L'approche fractale. Un nouvel outil de réflexion dans l'analyse spatiale des agglomérations urbaines - article ; n°4 ; vol.52, pg 1005-1040

De
Publié par

Population - Année 1997 - Volume 52 - Numéro 4 - Pages 1005-1040
FRANKHAUSER (Pierre). - The fractal approach. A new tool for the spatial analysis of urban agglomerations. Fractal geometry is a new approach for the study of spatial distributions. The basic model is a law of hierarchical distribution corresponding to Pareto's law which is familiar to urban geographers and demographers. The methods of fractal analysis can be used to study the spatial organization of human activities across scales. The regularities and the discontinuities in the distributions can then be identified. These discontinuities can be spatially situated. Applying this concept to urbanized areas has shown that districts can be defined and classified according to their scaling relations, thereby allowing development of a typology of locational patterns. This observation reveals the existence of a principle of self-similarity in land-use patterns. An examination of time series shows that despite the apparent fragmentation of these urban tissues, urbanization is often accompanied by structured development. Subsequent research will need to employ complementary morphological measures, such as measures of space filling and of population distribution, which could be used to validate the simulation models based on fractal geometry.
FRANKHAUSER (Pierre). - El analysis fractal. Un nuevo instrumento de reflexion en el análisis espacial de las aglomeraciones urbanas. La geometria fractal es un nuevo método de estudio de reparticiones espaciales. El modelo de referencia es una ley de distribución jerárquica que corresponde a la ley de Pareto, bien conocida en geografia urbana y en demografia. La utilización de los métodos de análisis fractal permite estudiar la organización espacial de las actividades humanas a través de escalas. Estas escalas permiten establecer tanto jerarquias regulares como rupturas, que se pueden identificar y situar en el espacio. La aplicación de este concepto a los tejidos urbanos ha abierto la posibilidad de distinguir y clasificar gradualmente barrios según su comportamiento, y de esta forma desarrollar tipologias urbanas. Este método muestra la existencia de un principio de auto-similaridad en los tejidos urbanos. El estudio de series temporales muestra que el proceso de urbanización va frecuentemente acompaňado de un proceso de estructuración, a pesar de la fragmentación aparente de taies tejidos. En investigacions futuras deberian utilizarse medidas morfológicas complementarias: medidas de lagunaridad, medidas referentes a la repartición de la población. Estas medidas podrian utilisarse también para validar los modelos de simulación basados en la geometria fractal.
FRANKHAUSER (Pierre). - L'approche fractale. Un outil de réflexion dans l'analyse spatiale des agglomérations urbaines. La géométrie fractale est une nouvelle approche pour étudier des répartitions spatiales. Le modèle de référence est une loi de distribution hiérarchique qui correspond à la loi de Pareto, bien connue en géographie urbaine et en démographie. L'utilisation des méthodes d'analyse fractale permet d'étudier l'organisation spatiale des activités humaines à travers les échelles. Il est ainsi possible de découvrir aussi bien des hiérarchies régulières que des ruptures. Ces ruptures peuvent être identifiées dans l'espace. L'application de ce concept aux tissus urbains a montré qu'il est possible de distinguer et de classifier des quartiers selon leur comportement sealant, et de développer une typologie des tissus urbains. Cette observation met en évidence l'existence d'un principe d'auto-similarité dans les tissus urbains. L'étude de séries temporelles montre que l'urbanisation est souvent accompagnée de phénomènes de structuration, en dépit de la fragmentation apparente de ces tissus. Les futures recherches devraient utiliser des mesures morphologiques complémentaires : mesures de lacunarité, mesures concernant la répartition de la population. Ces mesures pourront servir à valider des modèles de simulation basés sur la géométrie fractale.
36 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.
Publié le : mercredi 1 janvier 1997
Lecture(s) : 49
Nombre de pages : 38
Voir plus Voir moins

Pierre Frankhauser
L'approche fractale. Un nouvel outil de réflexion dans l'analyse
spatiale des agglomérations urbaines
In: Population, 52e année, n°4, 1997 pp. 1005-1040.
Citer ce document / Cite this document :
Frankhauser Pierre. L'approche fractale. Un nouvel outil de réflexion dans l'analyse spatiale des agglomérations urbaines. In:
Population, 52e année, n°4, 1997 pp. 1005-1040.
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/pop_0032-4663_1997_num_52_4_6476Abstract
FRANKHAUSER (Pierre). - The fractal approach. A new tool for the spatial analysis of urban
agglomerations. Fractal geometry is a new approach for the study of spatial distributions. The basic
model is a law of hierarchical distribution corresponding to Pareto's law which is familiar to urban
geographers and demographers. The methods of fractal analysis can be used to study the spatial
organization of human activities across scales. The regularities and the discontinuities in the
distributions can then be identified. These discontinuities can be spatially situated. Applying this concept
to urbanized areas has shown that districts can be defined and classified according to their scaling
relations, thereby allowing development of a typology of locational patterns. This observation reveals
the existence of a principle of self-similarity in land-use patterns. An examination of time series shows
that despite the apparent fragmentation of these urban tissues, urbanization is often accompanied by
structured development. Subsequent research will need to employ complementary morphological
measures, such as measures of space filling and of population distribution, which could be used to
validate the simulation models based on fractal geometry.
Resumen
FRANKHAUSER (Pierre). - El analysis fractal. Un nuevo instrumento de reflexion en el análisis espacial
de las aglomeraciones urbanas. La geometria fractal es un nuevo método de estudio de reparticiones
espaciales. El modelo de referencia es una ley de distribución jerárquica que corresponde a la ley de
Pareto, bien conocida en geografia urbana y en demografia. La utilización de los métodos de análisis
fractal permite estudiar la organización espacial de las actividades humanas a través de escalas. Estas
escalas permiten establecer tanto jerarquias regulares como rupturas, que se pueden identificar y situar
en el espacio. La aplicación de este concepto a los tejidos urbanos ha abierto la posibilidad de
distinguir y clasificar gradualmente barrios según su comportamiento, y de esta forma desarrollar
tipologias urbanas. Este método muestra la existencia de un principio de auto-similaridad en los tejidos
urbanos. El estudio de series temporales muestra que el proceso de urbanización va frecuentemente
acompaňado de un proceso de estructuración, a pesar de la fragmentación aparente de taies tejidos.
En investigacions futuras deberian utilizarse medidas morfológicas complementarias: medidas de
lagunaridad, medidas referentes a la repartición de la población. Estas medidas podrian utilisarse
también para validar los modelos de simulación basados en la geometria fractal.
Résumé
FRANKHAUSER (Pierre). - L'approche fractale. Un outil de réflexion dans l'analyse spatiale des
agglomérations urbaines. La géométrie fractale est une nouvelle approche pour étudier des répartitions
spatiales. Le modèle de référence est une loi de distribution hiérarchique qui correspond à la loi de
Pareto, bien connue en géographie urbaine et en démographie. L'utilisation des méthodes d'analyse
fractale permet d'étudier l'organisation spatiale des activités humaines à travers les échelles. Il est ainsi
possible de découvrir aussi bien des hiérarchies régulières que des ruptures. Ces ruptures peuvent être
identifiées dans l'espace. L'application de ce concept aux tissus urbains a montré qu'il est possible de
distinguer et de classifier des quartiers selon leur comportement sealant, et de développer une
typologie des tissus urbains. Cette observation met en évidence l'existence d'un principe d'auto-
similarité dans les tissus urbains. L'étude de séries temporelles montre que l'urbanisation est souvent
accompagnée de phénomènes de structuration, en dépit de la fragmentation apparente de ces tissus.
Les futures recherches devraient utiliser des mesures morphologiques complémentaires : mesures de
lacunarité, mesures concernant la répartition de la population. Ces mesures pourront servir à valider
des modèles de simulation basés sur la géométrie fractale.L'APPROCHE FRACTALE
Un nouvel outil de réflexion
dans l'analyse spatiale des
agglomérations urbaines
Pierre FRANKHAUSER *
La répartition de la population dans l'espace est une question fondamentale
dans toute réflexion sur le fonctionnement social et économique d'un territoire.
Plusieurs disciplines ont donc cherché à étudier ce phénomène dans des contextes
et à des échelles différentes : les démographes et les géographes, mais aussi
les urbanistes et les économistes. Quelle que soit l'échelle d'observation, les
résultats obtenus montrent que les activités humaines ne sont pas réparties de
façon homogène dans l'espace. Les raisons paraissent multiples : d'une part,
il existe des endroits plus ou moins favorables aux activités humaines, ce qui
influence le semis des habitats, d'autre part, le fait urbain a provoqué depuis
longtemps une hiérarchisation des villes. Celle-ci a été l'objet de maintes tentatives
de formalisation, soit sous un aspect démographique et descriptif tel qu'il apparaît
dans la loi rang-taille des villes, soit sous la forme d'une approche explicative, la
théorie des lieux centraux.
À une échelle plus grande, celle des agglomérations, Clark a introduit
une formulation mathématique dont le but est de décrire la décroissance de la
population dans une ville en fonction de la distance au centre; Bussière et Stovall ont
étudié le même phénomène en utilisant une formalisation différente. On pourrait
supposer que la périurbanisation a contribué à égaliser la différence entre Г intensité
de l'occupation dans les noyaux urbains et la banlieue, effet qui pourrait être
renforcé par la désertification des centres suite à l'implantation accentuée des
activités tertiaires. Or ce point de vue, purement démographique, est trompeur.
Il ne s'agit que d'une ségrégation des fonctions : l'occupation du sol dans les
centres s'est souvent intensifiée suite à la demande nouvelle. Celle-ci provoque
une forte concentration de population non-résidentielle pendant la journée. En
revanche l'occupation du sol reste assez lâche dans les quartiers pavillonnaires des
communes périurbaines. En outre l'influence primordiale des transports favorise
* Université de Franche-Comté, Besançon.
Population, 4, 1997, 1005-1040 1 006 P. FRANKHAUSER
une croissance tentaculaire le long des axes de circulation dans la banlieue,
phénomène qui renforce la disparité dans la répartition du bâti.
Si l'existence d'une répartition hétérogène semble omniprésente et qu'elle
apparaît dans les analyses théoriques du fonctionnement du système de peuple
ment, on constate que les mesures utilisées sont toujours basées sur le paradigme
d'un espace uniforme; la référence géométrique reste l'homogénéité. En effet, la
mesure la plus utilisée est la densité. Or celle-ci indique une occupation moyenne
d'un territoire, elle suppose donc une proportionnalité entre population et surface
occupée. Des résultats connus depuis longtemps mettent en évidence l'ambiguïté
de cette approche. On observe une plus forte intensité d'occupation du sol si l'on
choisit une petite unité administrative, et une baisse de cette intensité si l'on agrand
it le territoire considéré. Si laproportionalité n'existe pas, le passage d'une échelle
à une autre devient difficile. En effet, la valeur obtenue pour la densité dépend alors
de la taille de la surface de référence, donc de l'échelle à laquelle on se situe.
Hormis la densité, d'autres méthodes de mesures ont été proposées telles que
la méthode des plus proches voisins ou la méthode des quadrats. Or ces méthodes
ne prennent pas non plus en compte la variation d'un phénomène en fonction d'une
échelle de référence (cf. (François, 1997)).
On constate donc une certaine disparité, d'une part, entre les observations
et les théories - descriptives ou explicatives - et, d'autre part, le paradigme
géométrique dont sont issues les mesures spatiales. Mais ces mesures ne par
viennent qu'à traduire notre approche de l'espace, lequel s'inscrit toujours dans la
tradition de la géométrie euclidienne.
Nous retrouvons la même approche géométrique dans les théories de locali
sation de l'économie urbaine où l'on utilise comme référence la ville linéaire ou
circulaire. Or le recours à la géométrie euclidienne n'a cependant pas permis de
développer une vision qui convient à la description des formes complexes telles
qu'on les trouve dans la répartition spatiale des activités humaines. Ainsi les urba
nistes caractérisent les tissus urbains contemporains souvent comme amorphes et
irréguliers, sans organisation interne apparente. On observe les mêmes limites dans
toutes les disciplines. Par exemple pendant longtemps les sciences physiques ne se
sont pas particulièrement intéressé aux formes perçues comme irrégulières, et, pour
les cristaux ou les trajectoires des planètes, la géométrie euclidienne semblait suffi
sante. L'étude approfondie de certains phénomènes plus complexes, non-linéaires,
a montré l'insuffisance de ces concepts traditionnels. Citons comme exemples
la découverte des attracteurs chaotiques, l'étude approfondie des phénomènes de
transition de phase ou l'amélioration de la connaissance des matériaux, notam
ment de leurs surfaces et des textures. Ces investigations ont montré un lien étroit
entre l'émergence de formes complexes et la présence de phénomènes d'auto-
organisation (Pumain et Sanders, 1989), (Schroeder, 1994).
Comme seule approche alternative de caractère véritablement géométrique
s'est avérée, jusqu'à présent, la géométrie f raciale. Le physicien Nicholis résume
assez bien son intétêt particulier : «Les objets fractals représentent un nouveau
modèle de structures complexes issues cependant, de mécanismes relativement
simples» (Nicholis, 1985). Cette vision a permis de découvrir, dans une grande
variété de domaines scientifiques et à des échelles très différentes, des principes APPROCHE FRACTALE DES AGGLOMÉRATIONS URBAINES 1 007
d'ordre interne, non connus auparavant, et d'intégrer ces résultats dans les théories
explicatives. En outre, en imagerie, l'approche fractale est devenue un instrument
pertinent pour la segmentation de certains objets dans un ensemble et leur
classification.
Utiliser la géométrie fractale pour l'étude d'un phénomène spatial ne se borne
donc pas à l'introduction de quelques nouvelles mesures mais à recourir à une autre
référence géométrique'0. Mais il existe des raisons plus particulières qui semblent
en faveur de l'utilisation de cette approche en démographie et en géographie
urbaine. En effet, la géométrie fractale transcrit une organisation hiérarchique dans
un système spatial qui suit une logique particulière, celle de la loi de Pareto-Zipf.
Nous rappelons qu'une telle est connue dans le système de peuplement.
Il paraît donc possible de vérifier une telle loi de répartition en recourant à la
géométrie fractale, mais aussi de mettre en évidence un écart à une telle loi dans
certain cas. Le fait de pouvoir étudier un phénomène à travers les échelles fournit
aussi la possibilité de découvrir des seuils dans l'organisation spatiale.
Pour les tissus urbains, des études récentes ont montré l'intérêt d'une formal
isation fractale aussi bien pour développer de nouvelles mesures morphologiques
que pour étudier, à un niveau plus conceptuel, leur organisation spatiale et leur
dynamique. M. Batty et P. Longley (Batty et Longley, 1994b), R. White (White et
Engelen, 1 993b) et P. Frankhauser (Frankhauser, 1994), (François étal, 1995) ont
analysé les tissus bâtis. Si ces études ont d'abord été réalisées à des échelles plutôt
régionales, plus récemment l'investigation des agglomérations a été approfondie
(Frankhauser, 1997), (Batty, 1996). On se borne alors à une logique binaire puis
qu'on ne distingue que la surface bâtie de la surface non-bâtie'2). Batty et al. ont
introduit l'intensité de l'occupation du sol en représentant la densité de population
en troisième dimension (Batty et Kim, 1992). Par cette approche on introduit une
loi hyperbolique pour le gradient de la densité de la population vers la périphérie,
comme l'ont discuté plusieurs auteurs, par exemple Bussière et Stovall. Une for
malisation cohérente générale de la répartition de la exige des concepts
plus complexes tels que l'approche multifractale. H. Le Bras a recouru à une telle
logique pour modéliser la répartition de la population (Le Bras, 1993).
Nous commençons par une introduction à la géométrie fractale. Les exemp
les choisis s'inscrivent dans une logique de transposition de cette approche à la
description des tissus urbains. Nous utilisons dans ce contexte surtout l'approche
binaire qui permet déjà d'approfondir la connaissance sur l'organisation spatiale
des villes. Ensuite sont discutées les méthodes de mesures fractales et les résultats
obtenus par des analyses de tissus réels. Ces analyses sont effectuées à l'aide de
logiciels d'analyse à partir de cartes numérisées.
Dans une dernière section nous montrons l'exemple d'un élargissement
conceptuel qui permet la description de la répartition des zones bâties et non-
bâties tout en incluant l'intensité de l'occupation du sol.
(1) Ainsi certaines méthodes de mesure introduites ou utilisées dans d'autres contextes
peuvent servir à étudier le comportement fractal, par exemple le variogramme ou la morphologie
mathématique (cf. plus loin).
(2) II est possible d'élargir le concept utilisé pour traiter conjointement la répartition
spatiale de plusieurs types d'utilisation du sol (Frankhauser, 1994b). 008 P. FRANKHAUSER 1
I. - La formalisation fractale des tissus urbains
Ce qui caractérise surtout la géométrie fracLes tapis de Sierpinski
et la dimension fractale tale, c'est que l'on trouve le même type
d'éléments géométriques à une variété ill
imitée d'échelles. Ainsi les objets fractals n'appartiennent pas à une échelle parti
culière. La présence du même élément à différentes échelles se manifeste par l'exis
tence d'une organisation hiérarchique à l'intérieur de l'objet fractal, phénomène
qui est souvent désigné comme homothétie interne ou auto-similarité. Nous illus
trons ce phénomène par un type de fractale qui s'avère particulièrement adapté
à l'étude de la répartition spatiale dans un système de peuplement : les tapis de
Sierpinski (figure 1).
Figure 1. - Les premières étapes d'itération pour la construction de deux
structures fractales. La figure (a) montre les premières étapes d'itération
de la construction d'un tapis de Sierpinski. La courbe de (b) forme la
bordure de chaque côté du tapis de Sierpinski
Afin d'obtenir une telle fractale, nous choisissons une figure initiale, dans
ce cas un carré de côté L. Ensuite nous définissons une opération géométrique
qui transforme la figure initiale et qui est désignée comme générateur. Dans notre
exemple elle est réduite par le facteur r = | et nous plaçons iVo = N = 5 de
ces carrés de côté l\ = r • L sous la forme d'un damier tel qu'il est représenté
dans la figure la, à gauche. Cette opération est répétée pour chacun des cinq
carrés (figure la, milieu). Ainsi la figure consiste maintenant en N2 = N2 = 25 de côté l2 = r2 ■ L = ^ L. Nous observons que l'aspect de damier a disparu
tandis qu'une hiérarchie spatiale se manifeste dans les lacunes. En répétant encore
cette opération on fait émerger un niveau hiérarchique supplémentaire de lacunes APPROCHE FRACTALE DES AGGLOMÉRATIONS URBAINES 1 009
tel qu'on l'observe dans la figure la à droite. En poursuivant cette application
itérée, à l'étape n, le nombre de carrés gris serait Nn = Nn et leur côté serait
réduit à ln = rn ■ L, de sorte que la surface de chaque carré pointillé soit alors
an = l2n - r2'n ■ L2. On obtient alors pour la surface totale An des carrés gris qui
forment la fractale :
An = Nn-l2n
= (N-r2)n.L2 (1)
Comme | < 1 , la surface diminue à chaque étape et, en répétant cette opération
jusqu'à l'infini, on obtiendrait un ensemble de points détachés, dont la surface
tendrait vers zéro.
Du fait de la distribution hiérarchique des lacunes, ces points ne sont pas
distribués de façon homogène dans la surface, mais ils forment des agrégats.
La figure lb montre de quelle manière il est possible de construire, selon
une itération, une structure fractale qui reproduit à chaque étape la bordure d'un
côté du tapis de Sierpinski. Dans ce cas nous avons utilisé comme figure initiale
le segment d'une droite de longueur L. On vérifie que la longueur totale de cet
objet croît à chaque étape et tend vers l'infini. Le fait que la d'une courbe
croisse vers l'infini semble indiquer qu'elle est d'une dimension supérieure à celle
d'une courbe habituelle telle qu'un cercle, c'est-à-dire un. Cependant elle reste
topologiquement linéaire. Ce comportement n'est plus en concordance avec la
géométrie habituelle, d'autant plus que la surface de l'objet semble converger vers
zéro. Pour caractériser de tels ensembles, la théorie de la mesure a introduit des
dimensions à valeurs fractionnaires. On définit une mesure générale C, dont on
exige qu'elle reste constante au cours de l'itération :
С = const = Nn ■ (ln)D
= LD (3)

Nn = const -\-D. (4)
En passant aux logarithmes, on obtient une relation linéaire :
log Nn = log const - D log ln (5)
où D est la pente d'une droite, définie par les points xTI = log ln, yn = log Nri .
La condition que С soit constant est remplie par un choix approprié de D
qui est déterminé par la relation (5). En introduisant Nri = Nri et lr, = rn • L, il est
possible d'obtenir ce nouveau paramètre D qui ne dépend pas de l'étape n et qui
est désigné comme dimension fractale :
]^ (6, 1010 P. FRANKHAUSER
Comme les paramètres ont les mêmes valeurs pour les deux constructions décrites,
on obtient la même dimension f raciale D = ^4 ~ 1 , 47 pour le périmètre et pour
la surface, résultat qui est en contradiction avec la géométrie ordinaire, où la
dimension d'une courbe serait un et celle d'une surface deux.
Ce résultat reflète que la longueur du périmètre croît lors de l'itération de
manière surproportionnelle par rapport à un objet géométrique ordinaire tandis que
la surface est de plus en plus dominée par les lacunes. Ainsi, à la limite, chaque
élément de la surface est en même temps élément du périmètre (cf. (Frankhauser,
1994b)).
On vérifie que selon le même calcul on obtient, pour une ligne, la dimension
D = 1 et pour une surface totalement occupée D = 2, donc les valeurs conformes
à la géométrie euclidienne. La géométrie f raciale contient donc comme cas limite
la habituelle.
Dans le tapis de Sierpinski nous avons interprété les étapes d'itération comme
une réduction progressive de la surface occupée par l'objet, telle qu'elle apparaît
dans la relation (2). Il est aussi possible de donner une interprétation différente
(cf. par exemple (Gouyet, 1992)) : on imagine que l'on concentre, à chaque étape,
une masse ou population donnée sur les surfaces subsistantes de l'objet. Nous
calculons alors la densité sur chacun des éléments. Si la population initiale est
P on obtient à l'étape n pour la densité gn = P/an sur chacun des Nn carrés
occupés :
Qn = 2_ r2 (7)
En introduisant de nouvelles constantes с = P/L2 et / = (l/r) > 1 on obtient
Qn = c-fn (8)
Comme / > 1 la densité croît vers l'infini si n — > oo. Dans cette interprétation
d'une structure fractale, la densité devient une mesure soumise à des fluctuations
fortes :
gn - 0 aux endroits vides,
gn — > oo aux occupés.
La densité est donc un indicateur mal adapté à la description d'une structure qui
montre plutôt une morphologie fractale.
La dimension fractale et éventuellement d'autres mesures complémentaires
représentent mieux, dans ce cas, la répartition des éléments dans l'espace.
Propriétés hiérarchiques La caractéristique des tapis de Sierpinski est
et multifractalité leur organisation hiérarchique qui se manifeste
dans la répartition des espaces vides. Le nomb
re de lacunes 7V(lac)(An) dont la taille est Xn est en général :
~ \~6 (9) APPROCHE FRACTALE DES AGGLOMERATIONS URBAINES 101
où 6 est un exposant qui peut différer de D. Dans le cas présent, les lacunes ont
• L, A2 = (|) ■ L, etc. et on vérifie que une taille A] = ^
iV(lac)(An) = - A -D (10)
Si l'itération engendre obligatoirement une hiérarchie dans la distribution des
lacunes, les éléments sont de même taille bien qu'ils forment des agrégats.
Cependant, il est possible de choisir des générateurs qui font émerger des
hiérarchies d'agrégats. La figure 2 montre une telle fractale.
Dans ce cas le générateur répartit les éléments non de façon homogène comme
dans le cas du damier (figure la, à gauche), mais concentre N\ = 9 éléments dans
un agrégat et en place iV2 = 4 hors de cet agrégat. La répétition de l'opération crée
ainsi une structure hiérarchique. Lors de l'itération apparaît un seul grand agrégat,
constitué d'embranchements de plus en plus fins. En revanche dans chacun des
N = N\ + N2 éléments est généré à chaque étape un agrégat constitué de Ni
carrés réduit par le facteur r = j. On vérifie qu'à l'étape n on a obtenu un agrégat
constitué de m^} = 9n éléments, quatre de m(2) = 9n-1 carrés, et ensuite la série
suivante :
taille nombre
.vyjO) _ qn— 2 NO) = N2- N = • 13 4
9n-3 •132 N(4) m(4) = = N2-N2 = 4
™(5) _ qn— 4 •133 N(5) = N2-N3 = 4
.^(fc) _ птг — fc+l ]3fc-2 ■ Nk-2 = 4- = N2
II est possible de relier le nombre iV(fc) = N(k\m^) et la taille m^ par la relation
suivante :
N(k)(m{k)) = cn- (m(h))~b (11)
On obtient donc une distribution hyperbolique ou parétienne caractérisée par
l'exposant 6 = ]°gN = const. Pour chaque taille m^k) d'agrégats le nombre N^k)
d'éléments de cette taille dépend de l'étape d'itération n par un facteur identique
Jusqu'ici nous n'avons considéré que des fractales générées par un seul
facteur de réduction. Nous désignons de telles structures comme monofractales <3).
(3) Nous évitons ainsi d'utiliser l'expression habituelle de fractale homogène qui prête, à
notre avis, à des confusions avec la notion habituelle d'homogénéité. P. FRANKHAUSER 1012

□ п
Figure 3. - Multifractale en troisième étape Figure 2. - Une fractale en deuxième étape
d'itération avec N = 13 et r - j. La d'itération. Pour certains éléments les fac
disposition des éléments dans le générateur teurs de réductions sont indiqués. Ils sont
composés des deux facteurs de réduction crée une hiérarchie d'agrégats
r\ = ^ et r2 = j, chacun élevé à une
puissance. Les nombres d'éléments sont ici
TV, = 1 et N2 = 4 (cf. texte)
On peut construire des hiérarchies plus complexes si le générateur est constitué de
plusieurs facteurs de réduction, par exemple s'il produit N\ éléments de taille r\-L
et N2 de taille r2 • L. Une telle structure s'inscrit dans une logique multifractale.
Dans l'exemple de la figure 3, nous avons choisi N\ = 1 , r\ - \ et N2 = 4, r\ = \ .
Lors des itérations suivantes on applique la même logique à chaque élément généré
précédemment. Ainsi apparaissent des éléments dont les facteurs de réduction sont
composés de combinaisons de multiples de ri et de r2. On trouve dans la troisième
étape d'itération à l'intérieur de la première auréole, au centre, un élément de taille
r] ■ L entouré de quatre éléments de taille r\ ■ r2- L. La seconde auréole regroupe
quatre agrégats de même disposition mais de taille réduite par le facteur r2 : les
centres ont été générés selon la suite de facteurs r\ ■ r2 • r\ = r\ ■ r2 ■ L. Ils sont
de taille identique à ceux de la périphérie de la première auréole. Les éléments
périphériques ont, eux, une taille r\ ■ r\.
On observe donc qu'il existe dans les différentes auréoles des carrés de
même taille, mais de «fonction» différente : les éléments périphériques de la
première auréole ont la même taille que les éléments centraux de la deuxième,
etc. Pour une étape n on obtient donc une variété de facteurs différents :
-Г2, . . . , Г r n — k fc , r% et le nombre d'éléments correspond à la taille
„n— к r!ï est
Nn(r n—k N n-k (12)
(n-fc)! k\

Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.