La démonstration mathématique - article ; n°1 ; vol.14, pg 264-283

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L'année psychologique - Année 1907 - Volume 14 - Numéro 1 - Pages 264-283
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Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.
Publié le : mardi 1 janvier 1907
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Edmond Goblot
La démonstration mathématique
In: L'année psychologique. 1907 vol. 14. pp. 264-283.
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Goblot Edmond. La démonstration mathématique. In: L'année psychologique. 1907 vol. 14. pp. 264-283.
doi : 10.3406/psy.1907.3744
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/psy_0003-5033_1907_num_14_1_3744VIII
LA DÉMONSTRATION MATHÉMATIQUE
(Critique de la théorie de M. Poincaré).
Les idées de M. Poincaré avaient depuis longtemps éveillé la
curiosité des philosophes ; mais, présentées le plus souvent
dans le langage des mathématiciens, elles étaient parfois inac
cessibles à notre ignorance, et, disséminées dans des écrits très
divers et très spéciaux, il était malaisé de les saisir dans leur
ensemble et d'en mesurer la portée. M. Poincaré a pris la peine
d'écrire pour les philosophes. Ses articles de la Revue de Méta
physique et les deux petits volumes que nul n'a plus le droit
d'ignorer, la Science et l'Hypothèse (1902) et la Valeur de la
Science (1907) feront époque dans l'histoire de la pensée : ils
ouvrent une percée lumineuse dans les broussailles de la
logique traditionnelle. Il faut désormais renoncer à l'enseigner
sans de profonds remaniements. En certaines de ses parties,
non les moins importantes, elle est manifestement fausse; le
reste ne se sauve guère qu'à force d'être vague, trop vague
même pour donner prise à la critique.
Or, la Logique est étroitement liée, d'une part à la théorie de
la Connaissance, car on ne peut découvrir le fondement de la
connaissance sans savoir exactement ce qu'il s'agit de fonder;
d'autre part à la psychologie du concept, du jugement et du
raisonnement, car, si l'on peut distinguer avec précision le
problème logique du problème psychologique, on ne peut les
séparer. Aussi trouve-t-on dans ces deux petits livres de nomb
reuses pages de psychologie et de métaphysique. On y trouve
aussi, et ce ne sont pas les moins belles, des pages de morale,
car la question de la valeur de la science amène l'auteur à com
parer et à hiérarchiser les diverses fins de l'activité humaine.
C'est donc toute une philosophie.
Je ne ferai point un exposé systématique de la philosophie GOBLOT. — LA DÉMONSTRATION MATHÉMATIQUE 265 E.
de M. Poincaré. Je ne saurais l'énoncer en termes plus heureux •
en formules plus saisissantes et plus vivantes qu'il ne l'a fait
lui-même ; je l'affaiblirais, je la fausserais en voulant la résumer.
Mais je hasarderai quelques critiques, et, bien que je ne m'avent
ure qu'avec crainte sur un terrain où je sens mon pas mal
assuré, bien que je redoute un pareil adversaire, j'oserai opposer
mes vues personnelles à certaines de ses théories. Si M. Poin-
carré proteste que je l'ai mal compris, ce sera pour lui l'occa
sion d'éclaircir et de préciser des points qui, sans doute, ne
sont pas obscurs pour moi seul.
I
II est généralement admis que le raisonnement déductif est
le syllogisme; du moins le syllogisme est-il la seule forme de
raisonnement déductif dont les logiciens aient jusqu'ici donné
la théorie. 11 est également admis que les sciences mathémat
iques sontdéductives. Or aucune démonstration mathématique
ne se réduit à un syllogisme composé.
L'enchaînement des théorèmes conduit à des propositions de
plus en plus générales ; l'algèbre est plus générale que l'arithmé
tique, le calcul infinitésimal est une généralisation de l'algèbre
élémentaire, la géométrie des modernes est plus générale que
la géométrie des anciens. Or le syllogisme ne peut pas être un
instrument de généralisation. Sa règle fondamentale, le Dictum
de omni et nullo l'interdit. La condition de validité de tout
syllogisme est que la conséquence doit être contenue dans les
principes ; or, dans la démonstration mathématique, la consé
quence résulte des principes, mais n'y est pas contenue. On ne
peut pas dire que, dans un triangle isoscèle, l'égalité des angles
soit contenue dans l'égalité des côtés, ni l'égalité des côtés dans
l'égalité des angles. Le mécanisme du syllogisme repose uni
quement sur les rapports d'inclusion et d'exclusion des termes.
Toute démonstration mathématique établit une relation de
dépendance nécessaire entre dés propriétés hétérogènes *.
1. Je ne sais si je serais fondé à revendiquer la priorité pour avoir mis
en lumière cette insuffisance de la logique deductive dans mon Essai sur
la Classification des Sciences (1898). Je n'ai eu d'autre mérite que de lire
Descartes. Le Discours de la Méthode substitue une nouvelle Logique à la
logique scolastique. Le raisonnement consiste à parcourir des « chaînes
de raisons », à avoir successivement l'intuition claire et distincte de la
liaison de chaque terme au suivant, à percevoir la dépendance d'une pro
priété à l'égard d'une autre. Ces chaînes de raisons peuvent être parcou- 266 MÉMOIRES ORIGINAUX
Le syllogisme se rencontre dans toute démonstration mathé
matique ; il y a une fonction bien définie. Il sert à appliquer un
principe ou une proposition antérieurement admise au cas
que l'on considère. Mais il ne constitue jamais tout le raison
nement. Aucune démonstration ne consiste à tirer une propos
ition spéciale d'une proposition plus générale qui la contient.
Le mathématicien s'efforce d'arriver, par la voie la plus courte
possible, aux plus hautes généralités possibles, de celles-ci à
de plus générales encore. Il ne revient jamais sur ses pas; il ne
s'amuse pas à faire l'inventaire de toutes les vérités partielles
contenues dans une vérité plus étendue, à moins qu'il n'ait à
mettre en évidence une propriété remarquable; ceci n'est point
une démonstration, mais un corollaire. Un corollaire consiste
à formuler à part, parce qu'on en aura besoin par la suite, une
propriété qui, s'étant trouvée établie au cours de la démonstrat
ion, ou contenue implicitement dans la conclusion, n'a pas
besoin d'être démontrée séparément. Disons donc que le ra
isonnement mathématique va, soit d'une propriété admise à
une propriété hétérogène (dans le triangie isoscèle, de l'égalité
des côtés à l'égalité des angles), soit d'une propriété spéciale à
une propriété générale (de la somme des angles du triangle à la
somme des angles du polygone), jamais de la propriété générale
à la propriété spéciale.
M. Poincaré signale cette impuissance du syllogisme. « Le
syllogisme est incapable de rien ajouter aux données qu'on lui
fournit; ces données se réduisent à quelques axiomes, et on ne
devrait pas retrouver autre chose dans les conclusions... ; il ne
peut rien nous apprendre d'essentiellement nouveau, et, si
tout devait sortir du principe d'identité, tout devrait aussi
pouvoir s'y ramener. » La mathématique se réduirait à une
immense tautologie. « Aucun théorème ne devrait être nouveau
si, dans sa démonstration, n'intervenait un axiome nouveau; le
raisonnement ne pourrait nous rendre que les vérités immédia-
rues dans les deux sens, en allant du conditionné à la condition dans la
résolution des problèmes (analyse des anciens), en allant de la condition
au conditionné dans la démonstration des théorèmes. La méthode de
Descartes ne concerne que la résolution des problèmes. Pour résoudre
un problème proposé, il faut aller du composé au simple (deuxième
règle); mais l'ordre dans lequel il faut aborder les problèmes est au con
traire celui qui va du simple au composé (troisième règle). Procéder autre
ment, ce serait « vouloir s'élancer d'un bond au faite d'un édifice en négli
geant l'escalier ». Et si l'on prétend que Vescalier figure ici la hiérarchie
des genres et des espèces, on remarquera qu'il s'agit de le monter, non
de le descendre. E. GOBLOT. — LA DÉMONSTRATION MATHÉMATIQUE 267
tement évidentes empruntées à l'intuition directe ; il ne serait
plus qu'un intermédiaire parasite et dès lors n'aurait-on pas
lieu de se demander si tout l'appareil syllogistique ne sert pas
à dissimuler notre emprunt?... Si l'on se refuse à admettre ces
conséquences, il faut bien concéder que le raisonnement mathé
matique a par lui-même une sorte de vertu créatrice et par consé
quent qu'il se distingue du syllogisme. » {Se. et Hyp., p. 10-11.)
II
M. Poincaré croit trouver la solution de la difficulté dans le
raisonnement par récurrence, ou induction mathématique,
appelé aussi quelquefois induction complète, qui est « le ra
isonnement mathématique par excellence ». Et le principe du par récurrence, principe qu'on chercherait vaine
ment à démontrer, est pour lui un jugement synthétique
a priori, et même « le véritable type des jugements synthétiques
a priori ». (Ibid., p. 23.)
Il faut d'abord distinguer entre une démonstration et une
simple vérification. Une vérification porte sur un cas singulier;
ainsi on ne démontre pas, on vérifie que 2 + 2 = 4. Toute
démonstration comporte quelque vérification, mais l'essence de
la consiste à étendre à une série infinie de cas
ce qui se vérifie pour un cas singulier. « Dans le domaine de
l'Arithmétique élémentaire, on peut se croire bien loin de
l'analyse infinitésimale, et cependant l'infini mathématique
joue déjà un rôle prépondérant, et sans elle il n'y aurait pas
de science parce qu'il n'y aurait rien de général. » [Ibid., p. 22.)
Or celte extension de la propriété vérifiée pour un nombre fini
de cas à une série infinie, c'est le raisonnement par récurrence.
Donnons-en d'abord un exemple.
Soit à démontrer la relation
(1 4- a)" > 1 + n a
a était un nombre positif, n un nombre entier supérieur à 2.
On commence par démontrer que, si la relation est vraie pour
un nombre quelconque n, elle est nécessairement
n -+- 1 ; autrement dit que de l'inégalité
(1) (1 -H a)" > 1 -+- net
supposée vraie, on peut déduire l'inégalité
(2) MÉMOIRES ORIGINAUX 268
Pour cela, je multiplie les deux termes de l'inégalité (1) par
1 + a:
(1 -h a)n+1 > 1 -+- n a H- a -h n a2
ou, en mettant (n -h 1) en facteur,
)n+1 >l
et, a fortiori, comme a2 > 0 :
ce qui est l'inégalité (2).
Mais je ne sais pas encore s'il existe un nombre n pour lequel
l'inégalité (1) se vérifie. Je sais seulement que, si la propriété
(1) est vraie pour un nombre n elle est vraie pour n-hl. Or je
vérifie qu'elle est vraie pour n = 2; en effet elle devient
()
ou bien l-+-a2-f-2a>l-h2a
ce qui est évident.
La propriété étant vraie pour w=2, elle est vraie pour
n = d, elle est vraie pour n = 4, et ainsi de suite indéfiniment.
M. Poincaré retrouve le raisonnement par récurrence dans la
démonstration des règles de l'addition et de la multiplication,
c'est-à-dire des règles les plus élémentaires du calcul arithmé
tique ou algébrique. « Ce calcul est un instrument de transfo
rmation qui se prête à beaucoup plus de combinaisons diverses
que le simple syllogisme; mais c'est encore un instrument
purement analytique, et incapable de nous apprendre rien de
nouveau. Si les mathématiques n'en avaient pas d'autre, elles
seraient donc tout de suite arrêtées dans leur développement;
mais elles ont de nouveau recours au même procédé, c'est-à-
dire au raisonnement par récurrence et elles peuvent continuer
leur marche en avant. — A chaque pas, si l'on y regarde bien,
on retrouve ce mode de raisonnement, soit sous la forme simple
que nous venons de lui donner, soit sous une plus ou
moins modifiée. C'est donc bien là le raisonnement mathémat
ique par excellence... » (Ibid., p. 19.)
Je regrette que M. Poincaré ne m'ait pas aidé à « bien
regarder ». Livré à mes seules ressources, je ne retrouve pas le
raisonnement par récurrence dans toutes les démonstrations
mathématiques. Il semble d'ailleurs reconnaître implicitement
qu'il n'intervient en algèbre qu'accidentellement; mais l'algèbre
est purement « analytique » (terme équivoque, source inépui- GOBLOT. — LA DEMONSTRATION MATHÉMATIQUE 269 E.
sable de méprises); elle n'opère que des « transformations ».
C'est grâce au raisonnement par récurrence que l'algèbre élargit
son domaine; on le retrouve en effet au début de l'analyse
infinitésimale. Il intervient chaque fois que la mathématique
franchit un fossé et s'annexe un territoire nouveau. Tant qu'elle
se borne à exploiter le domaine conquis, sans l'étendre, elle n'en
fait point usage, mais aussi elle n'avance pas, elle transforme.
Je crois que M. Poincaré se trompe. Le raisonnement par
récurrence est une forme de raisonnement très spéciale et très
reconnaissabïe; il y a en algèbre des démonstrations véritables
et générales qui ne s'y ramènent point. Les transformations
algébriques peuvent servir à démontrer des propositions nouv
elles; elles ne consistent pas à piétiner sur place; elles
avancent.
Deux raisons m'empêchent de voir dans le raisonnement par
récurrence le type unique de la démonstration générale et
généralisante :
1° II ne s'applique qu'à la série des nombres entiers.
Mais tout se réduit à cela! me répondra-t on. Les mathémat
iques se sont de plus en plus arithmétisées. ( Val. de la 5c, p. 20.)
M. Poincaré construit la continuité, construit les dimensions
de l'espace, réduit la géométrie au calcul des fonctions. « Le
géomètre fait de la avec de l'étendue comme il en
fait avec de la craie; aussi doit-on prendre garde d'attacher
trop d'importance à des accidents qui n'en ont souvent pas
plus que la blancheur de la craie. » (Se. et Hyp., p. 29.)
Je ne conteste pas l'avantage qu'il y a à dégager des relations
pures, plus générales, plus abstraites, des intuitions spatiales
dans lesquelles on les a d'abord considérées, et à les dériver
les unes des autres par une voie indépendante de la considé
ration des figures. Lorsque, par exemple, M. Riquier propose,
radicalement, de renoncer à la géométrie intuitive comme à
une méthode surannée, trop étroite et désormais inutile *, et de
la rayer de la liste des sciences, puisqu'on peut, par l'analyse
infinitésimale, en établir toutes les propositions ou des propos
itions qui les contiennent, je ne songe pas du tout à protester,
ni même à m'étonner. Lorsque M. Poincaré nous décrit deux
types d'esprits mathématiques, les géomètres intuitifs et les
analystes, je comprends sa préférence pour les seconds.
Mais si l'esprit analytique de M. Hermite représente la perfec-
1. Revue de Métaphysique, 1900, p. 736. 270 MÉMOIRES ORIGINAUX
tion du pur esprit mathématique, M. Bertrand était un mathé
maticien tout de même. Les Éléments d'Euclide contiennent
des démonstrations générales et des chaînes de démonstrations
de plus en plus générales. Les géomètres intuitifs raisonnent,
et leurs raisonnements sont concluants. Quand je les désap
prouverais, comme mathématicien, d'employer des méthodes
intuitives alors qu'il y en a de plus générales et de plus
abstraites, et, selon les termes de Descartes, de n'exercer leur
entendement qu'en fatiguant leur imagination, je ne puis,
comme logicien, refuser d'examiner leurs démonstrations. Et il
faut bien reconnaître que la généralisation n'y consiste pas à
étendre à la série infinie des nombres entiers une propriété
vérifiée pour l'un deux.
2° La seconde raison est plus décisive encore. C'est que le
raisonnement par récurrence contient une démonstration, dont
il est, par conséquent, impuissant à rendre compte. Et nous
verrons plus loin quelle est l'importance de cette démonst
ration.
Ill
La démonstration géométrique généralise de deux manières :
1° Toute va du singulier au général, et consiste
à établir une relation nécessaire entre deux propriétés hétéro
gènes; ce qui ne peut se faire par aucun syllogisme ni par
aucune composition de syllogismes. 2° Certaines démonstrat
ions vont du spécial au général, ce qui ne peut pas davantage
s'expliquer par le raisonnement syllogistique.
1° Pour démontrer que, dans un triangle isoscèle, les angles
opposés aux côtés égaux sont égaux, on exfolie, pour ainsi
dire, le triangle, on le détache de lui-même, par la pensée, et on
le réapplique, en le retournant, sur la trace qu'on le suppose
avoir laissée sur le tableau. On constate alors que l'angle compris
entre les côtés égaux coïncide nécessairement avec sa propre
trace, que chaque côté de cet angle coïncide la trace de
l'autre côté qui lui est égal. La coïncidence du 3e côté résulte
de ce principe que deux points ne peuvent être joints que par
une seule ligne droite ; c'est le seul syllogisme que comporte la
démonstration. On constate enfin que chacun des angles
opposés aux côtés égaux coïncide avec la trace de l'autre. La
démonstration a consisté, on le voit, en une opération et en la
constatation du résultat obtenu. GOBLOT. — LA DÉMONSTRATION MATHÉMATIQUE 271 E.
II va sans dire qu'il ne s'agit pas d'une opération manuelle
— du moins il n'est pas nécessaire qu'elle soit manuellement
exécutée — mais d'une opération mentale, et qu'il ne s'agit pas
d'une constatation physique, telle qu'on pourrait la faire avec
des instruments de mesure, mais d'une constatation logique1.
Toutes les démonstrations géométriques (je ne parle, pour le
moment, que de la géométrie intuitive) se font sur des
exemples. C'est qu'on ne démontre qu'en opérant ; or une opé
ration (construction, superposition, rotation, etc.) ne peut être
exécutée, même mentalement, et le résultat d'une opération ne
peut pareillement être constaté, que sur une figure singulière.
Le raisonnement géométrique n'est jamais purement contemp
latif ; il est actif et constructif ; et c'est l'activité constructive
de l'esprit qui fait apparaître un résultat nouveau. Une pensée
purement contemplative ne saurait découvrir dans son objet
autre chose que cet objet même, passer d'une propriété à une propriété; elle pourrait découvrir dans un principe
général les propositions plus spéciales, plus restreintes, impli
citement affirmées en lui; elle ne saurait y découvrir les consé
quences qui n'y sont pas, mais qui en résultent, qu'il ne
contient pas, mais qu'il entraîne, apercevoir une relation néces
saire entre des propriétés hétérogènes; elle serait donc incapable
de faire aucune démonstration. D'ailleurs, tant qu'elle se borne
à contempler le principe, il n'en résulte rien. Mais les proposi
tions générales, qui ne sont que des vérités quand on se borne
à les contempler, deviennent des règles on opère ; une
pensée agissante et opérante qui prend ces vérités pour règles
pratiques de son action, peut constater le résultat nouveau
qu'elle a elle-même construit.
Ce résultat, bien que constaté, est pourtant nécessaire. C'est
que l'opération a été exécutée conformément à des règles. Sont
règles de l'opération, d'abord les définitions générales et les
hypothèses spéciales qui déterminent la question, c'est-à-dire
des conventions que l'esprit a faites avec lui-même, et par le
squelles il s'est lié, et, de plus, chaque fois qu'il y a lieu d'y faire
appel, les propositions antérieurement établies. 'Le résultat
constaté est nécessaire dans la mesure où il est déterminé par
1. La constatation logique et la vérification ont ceci de commun qu'elles
portent sur des cas singuliers, en quoi elles se distinguent de la démonst
ration. La logique est la constatation du résultat obtenu par
une opération logique; la vérification n'est pas tout à fait aussi simple;
elle consiste à constater que le même résultat est obtenu par deux opéra
tions différentes. 272 MÉMOIRES ORIGINAUX
l'application des règles. Il reste contingent et modifiable dans
la mesure où il dépend des singularités de l'exemple choisi. Et
c'est pourquoi il est général. Le géomètre a toujours présente
à l'esprit, quand il raisonne sur une figure, la distinction entre
celles des propriétés de cette figure qui sont formellement
énoncées dans l'hypothèse et celles qui, n'étant pas spécifiées,
demeurent indéfiniment variables. L'opération qui n'est réglée
que par les premières pourra être répétée, avec le même résultat,
sur toute figure différente qui réalise l'hypothèse, quelles que
soient ses propriétés singulières. L'opération qui consiste à
détacher le triangle isoscèle du plan du tableau et à le réappli
quer retourné sur sa propre trace pourra toujours être répétée,
et elle donnera toujours le même résultat, la coïncidence des
angles opposés aux côtés égaux, sur n'importe quel triangle,
car j'ai pris pour règle de cette opération l'égalité de deux côtés,
et point du tout la valeur absolue, ni, sauf cette hypothèse, la
valeur relative des côtés ni des angles.
Il peut paraître surprenant qu'une constatation ait un carac
tère de nécessité. Cela est impossible, en effet, quand il s'agit
d'une constatation empirique; c'est que le savant qui observe,
le physicien par exemple, enregistre les manifestations de forces
qui lui sont étrangères. La nature opère sous ses yeux, selon
des règles ou lois qu'il ignore et qui sont précisément l'objet de
«a recherche. Le géomètre, au contraire, opère lui-même, selon
des règles qu'il connaît puisqu'il les a choisies, dont il sent
constamment la contrainte, qui le dirigent toujours et souvent
lui résistent; et, en fait, il n'a jamais d'autre garantie de la
nécessité de ses résultats que la conscience de les avoir obser
vées.
On le voit, dans le raisonnement mathématique, la généralité
est une conséquence de la nécessité. C'est bien là, d'ailleurs, le
caractère essentiel du déductif. Il consiste à aper
cevoir d'abord qu'une relation est nécessaire, d'où il résulte
qu'elle est générale. Le raisonnement inductif, au contraire,
consiste à établir, par une suite d'opérations au bout de laquelle
est une observation de fait, une constatation empirique, qu'une
relation est constante ; on peut en inférer qu'elle est nécessaire,
car il n'est pas supposable que le hasard et la contingence pro
duisent l'uniformité parfaite. Mais cette nécessité n'est qu'in
férée; elle demeure cachée, insaisissable, elle n'est pas aperçue
par l'esprit, tant qu'on s'en tient au raisonnement inductif.
Aussi ne saurais-je protester trop énergiquement contre

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