homogène, la durée
de stérilité g peut varier très sensiblement d'une conception à l'autre, suivant
que la grossesse a été ou non jusqu'à son terme, que l'enfant a vécu ou est
mort très rapidement, que l'allaitement a duré plus ou moins, que l'accou-
chemeni a entraîné ou non une stérilité temporaire pathologique; g est à
considérer comme une quantité aléatoire ayant une certaine distribution;
parmi les caractéristiques de cette distribution, celle qui nous est, en pra
tique, le plus utile ici, est la probabilité d'être encore inapte à concevoir
au bout , d'une durée g après la conception précédente. Nous désignons
cette probabilité par le symbole K3.
A priori, Kp p et v peuvent être fonction de plusieurs Variables, en parti
culier de l'âge de la femme et du nombre d'enfants déjà nés.
3. 416 FÉCONDITÉ ET FAMILLE
Dans les quelques populations anciennes ou sous-développées qu'on a
pu étudier en détail, la fécondité ne dépend pratiquement pas de l'âge au
mariage dès que la durée de mariage dépasse quelques années. L'absence,
dans ces populations qui ignorent ou pratiquent peu la limitation des nais
sances, d'une relation qui est, au contraire, très marquée dans les populations
où la limitation des naissances est largement pratiquée, nous conduit à consi
dérer qu'en l'absence de limitation des naissances, les fonctions fondament
ales KJ5 p et v sont des fonctions d'une seule variable, l'âge de la femme.
Il n'en est plus ainsi en régime de limitation des naissances; la probab
ilité de concevoir dépend de la pratique contraceptive, elle-même influencée
par le nombre d'enfants déjà nés. Bref, il y a deux types distincts de modèles
suivant que les fonctions fondamentales dépendent seulement de l'âge de
la femme ou de cet âge et du nombre d'enfants déjà nés. Ainsi que nous
l'avons déjà mentionné, nous ne nous occupons, dans ce qui suit, que du
cas où il n'y a pas de limitation des naissances.
MODÈLES SANS LIMITATION DES NAISSANCES
Dans ce cas, tous les aspects de la fécondité et de la constitution de la
famille dans un groupe homogène dépendent des trois fonctions de l'âge de
la femme K5, probabilité d'être encore inapte à concevoir à la durée g écoulée
depuis la conception précédente; p, fécondabilité ou probabilité de conce»
voir dans l'unité de temps en dehors des périodes de stérilité temporaire
consécutive à une conception; v, proportion des conceptions aboutissant à
des naissances vivantes.
FÉCONDITÉ
Le taux de fécondité légitime est la traduction la plus courante du concept
de fécondité des femmes mariées (2). L'étude, déjà mentionnée, du modèle
le plus simple (fécondabilité constante, durée de stérilité unique et inva
riable, équivalence des conceptions et des naissances vivantes) a déjà montré
que la relation entre le taux de fécondité légitime et les fonctions fonda
mentales est, à première vue, complexe : le premier est la somme d'une
constante et d'une fonction oscillatoire amortie de la durée de mariage;
celle-ci dépend des conditions initiales et n'est nulle que dans un cas parti
culier jamais réalisé en pratique. On peut cependant considérer que, ces
oscillations mises à part, la relation est simple puisqu'à la constance des
facteurs fondamentaux correspond la constance du terme non oscillatoire
de la fécondité.
(2) En toute rigueur, on devrait dire fécondité des couples mariés; mais le langage se
prête mal à cette rigueur; il est plus commode de parler de la fécondité des femmes mariées,
étant entendu que c'est celle du couple dont elles sont un élément. FÉCONDITÉ ET FAMILLE 417
Les oscillations sont la conséquence inéluctable de l'existence des périodes
de stérilité temporaire consécutive à chaque conception; il est donc à prévoir
qu'on les retrouvera dans les modèles plus compliqués; on ne peut, par
contre, prévoir si, ces oscillations mises à part, la fécondité aura encore une
relation simple avec les fonctions fondamentales. Illustrons ce point par un
exemple : supposons qu'on puisse définir, à partir des fonctions fondament
ales, une « aptitude à procréer » et que celle-ci passe par un maximum
unique lorsque la femme a, mettons, 20 ans. Le taux de fécondité, débarr
assé, si cela est possible, des oscillations, présente-t-il, lui aussi, un max
imum unique? Si oui, ce maximum est-il atteint à 20 ans, ou avant, ou
après? En d'autres termes, l'évolution du taux de fécondité légitime avec
l'âge de la femme suit-elle de près l'évolution de l'aptitude à procréer ou
s'en écarte-t-elle sensiblement? De la réponse à cette question dépend l'inte
rprétation du résultat le plus courant de l'étude de la fécondité légitime en
l'absence de limitation des naissances, la série des taux de fécondité par
âge ou par groupe d'âges.
Notations. — En continu, nous désignons par :
x ou I, l'âge de la femme;
(j, la durée écoulée depuis la conception précédente;
С (x) dx, le nombre de conceptions dans l'intervalle d'âge {x, x + dx) ;
В (x) dx, le de naissances vivantes dans l'intervalle d'âge (x,
x -f- dx);
p (x) dx, la probabilité de concevoir dans l'intervalle d'âge (x, x + dx) ;
К (£, (J), la pour une femme qui a conçu à l'âge £ d'être
encore stérile à l'âge £ + r/ ;
v (x), la probabilité qu'une conception survenue à l'âge x aboutisse à une
naissance vivante;
g0, la durée d'une grossesse aboutissant à une naissance vivante; g0 peut
être considéré comme invariable;
G, une borne supérieure de la durée de stérilité consécutive à la concept
ion.
En discontinu, nous utilisons des notations analogues à ceci près que
l'âge x figure comme indice. С,, В,, p7 sont, par exemple, le nombre de
conceptions, le nombre de naissances vivantes, la probabilité de concevoir
au cours de la #leme unité de temps utilisée.
L'effectif du groupe homogène étudié étant pris comme unité, С (x) et
В (я) sont des taux instantanés de fécondité, Cr et Br des taux de fécondité
au cours de l'unité de temps utilisée; pour distinguer С et В nous parlerons
de fécondité totale pour C, de fécondité effective pour B. FÉCONDITÉ ET FAMILLE 418
Relation fondamentale. Le nombre de conceptions dans l'intervalle (x,
x + dx) est égal au produit àep (x) dx par le nombre
de femmes aptes à concevoir, c'est-à-dire par la différence entre l'effectif
initial du groupe, pris comme unité, et le nombre de femmes non encore
sorties de la période de stérilité temporaire consécutive à la conception
précédente.
On écrit donc, en supprimant dx, à droite et à gauche :
, g)dg
Pour des femmes se mariant à l'âge xQ, cette relation est vérifiée à partir
de l'âge x0 si l'on se donne С (x) dans l'intervalle (x0 — G, я0). Dans le cas
où il n'y a pas de conceptions prénuptiales, С (x) est nul avant x0.
Considérons, dans notre groupe homogène, deux sous-groupes de femmes
mariées, les unes à l'âge x1, les autres à l'âge x^\ appelons Сг(х) et C2(#)
les taux instantanés de fécondité totale relatifs à chaque sous-groupe.
Cx (x) et C2 (x) vérifient l'un et l'autre l'équation (1) à partir de l'âge
le plus élevé x2.
Désignons par Z (x) la différence C2 (x) — Ct (x). On écrit :
(2) Z(x)=-p(œ)\ Цх-д)Цх-д,д)ад
En vertu de cette relation, Z (x) ne peut conserver le même signe pen
dant un intervalle de temps supérieur à G. Z (x) est donc alternativement
positif et négatif; d'autre part, si Z (x) est nul pour une certaine valeur X
de x, il a forcément changé de signe au moins une fois dans l'intervalle
(X — G, X) <3>.
Z (x) peut avoir un nombre impair ou pair de zéros dans
(X — G, X) ; avec un ou deux zéros, par exemple, on a les figures suivantes.
К étant au plus égal à 1, la courbe représentative du produit Z.K est
comprise entre la courbe représentative de Z et l'axe des x. Quand Z (x)
est nul, la relation (2) exprime que la somme algébrique des surfaces hachu-
(3) Les fonctions С sont continues à partir du mariage ; Z change donc de signe en
s'annulant. Le seul changement de signe discontinu est celui qui peut exister en xQ si les
valeurs choisies dans l'intervalle (x0 — G, x0) sont telles que la différence entre С (x0 — e)
et С (x0 + e) ne soit pas infiniment petite. FÉCONDITÉ ET FAMILLE 419
rées comprises entre l'axe des x, la courbe Z.K et les verticales d'abscisse
X — G et X est nulle. Cette surface est la somme des boucles hachurées I
et II (fig. a) ou I, II et III (fig. b).
X-G
Figure a Figure b
Lorsque la distribution des durées de stérilité temporaire après chaque
conception ne varie pas avec l'âge de la femme, К ne dépend que de g ;
К ((/) est alors d'autant plus petit que g est plus grand ; il en est de même
lorsque la distribution de la durée de stérilité se déplace ou s'étale vers les
grandes durées quand l'âge croît, de telle sorte que, pour toute durée g,
К (# — g, <j) soit d'autant plus petit que g est plus grand.
Dans ces deux cas, la surface des boucles décrites par Z décroît en valeur
absolue d'une boucle à la suivante dans le sens des âges croissants ; à la limite
cette surface est nulle.
La simple considération des figures ne permet pas d'affirmer que la
valeur absolue de la surface des boucles décroît de gauche à droite lorsque
K.(x — g, g) ne décroît pas constamment quand g croît ; ce cas pourrait,
en particulier, se rencontrer si la distribution de la durée de stérilité se
déplaçait ou se contractait vers les courtes durées quand l'âge croît; encore
faudrait-il que cette modification fût rapide; auquel cas, elle durerait peu,
la diminution possible de la durée moyenne de stérilité étant très limitée.
En conclusion, les oscillations de la fonction Z (x) s'amortissent soit à
mesure que l'âge, ou la durée de mariage, augmente, soit à partir d'un certain
âge, ou d'une certaine de mariage.
On arrive à la même conclusion que dans le modèle le plus simple :
A âge égal, les taux instantanés de fécondité de femmes d'un groupe
homogène mariées à des âges différents xx et X2 fa > xx) ne sont pas égaux ; 420 FÉCONDITÉ ET FAMILLE
mais leur différence est une fonction oscillatoire amortie de la durée de
mariage; lorsque cette durée est assez grande, l'égalité est, en pratique,
réalisée.
Dans le cas de groupes hétérogènes, les oscillations relatives aux divers
groupes homogènes composants se superposent; comme elles ne sont pas
concordantes, cette superposition tend à les atténuer. D'autre part, les mesures
de la fécondité légitime sont faites, le plus souvent, sur de grands intervalles
de temps (groupe de cinq années d'âges par exemple), ce qui atténue encore
les oscillations. Ainsi s'explique qu'à âge égal, les taux de fécondité puissent
être, en pratique, indépendants de l'âge au mariage, bien qu'en théorie ils
ne le soient pas.
Cas du discontinu. — En discontinu, on a une relation analogue à la
relation (1). On écrit en effet (4) :
(I1)
C'est cette relation et non la relation (1) qui est utilisée dans les calculs
numériques. L'ovulation étant, par nature, discontinue, cette relation est,
plus conforme à la réalité si l'on prend la durée du cycle menstruel ou, plus
simplement, le mois comme unité de temps.
Fécondité centrale. D'après la relation (1), С (x) est solution d'une équation
intégrale dont la solution générale dépend d'une fonc
tion arbitrairement choisie dans l'intervalle (x0, x0 — G). Cette fonction
définit les conditions initiales.
En discontinu, l'ensemble des relations (1') relatives aux divers Cr (de
x — x0 à x = (л), âge maximal, fini, à considérer) forme un système d'équa
tions linéaires dont les solutions dépendent des G valeurs arbitraires, C^-g»
• • • » С x_\ définissant les conditions initiales. Chacune des solutions Cx ,
. . ., Сш de ce système est une forme linéaire des G quantités Cx_g, . . .,
Сж_1.
Ce point précisé, reprenons les résultats des paragraphes précédents.
La différence entre deux solutions des équations (1) ou (1') est de type oscil
latoire amorti. Ces oscillations sont, en toute rigueur, des oscillations d'une
solution vérifiant les équations à partir d'une certaine valeur x0 de x autour
d'une autre solution les vérifiant à partir de la même valeur. Que ces oscil-
(4) Dans le cas du discontinu une femme qui conçoit au cours du mois £ et qui reste stérile
g mois peut de nouveau concevoir à partir du mois | + g + 1.
Si h (g) est la fréquence de la durée de stérilité g, la proportion Kg des femmes qui
ne peuvent encore concevoir au cours du mois f + g est égale à A(j)+ ... + A (G). FÉCONDITÉ ET FAMILLE 421
lations s'amortissent signifie que la différence entre deux solutions tend à
disparaître à mesure que l'on s'éloigne de x0, autrement dit que l'influence
des conditions initiales s'estompe à mesure que le temps passe. Cela ne
signifie pas, pour autant, que la valeur commune vers laquelle tendent les
diverses solutions soit elle-même « sans oscillation »; si la dérivée seconde
de p (x) ou les différences secondes de px ont un signe constant, il n'y a pas
forcément une solution С (х) [ou Cx] qui soit dans le même cas.
Toutefois, devant une courbe de la fécondité présentant une alternance
de maximums et de minimums (cf., par exemple, les graphiques nos 1 et 2,
p. 439-440) ou des oscillations visibles de la pente de la tangente, on
cherche, spontanément, à la rattacher à une courbe plus tendue qui repré
senterait, en quelque sorte, la fécondité à chaque âge, abstraction faite de
ces oscillations que, par une réaction naturelle, on juge parasites.
Autrement dit, on cherche à rattacher les différentes solutions à celle
qui présente « le moins d'oscillations ». Pour y arriver, il faut d'abord définir
ce que l'on entend par « le moins d'oscillations » ; ce sera la solution dont
la dérivée (ou la différence première en discontinu) varie le moins à partir
de l'âge x0 considéré.
En continu, la traduction d'une telle condition est difficile. En discontinu,
il suffit de déterminer les valeurs initiales, C^-c-.., Cx_i de telle sorte que la
somme des carrés des différences secondes, à partir de x0, soit minimale. Ces
valeurs sont les solutions d'un système de G équations linéaires à G inconnues.
La solution correspondant aux conditions initiales ainsi déterminée est ce
que nous appelons la solution centrale relative à l'âge au mariage x0. Dans
certains cas, la solution centrale peut être indépendante de x0; mais ce cas
n'est pas général. Comme on cherche, en pratique, à rattacher à une solution
centrale unique, la fécondité réelle des femmes mariées à tous les âges possibles,
on est conduit à choisir la solution centrale correspondant à l'âge au mariage le
plus bas possible. C'est cette solution centrale particulière que nous appelons
taux central de fécondité ou fécondité centrale. Nous avons maintenant à
chercher ce que représente cette
Dans le cas le plus simple, où p et K^ ne dépendent pas de l'âge de la
femme, les équations (1) et (1') admettent une solution constante égale à
pj\ + çjp (g est la durée moyenne de la stérilité après chaque conception).
Cette solution constante est la fécondité centrale; elle est liée kp de manière
très simple.
Lorsque/) dépend de l'âge de la femme, mais que la distribution des durées
de stérilité n'en pas, la fonction :
représente la fécondité centrale correspondant au cas où p serait constant et
égal à la valeur p(x) à l'âge x. f(x) peut être considéré comme caractéristique

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