Fécondité et famille. Modèles mathématiques (II) - article ; n°1 ; vol.16, pg 27-48

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Population - Année 1961 - Volume 16 - Numéro 1 - Pages 27-48
Depuis plusieurs années, l'Institut national d'études démographiques a entrepris des recherches sur la fécondité physiologique, tant par voie expérimentale que par présentation du mécanisme, sous forme de modèles. Les recherches proprement biologiques ne peuvent pas parvenir à des résultats dans ce domaine, sans le concours de l'analyse statistique. C'est pourquoi les travaux de MM. Paul Vincent, Louis Henry et Jacques Henripin apportent une contribution très importante, susceptible d'être utilisée non seulement par les démographes, mais par les biologistes. Dans un premier article, M. Louis Henry a étudié les relations qui existent, en l'absence de limitation des naissances, entre le taux de fécondité légitime et les fonctions fondamentales introduites dans les modèles. A ces fonctions fondamentales sont également liés d'autres aspects, plus concrets, de la fécondité : nombre d'enfants, durée de mariage à la naissance des enfants de chaque rang, intervalles entre naissances. Ce sont ces relations que M. Louis Henry étudie dans cet article.
22 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.
Publié le : dimanche 1 janvier 1961
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Louis Henry
Fécondité et famille. Modèles mathématiques (II)
In: Population, 16e année, n°1, 1961 pp. 27-48.
Résumé
Depuis plusieurs années, l'Institut national d'études démographiques a entrepris des recherches sur la fécondité physiologique,
tant par voie expérimentale que par présentation du mécanisme, sous forme de modèles. Les recherches proprement
biologiques ne peuvent pas parvenir à des résultats dans ce domaine, sans le concours de l'analyse statistique. C'est pourquoi
les travaux de MM. Paul Vincent, Louis Henry et Jacques Henripin apportent une contribution très importante, susceptible d'être
utilisée non seulement par les démographes, mais par les biologistes. Dans un premier article, M. Louis Henry a étudié les
relations qui existent, en l'absence de limitation des naissances, entre le taux de fécondité légitime et les fonctions
fondamentales introduites dans les modèles. A ces fonctions fondamentales sont également liés d'autres aspects, plus concrets,
de la fécondité : nombre d'enfants, durée de mariage à la naissance des enfants de chaque rang, intervalles entre naissances.
Ce sont ces relations que M. Louis Henry étudie dans cet article.
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Henry Louis. Fécondité et famille. Modèles mathématiques (II). In: Population, 16e année, n°1, 1961 pp. 27-48.
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MODÈLES MATHÉMATIQUES (II)
Depuis plusieurs années, l'Institut national d'études démogra
phiques a entrepris des recherches sur la fécondité physiologique,
tant par voie expérimentale que par présentation du mécanisme,
sous forme de modèles ll). Les recherches proprement biologiques
ne peuvent pas parvenir à des résultats dans ce domaine, sans le
concours de l'analyse statistique. C'est pourquoi les travaux de
MM. Paul Vincent, Louis Henry et Jacques Henripin appor
tent une contribution très importante, susceptible d'être utilisée
non seulement par les démographes, mais par les biologistes.
Dans un premier article, M. Louis Henry (a) a étudié les rela
tions qui existent, en l'absence de limitation des naissances,
entre le taux de fécondité légitime et les fonctions fondament
ales introduites dans les modèles.
A ces fonctions fondamentales sont également liés d'autres
aspects, plus concrets, de la fécondité : nombre d'enfants, durée
de mariage à la naissance des enfants de chaque rang, intervalles
entre naissances. Ce sont ces relations que M. Louis Henry étudie
dans cet article.
PARTIE THÉORIQUE
Comme dans le précédent article, nous nous limitons au cas d'un groupe,
homogène le plus souvent, ne pratiquant pas de limitation volontaire des
naissances.
(1) Paul Vincent, « La stérilité physiologique des populations », Population, 1950, n° 1,
p. 45-64; « Données biométriques sur la conception et la grossesse », 1956, n° 1,
p. 59-82; « Recherches sur la fécondité biologique », à paraître dans la collection Travaux et
documents.
Louis Henry, « Fécondité des mariages », Travaux et documents, cahier n° 16, P.U.F.,
1953, chap, ví et vu; «La fécondité des mariages au Japon», Population, 1953, n° 4,
p. 711-730; « Anciennes familles genevoises », Travaux et cahier n° 26, P.U.F.,
1956, chap, v; « Caractéristiques démographiques des pays sous-developpés » dans « Le Tiers
Monde », Travaux et documents, cahier n° 27, P.U.F., 1956, p. 151-159; « Fécondité et
famille, Modèles mathématiques », Population, 1957, n° 3, p. 413444.
Etienne Gautier et Louis Henry, « La population de Crulai paroisse normande », Travaux
et documents, cahier n° 33, P.U.F., 1958, chap, ví et vu.
Jacques Henripin, « La population canadienne au début du xvme siècle », Travaux et cahier n° 22, P.U.F., 1954, chap, v; « La fécondité des ménages canadiens au
début du XVIIIe siècle », Population, 1954, n° 1, p. 61-84.
»» Op. cit. 28 FÉCONDITÉ ET FAMILLE
Les modèles avec limitation des naissances feront l'objet d'un autre
article.
Rappel des fondements Nous sommes parti de faits d'observation cou
des modèles rante.
a. A chaque conception commence un « temps
mort » pendant lequel une nouvelle conception ne peut se produire. Ce comprend normalement la grossesse et la période plus ou moins longue
qui sépare l'accouchement de celui des deux événements suivants qui se
produit le plus tard : la reprise des rapports sexuels ou la réapparition de
l'ovulation (1).
b. En dehors des temps morts la conception n'est qu'une consé
quence aléatoire des rapports sexuels.
с Une partie seulement des conceptions aboutissent à des naissances
vivantes.
On tient compte de ces faits par trois fonctions fondamentales :
1° La durée des temps morts;
2° La fécondabilité, ou probabilité de concevoir en dehors des temps
morts;
3° La proportion des conceptions aboutissant à des naissances vivantes.
Les observations, à vrai dire peu nombreuses, de populations où la limi
tation des naissances est inconnue ou peu pratiquée font supposer que,
dans ce cas, les fonctions fondamentales ne dépendent que de l'âge de la
femme. Nous adoptons cette hypothèse comme nous l'avons déjà fait dans
l'étude précédente.
Notations. — Nous aurons à introduire d'autres fonctions au cours de
eet article. Ici nous nous bornons à l'essentiel. En continu, nous désignons
par :
x ou £, l'âge de la femme;
С (x) dx, le nombre de conceptions dans l'intervalle d'âge (x, x + dx) »
V (x) dx, le de ces qui aboutissent à des naissances
vivantes;
p (x) dx, la probabilité de concevoir dans l'intervalle d'âgé (x, x + dx) ;
К (£, x — D, la pour une femme qui a conçu à l'âge f d'être
encore stérile (c'est à dire dans le «temps mort») à l'âge x;
Ka et Kt>, les probabilités correspondantes lorsqu'il y a, respectivement,
avortement et naissance vivante;
U) Le « temps mort » peut aussi être prolongé par une stérilité temporaire pathologique
consécutive à l'accouchement. FÉCONDITÉ ET FAMILLE 29
v (#), la probabilité qu'une conception survenue à l'âge x aboutisse à une
naissance vivante.
Pour distinguer les rangs de naissances on affecte les fonctions С et V
d'un indice ayant la valeur du rang considéré.
Dans certains cas, où toute ambiguïté est impossible, nous prenons la
liberté de ne pas expliciter de quelle variable dépend la fonction; nous écri
vons alors С à la place de С (x) ou de С (£), К au lieu de К (£, x — ^).
En discontinu, nous utilisons des notations analogues, à ceci près que
l'âge x figure comme indice. Cx et px sont, par exemple, le nombre de con
ceptions et la probabilité de concevoir au cours de la xieme unité de temps
utilisée. Comme en continu, la lettre x peut être supprimée lorsqu'il n'y a
aucun doute sur la variable considérée.
Conceptions et naissances vivantes Soient Cjcdx les conceptions de rang к
suivant le rang. dans l'intervalle d'âge (x, x + dx).
Ckdx est égal au produit par pdx du
nombre de femmes exposées à concevoir pour la kieme fois.
Ne sont dans ce cas, pour A: ^> 2, que les femmes qui ont déjà conçu
к — 1 fois mais pas к fois, à l'exclusion de celles qui sont encore dans le
temps mort consécutif à leur к — leme conception.
x0 étant l'âge au mariage, le nombre de femmes ayant conçu к — 1 fois
est égal à :
le nombre de celles qui ont conçu к fois est :
г
enfin conception celles sont qui au sont nombre encore de dans : le temps mort consécutif à la (к — l)eme
il vient donc pour к >: 2.
(i) J *
Dans le cas de la première conception et en l'absence de conceptions 30 FÉCONDITÉ ET FAMILLE
prénuptiales, toutes les femmes, sauf celles qui ont déjà conçu sont exposées
au risque; l'effectif total étant pris comme unité on a donc :
(la)
Xo
En discontinu, les formules précédentes sont à remplacer par les sui
vantes :
(2) Ck=p. 2 <C*-i — C* — C*_iK)
(2a) С1=/>(1-
Passons maintenant aux naissances vivantes; leur rang ne dépend que
du nombre de naissances vivantes qui les précèdent; les naissances vivantes
d'un certain rang correspondent donc à des conceptions de rang égal ou
supérieur.
Pour éviter la petite difficulté du décalage, supposé constant, entre con
ception et naissance vivante, remplaçons les naissances par les conceptions
d'enfants à naître vivants que, pour simplifier, nous appelons dans ce qui
suit conceptions V; par analogie, nous appelons conceptions A celles qui
se terminent par un avortement spontané ou par la naissance d'un mort-né.
Le nombre de conceptions V de rang к dans l'intervalle (#, x + dx) est
égal au produit par pdx du nombre de femmes ayant eu A; — 1 conceptions V
et susceptibles d'avoir une conception V de rang к entre x et x + dx.
Ce nombre de femmes est égal au nombre total de femmes ayant eu
к — 1 conceptions V, diminué
a. Du nombre de femmes qui ne peuvent avoir une A;eme conception V
parce qu'elles sont dans le temps mort consécutif à la {k — l)eme V.
b. Du nombre de femmes qui ne peuvent avoir une keme V,
parce qu'elles ont eu depuis trop peu de temps une conception A.
L'effectif total des femmes ayant eu A; — 1 conceptions V de leur mariage
à l'âge x est égal à :
(V*_ i — V*) d £ pour к ^ 2
et à :
C*
1 — I Vi d ç pour к = 1
J Xo FÉCONDITÉ ET FAMILLE 31
Le nombre a est égal à :
pour к ^ 2
II est nul pour k=l.
Reste à calculer le nombre b.
Parmi les femmes de la catégorie V*_j qui conçoivent à un moment
donné, v conçoivent un enfant à naître vivant et sortent de ce fait de la caté
gorie V*-!, pour entrer dans la catégorie V*; 1 — v conçoivent un enfant
qui ne naîtra pas vivant ; elles ne sortent pas de la catégorie V*_j. Autrement
dit, dans tout intervalle (#, x + dx), le nombre de femmes qui conçoivent
sans sortir de la catégorie к — 1 est égal au produit par du nombre
de femmes qui sortent de cette catégorie.
Le nombre (b) est, par suite, égal à :
1 — V XT -wr y f
On a, par suite, pour к = 1 :
(За) Vi =p v \l — F (Vi + Ц^
et pour к > 2 :
— (3) V* = p v\ I (Vjt_ i — V* — Vjfc_i К» - v \_Jxo
L'équivalent, en discontinu, des formules ci-dessus, est :
ViKa) (4a)
x-l
1-t;
(V*_i-V*-V*,iKt (4)
Conceptions Au lieu de partir du mariage, partons
et naissances vivantes successives. des conceptions survenues à l'âge Xo.
Prenons leur nombre comme unité,
soit Cxodx le nombre de conceptions suivantes qui se produisent en (x, x +
dx); en raisonnant comme précédemment, on écrit, en continu : 32 FÉCONDITÉ ET FAMILLE
=p\ 1 — К (xOtx — xo) — CXod £ (5) С J
et en discontinu
x-1
1 — К Xo, X — Xo (6)
Passons aux naissances vivantes. Soit VXo le nombre de conceptions
suivantes qui se produisent en (я, х + dx).
On a, en continu :
(7) Ухо =pvll -K, (xo,x-xo)-
et en discontinu :
x-1
fl + — К (8) Vxo=pv
La distribution de l'intervalle entre con- Intervalles entre conceptions. naissances. ceptions ou entre naissances s'établit à
partir des quantités СХа et УХг> En continu,
la densité de probabilité est égale au quotient de CXo(x) ou VXo(x) par le
nombre total de conceptions, ou de naissances, entre l'âge#0 et un âge limite со,
qui peut varier avec le problème étudié.
Intervalle moyen. Pour un temps mort de durée g, l'intervalle moyen
entre deux conceptions est égal à la somme de g et
de l'intervalle moyen entre la fin du temps mort et la conception sui
vante, ou durée moyenne d'exposition au risque de à partir
du temps x0 + g.
Le nombre de femmes qui sortent du temps mort en x0 + g étant
pris pour unité, désignons par R (x) le nombre de celles qui n'ont pas conçu
entre x0 + g et x.
On a (i) :
dR = — pKdx
(1) Cette équation différentielle permet d'exprimer R en fonction de p. En posant :
on écrit :
R (x) = exp. - P (x) + P (x0 + g) J
j FÉCONDITÉ ET FAMILLE 33
Le nombre de conceptions en (x, x -f- dx) étant égal à — dR, la durée
moyenne d'exposition au risque, ug, est donnée par la relation :
— I (x-xo-g)dR
_ Jx. + g Ug
l-R(v)
En intégrant par partie, le numérateur devient :

— (со — Xo — g) R («) + Rdx
JXo + g
Le deuxième terme de cette expression, celui qui contient l'intégrale
peut s'écrire :
~.-p(x)Rdx i
/:
Sous cette forme, il représente le produit par 1 — R (со) de l'inverse d'une
moyenne harmonique pondérée de p (x), les coefficients de pondération
étant les conceptions en (x, x -J- dx), p (x) R (x) dx).
Ph (со) étant la moyenne harmonique en question, il vient :
1 (СО - Xo - g) R (СО)
qui se réduit à l/pA (&>) dans le cas où R {со) est nul ou suffisamment petit
pour que (ш — x0 — g) R (со) soit négligeable (1).
U) Pour passer en discontinu, commençons par changer d'origine; donnons le n° 1 à la
première unité de temps après le temps mort, unité qui, auparavant, avait le n° xq + g + 1 ;
soit Ct le nombre de conceptions au cours de l'unité t,
u и и.
Nous avons à calculer i, t Ct qui s'écrit encore 2 и Ct — £ (и — t) Ct.
1 1 1
a
Posons Qu + i = 2 Q.
La première somme est égale à u Q«+i. La deuxième contient (u-1) fois Clt (u-2) fois C,....
elle est par suite, égale à Qu +Q«_i +••• + Qa; à cette somme on peut ajouter Qx qui est
u
nul, et l'écrire 2 Qu
1
On a donc :
1 1
R t étant le nombre de femmes n'ayant pas conçu avant le début de l'unité ť on a Rt = 1 — Qt
(Suite de la note page suivante)
J. P. 100201. 3 FÉCONDITÉ ET FAMILLE 34
Si ш est suffisamment grand pn (w) se réduit à la valeur рь qu'on aurait
en l'absence de limitation de durée; si le terme en R (<w) est, en même
temps, suffisamment petit, ug se réduit à la valeur — .

On peut donner une autre expression de l'intervalle moyen entre la fin
d'un temps mort et la conception suivante survenant moins de a après.
Soit h(i) la densité de probabilité de l'intervalle entre événements, R(i)
la probabilité d'un intervalle supérieur à i.
On écrit :
ihdi=\iR\ + Rdi = Rdi— Rdi — шК(ш).
Jo L J^ J° J° Ja
Désignons respectivement par iOů), f0, 1Ш les intervalles moyens entre
zéro et йу, à partir de zéro et à partir de оз. On a :
[l — R(«)] to» = h— R И (« + Q
d'où :
= H — [œ + ia — io]
1 - R (oS)
Elle se réduit à ï0 quand le terme en R (со) est suffisamment petit et à
io — — R lorsque ïu = f0, ce qui arrive pour l'intervalle entre la fin du ^
temps mort et la conception suivante lorsque la fécondabilité est constante.
L'intervalle moyen entre conceptions est égal à la somme g + щ pour
la valeur particulière g du temps mort. Pour l'ensemble des valeurs possibles,
h étant la densité de probabilité de g, il est égal à :
D'où :
L Q = и (1 - R„ + 1) - 1 (1 - Rt) = S Rť _ u Rtt + ,
i i i
On a d'autre part :
C( — pt Rt.
Il vient donc finalement :
u и Ct
Si Ci =-2 uRu + 1.
1 1 Pt
u
Le dénominateur étant égal à 2 Ct, qu'on peut aussi écrire 1 — R« + j, on aboutit à une
formule analogue à celle obtenue en continu. ET FAMILLE 35 FÉCONDITÉ
: + ug)hdg'
г
de g(x0) Si u>-#o valeur est suffisamment moyenne du temps grand, mort cet intervalle à partir de moyen x0 et est de la égal moyenne à la somme pon
dérée des moyennes harmoniques _ . .«
L'intervalle moyen entre deux conceptions d'enfants à naître vivants a
une expression plus compliquée; nous nous bornerons au cas particulier où
les fonctions fondamentales sont des constantes.
Cas particulier. — Ce cas particulier est celui où les fonctions fonda
mentales p, К et v sont indépendantes de x et où la durée w-x0 est assez grande
pour qu'on puisse l'assimiler à une durée infiniment grande.
La durée moyenne d'exposition au risque pour une conception est de 1/p.
L'intervalle moyen entre deux conceptions est g + l//>. L'intervalle moyen
entre deux conceptions d'enfants à naître vivants est égal à gz + lorsqu'elles
ne sont séparées par aucun avortement spontané, à g2-\ — \- gi + - = gz + gi
- 2-lorsqu'elles sont séparées par un avortement spontané à g2 H — 1 \-nÇgi-\--\ 1\
lorsqu'elles sont séparées par n avortements spontanés, g, gt et g2 étant les
valeurs moyennes du temps mort respectivement pour l'ensemble des con
ceptions, pour les conceptions A et pour les conceptions V.
La probabilité du premier cas est t>, celle du second (1 — v) v, celle du
troisième (1 — v)nv.
D'où pour l'intervalle moyen la valeur :
7")
[h + } ~
Suite de trois conceptions Prenant la première comme origine, considé-
ou de naissances. rons trois conceptions consécutives se produi
sant aux temps 0, (i, t + cri), (u, и + du).
La probabilité de cet ensemble (la première conception — origine — s'étant
produite) est égale à :
Co (í) Cí (м-í) dt du
3.

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